ИДЕИ КОЛМОГОРОВА ПО ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА В СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

20

ВЕОТН. МОСК. УН-ТА. ОЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. .Ys 1

4. Олейиик O.A., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1997.

5. Kucamoe М.А., Самохип В.Н., Чечкип Г.А. О температурном пограничном слое в вязкой неныотоновской среде // Докл. РАН. Сер. матом., информатика, процессы управления. 2022. 502. 28 33.

Поступила в редакцию 13.05*2023

УДК 517.518.126

ИДЕИ КОЛМОГОРОВА ПО ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА В СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Т.П. Лукашенко1, В. А. Скворцов2, А. П. Солодов3

Рассматриваются обобщения конструкции интеграла Колмогорова на случай функций, принимающих значения в пространствах Банаха. Показано, какое развитие получили идеи А.Н. Колмогорова по теории интеграла, в частности понятие дифференциальной эквивалентности, в теории интегралов типа Хенстока Курцвойля. В этой связи изучается вариационный вариант интеграла хенстоковского типа относительно весьма общего дифференциального базиса. Приведен пример применения этого интеграла в гармоническом анализе. Рассмотрены также некоторые результаты, связанные с применением А-интеграла Колмогорова.

Ключевые слова: интеграл Колмогорова, суммы Римана, дифференциальный базис, дифференциальная эквивалентность, интеграл Курцвейля-Хенстока, А-интеграл.

Generalizations of construction of Kolmogorov integral to the case of Banach space-valued functions are considered. We demonstrate how the Kolmogorov ideas on integration theory, in particular the notion of differential equivalence, have been developed in the theory of the Henstock Knrzwoil integral. In this connection, a variational version of a Henstock type integral with respect to a rather general derivation basis is studied. An example of an application of this integral in harmonic analysis is given. Some results related to Kolmogorov A-integral are also considered.

Key words: Kolmogorov integral, Riemarm snrns, differential basis, differential equivalence, Henstock-Kurzweil integral, A-integral.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-3

1. Введение. В работах А.Н. Колмох'орова по общим проблемам теории интмрнрования (см. [1, статьи № 5, 6, 14 и 16] и [2, гл. VI]) было высказано множество глубоких весьма сжато сформулированных идей, которые затем получили развитие в mhoixjчисленных исследованиях по теории интмрала.

Одним из интересных направлений такохх) развития является изучение возможности переноса конструкции Колмох'орова на случай функций со значениями в банаховых пространствах. Этому направлению посвящен второй пункт настоящей работы.

1 Лукашенко Тарас Павлович доктор физ.-мат. паук. проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ: Моск. центр фупд. и прикл. матем., e-mail: lukaslienkoOmail.ru.

Lukashenko Twins Pavlovich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis: Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics.

2 Скворцов Валентин Анатольевич доктор физ.-мат. паук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ: Моск. центр фупд. и прикл. матем., e-mail: vaskvor20000yalioo.com.

Skvortsov Valentin Anatol'evich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Functions and Functional Analysis: Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics.

л Солодов Алексей Петрович доктор физ.-мат. паук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ: Моск. центр фупд. и прикл. матем., e-mail: apsolodovOmail.ru.

Solodov Aleksei Petrvvich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis: Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics.

© Лукашенко Т.П., Скворцов В. Л., Солодов Л. П., "2024 © Lukashenko Т. P., Skvortsov V.A., Solodov Л. R, 2024

ш

Поскольку конструкция интеграла Колмогорова базируется на обобщенных суммах Римана, то наибольшее влияние эти идеи оказали на теорию неабсолютных интегралов римановского тина и прежде всего на теорию интегралов Хенстока Курцвейля. Одним из примеров идеи, нашедшей очень широкое применение в современной теории, является колмогоровское понятие дифференциальной эквивалентности, получившее в теории Хенстока Курцвейля название вариационной эквивалентности, которую мы рассматриваем в третьем пункте в контексте интегралов хенстоковекого тина относительно весьма общего дифференциального базиса. Вариационный интеграл, определяемый с помощью понятия вариационной эквивалентности, выявляет тесную связь между интегрированием и дифференцированием. Он решает задачу восстановления первообразной но ее производной относительно рассматриваемого базиса, при этом неопределенный интеграл дифференцируем почти всюду. В качестве примера применения этого интеграла в гармоническом анализе мы рассматриваем задачу восстановления коэффициентов ряда но системе характеров компактной группы снециально-IX) вида но его сумме с помощью обобщенных формул Фурье, которые определяются вариационным интегралом. Эта задача восстановления коэффициентов сводится к соответствующей проблеме восстановления первообразной но ее производной.

В последнем четвертом пункте мы обсуждаем некоторые результаты, связанные с использованием А-пнтеграла, определение которого было подготовлено в значительной степени работами А.Н. Колмогорова по теории сопряженных функций.

2. Конструкция интеграла Колмогорова в применении к банаховозначному случаю.

Напомним некоторые понятия и обозначения, использованные А.Н. Колмогоровым при построении своего интеграла (см. [1, статья № 16]).

Систему множеств Ш, удовлетворяющую условию: если Е\,Е2 € Ш, то Е1 П Е2 € Ш, назовем мультипликативным классом,. Разбиением множества Е € Ш будем называть конечный или счетный набор множеств ОЕ = {Еп € Ш | Е = У Еп}.

Будем говорить, что разбиение !)'Е — продолжение разбиения !?Е, и писать !)'Е > ИЕ, если каждое множество из !)'Е содержится в некотором множестве из ЮЕ.

В работе [1, статья № 16] вводится понятие интеграла для многозначных функций множества, принимающих действительные значения. Мы это определение адаптируем к случаю функций, принимающих значение в некотором банаховом пространстве У. Для многозначной функции р: Ш ^ У интегральной сумм,ой, отвечающей разбиению ИЕ, назовем конечную сумму или ряд &(р,ИЕ) = р(Еп). Будем говорить, что ряд &(р,ИЕ) сходится безусловно, если для каждой

перестановки а(и) ряд ^«=1 р(Еа(п)) сходится при любом выборе значений функции р.

Определение 1. Многозначная функция р: Ш ^ У называется К-интегрируемой на множестве Е € Ш, если существует вектор I € У со следующим свойством: для любого е > 0 найдется такое разбиение ЮЕ, что для любого его продолжения !)'Е > ОЕ ряд &(р,Ю'Е) сходится безусловно и выполняется неравенство ||б(р, £)'Е) — 11| < е. Вектор I будем называть К-интегралом функции р по множеству Е и обозначать через (К) р(dí).

Дадим определение К-интеграда для функций точки, определенных на пространстве (X, с

конечной мерой, выбирая семейство измеримых множеств М в качестве мультипликативного класса. Для функции /: X ^ У определим многозначную функцию рf: Ш ^ У следующим образом: для каждого множества С € Ш функция р^ ^^^^^^^^^ все значения /(х)^(С), х € С. Интегральной суммой, отвечающей разбиению £)Е, назовем конечную сумму или ряд &(/,ЮЕ) = &(рf ,ОЕ).

Определение 2. функция /: X ^ У называется К-мнтегрмруе^ой на множестве Е € М, если р^ ^^^^^^^^^^^^ ^ ^^^^оге определения 1. Вектор (К) /Е рf (йх) будем называть К-интегралом функции / по множеству Е и обозначать через (К) JE /(х)(йх).

Класс всех К-интегрируемых на Е функций точки обозначим через К(Е).

Поскольку для рядов с действительными членами безусловная сходимость равносильна абсолютной, при У = М определения Колмогорова эквивалентны определениям 1 и 2. Заметим, что в определении Колмогорова в случае счетных разбиений в действительнозначном случае нельзя избежать условия абсолютной сходимости ряда &(р, ИЕ), что приводит к тому, что построенный при этом условии интеграл оказывается абсолютным и поэтому не выходит за рамки интеграла Лебега (Бохнера в банаховозначном случае). Однако благодаря тому, что в бесконечномерном банаховом пространстве требование безусловной сходимости, накладываемое на ряд из элементов этого пространства, оказывается более слабым, чем требование абсолютной сходимости (см. [3]), построение неабсолютных интегралов с помощью конструкции интеграла Колмогорова оказывается возможным для функций со значениями в банаховом пространстве. Поэтому использование в определениях 1 и 2 безусловной сходимости интегральных сумм вместо абсолютной приводит к расширению определяемого интеграла и сохраняет вместе с тем корректность самого определения.

Для функций со значениями в произвольном банаховом пространстве сохранится лишь включение класса интегрируемых по Бохнеру функций в класс К-интегрируемых функций (в случае счетных разбиений), а именно справедлива

Теорема 1 [4]. Пусть f: X ^ У интегрируема по Бохнеру на множестве Е € М. Тогда, f € К(Е) и значения интегралов совпадают,.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, что показывает следующий пример: f = ЕГ=1 ОпХБп, Еп € М, в котором ряд ап сходится безусловно, по не абсолютно.

Как и классический интеграл Колмогорова, К-иитеграл есть предел интегральных сумм по базе, элементы которой находятся во взаимно однозначном соответствии с разбиениями множества Е

принимающих действительные значения, интеграл Колмогорова обладает свойством счетной аддитивности. Аналогичное свойство имеет место для функций со значениями в банаховом пространстве. К тому же неопределенный К-интеграл абсолютно непрерывен как функция множества.

Отметим, что мы получим разные интегралы в зависимости от того, будем ли мы допускать счетные разбиения или ограничимся лишь конечными.

Важным понятием в теории интеграла Колмогорова является понятие дифференциальной эквивалентности двух функций, введенное в [1| для действительнозначных функций. Непосредственный перенос этого определения на банаховозначный случай выглядит следующим образом.

Определение 3. Две многозначные функции ^>1: М ^ У и ^>2: М ^ У называются дифференциально-эквивалентными на множестве Е € М, если для любого е > 0 найдется такое разбиение £)Е, что для любого его продолжения !)'Е > ОЕ выполняется неравенство б(||^>1 — ^2У, О'Е) < е.

Это понятие позволяет А.Н. Колмогорову дать второе определение интеграла, эквивалентное первому в рассматриваемом им действительнозначном случае. Мы его приведем для случая функ-

У

Определение 4. функция f: X ^ У называется К1-интегрируемой на множестве Е € М, если существует аддитивная на, М функция Е: М ^ У, дифференциально-эквивалентная на Е функции (см. определепие 2). При этом Е является неопределенным, К -интегралом функции f на множестве Е, в частности (К1) /Е f (х)(йх) = Е(Е).

Понятие дифференциальной эквивалентности и второе определение интеграла рассмотрены А.Н. Колмогоровым как для счетных, так и для конечных разбиений. Случай конечных разбиений мы подробнее обсудим в следующем пункте. В этом случае К1-интеграл не будет эквивалентен К-интегралу для банаховозначных функций. В случае счетных разбиений если мы хотим последовательно заменять в бесконечных рядах, определяющих римановские суммы, абсолютную сходимость на безусловную, в том числе и в определении дифференциальной эквивалентности, используемой в определении 4, то аналог К1-интеграла окажется очевидно эквивалентным определению 2. (Подробнее об интеграле Колмогорова для счетных разбиений см. в [4|, где исследуется также связь интеграла Колмогорова с интегралами хенстоковского типа.)

3. Конструкции римановского типа в современной теории интегралов и их применение.

3.1. Дифференциальная эквивалентность в применении к теории интеграла Хенс-тока-Курцвейля. Дадим определение дифференциального базиса, обобщив известные частные случаи, используемые в современной теории интеграла (см. [5 7]). Дифференциальным базисом (или просто базисом) В в пространстве с мерой (X, называется непустое семейство непустых под-

множеств в произведения 1х X, где I — семейство измеримых подмножеств положительной меры ^пространства X, называемых В-интервалам,и, которое обладает свойством: (а) для, каждых в1,в2 €В найдется такой элемент, в €В; что в С в1 П в2.

Таким образом, дифференциальный базис является направленным множеством, упорядочен-

вВ

Мы будем предполагать, что каждая пара (I, х) € в такова, что х € I, хотя это условие не является обязательным в общей теории (см. [5]). Для каждых множества Е С X и элемента в €В мы будем использовать обозначения

в(Е) := {(I,х) € в : I С Е} и в[Е] := {(1,х) € в : х € Е}. В

семейства попарно непересекающихся подмножеств Ет пространства X и соответствующего ему семейства базисных множеств {вт} существует такой элемент в €В, что вЮт Ет] С Ут вт[Ет].

Мы также предположим, что в[{х}] = 0 для любой точки х € X и для любого в €В.

Если X — топологическое пространство, то полезно также предположить, что B является базисом Витали, имея в виду, что для любой точки ж и любой ее окрестности U (ж) существует ßx € B, такое, что I С U(ж) для каждой пары (I,x) € ßx[{x}\.

Назовем ,0-рязбменме^ конечное семейство п элементов из ß, такое, что для любых двух различных элементов (I',x') и (I",x") из п B-интервалы I' и I" не имеют общих внутренних точек. Если L €l и |J(j x)en I = L, то п называется ß-^мбиени ем, В-ипт,ервала, L и обозначается n(L). Мы предположим, что базис обладает следующими свойствами разбиения: (i) для каждого B-интервала L € I и для любого в существует в-разбиение интервала L; (ii) для каждого конечного семейства I0,I1,...,In B-интервалob, I1,...,In С Io, разность I0 \ |J™=1 Ii может быть представлена как конеч-

B

Множество в~Разбиений фиксированного B-интервала L обозначим Pß(L). Используя свойство разбиения и свойство (а) базиса B, нетрудно убедиться, что семейство {Pß(L)]ß&ß является базой

вп

в некотором метрическом пространстве имеет смысл говорить о пределе, по этой базе, который будем обозначать limB F(п).

B

функции Ф: Ix X ^ У, где Y — банахово пространство, определим следующим образом.

Определение 5. Функция Ф: Ix X ^ У интегрируем,а, в смысле Курцвейля-Хенстока относительно базиса B (или Нв-'интегрируема) на B-интервале L со значением Нв-интеграла A € У, если существует равный A предел

lim £ Ф^^) = A.

(J,x)en(L)

Значение интеграла обозначим (Ив) fL Ф.

Н B

ций образует линейное пространство.

Если функция Ф Ив-интегрируема на B-интервале L, то она Ив-интегрируема и на каждом B-интервале K С L. Тем самым задается неопределенный Нв-интеграл, являющийся аддитивной (но не ст-аддитивной!) функцией на семействе B-интервалов, содержащихся в L.

В частном случае Ф^^) = f (x)ß(I), где f: L ^ У, получаем значение Нв-интеграла функции / на L по мере ß. В этом случае Нв-интеграл является обобщением интеграла Бохнера, что проверяется так же, как в классическом случае базиса, определяемого обычными интервалами на действительной прямой (см. [5, 8]).

Можно определить и соответствующее обобщение интеграла Петтиса, которое естественно обозначить как НРв-интеграл.

Определение 6. Функция /: L ^ У интегрируема в смысле Хенстока—Петтиса относительно базиса B (ил и НРв-интегрируема) на L €l, если для каждого функ ционала у* € У * функция y*(f) Нв-интегрируема на каждом B-интервале I С L и существует такое значение Aj € У,

y*(Aj ) = (Нв )j y*(f)

при каждом у*. При этом Aj является значением неопред еленного НРв-интеграла на I, которое обозначаем Aj = (НРв) fj f.

В тех же терминах предела по введенной выше базе фильтра можно ввести аналог колмогоров-CKoi'o понятия дифференциальной эквивалентности, который в теории интегралов тина Хенстока принято называть вариационной эквивалентностью.

Определение 7 (см. [6]). Две функции Ф1: Ix X ^ У и Ф2: Ix X ^ У назовем вариационно-BL

lim Ys №i(I,x) - Ф^а x) || =0,

(j,x)en(L)

или, что то же,

(Нв)j №i(I,x) - Ф2(I,x)|| =0.

Вариационную эквивалентность можно связать и с играющим важную роль в теории интегралов хенстоковекого типа понятием вариационной меры. Стандартное определение вариационной меры

относительно базиса В, порожденной фун кцией Ф: XXX ^ У на фиксирован ном В-интервал е Ь, таково. Сначала определяем в-вариацию та множестве Е С Ь:

Уаг(Б, Ф,в) := йир V ||Ф(1,х)||.

пСв[Е]

Е

Уф(Е) = V(Е, Ф, В) := 1п!Уаг(Б, Ф,в).

Заметим, что эта мера может принимать и бесконечные значения.

Используя это понятие, получаем следующее эквивалентное определение вариационной эквивалентности. Две функции Ф1: XXX ^ У и Ф2 : XXX ^ У вариационно-эквивалентны на В-интервале Ь, если V(Ь, Ф1 — Ф2, В) = 0.

Вариационную меру, порожденную функцией Ф, множества Е С Ь можно определить и как Дв-иптеграл по Ь новой функции, построеиной по Ф следующим образом:

ф (I ) | ||Ф(1,х)||, если х € Е;

1 0, если х € Ь \ Е.

Это определение не очень удобно, так как здесь, как и в случае интеграла Колмогорова, приходится предусматривать возможность для Дв-интеграла принимать бесконечные значения в случае действительнозначных функций.

Понятие дифференциальной эквивалентности позволяет А.Н. Колмогорову [1, статья № 16, §3] дать второе определение своего интеграла, которое в случае рассматриваемых там действительнозначных функций оказывается эквивалентным исходному.

В

является так называемый вариационный интеграл Хенстока ^Дв-интеграл).

Определение 8. Функция f: Ь ^ У VДв-инmeгpиpl/e,ма на В-интервале Ь, если существует такая аддитивная на, В-интервалах, содержащихся в Ь, функция Е, которая в качестве функции Ф^!,х) = Е(I) при всех х € I вариационно-эквивалентна функции Ф2(!,х) = f(х)^(!). В этом случае функция Е является неопределенным VНв-интегщлом функции Д. В частности, )/ь f = Е(Ь).

Легко проверить, что VHв-интeгpиpyeмocть влечет Нв-интегрируемость с тем же значением интеграла. Обратное утверждение (в некоторой эквивалентной форме) в теории классического интеграла Хенстока для действительнозначных функций и базиса из интервалов на отрезке действительной прямой известно как лемма Колмогорова Хенстока (см. [5]). На этом утверждении базируется доказательство многих важных свойств интеграла Хенстока. Однако, как показано в [9] (см. также [5]) для случая базиса из интервалов на действительной прямой, в банаховозначном случае VHв-интeгpад эквивалентен Нв-интегралу тогда и только тогда, когда пространство значений интегрируемой функции конечномерно. По-видимому, то же верно и в случае нашего абстрактного базиса.

Из эквивалентности этих интегралов в действительнозначном случае следует, что вариационный вариант интеграла Хенстока-Петтиса по базису В эквивалентен НЕв-интегралу.

Нетрудно проверить, что функция, равная нулю почти всюду на Ь €Х, является VHв-интeгpи-Нв Ь

что интегрируемость функции и значение интеграла не зависят от значений функции на множестве нулевой меры. Можно также считать функцию Д определенную дашь почти всюду, VHв-интегрируемой, если она становится VHв-интeгpиpyeмoй после доопределения ее нулем в точках, где она не была определена. При этом интеграл функции Д считаем по определению равным интегралу доопределенной функции.

Преимущество вариационного определения интеграла состоит в том, что оно проявляет непосредственную связь понятия интеграла с производной.

В-производная баиаховозначной функции Е: X ^ У в точке х определяется как предел

ДвЕ(ж) := Нт —туг,

в МЛ

если предел существует. Другими словами, А € У является значением В-производной ДвЕ(х), если для любого е > 0 найдется элемент в такой, что при всех (1,х) € в[{х}]

)

< е.

Мы определим также слабую В-ироизводную в х как такой элемент тДвЕ(х) в пространстве У, для которого при любом у* € У *

Ит У^11=у*(иФБР(х)).

Справедлива следующая теорема о восстановлении функции по ее производной. Теорема 2. Если аддитивная функция Е : I ^ X В-дифференцируема всюду на, Ь €1, кроме, быть может, множества Е С Ь, на котором Ур (Е) = 0; то функция

/( ) ( ДвЕ(х), если существует; 1 0, если х € Е,

VИв-интегрируема на Ь и Е является ее неопределенным VН в-интегралом.

Доказательство. Зафиксируем произвольное е > 0 и в соответствии с определением вариационной меры найдем элемент в такой, что для любого в[Е]-разбиения п\ выполнено неравенство ^ ||Е(I)|| < е/2. В каждой точке х, где функция Е В-дифференцируема, найдем такой элемент вх: ЧТО Ир И (1,х) € вх [{х}]

\\Р{1)-ЛхЫ1)\\<£^-у

Тем самым в соответствии со свойством локальности базиса (см. свойство (1)) найдется базисное множество в определенное на всем Ь. Рассмотрим произвольное вразбиение п интервала Ь. Полу-

чим

Е 1|Е(I)) - /(хМ1))\\ < Е |Е(I) - /(х)р(1)Ц +

+ Е \\пп - ткт < ^¿щ Е +

Таким образом, Е является неопределенным VHв-интeгpaлoм функции /. В частности,

Е (Ь) = {УИв^ /.

Теорема доказана.

Отметим, что условие VF(Е) = 0 на исключительном множестве Е является необходимым для справедливости теоремы в случае, когда р,(Е) = 0. Более того, справедлива следующая теорема, дающая дескриптивную характеристику неопределенного VHв-интeгpaлa.

Теорема 3. В-ди^еренцируемш почти всюду на Ь € I аддитивная функция Е: I ^ X является VИв-интегралом для своей производной тогда и только тогда, когда порожденная ею вариационная мера абсолютно непрерывна относительно .меры, Лебега.

Теорема 3 следует из теоремы 2 и уже отмеченного факта, что функция, почти всюду равная нулю, VHв-интeгpиpyeмa с нулевым значением интеграла на каждом В-интервале I С Ь.

Справедлив также аналог теоремы 2 для слабой производной, причем в этом случае нет необходимости выделять вариационный интеграл.

Теорема 4. Если аддитивная функция Е: I ^ X ела,бо В-дифференцируема вс юду на Ь € I, кроме, быть может, множества Е С Ь, на котором Vy*р(Е) = 0 для любого у* € У*, то функция

/ ( ) ( тДвЕ (х), если сущест вует;

[0, если х € Е,

ИРв-интегрируема на Ь и Е является ее неопределенным ИРв-интегралом.

Доказательство. Из слабой В-дифференцируемости Е следует, что при любом у* € У * к функциям у*Е и у*Д применима теорема 2 при У = М. Поэтому

У*Е(I) = №) ^ у*Д

для каждого у* и для каждого I € X. А это и значит, что Е(I) € У является HЕв-интeгpaлoм функции Д по I. Теорема доказана.

Вопрос о дифференцируемости неопределенного Hв-интeгpaлa в классическом скалярном случае также существенно зависит от леммы Колмогорова Хенетока, т.е. фактически доказывается для вариационного варианта интеграла.

В банаховозначном случае для широкого класса дифференциальных базисов верна теорема о дифференцируемости почти всюду неопределенного VHв-интeгpaлa. Возможно, что для справедливости этой теоремы в случае абстрактного базиса, определенного выше, потребуется наложить на него дополнительные требования.

Что касается дифференцируемости неопределенного Hв-интeгpaлa в банаховозначном случае, то, как мы увидим далее, по крайней мере для конкретных базисов, включая классический базис интервалов, для любого бесконечномерного банахова пространства можно построить пример Hв-интегрируемой функции, у которой неопределенный интеграл нигде не дифференцируем.

3.2. Вариационный интеграл в гармоническом анализе. Интегралы хенетоковского типа относительно различных дифференциальных базисов особенно полезны в решении проблем восстановления с помощью обобщенных формул Фурье коэффициентов ортогональных рядов по их суммам. При этом базис приходится выбирать в зависимости от ортогональной системы, по которой строится ряд. Например, в случае систем Хаара и Уолша (см. [10, 111), рассматриваемых на отрезке действительной прямой, используется двоичный базис, в котором система В-интервалов X образуется семейством двоичных интервалов

3±1 '2 п' '2 п

0 < ; < 2п — 1, п = 0,1, 2,

Здесь в качестве важного примера применения в гармоническом анализе изложенной выше теории интеграла в случае конкретного дифференциального базиса мы рассмотрим базис на компактной нульмерной группе О со второй аксиомой счетности. Мы обратимся к случаю абелевых групп, хотя в части построения интеграла это несущественно. Некоммутативный случай, включая обобщение проблемы восстановления коэффициентов Фурье, рассмотрен в [12].

О

О = Оо ^ О1 D О2 ... ^ Оп D ...

подгрупп, образующих базу окрестностей нуля.

Оп

тыми множествами. Пусть Кп означает произвольный смежный класс по подгруппе Оп, а Кп(д) -тот смежный класс по Оп, который содержит элемент д, так что

Кп(д) = д + Оп.

Для каждого д € О последовательность {Кп(д)} убывает и {д} = Р|п Кп(д).

В силу компактности О порядок факторгруппы О/Оп конечен. Обозначим его шп. На О определена нормированная мера Хаара А. Мера А инвариантна относительно сдвигов, поэтому для всех п ^ 0

А (Сп) = А (Кп) = —.

Шп

Семейство всех Кп при всех п € N образует полукольцо множеств. Это полукольцо и составит семейство В-интервалов X для построения дифференциального базиса В на О. Для произвольной функции V: О ^ N определим базисное множество

ви = {(I, х) : х € О, I = Кп(х), п ^ V(х)}.

Тогда базис В на О определим как семейство {в^где V пробегает множество всех функций, определенных на О и принимающих значения в N.

Так определенный базне обладает всеми указанными выше свойствами абстрактного дифференциального базиса, которые в этом случае не постулируются, а легко проверяются.

Интегралы Ив, VИв и ИРв, если они определены относительно так введенного базиса на группе С, будем называть Иа-интегралом, V Иа-интегралом и ИРа-интегралом соответственно. ОпреВ

= «Р Ш7Ж-

п^ж Х(Кп(д))

Частный случай теоремы 2, в котором условие VF(Е) = 0 обеспечено требованием ограниченности разностного отношения, определяющих) производную, выглядит следующим образом.

Теорема 5. Если аддитивная функция Е: I ^ X В-диф)ф)еренцируема всюду на, С, кроме, быть Е

т ткпШ <00;

п^ж \(Кп (д))

то функция

/ ( ДаЕ(х), если существует;

0, € Е,

VИ а-интегрируем, а, на, С и Е являет ся ее неопределенным V Иа-интегралом.

В слабом варианте этой теоремы, как и в общем случае, не требуется различать вариационный и обычный интегралы Хенстока Петтиса на группе.

Теорема 6. Если аддитивная функция Е: I ^ X слабо В-дифференцируема вс юду на С, кроме,

Е у* € У*

•то функция,

/(х) :=

— \х* Е(Кп(д))\ п^ж \(Кп (д))

{■шДа Е (х), если сущест вует; 0, € Е,

ИРа С Е ИРа

Иа Иа

руемой на С функции почти всюду дифференцируем по базису на С и ДаЕ(д) = /(д) почти всюду. То же можно распространить на случай функций со значениями в пространствах конечной размерности, а для VИа-интeгpaлa это верно для пространств любой размерности.

Теорема 7. Для, любой VИа-интегрируемой, на, С функции /: С ^ У ее неопределенный VИа-интеграл Е(К) = (УИ)а /к /, являющийся аддитивной на I функцией, С-дифференцируем почти всюду на С и ДаЕ(д) = /(д) почти всюду на С.

Для доказательства достаточно повторить рассуждения, примененные в [7, теорема 3.1] в скалярном случае, заменив ссылку на лемму Колмогорова Хенстока ссылкой на соотношения, вытекающие из определений 8 и 7.

Следующая теорема (см. [13, теорема 4.6]) показывает, что этот результат не может быть рае-Иа

У Иа

рируемая на С функция, /: С ^ У, у которой неопределенный Иа-инт,егщл не имеет С-производ-

д € С

Рассмотрим группу Г, двойственную группе С, т.е. группу характеров группы С. Известно (см. [14]), что в рассматриваемом нами случае Г является дискретной абелевой группой (относительно поточечного умножения характеров) и может быть представлена как сумма возрастающей цепочки конечных подгрупп

Го С Г1 С Г2 С ... С Гп С ...,

где Го = {70}, прпче м ^о(д) = 1 при вс ех д € С. При каждом п € N групп а Гп является аннулятором группы Сп, т.е. Гп := {^ € Г : 7(д) = 1 при всех д € Сп}. Факторгруппа Гп+1/Гп изоморфна факторгруппе Сп/Сп+1 (см. [14]) и поэтому имеет тот же конечный порядок при каждом п € N.

Легко проверить, что характеры 7 € Гп постоянны на каждом смежном классе Кп по подгруппе Оп и что если 7 € Г \ Гп, то /к 7^ = 0 для каждого Кп (см. [7]). Отсюда, в частности, следует, что характеры 7 образуют счетную ортонормированную систему на О относительно меры А и мы можем рассматривать ряды по этой системе:

7. (1)

тег

д

£п(д) := а77(д) (2)

тегп

при п, стремящемся к бесконечности. В случае банаховозначных коэффициентов а7 мы можем рассматривать сильную и слабую сходимость ряда.

На семействе X мы определим ассоциированную с рядом (1) функцию Е, заданную на каждом Кп равенством

Е(Кп) := / 5п(д)^А, (3)

•/Кп

где 5га определены в (2). По аналогии со случаем рядов Уолша и Хаара (см. [15, 16]) мы назовем эту функцию квазимерой, ассоциированной с рядом (1). Как легко проверить, она является аддитивной функцией на семействе X.

Из упомянутых выше свойств характеров следует, что суммы £п, определенные равенством (2),

Кп

д € О

значению Д(д), то ассоциированная с рядом квазимера Е О-дифференцируема в д и Е^Е(д) = Д(д).

Следующее утверждение (см. [13]) играет существенную роль при доказательстве того, что данный ряд но системе характеров является рядом Фурье, в котором интеграл, определяющий формулы Фурье, понимается в некотором определенном смысле.

Теорема 9. Пусть задан некоторый процесс интегрирования А, определяющий аддитивный на, X интеграл, и пусть на X также определена квазимера, ассоциироваиная, с рядом (1). Тогда, этот ряд является рядом Фурье некоторой А-иптегрируемой функции Д тогда и только тогда, когда Е(К) = (А) /к Д для любого К €!.

В силу (4) и теоремы 9 для решения проблемы восстановления коэффициентов ряда (1) но его сумме с помощью обобщенных формул Фурье достаточно показать, что квазимера, аесоцнирован-

О

зависимости от типа сходимости).

Тем самым проблема восстановления коэффициентов сводится к соответствующей проблеме восстановления первообразной по ее производной, решаемой теоремами 4 и 6. В результате мы получаем следующее утверждение.

Теорема 10. Пусть частные суммы (2) ряда (1) сходятся к функции Д всюду на, О, кроме, быть может, множества Е меры нуль, на котором

Йш ||5п(д)|| <

Тогда, Д VHG-мнmeгpмp?/e,мa и (1) является ее рядом, VHв-Фypьe.

Аналогично формулируется вариант этой теоремы для слабой сходимости. В этом случае, как и в теореме 6, используется HPG-интeгpaл.

О

Обратим внимание на то, что в этих теоремах сумма ряда (1) автоматически оказывается интегрируемой в соответствующем смысле без каких-либо априорных предположений о ее интегрируемости. Однако в случае априорного предположения об интегрируемости по Лебегу суммы ряда (1) из теоремы 9 получаем аналог теоремы дю Буа-Реймона Ваял с Пуссена.

Теорема 11. Если ряд (1) всюду на С сходится к интегрируемой по Лебегу (по Бохнеру в )(

)

Доказательство сводится к проверке того, что всякая интегрируемая по Лебегу (по Бохнеру) функция интегрируема также в смысле VИа-интeгpaлa и значения интегралов совпадают. Это можно получить так же, как в случае обычного базиса из интервалов на отрезке прямой (см. [5]). В этой теореме также можно допустить исключительное множество меры нуль, ограничивая скорость расходимости в точках этого множества.

Из этой теоремы, в частности, следует единственность определения коэффициентов ряда (1) по его сумме в случае его сходимости всюду. Однако уже в простейшем случае компактной группы (например, канторовской двоичной группы) нетрудно построить пример, показывающий, что эти однозначно определяемые коэффициенты не обязаны быть коэффициентами Фурье какой-либо ст-аддитивной меры. Так что использование интегралов хенстоковского типа, являющихся лишь конечно-аддитивными, в этой теореме было по существу.

Что касается вопроса сходимости ряда (1) в случае, когда известно, что он является рядом Фурье /

воспользоваться тем, что в этих предположениях равенство (4) в силу теоремы 9 переписывается в виде

и вопрос решается применением теоремы 7 или 8. Итак, справедливы следующие теоремы.

Теорема 12. Частные суммы Sn(f, g) ряда, VHc-Фуръе любой V Нс-интегрируемой на, G функции f сходятся к f почти всюду на, G.

Теорема 13. Для, любого бесконечномерного банахова пространства Y существует Нс-интег-рируемая на G функция f: G ^ Y, у которой частные суммы ее ряда Нс-Фурье расходятся в каждой точке g € G.

Интересно заметить, что при этом скорость расходимости не может быть произвольной. Для некоторых пространств она имеет определенные ограничения (см. [13]).

4. Вокруг A-интеграла. Возникновение A-интеграла связано с теорией сопряженных тригонометрических рядов. Если имеется тригонометрический ряд üq/2 + ^ak cos kx + bk sin kx, то сопряженным к нему рядом называется ряд -bk cos kx + ak sin kx. Эти ряды — действительная

и мнимая часть степенного ряда ao/2 + ^c¡=i(ak — ibk)eikx. Если тригонометрический ряд явля-

f

арифметичееких почти всюду к величине

которую называют сопряженной функцией (см. [17]). H.H. Лузиным был построен пример суммируемой функции, сопряженная к которой не суммируема ни на каком интервале. А.Н. Колмогоров в 1925 I'. опубликовал работу (см. [1, статья № 8]), в которой доказал суммируемость сопряженной функции в степени 1 — е, 0 < е < 1. При этом он доказал замечательное порядковое соотношение: мера множества точек отрезка [0, 2ж\, где сопряженная функция по модулю больше n, имеет порядок O(1/n). Отсюда легко следует, что фактически здесь можно заменить O(1/n) на o(1/n) (см. [17, гл. VIII, § 16]). Естественно возник вопрос: если сопряженная к суммируемой функция также суммируема, то будет ли сопряженный ряд ее рядом Фурье? Первым положительный ответ получил А.Н. Колмогоров в 1928 г. в работе [1, статья № 14]. В ней он использовал введенный А. Данжуа так называемый B-интеграл, или интеграл Бокса (в честь ученика Данжуа, изучавшего этот интеграл). А.Н. Колмогоров доказал, что сопряженная к суммируемой функция всегда интегрируема в смысле этого обобщения интеграла Лебега и ряд Фурье Бокса сопряженной функции является сопряженным рядом. Интеграл Бокса ввиду его сложности не получил широкого применения в анализе.

Более популярный интеграл, решая ту же задачу о сопряженных рядах, ввел в 1929 г. Титч-марш. Он определил Q-пнтеграл от функции f на отрезке I как limn^^ ff [f (x)]ndx, где [f (x)]n = f (x), если \f (x) | ^ n, и 0в противном случае. Он же показал, что этот интеграл не является аддитивным в том смысле, что интеграл от суммы функций может не равняться сумме интегралов от них, а аддитивным он будет при дополнительном условии, что мера множества {x € I : \f (x)\ > n}

(5)

о

является o(1/n). Как уже было отмечено, выполнение такого условия для сопряженных функций фактически было доказано А.Н. Колмогоровым. Q-интеграл с таким дополнительным условием А.Н. Колмогоров позднее стал называть A-интегралом. Титчмарш доказал, что сопряженная к суммируемой функция всегда интегрируема в смысле этого интеграла и ряд Фурье-A сопряженной функции является сопряженным рядом (см. [17, гл. VIII, § 18]).

A

ет его при формулировке усиленного закона больших чисел (см. [2, гл. VI]). Он также поддерживал A

A

A

Что касается связи A-интеграла с B-иптегралом, то Б.В. Панников показал (см. [19]), что A-интеграл обобщает B-иптеграл па классе измеримых функций, но в то же время, как показал Т.П. Лукашенко (см. [20]), существуют неизмеримые B-интегрируемые функции.

A

ния аргумента, в то время как значения многих других неабсолютных интегралов зависят от отношения порядка на числовой прямой. Такие интегралы принципиально не поддаются объедпне-A

значения при интегрировании одной и той же функции. Много численные работы, посвященные взаимоотношению между различными неабсолютнымп интегралами, подтверждают высказанные А.Н. Колмогоровым во вступлении к работе [1, статья № 16] мысли о том, что слово "интегрирование" является собирательным термином и проблема отыскания естественного определения интеграла, содержащего в качестве частных случаев все прежние определения, является совершенно безнадежной. Свою задачу в работе [1, статья № 16] А.Н. Колмогоров видел в том, чтобы дать но возможности наиболее общее строгое определение интеграла, реализующее идеи Лейбница об интегрировании, как некий способ суммирования бесконечного числа бесконечно малых величин. Однако, как мы постарались показать в этой статье, идеи А.Н. Колмогорова оказали влияние на существенно более широкий круг вопросов теории интеграла и ее применения.

Исследование А.П. Солодова выполнено при поддержке Фонда развития теоретической физики и математики "БАЗИС".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колмогоров А.Н. Исследование понятия интеграла /'/' Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука. 1985.

2. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: URSS, 2021.

3. Dvoretzky A., Rogers С.A. Absolute arid unconditional convergence in nornied linear spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1950. 36, N 3. 192 197.

4. Солодов А.П. О границах обобщения интеграла Колмогорова /'/' Матом, заметки. 2005. 77, № 2. 258 272.

5. Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П. Обобщенные интегралы. М.: URSS, 2010.

6. Ostaszewski К.М. Henstock integration in the plane // Mem. AMS. 1968. 63, N 353.

7. Skvortsov V.A., Tulone F. Ivnrzweil Henstock type integral on zero-dimensional groups and some of its applications // Chech. Math. J. 2008. 58, N 4. 1167'1183.

8. Schwahik S., Ye G. Topics in Banach space integration. Series in Real Analysis. Vol 10. Singapore: World Scientific, 2005.

9. Skvortsov V.A., Solodov A.P. A variational integral for Banach-valned functions // Real Analysis Exchange. 1998. 24, N 2. 799 805.

10. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

11. Skvortsov V., Tulone F. Multidimensional dyadic Ivnrzweil Henstock- and Perron-type integrals in the theory of Haar and Walsh series // J. Math. Anal, and Appl. 2015. 421, N 2. 1502 1518.

12. Скворцов В.А. Восстановление обобщенного ряда Фурье по его сумме на компактной нульмерной группе в неабелевом случае // Матом, заметки. 2021. 109, № 4. 616 624.

13. Skvortsov V.A. Recovering Banach-valned coefficients of series with respect to characters of zero-dimensional groups // Armales Univ. Sci. Budapest, Sect. Сотр. 2019. 49. 379 397.

14. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.Н. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку, 1981.

15. Плотников М.Г. Квазимеры, хаусдорфовы рмеры и ряды Уолша и Хаара // Изв. РАН. Сер. матом. 2010. 74, № 4. 157 188.

16. Скворцов В.А. Интегрирование банаховозначных функций и ряды Хаара с банаховозначными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 1. 25 32.

17. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ. 1961.

18. Ульянов П.Л. Об А-интегралах Коши для контуров // Докл. АН СССР. 1957. 112, № 3. 383-385.

19. Панников Б.В. О взаимоотношении А- и В-ннтегралов // Матем. сб. 1986. 129, № 3. 407-421.

20. Лукашенко Т.П. Интегрируемые по Боксу неизмеримые функции // Матем. заметки. 1975. 17. № 1. 49 56.

Поступила в редакцию

31.0512023

УДК 519

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ФРОНТА ВЕТВЯЩЕГОСЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ

С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ ВЕТВЛЕНИЯ

Е. Вл. Булинская1

Рассматривается модель ветвящегося случайного блуждания по целочисленной решетке Zd с периодическими источниками размножения и гибели частиц. Предполагается, что режим ветвления надкритический, а для распределения скачка блуждания выполнено условие Крамера. Установлена теорема о скорости распространения фронта популяции частиц по решетке при неограниченном росте времени. Доказательства основаны на фундаментальных результатах, относящихся к пространственному распространению общего ветвящегося случайного блуждания.

Ключевые слова: ветвящееся случайное блуждание, периодически расположенные источники размножения и гибели, распространение фронта популяции, условие Крамера, надкритический режим.

We consider the model of branching random walk on an integer lattice Zd with periodic sources of branching. It is supposed that the regime of branching is supercritical and. for a jump of the random walk, the Cramer condition is satisfied. The theorem established describes the rate of front propagation for particles population over the lattice as the time increases unboundedly. The proofs are based on fundamental results related to the spatial spread of general branching random walk.

Key words: catalytic branching random walk, sources of branching and death located periodically, front propagation of a population, the Cramer condition, supercritical regime.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-4

Исследование ветвящегося случайного блуждания (ВСБ) с периодическими источниками размножения и гибели частиц инициировано в статьях [1| и [2|, где установлено асимптотическое разложение для средних локальных численностей частиц в момент времени ¿при t ^ ж. В настоящей работе впервые удалось показать, что с вероятностью единица должным образом преобразованное облако исследуемых частиц будет приближаться к определенному предельному множеству в метрике Хауедорфа, когда время стремится к бесконечности, а именно доказано, что популяция частиц в надкритическом ВСБ с периодически расположенными источниками размножения и гибели частиц распространяется асимптотически линейно в случае легких хвостов распределения скачка блуждания, т.е. когда выполнено условие Крамера. Следует подчеркнуть, что, в отличие от работ [1| и [2|, мы не предполагаем, что случайное блуждание симметрично, т.е. не исключаем, что оно, например, может иметь снос. Наши результаты получены как для одномерной постановки задачи (изучение максимума или минимума среди положений частиц па Z), так и для многомерной постановки (изучение распространения облака частиц в пространстве), т.е. для решетки Zd при d € N d> 1.

Предполагаем, что все рассматриваемые случайные величины определены на одном и том же полном вероятностном пространстве (Q, F, P), где пространство элементарных исходов Q состоит

1 Булинская Екатерина Владимировна канд. физ.-мат. паук, доцепт каф. математической статистики и случайных процессов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: buliiiskayaOmecli.matli.msu.su, buliuskayaOyaudex.ru.

Bulinskaya Ekaterina Vladimirovna Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Statistics and Stochastic Processes.

© Булинская Е.Вл.,2024 © Bulinskaya E. VI., 2024