CC BY
0
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2023. № 2. С. 12-22 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal
УДК 517.956.226+517.925.7 Д.П. Емельянов1
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ВЫРОЖДЕНИЕМ НЕЦЕЛОГО ПОРЯДКА*
Рассматривается краевая задача Дирихле для уравнения эллиптического типа с нерегулярным вырождением в прямоугольнике с нецелым порядком вырождения и аналитическими коэффициентами. Методом спектрального выделения особенностей строится формальное решение задачи в виде ряда, в котором характер неаналитической зависимости решения от переменного у в окрестности точки у = 0 выписывается явно. Методом функции Грина доказывается сходимость построенного ряда к классическому решению задачи.
Ключевые слова: вырождения нецелого порядка, уравнения с аналитическими коэффициентами, эллиптические уравнения, уравнения с малым параметром.
БО1: 10.55959/М8и/0137-0782-15-2023-47-2-12-22
1. Введение. В области О = (0,1) х (0, Ь) рассмотрим следующую краевую задачу (задачу Б по терминологии Келдыша [1; 2, с. 299-301]):
u'Xx + VmKv + cÁv)u'y - a{y)u = f (x,y), (x,y) € Q,
u(x,y) = 0, (x,y) € dQ,
где m — некоторое фиксированное число из интервала (1, 2). Всюду в этой работе будем полагать аналитические продолжения функций a(y) и c(y) аналитическими функциями в круге комплексной плоскости U = {y € C : |y| < R}, где R > b. Также будем требовать выполнения условий a(y) ^ 0, y € [0, b] и c(0) = 0, которые гарантируют единственность [1; 2, с. 299-301] решения задачи (1).
Подобные задачи исследовались различными авторами, в том числе М.В. Келдышем, А.И. Янушаускасом [3, гл. 3-5], М.М. Смирновым [4, с. 88-94], Е.И. Моисеевым [5, с. 73-88], В.М. Ивакиным [6], И.М. Петрушко [7,8].
В данной работе мы развиваем идеи оригинального метода исследования, предложенного И.С. Ломовым (метод спектрального выделения особенностей) в [9-10; 11, гл. X] (при m = 2), обобщаем результаты следующих работ [12,13] (при m = 2) и [14] (при m = 1) на случай нецелых m. Цель работы — найти явный вид решения задачи (1).
В оригинальном методе строилась расширенная задача и вводились новые переменные так, что решение расширенной задачи зависело от своих переменных аналитически. В данной работе мы откажемся от построения расширенной задачи и ввода новых переменных, но обобщим основной результат: построим решение задачи (1) с явным указанием характера неаналитической зависимости от переменного y в окрестности прямой y = 0. Таким образом, будет получен аналог теоремы Коши-Ковалевской для краевой задачи (1) с вырождениями.
Разделяя переменные в однородном уравнении u!'xx + ymUyy + c(y)u'y — a(y)u = 0, будем искать решение задачи (1) в следующем виде:
u(x,y) = ^ Yk(y) sin nkx, (x,y) € Q, (2)
k=l
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: [email protected]
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению №075-15-2022-284.
где коэффициенты ряда Ук (у) — решения следующих краевых задач для ОДУ:
(3)
УтУц(у) + с(у)ВД - (n2k2 + a(y))Yk(y) = fk(y), 0 < y < b,
[Yk (0) = Yk (b) = 0, k € N, 1 <m< 2,
sin nkx — собственные функции оператора L, порожденного дифференциальной операцией lv = = v''(ж),ж € (0,1), и краевыми условиями v(0) = v(1) = 0, а fk(y) — коэффициенты Фурье разложения функции f (ж, y) по системе собственных функций на отрезке [0,1] при каждом фиксированном y:
f (ж, y) = ffc(y) sin nkx, (ж, y) € Q. k=l
Далее мы построим коэффициенты Yk (y) ряда (2), явно указав характер неаналитической зависимости их от переменного y в окрестности точки y = 0, а затем докажем сходимость ряда (2) к классическому решению задачи (1).
2. Решение задачи для коэффициентов ряда Yk (y). Будем использовать привычные обозначения для теории ОДУ: ж — независимая переменная, y — неизвестная функция. Решим следующую вспомогательную задачу:
{^у(ж) = жту''(ж) + с(ж)у'(ж) — ^(ж)у(ж) = д(ж), 0 < ж < b, 1 < m < 2,
y(0) = 0, ( )
где с(ж),^(ж) и д(ж) — аналитические в U функции.
Рассмотрим уравнение жту''(ж) = Л,(ж) с начальным условием y(0) = 0, где h € A(U \ {0}) — произвольная, ограниченная и непрерывная на [0, b] функция. Пусть функция ^ж) представима на множестве U \ {0} сходящимся рядом
h(x) = ^ hn ■ xXn, (5)
n=0
где 0 ^ Лп ^ — некоторая числовая последовательность, Лп+1 — Лп ^ £ = const > 0.
Для функций h(x) такого вида определим оператор R, дающий решение задачи жту"(ж) = = h(x) с начальным условием y(0) = 0, следующим образом:
h
Ф) = доом s g (1 + Л„_ш)р + Л„_т) ■ *л-+<2-"". «ГА (0).
где ряд сходится равномерно внутри и \ {0}. Заметим, что оператор определен для функций Н € А(и) и ставит им в соответствие функции у (ж) с разложением (5) (с другими АП). Более того, пусть функция у(ж) имеет разложение вида (5) с показателями АП = а + п. Тогда определена функция ^[^(ж)у(ж) — с(ж)у'(ж)] и она имеет разложение вида (5) с другими показателями АП = а + п + (2 — т).
Если в представлении (5) АП ^ 1, п = 0,1, 2,..., то действие оператора ^ может быть описано с помощью следующего интеграла:
X § X
у(ж) = (ян)(ж) = 11 с-тн(( )« = 1С-т(ж — С )Н(С к. (6)
0 0 0
Оператор R отображает ограниченную функцию h € A(U \ {0}) в ограниченную функцию
КН € А(и \ {0}). Кроме того, КН(0) = 0. Построим с помощью оператора К формальное нетривиальное решение задачи (4). Положим:
»м=(К9(х)- 9 * 0'
I х, 9 = 0,
Уп+1(х) = К [^(х)уп(х) - с(х)уП(х)] , п € N0, (7)
у(х) = Е Уп(х)-
п=0
Заметим здесь, что в силу описанных свойств оператора К все функции уп(х) определены и имеют разложения вида (5).
Теорема 1. Ряд, представленный соотношениями (7), сходится в пространствах С[0, Ь] и А(и \ {0}). Его сумма является решением задачи (4).
Доказательство. Рассмотрим х € {х € С : |х| < Е1}, где Ь < Е1 < Е. Предположим, что для некоторого п € N0 имеют место следующие разложение и оценки:
, а
уп{х) = хахп(х), \гп(х)\ ^ Мп, \гп(х)\ ^ Мп • -,
где Мп и а ^ 2 — положительные постоянные. Получим аналогичные оценки для уп+1(х). Из условий исходной задачи с(х) = х ■ с(х), |с(х)|, |^(х)| ^ М при |х| < Е1, пусть Е2 = тах(1,Е1). Используя формулу (6), получим оценку
х
Уп+1(х) = /С-т(х - С) «СЫС) - с(СШС)) ¿С =
х
= /С-т(х - С) (¿(СXа^п(С) - ас(С)Са-1*п(С) - е(с)Са^П(С)) ¿с,
0
х
|уп+1(х)| Г-т| • |х - СI ■ (КС)^п(С)1 + |ас(с)2п(С)1 + 1Сс(С)*4(С)1) КI <
0 |х|
^ у (. (|х| - () ■ (М ■ Мп + аМ • Мп + Е1М ■ Мп ■ а) < < 0
|х|
|х|а-т+2
< ЗаММпЯ2 I(|х| - ()С= 3аММпЕ2 0
(а - т + 1)(а - т + 2)
а(а - 1) а
Положим
12МЕ2
п
а
Уп+1(х)= ха+2-т^п+1(х), |2п+1(х)| < Мп+1, Мп+1 = М, Проверим выполнение условия для г'п+1(х):
х
уп+1(х) = /С-т (¿(С)Са*п(С) - ас(С)Са-1*п(С) - с(С)С^п(С)) ¿с,
|х| |х| |уП+1(ж)| ^ У Са-т (М ■ Мп + аМ ■ Мп + Я1М ■ Мп ■ а) < 3аММпЯ.2 J С=
= 3аММп #2
|а+1 —т
а — т + 1
< 6ММпЛ2 • |х|а+1-т,
К+1(х)| =
/ Уп-ц(ж) V \жа+2"т у
<
X
а+2—т
+ |а + 2 — т|
уп+1(х)
ж'
а+3—т
<
< ШМпП2 ■ \х\~1 + |а + 2 - т\ ■ 6ММпЕ'2 . ы-1 <; 12ММпК2 • Ы"1 = - • Мп+1,
а х
таким образом, условие на ^п+1(х) выполнено.
Заметим, что по построению имеет место представление уп(ж) = хв+(2-т)п ■ ¿п(ж) для всех
п € М0, где £п(х) — ограниченные при |ж| < Е1 функции, а в = 1 в случае д(ж) = 0 и в = 2 — т
иначе.
Тогда найдется номер П0, зависящий только от т, такой, что а0 = в + (2 — т)п0 ^ 2. Положим
упо (х) = жа0 ■ ^па (х), М0 = ШЕХ |^па (х)|
а0
|х| <
Используя метод математической индукции и полученные ранее результаты, можем заключить, что справедливы равенства
упо+р(х) = жао+(2-т)р ■ ^по+Р(х), р € N |х| < ЯЬ Для гпо+р(х) справедлива следующая оценка:
кпо+р(ж)| ^ М0
(12М#2)Р
а0 ■ (а0 + (2 — т)) ■ (а0 + 2(2 — т)) ■..
|х| < #1.
(а0 + р(2 — т))
<
^ /12МДЛР 1 <М0- --- •-:
2 — т р!
Соответственно, получаем
,2-тч Р
1
1 \ 2 — ту р! 1 V 2 — тур!
р!
Таким образом, в силу признака Вейерштрасса ряд (7) сходится равномерно при |ж| ^ Каждая из функций уп(ж) аналитична в и\{0}, следовательно, ряд (7) сходится в пространствах С[0, Ь] и А(и \ {0}), сумму ряда обозначим у(ж). Первая часть теоремы доказана.
Поскольку уп(0) = 0 для всех п € М0, то у(0) = 0, т.е. начальное условие задачи (4) выполнено. Так как уп(ж) принадлежат классу А(и \{0}), ряд (7) допускает дифференцирование под знаком суммы любое число раз внутри области и \ {0}. Справедливы соответствия:
£у(х) = ^2 ^уп(х) = хту0'(х) + ^2 хтуп(х) + ^2 [с(х)уп(х) — ^(х)уп(х)]
п=0
п=1
п=0
= хту0'(х) + ^ хтуп(х) — £ хтуп+1(х) = хту0'(х) + ^ хтуп(х) — ^ хтуп(х) = хту0'(х).
п=1
п=0
п=1
п=1
Если д(х) = 0, то хту0'(х) = д(ж). Если д(х) = 0, то у0(х) = х, хту0'(х) = 0. В любом случае у (ж) = 0, у(0) =0 и £у(х) = д(ж), т.е. построенная функция является нетривиальным решением задачи (4). Теорема доказана.
х
Используем доказанную теорему 1 и соотношения (7) для нахождения решений задач (3).
Положим в задаче (4) ^(х) = а(х) + п2к2, 9(х) = 0. Соответствующее решение задачи обозначим через Ук°(х).
Вернемся к обозначению у независимой переменной. Тогда ^(у) = а(у) + п2к2 и решение задачи (4) есть (у). Это решение удовлетворяет краевому условию в точке у = 0 и однородному уравнению задачи (3). В силу процедуры построения имеет место разложение
У°(у) = £ у
1+(2-т)п ,
V к ,п(у).
п=0
Аналогично, полагая д(у) = /к(у) в задаче (4), получим решение неоднородного уравнения задачи (3):
П(у)=Е у(2-т)(п+1) ■ Пк,п(у).
п=0
Здесь функции ^к,п(у) и Пк,п(у) — аналитические во всем круге и. Соответственно, решение задачи (3) имеет вид
ук(У) = ш - Щ^г ■ гкъ) = е
Ук (Ь) п=0
Пк,
(у) = • тг ((а(у) + А2 - та(2 ш)с(у)1 ^(у) - сШн^М
,(у)= у-1-(2-т)п ■ К
Ж2-)(»-1) ( (а(у) + А2 - (т-1 + та(у2-Ш))^)) ^(у)-
-с(уУк ,п-1(у)
, п € N, Пк,°(у) = ут-2 -К/к(у), №,°(у) = 1,
Ук(у) = ,°(у) + £уп(2-т) ■ ,п(у),
(8)
п=1
где функции ^к,п(у) — аналитические во всем круге и.
Заметим, что если т = р/д — рациональное число, то разложение (8) может быть редуцировано до конечной суммы
д-1
Ук(у) = ,°(у) + £ уп/? • $к,п(у),
п=1
где функции г/^к,п (у) — аналитические в круге и.
3. Оценки фундаментальных систем решений и функций Грина задач для функций Уд.(у). Для доказательства сходимости ряда (2) получим оценки функций У^у), к ^ 1, построенных ранее. Функции у° (у) являются решениями задач
'утП"(у) + с(у)У(у) - (п2к2 + а(у))Ук(у) = 0, 0 < у < Ь, Ук (0) = 0, У(0) = 1.
(9)
В силу аналитичности коэффициентов исходной задачи в области и имеют место разложения в степенные ряды:
<у) = £ anуn, с(у) = £ спуп
п=°
п=1
у
Произведем следующие замены независимой переменной и неизвестной функции:
1
у = ((2 — т)£)а , Ук(¿) = (¿), а =
2—т тогда получим
(Ук)У = (Ук)£ ■ у1-т = [а£а-1 ^(¿) + ¿4(¿)] ■ ((2 — т)£)а(1-т), (Ук 4 = (Ук& ■ у2(1-т) + (1 — т) ■ (Ук); ■ у-т =
= [Г4'(¿) + 2аГ-14(¿) + а(а — 1)Г-2(¿)] ■ ((2 — т)£)2а(1-т) + +(1 — т) ■ [а£а-1£к(¿) + ¿а4(¿)] ' ((2 — т)£)-ат Подставим данные выражения в уравнение (9):
(2 — т) ■ ¿4(¿) + [3 — т + с(£) ■ ((2 — т)£)а(1-т)1 4(¿) +
+
Окончательно получаем
а£-1((2 — т)£)а(1-т) ф) — а(£) — п2к2 ¿к(¿) = 0.
¿4 (¿) + (¿) —
а(£) + п2
л/2-т (0) = 2 = со^,
¿к(¿) = 0, £ € (0, Ь), Ь = аЬ2-т, (10)
где постоянная 2 зависит только от т,
ф) = (1 + а) + С1 ■ £ + С2 • (2 — т)а(3-т)-1 ■ ¿а(3-т) + ... + ■ (2 — т)а(1+^-т)-1 ■ ¿а(1+^-т) + ...,
а(<) = ао + .-. + а,-((2-т)^Г + ... _ ^ . Г + ((2 _ ^«а-к,--™)-! + _
2—т
Отсюда мы можем заключить, что а(£),^(£) € С 1[0,Ь], производная функции = (^(¿) — ¿(0))/^ непрерывна на (0, Ь] и интегрируема на [0, Ь]. Тогда в силу теорем 1 и 2 из работы [14] для любого ограниченного в окрестности точки 0 решения уравнения (10) имеет место следующее представление:
где (¿) ^ 0 при к ^ в смысле С[0, Ь] и С 1[е, Ь] для любого е > 0, (¿) равномерно ограничена на [0, Ь], 2 - постоянный множитель. Справедливы следующие оценки [14, теорема 3]:
„2-7Г к^/оЛ р2ж к^/оЛ _
0<Вг-=--=-0 ^ £ ^ Ь, (11)
1 + (тг У> 1 + (тг 1
g2•7гfcv/oí ^ g2•7гfcv/oí _
0 < В\к-=-— ^ гШ) ^ В2^=-=-—тт, 0<£О, (12)
где В и В2 — некоторые положительные постоянные, не зависящие от £ и к. Возвращаясь к исходным переменным, получим следующее утверждение.
2
к
Лемма 1. Пусть Yfc0(y) — нетривиальные решения задач (9), построенные с использованием соотношений (7). Тогда найдутся такие постоянные 0 < Ci < C2, не зависящие от y и k, что
g2nfcay1/(2a) e2nfcay1/(2a)
° < ClVl + {,каут^г/2 < < ^ + (^1/(2^+1/2. 0 < f < &> (13)
e2nfcay1/(2a) dY 0 e2nfcay1/(2a)
0 < C\kyl/a---17.0 , 1/0 < -¿-(y) < C2fc-;-17.0 l1/0, 0 < у ^ 6. (14)
У 1 + (тгА:ау1/(2а))а+1/2 ^ 1 + (vrfcay V(2«) )«+l/2 ' V >
Доказательство. Будем использовать символ const для обозначения произвольной положительной постоянной, не зависящей от y и k. Для доказательства неравенств (13) достаточно применить неравенства (11), сделать обратную замену и принять во внимание тот факт, что t-a = const ■ y-1. Докажем неравенства (14):
d d dY0
Jt {Zk{t)) = Jt ■ Ffc°(t)) = "" ■ Га~1 ■ Yk°(t) + ■ ■ dY0
= const • yl'a • 4(i) + const • y"1 • Ffc°(y).
Применим оценки сверху из неравенств (12) и (13). Тогда
dY 0 e2nfcay1/(2a)
k-{y) ^ const • k
dy 1 + (nkay1/(2a) )a+1/2 •
Аналогично, используя оценку снизу (12), получим
dY 0 e2nfcay1/(2a)
гЧу) ^ const • k ■ у1/а ■
^у * 1 + (пкау1/(2«0)«+1/2'
Лемма доказана.
Чтобы построить функции Грина задач (3), нам понадобится исследовать решения следующей задачи:
|утУЛу) + с(у)У(у) - (п2к2 + а(у))Ук(у) = 0, 0 < у < Ь, \Ук (Ь) =0.
Эти решения, обозначим их У^(у), могут быть получены с использованием следствия из формулы Остроградского-Лиувилля:
Yb(у) = — Yfc(y) jexp i - J e-mc(C)de W (Y°(n))2 dn, y € [0,b].
(15)
Лемма 2. Пусть У?(у) — функции, определенные формулами (15). Тогда найдутся такие постоянные 0 < С3 < С4, не зависящие от у и к, что
1 1 + (пкау1/(2а))а+1/2 ч Ь 3Ь
ь 1 1 + (пкау1/(2а) )а+1/2 ( )
уй»> < ^ ■ I ——• 0 <»«
„ < < С< . 1 . 0<У<Ь (17)
^у 4 у е2пкау1/(2а) у 7
Доказательство. Докажем вторую оценку (16) (первая оценка доказывается аналогично). Применяя неравенства (13) из леммы 1, получим
е2пкау1/(2а)
Уьк{у) <
1 + (nfcay1/(2«) )a+1/2
/ e2nfcay1/(2a) \ 2 b ( } \ ( e2nfcan1/(2a) \ -2
^ C2,Cl' [ТТЫ^Щ^) 'jeXP\j rmcim) ' [l + ^kar,^))^} dV■
Отметим, что имеет место следующее разложение:
п
— J С-mc(C)de = do + di • n2-m + d2 • n3-m + ..., b
следовательно, имеют место оценки
0<E1 <(— J<* ,eM.
Таким образом, достаточно доказать оценки для интеграла
b 2 Г ( e^kayV^) l + (7rfcar?l/(2a))g+l/2\
( I 1 + (тгА:ау1/(2«))«+1/2 ' ¿¿жка^/^)
y \ /
Сделаем следующую замену: t = у1/2а,т = n1/2a,dn = 2ат2а-1. Имеем
b2a 2
. . f/ e2nkat 1 + (пкат )a+1/2\ „ .
1(к,у) =2а / -;-—гт^--v » . '- т2а~1(1т.
у J + (тг kot)a+1/2 е2жкат J
Пусть ед = 1/к и t + ед. ^ b2a. Тогда имеем
i+/fc / b \ (2a— 1)/(2a) const
I(k, y) > 2at2a~l / = const- f | J [l - e"4™] = у €
t
Получим оценку интеграла сверху. Введем новую переменную v = т — t. Запишем
/ \ 2
. . [ e2nkat 1 + (пкат)a+1/2\ 2a ,
I(k,y)^2a / ---—-г^г--v 0 , '- T2a~1dr =
v ,yJ J ^1 + (7Г kot)a+1/2 е2жкат J
2
=2a / {iXZ^ ■ +(rta(i+")r+I/2))(i+<
o
< const -J (V4nfcav • (nkav )2a+1) (b2a + v )2a—1 dv <
b 36 4'T
2a+n /,2a , Л2а—1 , _
^ const f (e-4^.(7ra/x)2«+l)(62a+/x)2«-ld/x = ^t) у €[0,6], fc € N,
к J к
o
так как последний интеграл сходится и не зависит ни от y, ни от k.
Оценка производных (17) доказывается аналогично с помощью дифференцирования и оценки интеграла (15). Лемма доказана.
Рассмотрим теперь определитель Вронского системы функций Yfc°(y), Yfcb(y):
dYb dY0
Wk(y) = Yk°(y)-^-(y)-Y^y)-^(y), у €[0,6], к € N. (18)
Лемма 3. Существует не зависящая от k и x постоянная W > 0, такая, что
W(y) < — W, y € [0,b], k € N.
Доказательство. Воспользуемся формулой Остроградского-Лиувилля. Положим y0 = = b/2, тогда
wfc(y) = wfc(У0) ■ exp I — J n mc(n)dn
У0
Как было замечено ранее, экспоненциальный множитель является в условиях данной задачи ограниченной и отделенной от нуля функцией. Таким образом, достаточно доказать требуемую оценку для определителя —(у°). В силу леммы 3 из работы [13] при достаточно больших номерах к оба решения у°(у) и У^(у) будут строго монотонными. В нашем случае справедливо У°(у) > > 0, ^у°/^у(у) > 0, уЬ(у) > 0, ¿уЬ/йу(у) < 0. Тогда в формуле (18) оба слагаемых являются отрицательными. Пользуясь леммами 1 и 2, можем оценить:
¿У6 ¿У° ¿У°
^Ы = ¥к°(уо)^-(уо) ~ < -¥ък{уо)^{уо) <
1 1 + (пкау1/(2а) )а+1/2 , е2п кау1/(2а)
^ ^ 1 1 + (Пкау° ) ^ , 1/а е 0 ^ ^ 1/а ^ „
----ТТ^55)^ '
Лемма доказана.
Функции Грина задач (3) имеют следующий вид:
---ГГГ-, 0 < у < 1] < 6,
о*(»,-Й=дай,,
Лемма 4. Существует постоянная С > 0, не зависящая от к и у, такая, что
С
yiGfcMltfrK^, у €[0,6], /г € N.
°
Для любого е > 0 найдется постоянная С'(е) > 0, не зависящая от к и у, такая, что
6
{y,v)
dy
C
dr) ^ —, у e[e,b], fee N. k
0
Доказательство. Применим полученные оценки лемм 1, 2 и 3. Тогда
b b n-m 1 1 + (nkan1/(2a) )a+1/2 e2nW/(2a) у |Gfc(y>i7)|^<y —.C-4^----C2^-1 + (7rfcayV(2»))»+V2^+
0 y
jv-m ! l + frkay 1/(2«) )«+1/2 e2^W/(2a)
0
dn ^
<
const
k
b
_1—m
1 + (vrfcar?17^)^172
e2nfcan1/(2a)
=2nfcay1/(2a)
1 + (nkay1/(2a) )a+1/2
dn+
y
0
1—m
1 + (n kay1/(2a) )a+1/2
e2nfcay1/(2a)
D2nfcan1/(2a)
1 + (nkan1/(2a) )a+1/2
dn
Особенность, содержащаяся в интегралах, является интегрируемой. Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 2, а также теоремы 8 из [14], получим оценку сверху через со^/к для каждого из интегралов. Тогда
|Gk(y,n)l dn <
const
y € [0, b], k € N.
0
Аналогично доказывается оценка
6
dGfc
dy
(y, n)
dn ^
С e ■ k'
y € [e, b], k € N.
Лемма доказана.
Полученных оценок лемм 1, 2 и 4 достаточно для доказательства теорем 2-4.
Теорема 2. Пусть правые части /к(у) задач (3) ограничены по норме пространства С2[0, Ь]. Тогда имеет место следующая равномерная по у € [0, Ь] оценка
Yfc (y) = O
k € N.
Для любого е > 0 имеет место асимптотическая формула
Yfc(p)(y) = —
тг2к2
+ O
1
k4—р
y € [e, b — e], k € N, p = 0,1, 2,
равномерная по у.
4. Теоремы существования решения задачи (1).
Теорема 3. Пусть правая часть /(х,у) задачи (1) имеет вторую непрерывную производную по у в О, при каждом фиксированном у € (0, Ь) принадлежит классу Гёльдера как функция переменного х. Тогда существует классическое 'решение задачи (1). Оно выражается рядом (2), который сходится абсолютно и равномерно в О, допускает двукратное почленное дифференцирование по х и по у внутри О.
Теорема 4. Пусть правая часть /(х,у) задачи (1) допускает разложение в сходящийся на отрезке [-Ь, Ь] степенной ряд по целым степеням у при каждом фиксированном х € [0,1], имеет вторую непрерывную производную по у в О, при каждом фиксированном у € (0, Ь) принадлежит классу Гёльдера как функция переменного х. Тогда существует классическое решение задачи (1), представимое в виде следующего ряда:
£
fc=i
^,0(y) + £ yn(2—m) ■ ^fc,n(y)
n=1
■ sin nkx, (x, y) € П,
который сходится абсолютно и равномерно в О, допускает двукратное почленное дифференцирование по х и по у внутри О, функции $к,п(у) аналитичны в и, $к,°(0) = 0, внутренний ряд сходится в А(и \ {0}).
b
Доказательства проводятся в полной аналогии с работами [11-14] и здесь мы их не приводим. Автор выражает искреннюю благодарность профессору И. С. Ломову за постановку задачи
и ценные обсуждения полученных результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырожденных уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. 77. № 2. С. 181-183.
2. Келдыш М.В. Избранные труды. Математика. М.: Наука, 1985.
3. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1979.
4. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985.
5. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988.
6. Ивакин В.М. Видоизмененная задача Дирихле для вырождающихся на границе эллиптических уравнений и систем / Аналитические методы в теории эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. С. 12-21.
7. П е т р у ш к о И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Труды ордена Ленина Математического института им. В.А. Стеклова. 103. Краевые задачи для дифференциальных уравнений. 1968. С. 181-200.
8. Петрушко И.М. О фредгольмовости некоторых краевых задач для уравнения ихх + уиуу + + а(ж, у)иу + в(ж,у)их + 7(ж, у)и = f (ж, у) в смешанной области // Дифференц. уравн. 1968. 4. № 1. С. 123-135.
9. Л о м о в И.С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. 1993. 29. № 12. С. 2079-2089.
10. Л о м о в И.С. Метод спектрального разделения переменных для нерегулярно вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов // Докл. РАН. 2001. 376. № 5. С. 593-596.
11. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Издательство Московского университета, 2011.
12. Е м е л ь я н о в Д.П., Л о м о в И.С. Построение точных решений нерегулярно вырождающихся эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами // Дифференц. уравн. 2019. 55. № 1. С. 45-58.
13. Е м е л ь я н о в Д.П., Л о м о в И.С. Использование рядов Пуассона в аналитической теории нерегулярно вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов // Дифференц. уравн. 2021. 57. № 5. С. 655-672.
14. Емельянов Д.П. Эллиптические дифференциальные операторы с аналитическими коэффициентами и линейным вырождением // Дифференц. уравн. 2022. 58. № 5. С. 607-627.
Поступила в редакцию 12.12.22 Одобрена после рецензирования 10.01.23 Принята к публикации 30.01.23
