Неизотермическое течение вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 3 (32). 2019

УДК 532

НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Н. А. Беляева, А. В. Надуткина

Построена математическая модель неизотермического напорного течения вязкой жидкости в круглой трубе. Численный анализ безразмерной модели основан на применении метода прогонки. Представлены графические результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: неизотермическое напорное течение, переменная вязкость, численный анализ, метод прогонки.

1. Постановка задачи

Рассматривается неизотермическое течение жидкости с постоянной вязкостью по каналу кругового сечения под действием постоянного градиента давления, направленного вдоль оси трубы z:

p = p(z), b = — = const. (1)

dz

Математическая модель [1] строится при следующих предположениях: считаем отличной от нуля лишь осевую составляющую скорости, зависящую в цилиндрических координатах от удаления r от оси трубы и

© Беляева Н. А., Надуткина А. В., 2019.

времени t:

V = (0, 0,V(r, t)); (2)

зависимость вязкости от температуры T = T(r, t) примем в виде

V = ^(T) = ^с exp(-в(T - To)), (3)

где T0 — температура окружающей среды, — значение вязкости при T = T0; жидкость несжимаема, то есть

р = const;

в рассматриваемом случае течения (2) условие неразрывности div V = 0 очевидно выполняется.

Из уравнения движения Навье - Стокса:

р

f + v)V

— gradp + ^AV + 2(gradV)V + grad^ x rot V

с учетом (1), (2) получим одну ненулевую проекцию на ось г:

дУ 1 д / ,_дУ ) ,

Уравнение баланса тепла с учетом диссипативного тепловыделения имеет вид:

ср («Т + ? ^ т) = сИк 8гаа Т) + ^ ™ , (5)

где параметры течения с — теплоемкость, р — плотность жидкости, к — коэффициент теплопроводности, будем считать постоянными; — вязкий тензор напряжений, который имеет одну ненулевую компоненту:

/ дУ

= МТ) дГ' (6)

В проекциях на оси цилиндрической системы координат из уравнения (5) с учетом (6) получим:

срдТ = к 1(гдТ) + мт)(2

дг г дг V дг 1 \ дг 1

(7)

Таким образом, соотношения (4) и (7), соответствующие начальные и граничные условия составят определяющую систему дифференциальных уравнений для нахождения скорости течения вязкой жидкости и температуры:

дУ 1 д / дУ \

(8)

начальные

дУ 1 д( дУ\ +.

с дт = к 1 д (гдТ \ + (т) (дУ \2

дг г дг \ дг ) \ дг / '

г = 0 : У = 0, т = т0

(9)

(10)

и граничные условия

дУ =0 дТ =0 (11)

дг г=0 , дг г=0 ,

У|г=л = 0, Т|Г=Д = То. (12)

Приведем систему (8) — (12) к безразмерному виду. Введем безраз-

мерные параметры:

9 = в(Т - Т0); х = -, 0 < г < Я; и

кг

я1

, т > 0; 5 =

У^0 ЬЯ2 ;

я4вь2

к

е =

срЯ2 к^0 с^0

тогда из уравнений (8) — (12) получим систему безразмерных уравне-

ний:

ди 1 д ди

е— = -— х ехр(-9) — + 1, дт х дх \ дх)

с начальными:

дв 1 д ( дв\ г . , — = - — х— + д exp(—в дт х дх \ дх

т = 0: и = 0, в = 0

ди\"

дх /

(14)

(15)

и граничными условиями:

ди дх

x=0

0 —

' дх

x=0

u|x=1 = 0, в|x=1 = 0.

(16) (17)

Здесь и — безразмерная скорость, 9 — безразмерная температура, х — безразмерная пространственная координата, т — безразмерное время, е и 8 — безразмерные параметры жидкости.

2. Метод численного решения

Применим метод прогонки [2] для решения задачи (13) — (17). Введем пространственно-временную сетку (х^ ):

0 = х0 < XI < х2 < ... < хп = 1,

Xi — хг-1 = Ах = const, i G 0..n; Tj = jАт > 0, Ат = Tj — Tj-1, j G 0..m

— временной шаг; заменим производные в уравнениях (13) ответствующими разностными соотношениями:

д/ ^ fi+1,j — fi,j д/ ^ fi,j — fi,j-1 - ^^ -, - ^^ -,

дх Ах дт Ат

д/ ^ /i+1,j — 2/i,j + /i-1,j

(17) со-

дх2

Ах2

0

из уравнения (13) получим:

Дт 1(к2,1- 1 + хг)

1 +---'А-'1-

е х,Дх2

_ Дт

= иг+1,^ 7 2 г

е х,Дх2

где

Дт к0,.7 — 1хг

е х, Дх2

Дт

(19)

е

значения функции берем с предыдущего слоя ^ — 1, так как они неизвестны:

= ехр(—9^_1),

1 = Дх — хг9г+1,^'-1 + хг 9г,^'-1 + хг-

Для нахождения сеточного значения функции по формуле (19) воспользуемся прогоночной формулой:

и,+1,^ = Е^и^- + , (20)

где Е+1, — прогоночные коэффициенты. Подставим (20) в (19) и

получим выражение для искомой функции в следующем виде:

Дтк0,.; — 1х,

^ = ^ ех,Дх2 + Дтк^_1(к2;;_1 + х,) — £г+1Дтк1а_1к2а_1 +

^¿+1,^ Дтк^ , , 1 + ех,Дх2д,а_1

(21)

ех,Дх2 + Дтк01а-1(к2а_1 + х,) — Е^Дт^,^^^' Воспользуемся следствием прогоночной формулы:

и^- = Е,и,_1,^ + , (22)

и из (21) получим выражения для прогоночных коэффициентов Е,, :

Е = _Дтк^_1хг_; (23)

' ех, Дх2 + Дтк^_1(к2?_1 + х,) — £';+1Дтк^_1к27_1'

„ =_Атк1>,--1к2>,--1 + ехЛх2д^-1_ (24)

г'7 = ех,Ах2 + Ат^-^- + х) - Е^Ат^-^-' ( )

Для уравнения (14):

Ат

1 + —г^ (Ах + 2х,) х,Ах2

Ат

Ат

9г+1,^-Т-^ (Ах + х) +

+ '7 х, Ах2

(25)

+ 9,— 1,7 д 0 х, + ^¿'7— 1)

'7 х, Ах2 '7

где

Ат

^'7-1 = 9,'7-1 + ах2 8к6»'7-1 (и2+1'7 — 2и,+1'7 + и2'7)-

Воспользуемся прогоночной формулой:

(26)

где С,+1, Н,+1'7 — прогоночные коэффициенты. Подставим (26) в (25) и получим выражение для искомой функции :

9 = 9 _Атх_+

,-1'7 х,Ах2 + Ат(Ах + 2х,) - С,+1 Ат(Ах + х,)

(27)

+ Н+17 Ат (Ах + х,) + х,Ах2^,'7-1 х,Ах2 + Ат (Ах + 2х,) - С,+1Ат (Ах + х,)'

Следствие (26):

9,,7 = С,9,-1'7 + , (28)

из (27) получим выражения для прогоночных коэффициентов С,, : с. =_^_ (29)

г х,Ах2 + Ат (Ах + 2х,) - С,+1Ат (Ах + х,)'

Н = Я,+1'7 Ат (Ах + х,) + х,Ах2^,'7-1 („о)

= х, Ах2 + Ат (Ах + 2х,) - С,+1Ат (Ах + х,)' ( )

Начальные условия (15) позволяют определить сеточные значения в нулевом слое:

и,'0 = 0, 9,'0 = 0.

В каждой точке ]-го слоя, двигаясь справа налево (от г к г - 1), определяем прогоночные коэффициенты (Е^Е^-), (С^Н,^) с учетом правого граничного условия (17), из которого получаем, что

ип,7 0) 9п,7 0)

но, с другой стороны,

следовательно,

ип,7 Епип-1,7 + ,

9п,7 Сп9п-1,7 + Нп,7,

Еп = 0) = 0)

Сп = 0) Нп,7 = 0'

Затем, двигаясь слева направо, с учетом левого граничного условия (16) находим целевые функции и0,7-, 90,7-:

и1,7 = ио,7, 91,7 = 9о,7 ,

с другой стороны,

ии = Е1ио,7 +

91,7 = С190,7 + ,

откуда

ио,

1,7

1 - Е

Н

1,7

1 - С1

Рис. 1. Пространственно-временное распределение скорости (а) и температуры (Ь); п = 50, Дт = 0.31, е = 100, 6 = 0.1; 1(т=0.31), 2(0.62), 3(0.93), 4(1.24), 5(1.55), 6(1.86), 7(2.17), 8(99.82)

3. Результаты численных экспериментов

На рис. 1а изображено пространственно-временное распределение скорости и(х,т), на рис. 1Ь пространственно-временное распределение температуры 9(х,т). Представлены (рис. 1а, Ь) некоторые результаты проведенного численного эксперимента при варьировании параметров задачи. В частности, варьировалось число точек разбиения пространственной оси п и временной шаг Дт. Установление стационарного режима при выбранных значениях параметров задачи совпадает с качественными исследованиями стационарных режимов течения, рассмотренных в работе [3].

Таким образом, в работе построена и обезразмерена математическая модель неизотермического напорного течения вязкой жидкости в круглой трубе. Составлены: алгоритм численного расчета, основанный на применении метода прогонки; программа численного анализа на языке С#. Проведен численный эксперимент при варьировании параметров задачи.

Список литературы

1. Беляева Н. А. Математическое моделирование : учебное пособие. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского госуниверситета. 2014. 116 с.

2. Беляева Н. А. Основы гидродинамики в моделях : учебное пособие. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского госуниверситета. 2011. 147 с.

3. Худяев С. И. Пороговые явления в нелинейных уравнениях. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

Summary

Belyaeva N. A., Nadutkina A. V. Nonisothermal flow of a viscous fluid

A mathematical model of the nonisothermal pressure flow of a viscous fluid in a round pipe is considered. The numerical analysis of the dimensi-onless model is based on the application of the sweep method. Graphical results of numerical experiments are presented.

Keywords: nonisothermal pressure flow, variable viscosity, numerical analysis, sweep method.

References

1. Belyaeva N. A. Matematicheskoye modelirovaniye: uchebnoye poso-biye (Mathematical modeling: a training manual), Syktyvkar: Publishing House of the Syktyvkar State University, 2014, 116 p.

2. Belyaeva N. A. Osnovy gidrodinamiki v modelyakh: uchebnoye posobiye (Fundamentals of hydrodynamics in models: a training manual), Syktyvkar: Publishing House of the Syktyvkar State University, 2011, 147 p.

3. Khudyaev S. I. Porogovyye yavleniya v nelineynykh uravneniyakh (Threshold phenomena in nonlinear equations), M.: Fizmatlit, 2003, 272 p.

Для цитирования: Беляева Н. А., Надуткина А. В. Неизотермическое течение вязкой жидкости // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2019. Вып. 3 (32). C. 20-30.

For citation: Belyaeva N. A., Nadutkina A. V. Non-isothermal flow of a viscous fluid, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2019, 3 (32), pp. 20-30.

СГУ им. Питирима Сорокина Поступила 25.11.2019