Фронтальная волна напорного течения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Математика. Механика. Информатика.

Выпуск 2 (23). 2017

УДК 519.62, 519.63, 532.5

ФРОНТАЛЬНАЯ ВОЛНА НАПОРНОГО ТЕЧЕНИЯ Н. А. Беляева, А.Ф. Яковлева

Строится неоднородное решение диффузионно-кинетического уравнения модели напорного течения структурированной жидкости в области немонотонности расходно-напорной характеристики. Решение соответствует гетероклинической траектории, соединяющей два устойчивых однородных состояния. Ключевые слова: напорное течение, однородные равновесные состояния, гетероклиническая траектория, бегущая волна.

1. Введение

В работе КПП, посвященной распространению доминантного гена [2], впервые представлено решение типа "бегущей волны". В дальнейшем подобные подходы были реализованы в задачах теории горения [4] и других областях математической физики, связанных с решением динамических задач, описываемых параболическими уравнениями [3].

В работах [4], [1] исследовано однородное напорное течение двухком-понентной структурированной жидкости с переменной вязкостью, определена область значений параметров задачи, соответствующих немонотонному характеру расходно-напорной характеристики и, соответственно, возникновению трех равновесных состояний. При этом два крайних состояния устойчивы, а среднее неустойчиво.

Целью настоящей работы является исследование неоднородного решения диффузионно-кинетического уравнения модели напорного течения в области немонотонности расходно-напорной характеристики. Решение соответствует гомоклинической траектории, т. е. траектории фазового пространства рассматриваемого движения, выходящей из одного состояния равновесия и входящей в другое состояние равновесия.

© Беляева Н. А., Яковлева А. Ф., 2017.

2. Постановка задачи

Рассмотрим безразмерную усредненную по радиусу модель напорного течения двухкомпонентной структурированной жидкости по трубе кругового сечения:

да да д2 а — + шь— = д^—т + 1 - а — ах ехр дт дх дх2 V 1 + Ла

дь

V

ди

б— =--

дт 1 + ла дх

с начальными и граничными условиями:

т = 0: ь = 0, а = а0, да, да, о

дх 'ж=0 = дх 'ж=1= ' Здесь (1) — диффузионно-кинетическое уравнение, (2) — уравнение движения, а — степень структурных превращений, ь — безразмерная скорость течения, и - давление, т - время, х - осевая координата 0 < х < 1, ш,д,х, Л > 0 — параметры жидкости.

(1) (2)

(3)

(4)

Д и

/У/

///

А и = V У //

/ /

/ / / \

/ / \

/ /

/ /

/ 1 / ,

/ / 2

/ / / 3

/ /У

/

/

р^г т , 7 т . г -1—•—г V 1 ' 1

Рис. 1. Расходно-напорная характеристика, 3: Л = 3,х = 0.18

В работе [1] методом фазового портрета проанализированы соответствующие системе (1) — (4) однородные решения а1 < а2 < а3 в области немонотонности расходно-напорной характеристики (рис. 1), определяемой уравнением:

Л

ДМ 1 +

1 + х ехр Ди

ь

где Ди = и (0) — и (1) — перепад давления. Показана устойчивость однородных равновесных состояний а\,а3, отвечающих возрастающим участкам расходно-напорной характеристики, неустойчивость состояния а2, соответствующего убывающему участку.

Выберем значения параметров жидкости х,А, скорость течения V, отвечающие немонотонному характеру расходно-напорной характеристики (рис. 1, кривая 3). При указанном выборе параметров исследуем диффузионно-кинетическое уравнение (1) на формирование неоднородных решений в трубе бесконечной длины, параметр 8 =1. Для поиска таких решений применим к уравнению (1) метод «бегущей волны». Введем переменную

£ = х + пт,

— то < £ < +то, —то < х < +то, т > 0,

где п — скорость волны. Тогда степень структурных превращений а будем искать в виде:

а = а(£) = а(х + пт). В этом случае производные искомой функции а запишутся так:

да ¿а д£ ¿а да ¿а д£ ¿а (5)

дт ¿£ дт П ¿£) дх ¿£ дх ¿£,

д2а д /да\ й /йа\ ¿£ C2а

дх2 дх \дх) ¿£\й£) йх й£2

Таким образом, исследуемая задача, то есть уравнение (1) и граничные условия (4) с учетом (5), преобразуются к виду:

сРа ¿а ( V \

¿£2 — (п + ^ ¿£ + 1 — а — аХ ^иТА^ =°, (6)

¿а | ¿а,

= • ( )

В общем случае функция а = а(£) описывает неоднородный переходный процесс между устойчивыми однородными состояниями а1 и а3, т. е. решения, удовлетворяющие условиям:

а(—то) = а1, а(+то) = а3, (8)

или

а(—то) = а3,

а(+то) = а1.

(9)

(10)

1 — а — ах ехр ( ^ + ^ I = ^ (х1, у),

Ш=<х-у)-

тогда уравнение (6) примет вид нормальной системы:

¿Х\

—2 = (п + шу) Х2 — ^ (Х1, у).

Точки равновесия системы (11) определяются условиями:

Х2 = 0, (п + шу) х2 — ^ (х1; у) = 0.

(11)

(12)

Сопоставление системы (12) и условий для определения точек равновесия однородного напорного течения [4], [1] показывает их совпадение при рассматриваемом фиксированном значении скорости течения и параметров жидкости, соответствующих области немонотонности расходно-напорной характеристики. Фазовым пространством систе-

мы (11) является плоскость (х1,х2). Нахождение неоднородного решения уравнения (6) между двумя устойчивыми однородными состояниями соответствует построению гетероклинической траектории (рис. 2), выходящей из одного устойчивого однородного состояния и входящей в другое устойчивое равновесное состояние, т. е. направление движения системы вдоль траекторий: из а1 в а3 или, наоборот, из а3 в а1.

01-

-01-

Рис. 2. Гетероклиническая траектория

3. Стоячая волна

Рассмотрим случай, когда ц = — шь, тогда уравнение (6) примет вид:

- п

^ + Р(а, ь) =0, (13)

Покажем, что в этом случае равны площади криволинейных трапеций Р1 и Р2, отсекаемые графиком функции у = Р (а,ь) (скорость ь фиксирована), между равновесными однородными состояниями, т. е. на отрезках а1 < а < а2 и а2 < а < а3 (рис. 3).

»1

Рис. 3. График функции у = Р (а, у), V = 6.08927, Л = 5, х = 0.18

Перейдем к переменным х1,х2 в соответствии с формулами (10), тогда (13) примет вид нормальной системы:

пх1

~АС = х2,

¿х = —Р (х, ,ь).

Разделим второе уравнение полученной системы на первое, получим:

-х2 Р (х1;ь)

-х1 х2

или

х2-х2 = —Р (х1,ь)-х1.

Проинтегрируем последнее выражение по отрезку от а1 до а3 :

«3 «3

/ х2^х2 = — Р(х1,у)^х1,

х2 ~2

«1 «1

«2 «3

«3

Р(х1,у)^х1 + у Р(х1,у)^х1

«2 У

«3

0=1 Р(х1,у)йх1 + / Р(х1,у)йх1. (14)

«1

«2 «3

«1 «2

а3 0.6 а

Л» 0.2

2

1 /

а, у _ -Г

-60 -40 -20 0 20 40 60

Рис. 4. Стоячие волны, V = 6.0893, Л = 5,х = 0.18

Вследствие того, что площадь трапеции

«2

= —J Р(х1,у)^х1, «1

из (14) следует, что площади трапеций равны Р1 = Р2, т. е. условие

П = —шу (15)

является условием равенства площадей. Уравнение (13) ввиду последней формулы соотношений (5) равносильно уравнению

Л2 а

^ + Р М)^ (16)

которое описывает стационарное течение — стоячую волну. На рис. 4 изображены стоячие волны, удовлетворяющие условиям:

1.а(—то) = а1, а(+то) = а3,

2.а(—то) = а3, а(+то) = а1.

<*3 а

<4 . (

-400 -»О -200 -100 Д IX 200 300 «00

Рис. 5. Л = 8, X = 0.3, ш = 0.001, п = 50

4. Бегущая волна

При нарушении условия равенства площадей (15) стоячая волна превращается в бегущую в форме волнового фронта. Этот случай соответствует модели (6), (7). Данная модель решается численно с использованием метода прогонки.

Рис. 6. Условия на рис. 5

Результаты численного анализа представлены на рис. 5 — 8. В случае П > 0 волновой фронт движется слева направо — реализуется случай, соответствующий рис. 5, 6: а(—<х>) = а3, а(+то) = а1.

Заметим при этом, что на рис. 6 осуществлен возврат к исходной переменной х и показано положение фронта в разные моменты времени.

В случае п < 0 волновой фронт движется справа налево — реализуется случай, изображенный на рис. 7, 8 и соответствущий условиям: а(-го) = а1, а(+то) = а3.

Таким образом, модель (6), (7) определяет семейство ограниченных монотонно возрастающих или монотонно убывающих решений, двига-

Рис. 8. Условия на рис. 7

ющихся в направлении оси х вправо или влево с постоянной скоростью П. При этом область распространения фронтальной волны достаточно узка.

Список литературы

1. Беляева Н. А., Сажина А. Н. Анализ усредненного напорного течения // Двадцать третья годичная сессия Ученого совета Сыктывкарского государственного университета имени Пи-тирима Сорокина (Февральские чтения) : сборник материалов / отв.ред. Н. С. Сергиева. Сыктывкар: Изд-во СГУ им. Питирима Сорокина, 2016. С. 60-69.

2. Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме. М.: Бюл. МГУ. Секция А, 1937.

3. Холодниок М., Кулич А., Кубичек М., Марек М. Методы

анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991. 368 с.

4. Худяев С. И. Пороговые явления в нелинейных уравнениях. М.:

Физматлит, 2003. 272 с.

Summary

Belyaeva N. A., Yakovleva A. F. Frontal wave of pressure flow

The model of a pressure flow of a structured liquid is analyzed. An inhomogeneous solution of the diffusion-kinetic equation is constructed in the region of nonmonotonicity of the discharge-pressure characteristic. This solution corresponds to a heteroclinic trajectory connecting two stable homogeneous states.

Keywords: pressure flow, homogeneous equilibrium states, heteroclinic trajectory, traveling wave.

References

1. Belyaeva N. A., Sazhina A. N. Analiz usrednennogo napornogo techeniya (Analysis of the averaged pressure flow), Twenty-third annual session of the Academic Council of Syktyvkar State University named after Pitirim Sorokin (February readings): a collection of materials / Otv.red. N. S. Sergiev, Syktyvkar: Publishing House of SSU. Pitirima Sorokina, 2016, pp. 60-69.

2. Kolmogorov A. N, Petrovsky I. G, Piskunov N. S. Issledovanie uravneniya diffuzii, soedinennoj s vozrastaniem kolichestva veshchestva, i ego primenenie k odnoj biologicheskoj problem (An investigation of the diffusion equation, coupled with the increase in the amount of matter, and its application to a single biological problem), Bul. Moscow State University. Section A, 1937, 633 p.

3. Kholodnik M., Klich A., Kubichek M., Marek M. Metody analiza nelinejnyh dinamicheskih modelej (Methods of analysis of nonlinear dynamic models), Moscow: Peace, 1991, 368 p.

4. Khudyaev S. I. Porogovye yavleniya v nelinejnyh uravneniyah (Threshold phenomena in nonlinear equations), M.: Fizmatlit, 2003, 272 p.

Для цитирования: Беляева Н. А., Яковлева А. Ф. Фронтальная волна напорного течения // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 2 (23). C. 3-12.

For citation: Belyaeva N. A., Yakovleva A. F. Frontal wave of pressure flow, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, 2 (23), pp. 3-12.

СГУ им. Питирима Сорокина

Поступила 20.06.2017