CC BY
14ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 2 (27). 2018
УДК 517.9: 532.5.032
СКОРОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО НАПОРНОГО ТЕЧЕНИЯ
Анализируется напорное течение структурированной жидкости с переменной вязкостью. Из уравнения движения получена аналитическая формула для определения стационарной скорости течения.
Ключевые слова: математическое моделирование, течение, жидкость, структурированная, напорное, стационарное, переменная вязкость.
1. Введение
В работе рассматриваются структурированные жидкости [1], относящиеся к классу неньютоновских жидкостей. Структурные превращения приводят к изменению вязкости текучей среды, качественному изменению её свойств. Подобные текучие среды используются в различных областях экономики, в том числе в технологических процессах формирования современных материалов [2; 3].
2. Модель течения
Рассмотрим течение двухкомпонентной структурированной жидкости между двумя параллельными симметричными плоскостями при заданном градиенте давления. Вязкость ц жидкости зависит [4] от степени структурных изменений а : ц = ц(а). Скорость течения определим вектором "V = (V(п,£), 0, 0) , п £ [-к, к]. Уравнение неразрывности (¿г" = 0 в этом случае выполняется. Скорость течения и степень структурных изменений определяются системой уравнений:
СТРУКТУРИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ Н. А. Беляева
р — + (V, у) " = -дтад,р + цА~" + 2 (gradц, V) "+
5 "
+gтadц х то , (1)
© Беляева Н. А., 2018.
да д
+ ■ дтайа = БЛа + Ф (а,7)
(2)
(1) - уравнение движения, ( 2) - диффузионно-кинетическое уравнение относительно степени структурных превращений.
Проекции уравнений (1), (2) на координатные оси приводят к следующей системе уравнений:
дУ д ( . ^дУ\ ,
рж = дпг(а) -щ) +Ь'
да ^ д2 а ж , .
т = V + Ф(а^,
(3)
(4)
где дгайр = (Ь, 00), 7 = д V/д'Ц- Вязкость ^ определяется [4; 5] соотношением
Ма) = та,
суммарная скорость превращения структуры есть
Ф (а, 7) = к.2
1 — а — а-к-0 ехр (ро^(а) + ^о72 к2
где Л,^2,к0,к2,р0,д0 — параметры жидкости. Начальные и граничные условия задачи:
Ь = 0 : а = а0, У
У
да
= 0, 7Г
п=ь дп
дУ = 0, 7Г
п=ь дп
п=о
' дп
да
п=о
(5)
условия симметричности течения относительно плоскости п = 0. В системе (3) — (5) введем безразмерные параметры:
^ ^2 а РО к2 Рк х = —, —1 ^ х ^ 1; т = ——, р = -; к =-:
к рп2 ^2 ^2
доЬ2к2 У^2, , у(а) Р1 = РоЬк; д\ = —^—; и = -¡^, V(а) =
1
2 №
Ьк2
^2
1 + Ла'
0
0
Задача (3) — (5) примет вид:
du д 2u 2 dadu
дт = v(a)dx — Xv(aTxTx + 1, (7)
да пд2a . л . л
= P~qX2 + к I 1 - а\ 1 + Xexp
ди (ди ppiv (а)^ + qi
дх \ дх
u
ди дх
u
x=0
т=0
0 да
x=i ' дх
0, а да
=0 дх
т=0
x=i
ао,
(8)
0. (9)
3. Стационарная скорость
Запишем соответствующую (7) — (9) стационарную задачу напорного течения:
, v d и О/ч da du _
V (а) dX2 - XV (а) dXdX + 1 = 0>
d2 а
+ к( 1 - a ^ 1 + X exp
du du 2
piv(а) dX +qi dX
(10) 0, (11)
du dx
u
x=0
0, а
x=l
da
= ао, ~r
x=o dx
0.
x=l
(12)
Рассмотрим уравнение движения (10). Введем обозначения:
Л, \ / \ (('^а ^(^и
х) =Хи(а)(X, у = (X,
тогда уравнение (10) примет вид линейного неоднородного уравнения первого порядка:
(13)
^т — f (x)y = —^ •
dx v(а)
(14)
Применим к решению полученного уравнения метод Лагранжа, метод вариации произвольной постоянной. Решение соответствующего однородного уравнения:
ddx — f (x)y = 0, y = Cexp | I f (s)ds | , C = const.
Тогда решение уравнения (14) будем искать в виде:
(г "
y = C(x) exp | / f (s)ds
2
Подставим (15) в уравнение (14), предварительно вычислив производную:
dX = C'exp | I f(s)ds | + Cexp | / f(s)ds | f(x),
тогда
1 ( x
C = - щехр (- 0f (s)ds
С(х) = — у (1 + Ла) ехр I — у /(э)йэ | <1х + Сь оо Преобразуем слагаемые правой части последнего выражения:
X X
/ (э)dэ = --——йэ = 1п(1 + Ла(х)) — 1п(1 + Лао);
] ] 1 + Лайэ
оо
еХР / /(э)йв| =1^•
Таким образом, для функции С = С(х) окончательно получим выражение:
С(х) = — у (1 + Лао)йх + Сь С(х) = —(1 + Лао)х + Сь о
Подставим найденную функцию в (15) - получим общее решение уравнения (14):
у =(С1 — х(1 + Лао))((11+Ла)) •
(1 + Лао)
Воспользуемся формулой (13) и первым граничным условием (12):
йи йи
dx dx
= 0,
x=0
тогда константа интегрирования C\ = 0, и, следовательно,
du ,Л . . — = —x(1 + \а). dx
x
x
x
Отсюда получим окончательное выражение для стационарной скорости напорного течения:
1
„(*)= / .(! + Аа)^ (16)
X
4. Некоторые результаты численного анализа
На рис. 1 (а, Ь), 2(а,Ь) представлены результаты численного анализа моделей (7) - (9) нестационарного и (10) - (12) стационарного напорного течений. При этом скорость установившегося течения (рис. 1(Ь)) определена по формуле (16). Для нахождения стационарной степени структурных превращений (рис. 2(Ь)), соответствующей скорости (16) и определяемой уравнением (11), применен итерационный метод Ньютона и метод прогонки.
Рис. 1. Изменение скорости: а) и = и(х,т); Л = 0.7, в = 0.002, к = 0.04, р1 = 0.05, д1 = 0.04; т : 1(120), 2(240), 3(360), 4(480), 5(600);
Ь) и = и(х)
Я 3-5 Я
■1 0 1-1 & 1
Рис. 2. Изменение степени структурных превращений: а) а = а(х,т); Ь) а = а(х); условия на рис. 1
Анализ динамики скорости нестационарного течения 1(а) показывает установление скорости (кривая 5), совпадающей со стационарной скоростью, характеризуемой графиком рис. 1(Ь).
Таким образом, первое уравнение задачи (10) - (12) допускает точное решение (16), что существенно упрощает, ускоряет и уточняет решение задачи анализа рассматриваемого напорного течения.
Список литературы
1. Беляева Н. А. Неоднородное течение структурированной жидкости // Математическое моделирование. 2006. Т. 18. № 6. С. 3-14.
2. Беляева Н. А., Столин А. М., Пугачев Д. В., Стель-
мах Л. С. Неустойчивые режимы деформирования при твердофазной экструзии вязкоупругих структурированных систем / / ДАН. 2008. Т. 420. № 6. С. 777-780.
3. Belyaeva N. A., Stolin A. M., Stelmakh L. S. Dynamic of SolidState Extrusion of Viscoelastic Cross-Linked polymeric Materials // Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2008. Vol. 42. No 5. Pp. 549-556.
4. Беляева Н. А. Основы гидродинамики в моделях : учебное пособие. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского госуниверситета, 2011. 147 с.
5. Беляева Н. А., Яковлева А. Ф. Фронтальная волна напорного течения // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 2 (23). С. 4-12.
Summary
Belyaeva N. A. The velocity of a stationary pressure flow of a structured liquid
The pressure flow of a structured liquid with variable viscosity is analyzed. An analytical formula for determining the steady-state flow velocity is obtained from the equation of motion.
Keywords: mathematical modeling, flow, liquid, structured, pressure, stationary, variable viscosity.
References
1. Belyaeva N. A. Neodnorodnoye techeniye strukturirovannoy zhid-kosti (The inhomogeneous flow of a structured liquid), Mathematical modeling, 2006, vol. 18, No. 6, pp. 3-14.
2. Belyaeva N. A., Stolin A. M., Pugachov D. V., Stelmakh L. S.
Neustoychivyye rezhimy deformirovaniya pri tverdofaznoy ekstruzii vyazkouprugikh strukturirovannykh sistem (Unstable modes of deformation during solid-phase extrusion of viscoelastic structured systems), DAN, 2008, vol. 420, No. 6, pp. 777-780.
3. Belyaeva N. A., Stolin A. M., Stelmakh L. S. Dynamic of SolidState Extrusion of Viscoelastic Cross-Linked polymeric Materials, Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2008, vol. 42, No. 5, pp. 549-556.
4. Belyaeva N. A. Osnovy gidrodinamiki v modelyakh : uchebnoye posobiye (Fundamentals of hydrodynamics in models: a manual), Syktyvkar: Publishing house of Syktyvkar State University, 2011, 147 p.
5. Belyaeva N. A., Yakovleva A.F. Frontal'naya volna napornogo techeniya (Frontal wave of pressure flow), Bulletin of Syktyvkar University. Ser. 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, 2 (23), 2017, pp. 4-12.
Для цитирования: Беляева Н. А. Скорость стационарного напорного течения структурированной жидкости // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2018. Вып. 2 (27). C. 3-9.
For citation: Belyaeva N. A. The velocity of a stationary pressure flow of a structured liquid, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2018, 2 (27), pp. 3-9.
СГУ им. Питирима Сорокина
Поступила 21.06.2018
