CC BY
18Вестник Сыктывкарского университета.
С ер Л. Вып.Л.4.2011
УДК 519.6
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ СТРУКТУРИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
МЕЖДУ ДВУМЯ ЦИЛИНДРАМИ1 Н. А. Беляева, А. С. Степанова
В работе численно решается задача закрутки жидкости с переменной вязкостью на примере структурированной жидкости. Частный случай рассматриваемого течения жидкости с постоянной вязкостью численно проанализирован в работе [1]. Получены вихревые образования вблизи оси закрутки, существование которых аналитически методом нахождения решений в виде рядов показано в работах [2, 3] для жидкости с постоянной вязкостью. Ключевые слова: численное моделирование, потенциальная закрутка, течение неньютоновской структурированной жидкости, переменная вязкость, вихревое течение.
1. Основные уравнения
Рассмотрим течение несжимаемой жидкости с переменной вязкостью, заполняющей пространство между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами радиусами Ях и Уравнение движения такой жидкости описывается уравнением Навье-Стокса [4-6], которое с использованием дифференциальных операторов имеет вид:
= —grad]9 + //АV + 2^гас1//, V) V + grad/i х то1У. (1)
Здесь V - скорость течения, р - давление, р - плотность жидкости, ¡л -вязкость жидкости. Считаем, что на жидкость действуют потенциальные внешние силы, поэтому р означает модифицированное давление, полученное из исходного прибавлением потенциала внешних сил.
1 Работа выполняется при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, ГК № 02.740.11.0618
© Беляева Н. А., Степанова А. С., 2011.
дУ
Уравнение (1) рассматривается совместно с уравнением неразрывности, которое для несжимаемой жидкости имеет вид
(ИуУ = 0. (2)
Примером жидкостей с переменной вязкостью являются структурированные жидкости [4, 5], простейшая модель которых представляет смесь двух компонент А\ и А2 взаимно превращающихся друг в друга: А1 о А2. Вязкость такой структуры находится по формуле
/ \ М2 Л М2 1
Ма) = , , Л =--
1 + Ла ¡1\
где а - доля структуры А1 в общей смеси , и - вязкости составляющих компонент жидкости, Л - коэффициент, характеризующий тип жидкости: Л > 0 - дилатантная, 1 < Л < 0 - псевдопластическая, Л = 0 - ньютоновская.
Для степени структурных превращений имеет место диффузионно-кинетическое уравнение [4]
да ->
—+ У-^а<1а = £>Да + Ф(а,7), (3)
С/ V
где 7 - скорость деформации, Б - коэффициент диффузии, Ф - суммарная скорость превращения структуры, определяемая соотношением
Ф(а,7) = к2<1-а
к
1 - ехр(роМаЬ + 4о72)
- параметры жидкости.
Будем рассматривать стационарные течения, в этом случае параметры жидкости не зависят от времени
дУ Л да Л
эГ 'Ж
Введем цилиндрическую систему координат (г, г), тогда вектор скорости V = (К? "Кр, Т4). Расмотрим случай течения несжимаемой жидкости с потенциальной закруткой вокруг оси симметрий
\¥
V = —
уч> т '
где \¥ - произвольная постоянная.
Перейдем к безразмерным величинам:
, Ri г . z . pW P-R2-R1
d= —,х = —,d<x <l,z = — ,0< z <z0,S = —— ,7г = —-,
it2 R2 R2 <4h Wp 2
VrRi VZRX , . p{a) 1
= 1ir>u«> = -rJT^' = =
w ' v W ' z W ' w Ai2 1 + Aa' D k2pR% P0P2W q0W2
p2 """ Д^2"" fc
Тогда система (l)-(3) относительно безразмерной скорости течения й = запишется так:
divu = 0, (4)
^ ^ 1 1^2 1
(й, V) й = —-grad7r + — An + - (gradz/, V) й + - (gradz/ х rot и), (5) о R о о
(da da \
Ux~dx +Uzf~dzi ) = PAa+k {1~a[1 + X exP (Pi^ (a) 7 + Qil2)] } • (6)
В последнем уравнении j есть скорость деформации:
duzr dux ^ дх dz'
Граничные условия полученной системы (4)-(6):
ux\x=d,l = V>x\z'=oiZo' =
Uz'\x=d, 1 = 0> UAz'=iW=0> da
dz'
= 0.
Запишем уравнения (4), (5) в проекциях на координатные оси:
Ux дих duzi
X дх dz'
дих dz' и 2 а<р X 1 дтг S дх
ди + д^ диЛ 1
dz' )
dux и^2 1 дтт v( их\
их - -—- + • —----Ь - • — = - [ Аих--- +
ox oz' X о ох о \ х1 /
и.
диу
дх
диу
дг'
х о \ г.
(7)
2 / ди диш ди дии
5 \дх дх дг' дг' диг>
1 ди дии
5 дг' дг'
1 ди
5 дх
и
X
диу
дх
и.
дх
+ иг
диг> 1 дтт и
—- + ---= - • Ащ> +
дг' 6 дг' 6
ди диг/
ди диг/
дх дх дх1 дх1
1 ди ( ди
Здесь
а
и^ — —, 7Г = 7Г (х, г')
6 дх \ дг' ¿а2
диг> дх
(8)
х ' ' 2х2'
где а - произвольная постоянная пропорциональная IV, 7г(х, г') - новая искомая функция давления.
Из третьего уравнения системы (7) с учетом (8) следует, что степень структурных превращений а является функцией лишь осевой координаты, т.е. а — а(г').
Введем [2] функцию тока ф по формуле:
¿ф — хи^Ах — хихАг\
тогда
1 дф 1 дф
х о г' х ох
В этом случае первое уравнение системы (7) автоматически удовлетворяется. Второе и четвертое уравнения системы (7) запишутся следующим образом
1
х°
дф д^
1 д2ф дф 1 дф д2ф 1 дтт х2 дхдг' дг' х2 дх дг'2 5 дх
и
~5
1 д2ф 1 д3ф 1 д3ф
х2 дхдг'
и
1 дф
х3 дг' 1 дф
х3 дх
+
дф
дх
х дх2дг'
1 ди (д2ф
5х дг' \ дх2
1 д2ф
х дг'3 д2ф
+
1 ди
х дг'
д2ф'
+
+
1 дф
х дх
х2 дхдг'
дф дх
1 д2ф 1 д3ф 1
дг'2
1 дф д2ф
х2 дг д3ф
х2 дх2 х дх3 х дг'2дх
дх2 2
+
1 9тг _ + бдг1 ~ 1 ди д2ф х дг' дхдг'
(9)
Введем функцию где Ь - оператор Стокса:
О — 1/0,
д2 д2 +
1д_
х дх
дх2 ' дг'2
Будем рассматривать частный случай течения при условии, что
о — о (х) .
Дифференцирование первого и второго уравнений системы (9) по г' и по х соответственно, последующее вычитание одного выражения из другого позволяют исключить давление тг и получить из соотношения (9) систему следующего вида:
д2ф д2ф 1 дф дх2 дг'2 х дх '
д2
о
дх2
1 — 8 {I + Ха) ( 1 ^ х дх V х дг' дх
2а д
х*
(10)
2Л2
Л
д2с
да \
~дг') 1 + Ха ' д^2
(1 + Ха)2
После введения функции тока ф и функции а уравнение (6) относительно степени структурных превращений примет вид
, д2а
1 дф да
х дх дг'
где
= /З^д + /г {1 - а [1 + X ехр (рхид + Я\д2)] } , д2ф'
9 = -\ <г
х \ дг'2 /
Тогда с учетом (10) система для определения функций ф и а, а принимает вид
а =
д2ф д2ф 1 дф
дх2 дг'2 х дх'
д2о 1 до / 1 дф да
дх2 х дх \ х дг' дх
2а дф_ ~ ' дг'
+
2Л2
(1 + Ха)'
X
д2
а
да \
~дг') 1ТХа ' дг72
х£
а-2
(П)
д2Ф
~д72
1 дф да
х дх дг'
/3^72 +к{1-а[1 + хехр (р^д + qlg2)] } .
Соответствующие граничные условия течения:
дф
дх
= 0
да
Для определения функции тока ф из системы (11) необходимо знание функции а и распределение степени структурных превращений а. Для численного нахождения последней воспользуемся итерационным методом Ньютона [4, 5] и последующим уточнением а — а(г') методом прогонки [7].
Найдем нулевое приближение а0 для стационарной степени структурных превращений из условия
^д2ф ф дф ф дг'2 ' дх
Тогда третье уравнение системы (11) примет вид
+ к [1 - а0 (1 + Х)] = 0,
причем а0 (г7) удовлетворяет граничным условиям
да д^
Введем прямоугольную сетку
О, = \vjij — (xi^ г^), XI — г • Дх, г'^ — ] • Аг', г = 0,..., п, ^ = 0,..., т} .
Приближение а0 (г7) находится методом прогонки по прогоночной формуле
0.
(12)
г'=0,го'
= С^а!} + Н.
Ъ'+ь
(13)
В силу граничного условия (12)
ат ат—15
следовательно, = 1, Нт = 0. Оставшиеся прогоночные коэффициенты определяются по рекуррентным формулам
/3
0] ПС3+гУ
Н:,=
+ «(А*
^ е т — 1 : 1.
.А 2
Здесь
= /5(2 - + к(Д^')2(1 + х).
Нулевое приближение степени структурных превращений вычисляется по формуле прогонки (13) для ] — 1, ...,т, причем
ао =
1-^1
Рассмотрим второе уравнение системы (11). Формула прогонки для функции тока запишется так:
^1,3 + 1 — Qi,j+lrфij +
Прогонку будем проводить по индексу Для вычисления прогоночных коэффициентов (Зы+ъ ^¿,¿+1 воспользуемся следующими рекуррентными формулами:
^ = Р|
кг Е п — 1 : 1,
где
= ¿ДяД*'^ + XaJ)\sг(2Ax-xг)+sг_1xг)-2(Ax)2xг2(QhH1-2)'AJ,
Рг = ¿АхА;^ + Аа,)3 (^ (2Ах - х{) + ё^х^ + 2(Ах)2х2 • А^
^2(^+1) = й - (Ах)2х2А3 {¿г - 2^+0 ,
= (Д*')2^, (14)
£. = (! + \а^)2(Аг')2Х1 [ё^х^ - ^ [2х{ + Ах) + (х{ + Ах)],
А] — 2А2(а^- — а^-х)2 — Л (1 + Аа^) (%+х — 2а^ + а^-х).
Записав первое уравнение системы (11) в разностных соотношениях, получаем явную схему для определения сг, которая с использованием обозначениий (14) запишется так:
Бг = (Ах)2XI (^¿¿+1 - + ф^-г) +
(Аг')2 (фг+1,э - + фг-1,э) - Ах(Аг')2 (ф^ - ф^)
(Ах)2 - х1
Для нахождения следующего приближения степени структурных превращений воспользуемся третьим уравнением системы (11). Прого-ночная формула примет вид
аЭ + 1 — (*э + 1аэ + ^7 +1?
где прогоночные коэффициенты отпределяются из следующих рекуррентных соотношений
' Ст — 1, Нт — 0, ^ Вг
3 В(0Н1у
В2(Н3+1) 1 В{03+1) ' ^ г £ п — 1:1.
Здесь
= 6Аг' - фг-и) - /ЗхгАх - 2) + кхгАх(Аг')2 (1 + хехр (Агд, Вх = 8Аг' (ф^ - фг-1^) + /ЗхгАх, В2(Нт) = РхгАхНт + кхг Ах(Аг')2, Р1_{_I
1 + \cij-i \ Хг(Аг'У
Лг9г,з = л , Л. 1 .. ,.А2 • [й - 2 • (Фм+1 - 2Фм + Фм-1)]
+чА ,1 .ч 2 • - 2 • {Фг,3+1 - + Ф4-1)]
Результаты численного анализа при следующих значениях параметров задачи
с1 = 0,05,20 = 0,1, с = 0,3,5 = 100, Л = 0, 7,
/5 = 0, 01, к = 1, 2, х = 0, 0001, £>1 = 0, 001, ql = 0, 00001
представлены на рис.1-3. На рис.1 показаны линии тока ф, на рис. 2, 3 -распределение степени структурных превращений (нулевое и уточненное). Сравнение полученных численных результов с результатами работ [1-3] показывает существование вихревых образований вблизи оси закрутки; изменяющаяся вязкость жидкости приводит к усилению указанных вихрей по сравнению с постоянной вязкостью.
1(0,34), 2(0,28), 3(0,2), 4(0,17), 5(0,11), 6(0,09), 7(0,06), 8(0,03), 9(0,01), 10(0)
а
Рис. 2. Нулевое распределение степени структурных превращений а0 = а°(г')
Литература
1. Степанова А.С., Беляева Н.А. Численное решение осесиммет-ричных течений вязкой жидкости //Материалы II Всероссийской научно-методической конференции. Сыктывкар: Сыктывкарский государственный университет, 2011. С. 3-11.
2. Шмыглевский Ю.Д., Щепров А.В. Точное представление некоторых осесимметричных вихревых образований в вязкой несжимаемой жидкости // ДАН, 2003. Т. 393. № 4. С. 489-492.
3. Щепров А.В. Получение аналитических решений уравнений Навье-Стокса для осесимметричных и плоских течений вязкой несжимаемой жидкости // ДАН, 2004. Т. 394. № 5. С. 626-630.
4. Беляева Н.А. Математические модели деформируемых вязкоупру-гих структурированных материалов: Монография. Сыктывкар: Изд-во СыктГУ, 2008. 116 с.
5. Беляева Н.А., Размыслов Р.Ю. Сдвиговое течение структурированной жидкости // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: Тр. научн. школы акад. В.В. Новожилова. СПб: СПбГУ, 2005. Вып.8. С. 186-193.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.:Наука. 1988. 736 с.
7. Самарский А.А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.-М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. - 432 с.
Summary
Belyayeva N. A., Stepanova A. S. Flow of viscous structure fluid among two cylinders
Presents the second part of the article (the first part was published in the [1] devoted to the impact assessment transient viscosity on flow map of incompressible structure fluid among two cylinders with swirl. The state [1] analyze stationary axial flow of incompressible fluid with constant viscosity, it present numerical solution and checking findings with theoretical researchwas presented in [2-4], where vortex deduced analytically by method solution determination in view of polynoms.
Keywords: numerical modeling, potential turning, non-Newtonian structural flow, variable viscosity, rotational flow.
Сыктывкарский университет
Поступила 11.10.2011
