Разностные схемы уравнений Навье-Стокса в переменных «Функция тока-вихрь» и их решение мотодом прогонки с использованием дробных шагов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Асламова В. С., Мусева Т. Н. УДК 519.6

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ УРАВНЕНИИ НАВЬЕ-СТОКСА В ПЕРЕМЕННЫХ «ФУНКЦИЯ ТОКА - ВИХРЬ» И ИХ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ПРОГОНКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДРОБНЫХ ШАГОВ

Закрученные потоки нашли широкое применение в технических устройствах для интенсификации тепломассообменных и сепарационных процессов в поле действия центробежных сил (сушка дисперсных материалов, обеспыливание воздуха, энергоразделение в трубках Ранка и т.д.). Будем рассматривать закрученные потоки, в которых завихренность первоначально создается при помощи аксиального лопаточного аппарата, установленного на входе в прямоточный циклон. В работе исследуется течение, в котором завихренность постепенно уменьшается по мере продвижения вниз по потоку. В отечественной литературе уровень начальной завихренности определяется заданием величины К = wmax / и шах, где ^шах, ишах - максимальные тангенциальная и осевая компоненты скорости в аппарате [1].

Большинство технических устройств (циклоны, турбомашины, компрессоры, насосы) являются телами вращения, имеющими ось симметрии. Поэтому течения, рассматриваемые в этих устройствах, являются осесимметричными. Задача экспериментального измерения компонент скорости потока в циклонных пылеуловителях трудно реализуема на практике из-за конструктивных особенностей циклона (малая величина кольцевого зазора сепарационной камеры), отсутствия доступных и надежных измерительных приборов. Получим компоненты скорости потока в результате численного решения задачи об осесимметричном закрученном течении газопылевого потока.

Осесимметричное движение с вращением описывается системой уравнений Навье-Стокса в частных производных, аналитическое решение которых затруднено из-за их нелинейности. Для решения таких задач применяется «явный» и «неявный» метод установления [2]. Этот метод упрощает решение многих стационарных задач мате-

матической физики, описывающих равновесные состояния, интерпретируемые как результат развивающегося во времени процесса. Идея решения стационарных задач методом установления состоит в том, что вместо стационарной задачи можно решать нестационарную задачу до того времени, пока ее решение перестает меняться в пределах интересующей нас точности.

В нашей работе уравнения движения были аппроксимированы центральными разностями, решались методом прогонки [3] с использованием метода дробных шагов (метод покомпонентного расщепления). Основой построения рассматриваемых схем является разбиение расчета на одном шаге по времени т, т.е. перехода от /-го к /+ 1-му слою на отдельные этапы. Такие разностные схемы называют схемами расщепления или схемами дробных шагов. Одной из таких схем, используемых для решения задач при наличии двух пространственных переменных, является схема переменных направлений или продольно-поперечной прогонки. Суть этой схемы состоит в том, что шаг по времени т делится на два полушага. На первом из них вторая производная по одной из координат аппроксимируется на промежуточном слое /+1/2, т. е. используется неявная аппроксимация; в этом случае вторая производная по другой переменной аппроксимируется на /-м слое, т.е. явно. На втором полушаге наоборот - неявная аппроксимация используется по другому направлению [3].

При постановке задачи расчета закрученного периодического течения газопылевого потока (жидкости) в сепарационной камере прямоточного циклона приняты следующие допущения: течение является всюду осесимметричным, что подразумевает отсутствие градиентов в окружном направлении и согласуется с работами [4, 5, 6]; гравитационная сила существенно меньше центробежной

[7]; жидкость является вязкой и несжимаемой; режим движения ламинарный. Следует заметить, что вблизи стенок циклона в пределах пограничного слоя концентрированный газопылевой поток можно считать вязкой несжимаемой жидкостью.

Тогда уравнения Навье-Стокса в цилиндрических координатах (х, г, ср) примут следующий вид [8]:

ди ди 1 дР и

и--+ V— =----1—Ди ,

дх дг р дх р

дv дv w2 1 дР и ( , V

и — + V---=---+—I Дv - —

дх дг г р дг р\ г

dw dw w

u--+ v--+ v—

dx dr r

Vi A W

-I Aw - "Г

P\ r

л д2 д2 1 д

где Д = —^ + —^ +----оператор Лапласа, u,v,

дх2

дг r дг

В'

С

А А'

"d ^

w - осевая, радиальная и окружная компоненты скорости, Р - давление, и - динамическая вязкость, р - плотность.

Решение будем искать для части цилиндрического корпуса прямоточного циклона (ПЦ), ограниченную сечениями АВ и СБ, перпендикулярными оси х (рис. 1). На участке ЕБ изменяется закрутка потока с помощью механических устройств, различных сопловых ускорителей, за счет расширения или сужения потока. Интенсивность закрутки потока будем характеризовать локальным параметром закрутки, который приблизительно равен тангенсу угла наклона потока в области пристенного течения: tgр = w /и [9]. Для

рассматриваемого циклона участок ЕБ соответствует наличию промежуточного отбора (ПО) пыли. ПО оказывает существенное влияние на структуру закрученного потока и процесс сепарации пыли.

Рис. 1. Сепарационная камера ПЦ с промежуточным отбором пыли

Вследствие прилипания частиц жидкости к неподвижным стенкам циклона их осевая и радиальная компоненты скорости будут равны нулю. Это равносильно требованию равенства нулю

нормальных и касательных производных функции тока на стенке. Тогда граничные условия запишутся следующим образом:

u = 0 , v = 0, w =w0 на BE и FC;

u = 0 , v = 0 , w =w1 на EF;

w0 = const, w1 = const, где w0, w1 - величины окружной компоненты скорости после аксиального лопаточного аппарата и промежуточного отбора соответственно.

Практически все сепарационные устройства являются симметричными, поэтому в качестве граничных условий на оси аппарата (r = 0) используем соотношения: 3u/дr = 0, v = 0, w = 0 на АБ, что полностью согласуется с граничными условиями в работах [5, 10].Для рассматриваемых сечений АВ и СБ будем задавать условия периодичности, зависящие от периодической формы сечения канала. Для осевой компоненты скорости эти условия примут вид:

u (х,, rфф) = u (xD, r,ф), ^^^ J^^.

дх дх

Аналогично записываются условия периодичности

для радиальной и окружной компонент скорости.

Опыт численного решения уравнений газовой динамики, в том числе и уравнений Навье-Стокса, показывает, что лучшими разностными схемами являются дивергентные (консервативные) схемы, построенные на основе интегральных соотношений или уравнений движения в дивергентной форме. Для этих схем выполняются разностные законы сохранения. Это дает физически более обоснованный результат [2, 11]. Поэтому будем составлять уравнения для функций тока Y , вихря скорости Q, момента импульса Ф в дивергентной форме.

Уравнение для момента импульса Ф единицы массы жидкости относительно оси симметрии х в дивергентной форме получаем из уравнения баланса для момента импульса на среднем радиусе rcp элементарного объема в цилиндрических координатах (Дх, Дг, Д^) (рис. 2): (rхu)х = w-r = Ф .

Из закона сохранения момента импульса, согласно которому изменение момента импульса элементарного объема в единицу времени равно моменту приложенных сил, следует

d(р- Дх • Дг - г -Дф-w-r) =

dty p '

= т

1хф cp

rcl ■ Дг■ ДФ~Т2хф • rCPp • Дг■ ДФ +

+т.

3гф

■ r2 ■ Дф- Дх - т4 гф ■ Дф- Дх- (г + Дг )2,

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

+т

3гф

■ г2 ■ Аф ■ Ах - т4ф ■ Аф ■ Ax ■(г + Ar)2.

Разделив последнее уравнение на элементарный объем, и выполняя предельный переход при стремлении объема к нулю, получим

д

(гиФ) + -д-(rvO)=dX(r%) + d-(r%) .

д ( w

Тф=М-r-—\ -\ = ^\-■

1 дФ 2-Ф

J_ Re

д 2Ф ~дхГ

д( дФ

—\ r--2Ф

дr I дr

А\фдЧ

дх I дr

--\ Ф-\ = 0,

дr I дх

(2)

где Яе = риЯ / / - число Рейнольдса.

Дивергентная форма уравнения Ламба-Громеки для завихренности в случае несжимаемой жидкости запишется в форме:

Рис. 2. Элементарный объем жидкости в цилиндрических координатах

где z1xv, т2xv - касательные напряжения на гранях

элементарного объема с абсциссой х и х + Ах; r3rp,r4rp- касательные напряжения на криволинейных гранях радиусов r и r + Ar элементарного объема.

Для установившегося движения элементарного объема единичной массы

|(и ■ rcp ■ ф)1 - (и ■ rcp ■ ф)2 J ■ Ar ■ Аф + + [(v^r ■ Ф)3 - (v ■ r ■ Ф)4 J ■ Ах ■ Аф =

= т1хф'г1 ■ Аг ■Аф Т2хф ■rl ■Аг ■ Аф +

-и ха = -v[ — и + P |—— ■(Vxi3) , I 2 ) Re ^ >

(3)

где У = / — + ] — + - - оператор Гамильтона.

дх дг дф

Применим к обеим частям уравнения (3) оператор

rot и учитывая, что rot

P + и /21 = 0, полу-

чим

rot (и х а) = —Re ■ rot rot а

(4)

где rot а = V х а .

В координатной форме уравнение (4) для окружной компоненты а угловой скорости а

имеет вид: д

—(и ■ а,) +—(v■а,)-1—(w2)

ЙУ V ф > Яг V ф ф V Яv V )

дх

дr

1 i д2а. д

Re

2 ■ + дх дr

r дх

-—(г а ) r дЛГ 'аф'

(5)

Для приведения полученного уравнения к дивергентной форме используем связь компонент скорости с функцией тока и касательных напряжений с моментом импульса в цилиндрических координатах [12]:

и = 1/ г -дЧ/дг, V = -1/ г -дЧ/дх, (1)

где компонента соф характеризует вращение частиц относительно оси, которая имеет форму окружности (кольцевой вихрь). Вводя функции Ч, Ф, О = соф / г, после умножения уравнения (4)

на Яе/ г , получим уравнение в дивергентной форме для определения функции О :

д2О 1 д

дх r дr

1£ ( г 2 ■о)

r дг

- Re^r дГ

r дх I дг

Re д (дЧ +--\ О-

r дг I дх

г г' дг ^ г ) г~ ^ г дг г2 тхф = / д№/ дх = / г - дФ/дх.

Перейдем к безразмерным координатам, выбрав в качестве масштабов среднерасходную скорость и потока в плане циклона и радиус сепара-ционной камеры циклона Я : и' = vx/U;

V = Vr|и; w'= vф|и ; х'= х/Я; г' = г/Я. Для

удобства далее везде штрихи будут опущены. Тогда дивергентная форма уравнения для момента импульса примет вид

■Re I (ф2 ) •

^ <6)

г дху '

Дивергентную форму уравнения для функции тока Ч находим, исходя из связи окружной составляющей ротора с проекциями скорости

гМ^и = д^/дх - ди/дг, формул (1), введенного обозначения О:

1 д2Ч д (1 дЧ

= г ■О.

г дх2 дг ^ г дг

Умножив уравнение (7) на (-г), получим

д2Ч д (1 дЧ . . _

—г + г—\---\ = -г ■О .

дх дг I г дг

(7)

Зададим для уравнений (2), (6), (8) граничные условия. На оси симметрии сЧ/ дх = 0, следовательно, Ч = const. Так как функция Ч определяется с точностью до постоянной, то положим ее равной нулю Ч = 0 на АБ, условие прилипания: дЧ/дг = 0 на BE и FC.

((дх - du/дг) = av = г - Q = 0 на AD;

на неподвижном участке EF стенки промежуточного отбора в силу ее непроницаемости дЧ/дг = 0 , следовательно,

Ч = const =1 на BE, EF, FC, так как в качестве характерной скорости принята средняя скорость в плане циклона.

Граничные условия для функции Ф: Ф = 0 на AD, Ф = R0 на BE, FC, Ф = R01 на EF,

где R0 - параметр закрутки, который определяет значение окружной компоненты скорости на входе в сепарационную камеру циклона после аксиального лопаточного аппарата, R01 - параметр раскрутки потока.

Условия периодичности на сечениях АВ и СБ для функции Ч :

Ч (х,, r ,ф) = Ч (хд, r ,ф), дЧ (хА, r ,ф)/дх = дЧ (хв, r ,ф)/дх ' Аналогично выглядят условия периодичности для функций Ф и Q . На стенках циклона граничные условия для функции Q можно не определять, так как фактически уравнение (8) является выражением функции Q через функцию Ч . Поэтому систему трех уравнений (2), (6), (8) можно свести к системе двух уравнений.

Постановка задачи течения вязкой несжимаемой жидкости в терминах «функция тока-вихрь» обладает той особенностью, что граничные условия задаются для функции тока, а не для вихря, который определен лишь внутри области [14]. Для преодоления этой трудности используем метод расчета граничных условий В.Н. Полежаева и В.Л. Грязнова, пригодный для стационарных и нестационарных задач и обладающий, в сочетании с неявными схемами переменных направлений, более быстрой сходимостью [14]. Согласно этому методу граничное условие для вихря будем ставить внутри основной области, отступив от входного сечения (границы) на один шаг. Поэтому введем вспомогательные сечения А'Б', CD', параллельные сечениям АВ и СБ (рис. 1). Тогда условия периодичности для функции Ч запишут-

ся:

Ч(,г,ф) = Ч(хд ,,г,ф),

дЧ (хл,, г, ф)/дх = дЧ( хв,, г, ф)/дх

Аналогично выглядят условия периодичности для функций Ф и О.

В меридиональной плоскости введем равномерную сетку с узлами

х. = у ■ Дх = у • I; г = 7 • Дг = 7 • И;

7 = 0,1,.., М +1; у = 0,1,..., N +1;

®„ = <

l = Дх = -

1

! = Дг = -

1

N +1 М +1

Здесь И, I - расстояние между соседними узлами сетки по осям г и х соответственно, N+1, М+1 - число узлов по осям г и х.

Обозначив левые части уравнений (6), (2), (8) соответственно через АО, ВФ, СЧ, и заменяя частные производные первого, второго порядка и смешанные производные центральными разностями по известным формулам на шаблоне «крест» [11, 13, 14], получим следующие разностные уравнения со вторым порядком точности относительно Ах и Дг:

АиО = -^-(Ф2); Ви Ф = 0; Си Ч = - г2 О,

г \ / х

где (Ф2)х = (ФУ -Ф2,-¿/(¿Дх).

Расписывая операторы АИО, ВИФ, СИЧ , по-

лучим:

Q, 2Qi, о. . 1 (i +1)2

Ah Q =—i^1--^ + + У ' Q. 1 ,

h l2 l2 l2 h (i +1/2) .J

2i3Q,,, (i -1)2 „ Re

Q, 1, +—HQ, 1 х

1-1, J /l,'7„27L 1, J-1

h (i2 -1/4) h (i -1/2)' -'>J 4ihv

х(Чi+1,J-1 - Чi-1, j-1 ) - Qi,J+1 (Ч i+1,J+1 - Ч i-1, j+1 ) + +Qi+1,J (Ч1+1,J+1 - Ч1+1,J-1 ) - Qi-1,J (Ч1-1,.

1, J+1

^i -1, J 1 )] =

Re

2i4 hAl

(Ф2 . 1 -Ф2 . 1 )

Bh Ф=Ф^ - 2Ф,+ii-1/2) ф 1,

h l2 l2 l2 h i+1,J

2Ф,. j (i +1/2) Re r/T4 /

--— + --'—Ф. , . +-[Ф . , (Ч. , . , -

h2 ih2 i -1,J 4ih2l i,Ji+1,J-1

-Ч1 -1,J-1 )-ф,J+1 ((+1,J+1 -Ч1 -1,J+1 ) + Ф1+1,J X

х(Чi+1,J+1 -Чi+1,J-1) фг-1,j(Ч,-1,j+1 -Чi-1,J-1)] =0;

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Ч

СИ Ч=-У

2Ч Ч

^ Т 7,у Т 7, У-1

+-7— + -

7Ч

7 +1, У

12

Ч -

т 7-1,1

12 272

И2(7 +1/2)

_Ч =-И 27 2О И2(72 -1/4) Чу И7 Чу.

И2 (7 -12)

Здесь полуцелые индексы относятся к центру соответствующей ячейки, а целые - к ее граням.

Граничные условия будем задавать в соответствии с поставленной задачей:

Ч = 0- Ч = 1 У = 01 N +1

т0,у ТМ +1,у J ^,1,..., УУ "Г I,

Ф 0,у = Ф м+1,у = ^

если

У = 0,1,..., Ц

у = Ц, А+1,..., N +1

Ф0,у = 0; Фм +1,у = ^01, если Ц < у < Ц.

Граничное условие для О задаем не на стенке циклона, а отступив от нее на один шаг сетки, учитывая условие прилипания Чм+1 у = 1:

Ом, у =

2М

- + -

(М2 -14)И4 И2М212 I 1

Ч -

ТМ,у

М(М + 1/2)И4 М(М - 1/2)И4

Ч

М -1, у

1

■[Ч

М +1

Ч

М, у-

1

Ч =Ч - И

М,у М+1,у I дг

+ -

М+1, у

2

дг2

УМ+1, у

, ЗЧ

Ч =Ч - 2И

М-1, у М+1, у I зг

М +1, у

,2 АЛ2шЛ

+4— 2

д2 Ч дг2

+ 0(И3).

(9)

(10)

/М+1, у

Умножив разложение (9) на 4, и вычтя из него разложение (10), получим

( зч

4Ч -Ч = 3Ч - 2И —

, у ТМ-1, у М+1, у Зг

С учетом условия (дЧ/дг )

М +1, у

М+1,у

=0, оконча-

тельно имеем

ся на каждом временном шаге. При этом существенно, что условие прилипания и условие для функции О ставятся на разных границах, так как использование этих двух условий по одной и той же границе переопределяет нашу задачу и при численном решении может привести к снижению точности.

Из физических соображений, заключающихся в том, что величина осевой компоненты скорости намного превышает радиальную, было получено достаточное условие устойчивости используемых разностных схем: ЯеИ < 2, где сеточное

число Рейнольдса ЯеИ = тах {И Яе| их|, И Яе |иг |},

при котором коэффициенты уравнения (14) неотрицательны и выполняется принцип максимума.

Запишем схему покомпонентного расщепления для неоднородной краевой задачи на основе схем Кранка-Николсона [2, 13]: р"+У2 - р"

"= 2'

р"+1 - р

я+1/2

И 2М 2121

Разложим функцию Ч по формуле Тейлора в окрестности точки (М+1у)

' дЧ ^ И2 ( д2Ч ^ дЧ1 И дЧ + 0(И3)

1 (ЛР"+1/2 + ЛР" + /) , (12)

1 Лр"+1/2 + Л2 р" + f), (13) т 2v '

где т - итерационный параметр, р - одна из функций О, Ф, Ч, f - правые части разностных уравнений. Схема расщепления обладает вторым порядком аппроксимации по Т. Следует заметить, что в дискретном аналоге все физические величины определены только в узловых точках сетки. Следовательно, значение этих величин между узлами (что соответствует дробным индексам) определим на основе линейной интерполяции как среднее арифметическое их значений в соседних узловых точках:

Р"+1/2 = (р" + р"+1) /2.

Запишем Л2, f для функции О :

2О,,

Л

12

О

7, у + 1

Яе

47И2!

(ч

-Ч

7+1, у+1 7-1, у+1

+О

7, у -1

- Яе

47И I

(Ч 7+1, у-1 Ч 7-1, у-1 ) 12

Л =

27 2О..

Ч м , у = 0,25 (3Ч

М+1, у + Ч м-1, у ) . (11) Уравнение (8) для функции Ч решается на полной сетке при условии ЧМ+1 у = 1 на стенке циклона, после чего на каждой итерации вводится поправка для функции Ч по формуле (11), а затем вычисляется граничное условие для О. Особенность такой постановки граничного условия состоит в том, что условие прилипания реализует-

И2 (72 -14)

О

7-1, у

"Ч7-1, у-1 )-

(7 - 1)2

И2 (7 -12)7

Яе

47И2!

+

(Ч,-1

:-1, у+1

+О

7 + 1, у

- Яе

(Ч7+1, у+1 Ч7+1, у-1 )

(7 +1)2

47И2Л '+1,у+1 '+1,у И2 ( +12) ( = -_*!- (ф2 -Ф2 )

7 аАи4Л 7,у+1 7,У-1/'

2

+

Для функции Ф:

2Ф/ , 4 =—2^ + Ф

/2 ' .+1

Яе

_ 1

- Т2

У = 0;

2Ф

4 = Т2

/ -1/2'

Ф /,, -1

- Яе 4/к 21

4;И2/(Ч /+1, .+1 Ч/-1, .+1

((/+1, з-1 - Ч/-1, з -1) -1

Ф

/+1, з

Ф

/-1, з

Яе 4/И2/ Яе

(Ч /+1, з+1 Ч /+1, з -1 )_

4/к2!

(Ч/-1,з+1 Ч/-1,з-1) "

-(/ +12)/(И2/)] .

Для функции Ч :

2 1 1 4 =_Ч--Ч--Ч •

"1 /2 т /,3 / 2 Т >,3+ /2 т >,3- '

4 = 77 Ч /,.з -

/Ч

/■+1, з

/Ч

• -1, з

К = -

-а,.

Ь + С/Х/-1

-К/.,

у - с/, -1

Ь, + С/Х/-1

условие Км+, = у2 .

Для прямой прогонки по оси г коэффициенты а,, Ь;, с, , , используемые в соотношениях (16), имеют вид:

для функции О:

тЯе /,т, х (; +1)2

а, = -

4;И2!

(ч/+1, 3+1 Ч/+1, з-1 ) "

(; + 1/2)И2/' '

Ь =-1 --

2;2т

С = -

у =о

(;2 - 1/4)И2 ' тЯе (Ч -Ч ) + (; -1)2т ;

1Ч/-1,з+1 Ч/-1,3-1) +(; - 12)2 '

т 1

4/И2/

;, з+1

Яет (Ч -Ч )-£

4/и2л ;+1-з+1 з+1' '2

+ °;,з х

Г 2т л + 0. . .

-г -1

/2 • ,3

- яет \ т I ч -ч I__—

2, \ +1,з-1 -1,3-ч /2

4/и 2/

—-Ф2)

И 7-М /, з+1 /, 3-1/'

2;4И4/'

«2 ;,3 И2(; + ,2) И2(; -1/2) '

у = -/2 г 2о,, з.

Сформулированную задачу будем решать по схеме продольно-поперечной прогонки [2, 15]. Систему уравнений для трехточечной прогонки по оси г строим в виде

а.К+, + Ь.К. + с К , = У ; К0 = у.;

/ /+1 / / / /-1 л / ' 0 / 1 '

Км+1 =72, (14)

где у., у2 - граничные условия для функций Ф, Ч на оси симметрии и на стенке циклона соответственно, а для функции О: К0 = у., ^ = ;к2, где ^

- условие на оси симметрии, а у2 - в пристеночном узле сетки.

Решение уравнения (14) будем искать в виде К = Х К+. + У , (15)

/ / / + 1 / ' V /

где Х; ,У - прогоночные коэффициенты, • = 0,1,...,М . Для узла сетки /-1 соотношение (15) перепишется в виде К-1 = Х;-1К + У-1. Подставляя Fi-1 в (14), найдем

для функции Ф : тЯе

а=

4 ;И/ (Ч'+1,.+1 Ч/+.,3-1) + Ь г =-1 -2Т И2;

(; - 1/2)т ;

2

С = -

У =Ф

тЯе 4 ; И2/ Яет

; ;, з+1

4/И2/

(Ч -Ч )+(+У2)т;

з+1 т/-1,3-ч И2 ' ((+1,3+1 - Ч/-1,3+1) -17

Ф . . х

з

Г 2т л + Ф . .

—— -1

/2 •, 3-1

Яет

4/И2/

(+1,3-1 Ч/-1,3-1 ) 7 2

для функции Ч : ; т

2;2т

а =

; Ь . =-1 --И2( ; +1/2^ ; И2(;2 -1/4)

/ т

с =

И2(/ -1/2)'

У = ( ^ -1)4,.-т-;2 И20..

Систему уравнений для трехточечной прогонки по оси х строим в виде

а. + ЬК + СзК.-. = У., 3 = , (17)

используя условие периодичности К.+^ = К. . То-

и получим рекуррентные соотношения для нахож- гда решение уравнения (17) ищем в виде дения Х; и У при прямой прогонки:

Х = а; у^ = У ; С ;У;-1

Ь , + С/Х/ -1

Ь , + С/Х/-1

(16)

или

К. = Х.+. К.+. + У.+. + 2.+. К„.

3 3+1 3+1 3+1 3+1 N

К. . = Х К + У + 2.К„.

3-1 3 3 3 3 N

(18)

(19)

где Х0 = 0, У0 = У\ .

где Х., У., - прогоночные коэффициенты. Под-

Обратную прогонку проводим по формуле ставив (19) в (17), получим рекуррентные форму-(15) при 1 = М,М -1,...,0, используя граничное лы для определения прогоночных коэффициентов:

х

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

-ау

Х]+1 = уС~х +1" ь + с.-х..

/. - с Ж

у =/у у у

у у у

у у у

-с т. 1

+1 = ь + X , у = 1,2,...,N-1.

ьу + СуХу

При у = 0 получим

X =

-а,

0 У = А 7 = . "о

-сп

и ' 1 и ' 1 ь0 ь0

ау = - 2 , у 47И2/

тЯе

су =-7"

у 47И I

/. =О7

■> у ',

(Ч7+1,у-1 Ч7-1,j■-1 ) + 12 ;

27 2т

(72 -14)И2

-1

О

+1, у

<(Ч 7+1, у+1 Ч7+1, у-1 ) ■/-■

(7 + 1)2Т

(7 + 1/2)И2

- Яет

-^ х

_ 47И2!

+ О7-1, у Х

Яет

47И2!

(Ч7-1, у + 1 Ч7-1, у-1 ) •

(7 - 1)2Т 7(7 - 1/2)И2

для функции Ф : тЯе

"у АЙЧ

ау = —-(Ч7+1,у+1 -Ч7-1,у+1 )+£; ЬУ =-1 2;

т Яе

с=

У /1,-7„2

47И I

(Ч7+1,у-1 Ч7-1,у-1 ) + ]2 ;

/ =Ф

2т -1

И2

-ф

7+1, у

Яет

47И2!'

Х'4 7+1, у+1 Ч 7+1, у

1 )

- (7 - 1/2)т

7И2

+ Ф-1, у х

Яет

47И2!

(Ч7-1,у+1 Ч7-1, у-1 )"

(7 + 1/2)т

1И

для функции Ч :

т 2т т

ау = 12 ; ьу =-1 -^; ^ = 12 ;

Л = Ч.

•'у 7,,

272 т

(72 - 1/4)И2

•-1

-Ч

7т

7+1, у

(7 +12) И2

-Ч7

7т

^ - И27 2тОу.

Обратную прогонку ведем по формуле (18) для j=N, с условием

17 УN+1 + ХN+1 • Р\

РN = ——-—-1— , где р1, q1 получаем ис-

1 - Хы+1 • ^ - ZN+1 ключением Р^[+1 из (18) при j=N и с учетом последнего уравнения системы (17):

Р: = ;ql = К!ап.

В прогонке по оси х коэффициенты ау, ьу, су, /у имеют вид:

для функции О :

т^е (ч -Ч )+т • ь =-1 -2т/2-

7+1,у+1 -1,у+1 Г 12' ьу 1 2Г/ 1 '

7-1,у (7 -12) И2

Для решения поставленной задачи по схеме продольно-поперечной прогонки была разработана программа на алгоритмическом языке Турбо Паскаль. По результатам работы программы рассчитаны профили осевой и окружной компонент скорости. Сопоставление профилей выполнено по трем сечениям вниз по потоку.

Рассчитанные профили осевой компоненты скорости и (рис. 3) имеют характерную форму с максимумом вблизи стенки, как и в работе [4]. Вблизи стенки существует возвратное течение, которое будет способствовать вторичному уносу отсепарированных частиц. Как показано в работе [4], при захвате частиц возвратным потоком их поведение в большой мере зависит от их размера. Только самые мелкие частицы, имеющие примерно такую же скорость, что и несущий поток, способны следовать за быстрым расширением и торможением закрученного потока в корпусе циклона. Величина и возвратного течения возрастает с увеличением расстояния от входного сечения х. При увеличении х максимум осевой скорости прямого течения смещается в направлении к стенке, оставаясь по величине практически неизменным. В работе [1] в качестве предельного значения уровня начальной завихренности, при котором возникало возвратное течение, указано К = 0,6. При меньших значениях К обратного течения нет. С увеличением параметра К при одинаковых значениях критерия Яе максимальная величина осевой скорости возвратного течения вблизи стенки возрастает. Увеличение числа Яе при постоянном значении параметра К приводит к возрастанию осевой скорости прямого течения, но не влияет существенно на профиль и.

\\w\w

Ч\\ ЧЧЧЧ \\Ч\Х\УУуЧЧХ

3,4е 4е х

Рис. 3. Профиль осевой скорости при К=1, Яе=6, Я=0,1м

0

Изменение значений параметра К и числа Рейнольдса Яе приводят к возрастанию скорости и возвратного течения, что, вероятно, может быть объяснено наличием механизма раскрутки потока и влиянием турбулентной вязкости.

Расчет дает качественную картину развития скорости течения жидкости и относительно хорошее количественное согласие результатов с данными, полученными другими исследователями. При х=3,4Я наблюдается погашение встречного вихря вблизи стенки, но вблизи оси циклона направление W изменяется на противоположное, что порождает встречный вихрь вблизи оси циклона (рис. 4). Полученные результаты согласуются с экспериментальными наблюдениями других авторов [7, 15]. Уже на начальном этапе применения закрученных потоков были обнаружены их «аномальные» особенности - противоток или рециркуляционная зона, прецессирующее вихревое ядро [15].

В Е

\Ч\\\\\

Г С

\\ \ \ Ч\

Г

о

А

2,ж

3,411 +Е х 1>

Рис. 4. Профиль окружной скорости при К=1, Яе=6, Я=0,1 м

Отметим, что профиль окружной скорости w существенно изменяется по радиусу циклона и по оси х, что означает наличие дифференциального вращения, вследствие чего вихревые линии начинаются закручиваться по спирали, как утверждают авторы работы [15] . На рис. 5 представлены линии равного уровня функции тока. Видно, что вблизи стенки циклона образуются вихревые зоны.

Выводы:

• изменяющаяся закрутка потока может вызвать появление вдоль стенок циклона возвратного течения, снижающего эффективность сепарации тонких фракций пыли.

• для погашения встречного вихря на оси циклона целесообразно в нем устанавливать центральную вставку.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Турбулентное смешение газовых струй / Г. Н. Абрамович, С. Ю. Крашенинников, А. Н. Се-кундов, И. П. Смирнова. М. : Наука, 1974. 94 с.

2. Марчук Г. И. Методы расщепления М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 264 с.

3. Яблонский В. О. Расчет разделения суспензий с неньютоновской дисперсной средой в прямоточном цилиндрическом циклоне // Химическая промышленность. 2005. Т. 82, № 1. С. 4048.

4. Сийержич М., Ментер Ф. Измельчение расчетной сетки при моделировании закрученного течения // Теплофизика и аэромеханика. 2003. Т. 10, № 2. С. 171-182.

5. Математическое моделирование течений в малогабаритных трубчатых турбулентных аппаратах / Ю. М. Данилов, А. Г. Мухаметзянова, Г. С. Дьяконов, Е. И. Кульментьева // Химическая промышленность. 2004. № 9. С. 451-457.

6. Дейч М. Е. Техническая газодинамика М. : Энергия, 1974. 592 с.

7. Алексеенко С. В., Окулов В. Л. Закрученные потоки в технических приложениях // Теплофизика и аэромеханика. 1996. Т. 3, № 2. С. 101-138.

8. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа М. : Наука, 1973. 736 с.

9. Шец Дж. Турбулентное течение. Процессы вдува и перемешивания. М. : Мир, 1984. 199 с.

10. Барон Ф., Зайчик Л. И., Першуков В. А. Сепарация мелкодисперсной влаги в прямоточных циклонах // Теплофизика и аэромеханика. 1996. Т. 3, № 4. С. 353-360.

11. Годунов С. К., Рябенький В. С., Годунов С. К. Разностные схемы : (введ. в теорию). М. : Наука, 1973. 400 с.

12. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М. : Физматгиз, 1963. 728 с.

13. Марчук Г. И., Яненко Н. Н. Решение многомерного кинетического уравнения методом расщепления // Докл. АН СССР. 1966. Т. 157., № 6. С. 1241-1242.

14. Полежаев В. Н., Грязнов В. Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных «вихрь-функция тока» // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, № 2. С. 301-304.

15. Алексеенко С. В., Куйбин П. А., Окулов В. Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. М.-Ижевск : Ин-т компьютер. исслед., 2005. 504 с.

Рис. 5. Линии тока ^ равного уровня при Яе=6, К=1

0

х