Нечетко-множественный подход к модели «Хищник-жертва» Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

уДк 519.6

нечетко-множественный подход к модели

«хищник-жертва»

В.В. Алексеев, В.и. Возяков

Рассмотрена модель типа «хищник-жертва», которая применяется для анализа поведения взаимодействующих популяций. Рассмотрены недостатки уравнения данного типа. Изучены различные виды модели «хищник-жертва».

Ключевые слова: модель; хищник; жертва; уравнение; нечетко-множественный подход; популяция; алгоритм.

V.V. Alekseev, V.I. Vozyakov. FUZZY MULTIPLE APPROACHES TO MODEL THE «PREDATOR-PREY»

The article describes a model of the «predator-prey», which is used to analyze the behavior of interacting populations. The shortcomings of this type of equation. Studied different types of models «predator-prey».

Keywords: model; predator; victim; equation; fuzzy-set approach; the population; the algorithm.

Начиная с работ А. Лотка и В. Вольтерра модели типа «хищник-жертва» применяются для анализа поведения взаимодействующих популяций. В классической форме модель «хищник-жертва» имеет вид [1]:

N=т N - в(ДР)Р , (1) Р( = kB(N, Р)Р - q(P)P где N Р - численность популяций жертвы и хищника, q(P) - соответственно коэффициенты размножения (гибели) жертвы (хищника) в «отсутствии друг друга», В(^ Р) - трофическая функция хищника, положительный коэффициент k <1 [2, 3].

В модели Вольтерра ^^ = г, g(P) = q, B(N,P) = sN при положительных постоянных г, q, s. Фазовыми траекториями такой модели в квадранте (Ы > 0, Р > 0) являются стационарная точка и окружающие ее предельные циклы.

Уравнения модели «хищник - жертва» обладают рядом недостатков: для жертвы предполагается неограниченность пищевых ресурсов, а для хищника неограниченный рост, что не соответствует наблюдаемым данным. Кроме того, при наличии небольших возмуща-

ющих воздействий траектория системы будет все дальше уходить от положения равновесия и система разрушится. Несмотря на это, модель (1) получила широкое распространение в экологии, поскольку объясняет колебания численности хищных и мирных животных, колебания в популяциях рыб, насекомых и т.п., хотя на самом деле колебания численности могут быть обусловлены и другими причинами.

В настоящее время имеется большое число различных модификаций системы хищник -жертва, в которых общие модели, учитывают в той или иной степени реальную ситуацию в природе. Различные частные случаи системы дифференциальных уравнений (1) изучались многими исследователями (табл. 1). Модели с различными трофическими функциями при вариации параметров показывают возможность существования структурно устойчивых автоколебаний, описывающих эффекты, наблюдаемые в системах «хищник-жертва».

В современных условиях одним из наиболее перспективных направлений научных исследований в области анализа, прогнозиро-

128

Вестник Российского УНИВЕРСИТЕТА КООПЕРАЦИИ. 2013. №4(14)

Таблица 1

различные виды модели «хищник-жертва»

Модель F В kB

Вольтерра-Лотка г sN г +s2N

Гаузе г +а,Ы ^Ы г,(1-е9Л)

Пислоу г ц-яМР

Холинг г sN/(1+shN) д-я ,РШ

Ивлев г Ь(1-е*Ы)

Рояма г s(N)N/(1+s(N)hN) 4-я рт

Шимазу г-Ы/К sN/(1+shN) 1-Р/(Ж)

Мэй г^Ы я/(1-еяЛ) д(1-яе-")

вания и моделирования различного рода явлений и процессов (как экологических, так и экономических) является нечеткая логика. Нечетко-множественные модели, зачастую представленные в виде программного обеспечения для персональных компьютеров, позволяют принимать грамотные решения. В отличие от стандартной логики, нечеткая логика позволяет определять промежуточные значения между стандартными оценками состояниям (1/0, Да/ Нет, Истина/Ложь). Если в классической модели «хищник-жертва» все животные считаются одинаковыми - усредненными, то согласно схеме нечеткой логики графическое описание качественного состояния «хищник» имеет вид представленный на рис. 1 (функция принадлежности нечеткого множества «жертва» аналогична).

График функции принадлежности и ось ОХ ограничивают трапецию abcd. Участок трапеции Ьс (верхнее основание трапеции) соответствует «взрослому» возрасту животного от Ь до с лет.

Участки аЬ и cd иллюстрируют тот факт, что если возраст попадает в эти интервалы, то достоверность высказывания «взрослый», снижается. Таким образом, появляется возможность описать взаимодействие

для хищников и жертв разных возрастов (табл. 2).

Далее вводим нечеткие числа - нечеткие подмножества специализированного вида, соответствующие высказываниям вида «значение переменной примерно равно г». В данной работе рассмотрено треугольное нечеткое число (рис. 1), где выделяются минимально возможное, наиболее ожидаемое и максимально возможное значение фактора. Треугольные числа - это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем чаще всего их используют в качестве прогнозных значений параметра. Например, ожидаемое значение параметра г: наиболее вероятное значение - 0,5, минимально возможное - 0,3, а максимально возможное - 0,7. Тогда все эти значения могут быть сведены к виду нечеткого подмножества -нечеткого числа R (0,3; 0,5; 0,7).

Таблица 2

вероятности взаимодействия между хищником и жертвой

^^-^Хищник Жертва^-^ «юный» «взрослый» «старый»

«юная» К

«взрослая» k22 k23

«старая» Кз

а

с d х

Рис. 1. Вид функций принадлежности нечеткого множества р(х) и треугольного числа д(х)

ь

0

Рис. 2. Решение при нечетком R

Треугольные числа описываются функцией принадлежности р,(х) и моделируют высказывание следующего вида: «параметр А приблизительно равен r и однозначно находится

в диапазоне [rmin, гтах]. Таким образом, каждое треугольное число а задается вектором (rmin , r , r ), где r , r - границы диапазона, а r -

та^^^ min' тах г '

наиболее ожидаемое значение нечеткого числа.

Операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности, которые в свою очередь выражаются через операции с действительными числами-границами интервалов.

Численное решение системы (1) достаточно точно реализуется как современными математическими пакетами Maple, Mathcad и т.п., так и в online режиме с помощью служб типа Wolfram|Alpha.

Особенности динамических режимов сосуществования популяций, входящих в систему «хищник-жертва» отражаются на фазовом портрете (рис. 2).

Каждая точка плоскости определяет состоя-

ние системы, а нанесенные на рисунок векторы определяют направления эволюции. На рис. 2 решение, для наглядности, разнесено на три графика соответствующих г , г и г . При

г т -1 тт' тах г

совмещении графиков фазовые кривые в некоторых критических точках начинают соприкасаться или пересекаться. Это говорит о том, что для состояний соответствующих критическим точкам дальнейшее развитие системы возможно не по одному, а сразу по нескольким вариантам, вероятностный вес которых определен функциями принадлежности.

список литературы

1. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. 181 с.

2. Березовская Ф.С. Алгоритм исследования сложных стационарных точек двумерных моделей // Математическое моделирование биологических процессов. М. Наука, 1979. С.105-116.

3. Гиляров А.М. Популяционная экология. М.: Изд. МГУ, 1990. 352с.

АЛЕКСЕЕВ Виктор Васильевич - магистрант. Чебоксарский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации. Россия. Чебоксары. E-mail: matemchci@mail.ru ВОЗЯКОВ Владимир Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математических и инструментальных методов экономики. Чебоксарский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации. Россия. Чебоксары. E-mail: vvozyakov@rucoop.ru

ALEKSEEV, Victor Vasilyevich - Graduate Student. Cheboksary Cooperative Institute (branch) of Russian University of Cooperation. Russia. Cheboksary. E-mail: matemchci@mail.ru

VOZYAKOV, Vladimir Ivanovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department of Mathematical and Tool Methods of Economy. Cheboksary Cooperative Institute (branch) of Russian University of Cooperation. Russia. Cheboksary. E-mail: vvozyakov@rucoop.ru