Нечеткие двухточечные краевые задачи в математическом моделировании и управлении. Ч. 1. Нечеткое математическое моделирование Текст научной статьи по специальности «Математика»

М атематические проблемы управления

УДК 517.97

НЕЧЕТКИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ И УПРАВЛЕНИИ. Ч. 1. Нечеткое математическое моделирование

Н.П. Деменков, Е.А. Микрин, И.А. Мочалов

Рассмотрены методы решения нечетких краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка. В части 1 представлены метод нечеткого преобразования Лапласа и нечеткий вариационно-итерационный метод для решения нечетких задач математического моделирования, в части 2 — нечеткий начальный метод и нечеткий метод Га-леркина оптимизации нечетких задач управления. Перечисленные методы продемонстрированы на примерах. В частности, решены нечеткие задачи на безусловный экстремум нечеткого интегрального функционала и расчета периодических режимов в нечеткой поисковой системе автоматической оптимизации с запоминанием экстремума. В заключение приведены выводы и перечислены некоторые актуальные нечеткие задачи гирос-копии, нечеткого управления летательными аэродинамическими и космическими аппаратами, которые могут быть решены рассмотренными методами.

Ключевые слова: нечеткая краевая задача, дифференциальное уравнение, нечеткое преобразование Лапласа, нечеткий вариационно-итерационный метод, нечеткий начальный метод, нечеткий метод Галеркина.

ВВЕДЕНИЕ

Краевые задачи возникают при решении различных проблем математического моделирования и управления — например, при управлении положением спутника с минимальным расходом энергии, прицельным артиллерийским огнем, при расчете параметров автоколебаний в поисковых системах автоматической оптимизации, решении задач вариационного исчисления, приводящих к различного рода сплайн-интерполяциям и оптимальным регуляторам, и многих других [1—3]. Оптимизация функционалов, зависящих от искомой функции и ее производных, приводит к краевым задачам для дифференциальных уравнений второго порядка [4—6].

Перечисленные задачи описываются, как правило, традиционными дифференциальными уравнениями с традиционными краевыми условиями.

Для их решения разработаны соответствующие методы — см., например, работы [7, 8].

Однако на практике на объект управления действуют возмущения, а динамические параметры дифференциальных уравнений и краевые условия задаются с некоторой неопределенностью.

Для представления возмущений используются различные математические модели, теория которых интенсивно разрабатывается и активно применяется в различных приложениях. Наиболее интенсивно для этих целей применяются методы теории интервалов [9], теории нечетких множеств [10], теории возможностей [11], гибридной вероятностной теории [12], теории нечетких случайных процессов [13] и др.

Наиболее адекватной, простой и универсальной в представлении различного рода возмущений является теория нечетких множеств. Она служит неким ядром, вокруг которого группируются существующие ныне модели возмущений и их моди-

фикации. Например, в гибридной вероятностной модели [12] два компонента: один из них — вероятностный и описывает помехи измерений, а другой — это нечеткий, который описывает неточности математической модели. Такое представление неопределенности более адекватно по сравнению с традиционной вероятностной моделью. Другой пример связан с нечетким представлением случайных процессов — нечеткий случайный процесс Маркова в форме цепей с нечеткими состояниями позволяет уменьшить размерность переходной матрицы состояний, что приводит к уменьшению объема вычислений при ее обращении [13].

Можно привести и другие примеры достоинств применения нечетких методов для решения задач математического моделирования и управления. По нашему мнению, основные преимущества применения нечетких методов в инженерных расчетах состоят в получении диапазона искомых решений по нечеткой модели, которые в лингвистических терминах трактуются как наихудшие и наилучшие решения. Такое представление результатов нечетких расчетов имеет похожие черты с результатами робастной теории управления и гарантированного оценивания в теории идентификации. Однако нечеткая теория более простая в расчетах по сравнению с робастной и гарантированной теориями, что делает нечеткую теорию привлекательной для инженерной деятельности.

Существенный недостаток нечетких методов состоит в некоем произволе и отсутствии статистической повторяемости в описании типа функций принадлежностей, представляющих одну из моделей неконтролируемых возмущений в системе.

В целом же простота, универсальность и адекватность в описании возмущений компенсируют нед остатки нечетких методов. Они занимают достойное место в инструментарии инженерной деятельности.

Одним из способов учета влияния возмущений заключается в использовании моделей неопределенности, построенных на основе теории нечетких множеств, что приводит к нечетким дифференциальным уравнениям и нечетким системам управления [14—16].

В практической деятельности дифференциальные уравнения обычно нелинейные, поэтому для решения нелинейных краевых задач применяются приближенные прямые методы, такие как методы Ритца, Галеркина, нечеткий метод наименьших квадратов. Решение у(х) на 1-й итерации ищется в виде

y(x) = Z ak<pk(x), i = 1, 2, ...,

к = 1

где фк(х) — координатные (базисные) функции заданного типа ak — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. В методе Ритца они находятся из условия д опустимости функций фк(х), в методе Галеркина — из условия их ортогональности, а в нечетком методе наименьших квадратов из нечетких правил относительно элементов весовой матрицы.

Цель настоящей работы заключается в модификации известных традиционных методов для решения нечетких линейных и нелинейных двухточечных краевых задач (когда дополнительные условия на решение налагаются в точках на концах отрезка), которые возникают как при решении нечетких задач математического моделирования (часть 1), так и при конструировании нечетких оптимальных регуляторов, анализе периодических режимов нечетких систем автоматической оптимизации (часть 2) и др.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Далее будем пользоваться базовыми определениями, подробно изложенными в работах [10, 14].

При математическом моделировании и анализе нечетких систем автоматической оптимизации часто возникают двухточечные нечеткие краевые задачи для дифференциальных уравнений или их систем. В некоторых случаях эти задачи могут быть преобразованы в одноточечные (начальные). Однако часто целесообразно решать исходную двухточечную краевую задачу.

В настоящей статье рассмотрены некоторые методы решения двухточечных краевых задач: метод нечеткого преобразования Лапласа, нечеткий вариационно-итерационный метод, нечеткий начальный метод и нечеткий метод Галеркина, позволяющие синтезировать нечеткие оптимальные системы управления [17—19].

Одна из таких оптимизационных задач возникает при построении адекватных нечетких математических моделей для нечеткой вариационной задачи с неподвижными границами. Они, в частности, формулируются для нечетких сплайн-аппроксимаций различных типов, нахождения нечеткого программного управления и других нечетких оптимизационных задач.

Определение 1. Одномерная функция принадлежности нечеткого множества A задается отображением ra: Ac Rx ^ [0; 1] с Rr Полагается, что

rA(x) = (rA(x), rA (x)), x e A, где rA(x) — левая, а

rA (x) — правая ветви функции rA(x) относительно ядра множества A (core A). В параметрической фор-

n

ме с использованием обратного отображения г А :

хА(г) = (хА(г), хА (г) | г е [0; 1]). Многомерный случай задается отображением гА: А с Ят ^ [0; 1] с Лг ♦ Для нечеткого множества принято обозначение

Ет = Х е Кт).

Определение 2. Одномерная нечеткая функция задается отображением /^ ^ Ех и обозначается:

/н(х) = /(х, г) = (/(х, г), /(х, г)) | г е [0; 1]), где

«н» — индекс нечеткости, а /(х, г), /(х, г) — ветви нечеткой функции. ♦

По аналогии с традиционным банаховым пространством для совокупности четких функций вводится его нечеткий аналог, в котором задается метрика Хаусдорфа:

ЬЩЪ> /йЮ) = 8ир{шах[|/1(/, г) - /_2а, г)|,

/(I, г) _ /2(и г)|]},

а операции сложения и умножения на константу выполняются по правилам, принятым в теории нечетких множеств.

Определение 3. Нечеткий функционал /н задается отображением /н: {/н} е Е1 ^ Я1. Одна из его форм — нечеткий интегральный функционал: I = т

/н = | Лхн(№, а /(хн(<)) — нечеткий интегрант.

I = /0

Определение 4. Нечеткий интеграл /н =

I = т

= I /определяется следующим образом.

I = /0

п

Имеем представление: Лр = ^/(хн(|))(^г. — _ х),

г = 1

VI е [I.. _ _ х] с г = 1, ..., п, и для него задана совокупность разбиений Р = {I = t0, ..., I = Т} е [ ¿0,

Т] с и Д = тах{|. _ I.. _ х|}, г = 1, п . Тогда нечеткий интегральный функционал определяется в ви-

I = т

де

I /(хн(*))Л = 11т Яр,

н д^0 Р

| =

где предел задается в мет-

рике Хаусдорфа Ьх. ♦

Далее в задаче нечеткого математического моделирования будем рассматривать нечеткие интегральные функционалы типа:

I = т

I = т

где хсн (I), х^ (I) — нечеткие производные. Индекс «к» означает обобщенную производную, введенную Хукухарой (Р.М. ИикиЬага). Определения первой и второй производных по Хукухаре приведены в работе [19].

Нечеткое вариационное исчисление применительно к задачам нечеткого математического моделирования может применяться в двух направлениях. Первое из них — это конструирование ее нечеткой теории: нечеткая непрерывность, нечеткая дифференцируемость, нечеткий экстремум и т. д. Второе направление — это использование определений и теорем в созданной уже к настоящему времени нечеткой теории дифференциальных и интегральных уравнений и методов их решений. Прием второго направления состоит в решении ч еткой вариационной задачи традиционными методами до получения уравнения Эйлера в традиционной форме, а д алее оно объявляется нечетким из-за наличия неопределенности в граничных условиях и параметрах, представляемой нечеткими элементами. Затем это нечеткое уравнение Эйлера решается уже созданными нечеткими методами, а получаемое нечеткое решение объявляется решением нечеткой вариационной задачи. Можно полагать, что сейчас второе направление является перспективным, в его рамках активно разрабатываются методы решения нечетких дифференциальных и интегральных уравнений [14, 15].

Нечеткую задачу математического моделирования представим в виде оптимизационной задачи для нечеткого интегрального функционала. Имеем:

— нечеткие функции /н(() определены и непрерывны в метрике Ьх Хаусдорфа на отрезке У0, т] с где t0, т — заданные четкие числа;

— функции хн(/) удовлетворяют нечетким граничным условиям:

хМ = О = = т) = х

I Ахп0), хн (I), Цйг, | Лх^), хн (I), хн (I), т

нт

где нечеткие переменные заданы своими функциями принадлежностей:

хн0 = *0(г) = (хь(г), х0 (г) | г е [0; 1]);

хнт = хт(г) = (хт(г), хт(г) | г е [0; 1])

и трактуются как некие модели неопределенности, представляющие погрешности или помехи в задании граничных условий. Эти условия характеризуют прохождение нечетких функций через две нечетко закрепленные граничные точки.

I = I

I = I

0

0

На нечетком множестве Е1 задан нечеткий интегральный функционал

г = т

^ = Д^Ю) = | /(хн(г), хн (г), х£ (г), (1)

г = г0

Среди допустимых нечетких кривых хн(г) с Е1 необходимо найти нечеткую кривую х^ (г), на которой нечеткий функционал (1) достигает экстремума

г = т

/(х*(/)) = ех1г | /(хн(/), хн (/), хн (/), (2)

хн( /)е Е1 / = /0

В этой задаче отсутствуют ограничения, кроме нечетких граничных условий, поэтому по аналогии с традиционным подходом задача (1), (2) является нечеткой задачей на безусловный экстремум нечеткого интегрального функционала.

Нечеткими м оделями представления (1), (2) являются нечеткие линейная и кубическая интерполяционные функции, которые принимают в узлах сетки заданные нечеткие значения и минимизируют нечеткий интегральный функционал типа (1).

Нечеткая линейная сплайн-интерполяционная функция хн(/), г е [/0, Т], находится из условия:

г = т

Г к

ШШ /н = шш ] (хн (г)Ш.

хн е Е1

Нечеткая кубическая сплайн-интерполяционная функция хн(г), г е [/о, Т], находится из условия

г = т

шш /н = шш | (хн (г)йг.

В последнем случае нечеткий интегральный функционал /н как аналог энергии, варьируемой в некотором диапазоне, упругого стержня, закрепленного в точках плоскости (/к, хнк), и на нечетком кубическом сплайне реализующий некий диапазон минимума этой энергии.

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЧЕТКИХ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

2.1. Метод нечеткого преобразования Лапласа [17—21]

Имеется нечеткая двухточечная краевая задача для д ифференциального уравнения второго поряд-

ка относительно нечеткой координаты х^ вектора состояний хн:

хн = /(xн(t), хн (í), t), хн(/0) = Xн0, хн(/к) = хнГ(3)

Здесь индекс ««» номера координаты опущен для простоты обозначений. Индекс «к» обозначает обобщенную производную по Хукухаре.

Согласно работам [19—21] будем иметь четыре типа нечетких решений и задач для уравнения (3): (/, I), (/, Щ, (н, I), (н, и). В скобках символ на первом месте обозначает тип первой обобщенной производной, символ на втором месте после запятой — тип второй обобщенной производной. Таким образом, для нечеткой двухточечной краевой задачи второго порядка будем иметь четыре решения, получаемые из четырех нечетких задач. Имеем, опустив индекс «к» для простоты обозначений, четыре типа нечетких задач:

х(Л(Г, /) = /(х(г, /), х'\г, /), /),

тип (/, /):

тип (/, О):

тип (», /):

тип (», О):

х( г, 0) = хо( г), х( г, гк) = хк( г), х'\г, /) = /(х( г, /), х(Г)( г, /), /), х(г, 0) = хо( г), х( г, гк) = хк( г), г е [0; 1];

х(Г)(г, /) = /(х(г, /), г, /), /), х( г, 0) = хо (г), х( г, /к) = хк( г),

х'\г, /) = /(х (г, /), х(Г)( г, /), /),

х(г, 0) = хо (г), х( г, гк) = хк( г), г е [0; 1];

х(Щ(г, /) = /(х(г, /), х(г, /), /), х( г, 0) = хо (г), х( г, гк) = хк( г), х( г, /) = /(х(г, /), х( г, /), /),

х( г, 0) = хо (г), х( г, гк) = -хк( г), г е [0; 1];

х(Щ(г, /) = /(х(г, /), х(и\г, /), /), х( г, 0) = хо, х( г, гк) = хк( г), х("\г, /) = /(х(г, /), х(Щ(г, /), /),

х(г, 0) = хо(г), х(г, гк) = хк(г),

г е[ 0; 1].

г = г.

0

г = г.

0

Относительно производной Хукухары имеет место следующее суждение. Для первой производной в теории нечетких множеств необходимо задание операции вычитания для приращения нечеткой функции, операции умножения на константу и операции предельного перехода относительно заданной метрики в пространстве нечетких переменных. При выполнении условия полноты в этом пространстве оно превращается в банахово пространство, в котором существует достаточное число разнообразных производных в зависимости от способа задания м етрики, но в работах [14—16, 18] показано, что все производные эквивалентны между собой, кроме производных Сейккала и Бакли— Фейринга. Поэтому в теории нечетких начальных задач используются упомянутые две производные и соответственно имеются два различных типа решений.

Для упомянутых первых производных не определена нечеткая вторая производная, которая возникает в нечеткой краевой задаче для нечеткого дифференциального уравнения второго порядка. Для устранения этой трудности обычно используется нечеткая производная Хукухары, которая имеет два типа первой производной, поэтому для второй производной и соответствующих типов нечетких дифференциальных уравнений второго порядка возникает четыре их типа, которые представлены выше. Это приводит к четырем типам решений нечеткой краевой задачи. В этом состоит характерная особенность нечетких (мягких) вычислений, т. е. неединственность решений — особенность нечетких вычислений.

Определение 5. Для нечеткой функции (оригинал) fjt) = (f (r, t), f (r, t)| r e [0; 1]) и действительной переменной (параметр «5») ее нечеткое преобразование Лапласа [19—21]:

ад

F (5) = L{fH(t)} = Je-%(t)ät =

0

т / т

= lim J e-%(t)ät = I lim J e-5t/н (t, r)ät,

lim J е-5^н (t, r)ät | r £ [0; 1] I. ♦ (4)

w<x> 0 )

Полагается, что предел в выражении (4) существует. В формуле (4) обычно используется обозначение

т

l[ f (t, r)] = lim J e-5tf (t, r)ät,

l[f (t, r)] = lim J e-5tf (t, r)ät,

поэтому будем иметь запись

/)} = ('[ / (I, г)], /[ / (I, г)] | г е [0; 1]).

Расчеты для преобразования Лапласа Ц хн (I)} по выражению (4) дают

Цхн (I)} = ^Цхн(!)} © ях^) е хн (!„),

где операция © определена в работах [19—21]. Здесь и далее операция е имеет смысл обычного прямого вычитания.

Аналогичные вычисления для Ц х (I)} дают Цхн (I)} = 5 Цх^О)} е xн(to).

Модифицируем выражение (3) и затем применим полученные соотношения. Тогда будем иметь

хн (I) + с^х^О) + C2(t)xн(t) = фн(!),

Xн(t0) = хн0, хА) = хн^,

откуда при «©» = «_» получим

52ц{хн(1)} _ я^) _ хн (to) + сх(1)ц{хн(1) _ хн(д} +

+ С2(1) Ц{ХН(1)} = Ц{фН(1)},

хн(|0) = Xн0, ^ = хнГ (5)

Краевое условие хн(10) = хн0 используется для нахождения неизвестного хн (t0) в выражении (5).

Далее применяется обратное преобразование Лапласа Ц 1, что приводит к нахождению искомого х*(1).

Пример 1. Пусть имеем нечеткий интегральный функционал типа (1) в форме

tk = т

/ = | [гхн(!) + хн (№.

to = 0

Необходимо найти нечеткую экстремаль хн (I), удовлетворяющую нечетким граничным условиям:

хА = °) = хН0 = 0н = (0(г) = _1 + г, 0 (г) = 1 _ г | г е [0; 1]),

х^к = т) = хнт = 0,5н = (05(г) = 0,5г,

0,5 (г) = 1 _ 0,5г | г е [0; 1]).

Здесь нечеткие элементы, имеющие индекс «н», определяются в соответствии с определением 2. Для решения примера нечеткой вариационной задачи с нечеткими граничными условиями воспользуемся приемом второго направления (см. выше) их решения. Для этого формируется традиционная задача, которая реша-

т

ется до получения уравнения Эйлера в традиционной

форме. Имеем:

/ = х(г) + х (,) = - = 0 ^

д

^ г - —х = о ^ х (г) - г = 0. дг

Переходим к нечеткому аналогу: к

хн (0 - = 0 хн0 = 0н хнТ = 0,5н.

Решим эту нечеткую двухточечную задачу методом нечеткого преобразования Лапласа. В результате получим нечеткое решение (г, г')-типа:

хн(г) = (х*г,) (г, г), х(\ 0 (г, г) | г е [0; 1] с Д^.

Другие типы нечетких решений находятся аналогичным способом.

Для интерполяции нечетким линейным сплайном на отрезке г е [г0 = 0, гк = Т = 1] имеем:

хп — ограниченная вариация для хп, т. е. 5хп = 0. Кроме уравнений (6) и (7) рассматривается краевая задача второго порядка

Х"(г) = Дг, Х(г), Х(г)), (8)

Х(г = 0) = ф1, Х(г = Т) = Ф2, (9)

где Х(г) = [хх(г), ..., хп(г)] , хг(г), г = 1, ..., п, — неизвестные вещественные функции от переменной г, I — нелинейная непрерывная функция от г, Х(г),

Х(г), Фх и Ф2 — заданные векторы в Яп.

Для задачи (8) корректирующий функционал (7) задается в виде

X" + х(г) = Х"(г) +

г

+ |м*){Х>) - I [5, Х"^), Вд]^ (10)

к

гт ^ = шш ] (хн (г)л.

Переходя к традиционной вариационной задаче, получаем четкое уравнение Эйлера, которое приводится к его нечеткому аналогу путем введения индексов «н» и «к» — нечеткость функции и тип нечеткой производной соответственно. Далее, применяя нечеткое преобразование Лапласа, получим различные типы нечетких решений, для которых на нечеткой сетке

г0, ..., гк хн0, ..., хнк

путем решения соответствующих нечетких систем алгебраических уравнений находится совокупность нечетких линейных сплайнов. Заметим, что все типы нечетких решений дифференциальных уравнений проверяются, удовлетворяют ли они уравнению. Это приводит к сокращению числа решений уравнений и числа нечетких линейных сплайнов.

2.2. Вариационно-итерационный метод [22, 23]

Для нелинейной начальной задачи

И[х(у)] + л^х(у)] = £(у),

(6)

где М — линейный, а N — нелинейный операторы, g(v) — заданная в аналитической форме функция, применяется м етод корректирующего функционала

хп + =

V

= хп(у) + {х^, г){М[хп(г)] + N1 хп (г)] - g(г)}dг, (7)

0

где X — множитель Лагранжа, определяемый из соответствующей вариационной задачи, хп — приближенное решение уравнения (7) на п-й итерации,

с граничными условиями (9). Здесь Iх (•) = 51 — вариация для функции I.

После вычисления вариации относительно Х(5) в выражении (10) для вспомогательного функционала с множителями Лагранжа получим условия экстремума функционала в виде:

Х"(я) = 0; 1 - X'(5 = г) = 0; Х(5 = г) = 0,

откуда очевидно, что Х(я) = s—г.

Подставляя найденные значения в выражении (10), получим следующую вариационную формулу вычисления Хп + х(г) для задачи (8), (9):

Хп + х(г) = Хп(г) +

г

+ |(5 - г){Х"(5) - I [5, Х(л), X'(s)]}ds, п = 0, 1, 2,...

0

Для оценки точности применяется следующий прием: вычисляются Хп(г) и Хп + х(г) и сравниваются эти зависимости в нескольких точках отрезка [г0 = 0, гк = г]. Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считается, что с требуемой точностью получено решение искомой задачи (8), (10). Если же Хп(г) и Хп + х(г) в выбранных точках не совпадают, то вычисляется Хп + 2(г), далее сравниваются Хп + х(г), Хп + 2(г) и т. д. до тех пор, пока Хп + к(г) и Хп + к + х(г) не совпадут. Этот практический прием оценки точности достаточно надежен, хотя теоретически не совсем совершенен.

Пример 2. Решим краевую задачу вариационно-итерационным методом. Пусть дана двухточечная краевая задача

х (г) - х(г) = 0

0

н ^

0

с нечеткими краевыми условиями

х^ = 0) = 0н = (0 = _1 + г, 0 = 1 _ г | г е [0, 1]), хн(к = 1) = 0,5н = (05 = 0,5г, 0,5 = 1 _ 0,5г | г е [0, 1]).

Необходимо найти нечеткую переменную х^ (I) =

= х(г, г) = (х(1, г), х(I, г) |г е [0; 1]).

Точное решение (г, г)-типа для х*(1, г), х* (I, г) получены ранее на основе нечеткого преобразования Лапласа.

Приближенное решение (г, г)-типа получено по формулам вариационно-итерационного метода:

хп + г) = хп({, г) + I [(5 _ I)хп (5, г)]&, 0

I

хп + 1 (I, г) = хп (I, г) + | [(5 _ I) хп (5,

0

которые промоделированы при значениях I = 0; 1 и г = 0; 0,2; ...; 1,0. Результаты вычислений по точным и приближенным формулам показали приемлемую точность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для линейного и нелинейного дифференциальных уравнений сформулирована двухточечная краевая задача в нечеткой постановке, которая возникает как при решении нечетких задач математического моделирования, так и при синтезе нечетких оптимальных систем управления. Приведены некоторые методы их решения.

Рассмотрены нечеткое преобразование Лапласа и его применение для решения двухточечной краевой задачи. Приведен пример расчета с помощью нечеткого преобразования Лапласа нечеткой кривой, на которой нечеткий функционал достигает экстремума.

Рассмотрен метод, в основу которого положен нечеткий вариационно-итерационный принцип решения краевых задач, и дан пример его применения для решения нечеткой вариационной задачи с нечеткими граничными условиями.

ЛИТЕРАТУРА

1. Современная математика для инженеров / Под ред. Э.Ф. Бе-кенбаха. — М.: ИИЛ, 1959. — 500 с.

2. Казакевич В.В., Родов А.Б. Системы автоматической оптимизации. — М.: Энергия, 1977. — 288 с.

3. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применения. — М.: Машиностроение, 1972. — 544 с.

4. Атанс М, Фалб П.Л. Оптимальное управление. — М.: Машиностроение, 1968. — 764 с.

5. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. — М.: Наука, 1969. — 192 с.

6. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 208 с.

7. Агафонова С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 347 с.

8. Деменков Н.П. Вычислительные аспекты решения задач оптимального управления. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. — 171 с.

9. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решения в нечетких условиях. — Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000. — 352 с.

10. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под. ред. Н.Д. Егупова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. — 743 с.

11. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. — М.: Радио и связь, 1990. — 286 с.

12. Мочалов И.А., Хрисат М.С. Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным // Информационные технологии. — 2014. — № 2 (210). — С. 14—22.

13. Мочалов И.А., Петрунин Н.Г., Редькин А.С., и др. Нечеткие вероятностно-статистические методы // Приложение к журналу «Информационные технологии». — 2003. — № 4. — С. 1—24.

14. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие дифференциальные уравнения в задачах управления. Ч. I // Информационные технологии. — 2015. — № 3. — Т. 21. — С. 171—178.

15. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие дифференциальные уравнения в задачах управления. Ч. II // Там же. — 2015. — № 4. — Т. 21. — С. 243—250.

16. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб Еддин М.Я. Нечеткие уравнения в частных производных в задачах управления // Там же. — 2015. — № 8. — Т. 21. — С. 563—569.

17. Friedman M., Ming M., Kandel A. Fuzzy linear systems // Fuzzy sets and systems. — 1988. — N 96. — P. 201—209.

18. Buckley J.J., Feuring T. Fuzzy differential equations // Ibid. — 2000. — N 100(1). — P. 43—54.

19. Ahmad L., Farooq M., Ullah S., et al. Solving fuzzy two-point boundary value problem using fuzzy Laplace Transform // Mathematics GM. — 2014. — N 2. — P. 1—17.

20. Деменков Н.П, Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткое преобразование Лапласа в моделировании. Ч. 1 // Информационные технологии. — 2017. — Т. 23, № 4. — С. 251—257.

21. Деменков Н.П, Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткое преобразование Лапласа в моделировании. Ч. 2 // Там же. — 2017. — Т. 23, № 5. — С. 362—369.

22. Armand A., Gouyandeh Z. Solving two-point fuzzy boundary value problem using variational iteration method // Communication advanced computational science with applications. — 2013. — Vol. 2013. — P. 1—10. doi: 10.5899/2013/cacsa-00006.

23. Ritz W. Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik // Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. — 1909. — Vol. 1909, iss. 135. — P. 1—61. — URL: https://doi.org/10.1515/crll.1909.135.1 (дата обращения: 16.11.2017).

Статья представлена к публикации руководителем РРС А. К. Погодаевым.

Деменков Николай Петрович — канд. техн. наук, доцент, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, H dnp@bmstu.ru,

Микрин Евгений Анатольевич — академик РАН,

ген. конструктор, первый зам. ген. директора,

ПАО «РКК «Энергия» им. С.П. Королева»;

зав. кафедрой, Московский государственный технический

университет им. Н.Э. Баумана, H eugeny.mikrin@bmstu.ru,

Мочалов Иван Александрович — д-р техн. наук, профессор, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, H intelsyst@mail.ru.