Нечеткая оптимизационная задача о быстродействии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.97

Нечеткая оптимизационная задача о быстродействии

© И.А. Мочалов1, М.С. Хрисат2

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия 2 Российский университет дружбы народов, Москва, 117198, Россия

На основе решения нечеткой вариационной задачи и теории нечетких линейных систем разработан алгоритм синтеза нечеткого управления при ограничении на управление для нечеткой задачи Лагранжа (задачи о быстродействии). Приведен пример построения оптимальной нечеткой фазовой траектории и нахождении «сильного или слабого» времени перехода из нечетких состояний.

Ключевые слова: нечеткие задачи оптимизации, нечеткие линейные системы, нечеткая фазовая траектория, нечеткая задача о быстродействии.

Введение. Настоящая статья является продолжением серии статей одного из авторов по применению теории нечетких линейных систем (НЛС) и нечетких вычислений к решению оптимизационных задач управления [1—5]. Далее будут использованы базовые понятия теории нечетких множеств: нечеткое число; нечеткая функция; ее непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость и другие базовые понятия нечеткого математического анализа, а также нечеткий функционал, используемый в нечетком вариационном исчислении. Ниже рассматривается нечеткая оптимизационная задача о быстродействии для динамической системы.

1. Постановка задачи. Имеем модель динамического объекта в пространстве состояний:

) = Лх() + В.

и(1), ^ ,¿2] = Т — промежуток функционирования; хт = (хг,...,хп) — вектор состояния; ит = (ихич) — вектор управления. Для объекта заданы нечеткие граничные условия:

X (( = 0) = хш;

Х2 ( = 0) = Х2Н'

где хщ, х2Н — нечеткие числа с заданными функциями принадлежностей г(х) = г, г(х2) = г2;г, г2 е [0;1]; х1, х2 е . Задан функционал качества управления:

I (х, и, t) = 11 (х, и, t) +12 (х1, х (^)),

где I (•)= [2L(x,u,t)dt, L(•) — интегрант, I2(-) — терминальный

член. Необходимо найти minu(t)I(x, u, t) или, в символической форме, М = НГУ = I ^ min I, где M — модель; НГУ — нечеткие граничные условия; I — функционал. Для получения интерпретируемых в геометрической форме результатов рассмотрим частную задачу об успокоении материальной точки [6,7], для которой решается нечеткая задача о быстродействии (нечеткая задача Лагранжа).

Имеем

{Xj —

— модель объекта управления; u — управление;

X2 — u

x (t = 0) = xih = (x (r)>xi (r)1 r e [o;i]);

X2 (( = 0) = X2H = (( (r) x2 (r) / Г e [0;!])

нечеткие граничные условия, представленные в уровневой форме, H — индекс нечеткости;

3) \u\ < 1 — ограничение на управление;

г Th

4) I = J^ dt = TH — функционал качества управления.

В условиях (1- 4) необходимо найти minu TH (рис. 1).

Х1Н х Х2Н

х2 -

Рис. 1. Задача о быстродействии (задача Лагранжа):

1fd=т

= TH - min при нечетких граничных условиях x1H, x2H

2. Метод решения. В соответствии с принципом максимума имеем функцию Гамильтона

Н (и) = х2 + ¥ 2и -1,

где — вспомогательные переменные. Условный максимум ра-

вен arg maxщS1H (u) = sign ¥2. При x1H(0), x2H(0) канонические уравнения равны:

xc^ — %2; XjH (0), x^ (T) — 0 i2 — sign V2 ; X2H (0), X2 (T) V! — -dH / dx1 — 0

откуда

v 2 — -дн / dx2 —-v 2,

V i = 0 (t) = C1;

V2 = -* (t) = -c + c ^

^ un (t) = sign V2

% =C,t+1"

= sign (-C1t + C2)

— оптимальное управление.

Нетрудно показать, что ин () имеет одну нечеткую точку переключения и соответственно два интервала знакопостоянства. На одном из них иН () = 1н, на другом ин () = -1Н .

Замечание. Выше везде полагается, что все переменные являются нечеткими, но для упрощения обозначений индекс «И» опущен, за исключением граничных условий. Это обусловлено тем, что одним из источников нечеткости является неопределенность, вызванная неточностью измерительной системы.

Получим нечеткие фазовые траектории. Для = 1 имеем

х<2 — ^ — 0,5х<2 + а. Для мН () = -1Н после аналогичных вычислений получим

х1 = 0,5х2 + а .

Находим «а» из нечетких граничных условий:

x(0)=Хн

= 0,5 x2

x,(0)=

+ а ^ 1 • а = x1H - 0,5 (x2H )2.

JlH

Расширенная НЛС равна:

' 1 о У a(r) W y (r) л

0 1 )\-ä(r) =

vv

L/

J

\

- У(r )

J

откуда

ан = (а(г) = Ух(г);а (г) = Ух(г)/г е[о;1]),

поэтому

Хн = (X (г) = 0,5x2 + У; (г); X (г) = 0,5х22 + у (г) / г е [0;1])

Аналогично находим Ь и далее х1Н: х1н = (XI (г) = 05 ь2 + у2 (г); Х1 (г) = 05 Х2+"У2 (г) /г е !]) •

Это означает, что фазовые траектории являются нечеткими параболами.

Находим нечеткое время Тн = т1Н + т2Н, затрачиваемое на переход из нечеткой точки. Здесь т1Н, т2Н — нечеткие времена движения соответственно при иН = 1н и мН = -1н (рис. 2).

xi + ai х,-

х{ (г) Нечеткие

0 1 г

"опт(0 = -1

"опт(0= 1

1. Участок (т1Н)

2. Участок (Тгн)

* * * '' /'' '' х* Область изменения

ХЯ - (х1н; х2н)

Рис. 2. Оптимальная нечеткая траектория в задаче о быстродействии На первом участке перехода хН ^ х при ы*н = 1н имеем

х2 () = ^ + с1 ^ х1 ) = 0,5t2 + е^ + с2.

Х2 — и

Находим е\, с2 из граничных условий:

ХО) Х2 (()

х((=0)=хн

2 ((=0)=

0' 5 t=0 +С1 ' Ч I=0 +С2

1 0 с Хщ

= Л +с

, ' t=0

V с2у

V Х2Н У

0 1

> С1 = Х2Н' С2 = Х1Н'

поэтому получаем

X! ) = 0,5?2 + х2Н? + х1Н; х2 ) = t + хн.

Аналогично на втором участке перехода х^ ^ х0 при ин = 1н :

%2 — и

х2 () = ^ + с1 ^ х1 () = 0,5t2 + с^ + с2.

Находим с1, с2 из условия, что в конечный момент времени ТН = т1Н + т2Н фазовая траектория должна попасть в начало координат (переход т. хн ^ т. х^ ^ т. х0):

Х1 С) )=0 = -0,5'

<

+ С • ,=гн + С2 (Т '

х2(-Гн )0

поэтому получаем

г-гн +С1

1Н 1 0

V с2 У

0,5ТН2 Л Т

V ТН У

^ С = Т ■ с = 0 5 Т2

1 Н' 2 ' Н'

X (?) = -0,5?2 + Тн? + Тн; х2 ) = — + Тн.

Находим т1н из условия непрерывности фазовых траекторий в нечеткой точке х^ (рис. 2):

х(1) (t _т ) _т(2) (1 )

Х2Н ( _ Т1Н ) _ Х2Н ( _ Т1Н )'

где верхние индексы (1), (2) обозначают фазовые траектории соответственно на первом и втором участках.

В результате получаем нечеткое квадратное уравнение относительно т1Н:

2Т1Н + (4х2и ) Т1Н + (2Х1Н + Х2Н ) = 0 ,

решение которого при т2Н > 0, т2Н = т1Н + х2Н задает:

Т1Н _ Х2Н + 2 (Х2Н + 2хн )

1 2 .

Т2Н _ 2 (Х2Н + 2Х1Н )

При этом полагается, что x2H < 0 и 2 xH + x2H > 0 , откуда

TH T1H + T2H X2H +

2 (x2H + 2xiH )

Из решения НЛС получим

T =

T{r} = -x, + Г2(( + 2x )]2 ; T (r) = X2 + Г2(( + 2X; ))2 / r g [0;1]

где х) = (х - а) + а,г; х) = (х + Р,)- Р, = 1.2.

3. Частные случаи.

1. Положим для простоты расчетов (четкий вариант):

хш = (X!(г) = X!(г) = 0/г е[0;1]);

Х2Н = (Х2 (Г) = Х2 (Г) = -4/ Г е [0; 1]) >

тогда

т1 = 4 + 2^2; т 2 = 242;

Т = т1 + т 2 = 4 + 4^2,

что совпадает с результатом, полученным в [6].

2. Найдем тип нечеткого решения «сильное/слабое» относительно Тн в зависимости от параметров а, р. Будем, как и выше, полагать

Х1Н _

0Н = (0(r) = -а + ar; 0(r) = p-pr/r е[0;1]);

Х2Н = -4h = (-4(r ) = (-4 - а ) + ar ; - 4(r ) = (-4 + p) - P(r ) / r e [0;1]).

Для того чтобы TH было «сильным», необходимо выполнение неравенства, которое определяет нечеткое число [2]:

- [t (r = 0) < T (r = 1) = 4 + 4V2

T(r = 0) < T (r = 0) _ ._

lT (r = 0) > T (r = 1) = 4 + 4V2.

Это дает следующий результат -7 < а < 22,5; ß > 6,85; ß < -22,3. В противном случае будем иметь «слабое» решение относительно TH.

Подобным образом могут быть вычислены соответствующие решения TH для других значений.

5. Выводы.

1. Сформулирована нечеткая вариационная задача о быстродействии, которая решена для частного случая успокоения материальной точки при наличии нечетких граничных условий, ограничения на управление и заданного функционала.

2. Для частного случая успокоения материальной точки построены нечеткие фазовые траектории с использованием теории решения нечетких линейных систем. Показано, что этими траекториями является семейство нечетких парабол.

3. Для параметризованных функций принадлежностей нечетких граничных условий получены диапазоны их варьирования, которые обеспечивают «слабое/сильное» решение задачи о нечетком быстродействии.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Goetschel R. Jr., Voxman W. Elementary fuzzy calculs. Fuzzy sets and systems, 1986, N 18, pp. 31-43.

[2] Friedman М. et al. Fuzzy linear systems. Fuzzy sets and systems, 1998, N 96, pp. 201-209.

[3] Деменков Н.П., Мочалов И.А. Нечеткие сплайны. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение», 2012, № 2(87), с. 48-58.

[4] Асмолова Ю.Е., Мочалов И.А. Элементы нечеткого вариационного исчисления. Вестник РУДН. Сер. «Инженерные исследования», 2010, № 4, с. 37-43.

[5] Бамбышева Д.А., Мочалов И.А. Нечеткое программное управление. Вестник РУДН. Сер. «Инженерные исследования», 2013 (в печати).

[6] Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. Москва, Высшая школа, 2006, 272 с.

[7] Афанасьев В.Н. и др. Математическая теория конструирования систем управления. Москва, Высшая школа, 2003, 614 с.

Статья поступила в редакцию 28.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Мочалов И.А., Хрисат М.С. Нечеткая оптимизационная задача о быстродействии. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 10. URL: http://engjournal.ru/catalog/it/hidden/1092.html

Мочалов Иван Александрович родился в 1941 г., окончил в 1965 г. Московский энергетический институт, в 1971 г. — МГУ им. М.В. Ломоносова. Д-р техн. наук, профессор кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 научных работ в области теории и практики оптимизации и идентификации систем автоматического управления.

Хрисат Мохммад Слеман родился в 1981 г., окончил в 2007 г. Нью-Йоркский технологический институт, получив степень магистра, с 2007 г. преподает в университете Аль-Балка, с 2012 г. — аспирант Российского университета дружбы народов. e-mail: mohd.khrisat@fet.edu.jo