CC BY
69
1 2
Мочалов И.А., Хрисат М.С.
ХМГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, Россия
2Российский университет дружбы народов, Москва, Россия
СИНТЕЗ НЕЧЕТКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.
ВВЕДЕНИЕ
Традиционное вариационное исчисление связано с нахождением четких траекторий, которые оптимизируют заданный четкий функционал. Однако, в действительности модель объекта (МО) и функционал качества (ФК) как правило, задаются неточно. Если неточность интерпретировать как нечеткость, то в результате приходим к нечетким оптимизационным задачам управления, решаемые методами традиционного вариационного исчисления [1-3] .
По аналогии с четким случаем будем иметь следующие задачи нечеткого управления [4]:
нечеткое программное управление, зависящее только от времени;
нечеткое управление с полной обратной связью, которое зависит от времени и всех фазовых координат;
нечеткое управление с неполной обратной связью, когда управление зависит от времени и части фазовых координат.
Ниже рассматривается решение задачи по п.(іі) методом динамического программирования. В общем случае при задании МО в векторной форме в виде x = f(X,U,t), X - вектор фазовых координат; U -вектор управления; t - время, считается что метод динамического программирования (метод Беллмана) является менее эффективным из-за необходимости решать дифференциальное уравнение в частных производных для получения оптимального управления U*(t) U*(t) в явном виде как функции от вектора состояния X.
Однако, если МО линейна и ФК является квадратичным, то решение задачи (іі) удается получить в явном виде.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Имеем:
X(t) = A(t)^X(t) + B(t).U(t)
X(t = to) = X0H — нечеткое начальное условие.
нечеткая линейная МО;
ФК = ФК± + ФК2 - квадратичный функционал качества, ФК± = 0.5 /{={# L(X, U, t)dt, ФК2 = 0.5[XT(t = ti).J\X(t = £х)]-
квадратичный терминальный член функционала, L(•) = XT(t) • S(t) • X(t) + UT(t) • Q(t) • U(t)- квадратичный
интегрант ФК±,%(), Л- неотрицательно определенные симметричные матрицы, Q(t) - положительно определенная симметричная матрица.
При заданных исходных данных по п.п.1, 2 необходимо найти пару (X*(t), U*(t)), которая
обеспечивает минимум ФК.
Эта задача является нечеткой задачей Больца, т.к. Ь(О^0, ФК2^0, Хон - нечеткая переменная с заданной функцией принадлежности r(xo) Є[0;1] .
МЕТОД РЕШЕНИЯ
В нечетком варианте решается четкая задача оптимизации, а далее производится фазификация ее решения [S]. Это приводит к следующему алгоритму: составляется уравнение Беллмана;
находится «максимум» по управлению уравнения Беллмана;
решается матричное дифференциальное уравнение Риккати при нахождении оптимального управления U*(t) и далее вектора X*(t);
производится фазификация U*(t), X*(t) относительно заданной нечеткой переменной.
ПРИМЕР
Имеем:
ФК =
x(t) = u(t),x(t = 0) = Хон — нечеткая МО,
(0.5 I u2(t) dt І + 0.5х2(, = 1) - функционал качества.
Jt=o '-J-' ) ' ■ ‘
Необходимо найти оптимальное управление U*(t), которое обеспечивает минимум ФК. В соответствии с достаточным условием оптимальности существует функция ф удовлетворяет уравнению Беллмана с соответствующими граничными, определяемые ФК2:
(д(р 9:
(о: д: 2)
axl——+ —— u — 0.5u f = 0- уравнение Беллмана г (dt дх ) н
—0.5x2
ф^ = 1,x) = —-----граничное уравнение.
Ф<2
Находится структура оптимального управления из условия:
д д:
— {•} = 0 о 0 + — '1 — 2'0.5u = 0 о u(t, х) = :х,
(t, x), которая
ФК
откуда имеем:
Уравнение Беллмана|u(,)_De
8 :t + 0.5(%с) = 0
Іф^ = 1,х) = —0.5х2
нелинейное уравнение в частных производных. Решаем
его методом разделения переменных:
ф(^х) = 0.5к2(0.х2,
где k2(t) - неизвестная функция. Подставляя ф (t,x) в исходное уравнение получим уравнение
Риккати :к2 = —k'2,k2(t1 = 1) = —1. Его решение равно :dk2/k2 = —dt ^
^ —~12 = —t + С ^ k2(t')lk2(ti = i)=-1 = (t — С) г\!=!і ^ —1 = (t — С) 1 ^
^ C = 2 ^ k2(t) = (t — 2)-1, поэтому ф(^х) = 0.5 • (t — 2)-1 • х2 ^
^ u*(t) = — {ф(t,х)}| ^ u*(t) = (t — 2)-1, откуда х = х(t — 2)-1,
дх Іф() = 0.5к2Х2
х(t = 0) = хон ^ dx/dt = х/(t — 2) ^ dx/x = dt/(t — 2) ^ Іпх = \n[(t —2) • С] ^
^ х\х(о)=АОЯ = С (t — 2)\t=o ^ 1 • C = —0.5хон - нечеткая линейная система (НЛС) первого порядка.
Расширенная НЛС равна [б]:
1
0
'-0.5*0 (r)
V 0 • 1 1 \-c) V 0.5x0(r) /
Откуда x^(t) = (x(t,r) = -0.5*o(r) • (t - 2),x(t,r) = -0.5x0(r) • (t - 2)/r Є [0; 1] ); uj,(t) = *• (t - 2)|A=A^ = (u*(r) = -0.5x0(r);u*(r) =-0.5x0(r)/r Є [0; 1])-заданное нечеткое начальное условие. Полученные нечеткие решения (Х*н(Ь), и*н(Ь)) являются «сильными» [б].
ВЫВОДЫ
1. Сформулирована задача нечеткого управления с полной обратной связью, которая решается традиционным методом динамического программирования с последующей фазификацией полученного решения.
2. На простейшем примере показана методика нахождения нечеткого управления, которое для заданного нечеткого начального условия объекта, является «сильным».
ЛИТЕРАТУРА
1. Асмолова Ю.Е., Мочалов И.А. Элементы нечеткого вариационного исчисления. Вестник РУДН, серия «Инженерные исследования», №4, 2010, с.37-43.
2. Деменков Н.П., Мочалов И.А. Нечеткие сплайны. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, серия «Приборостроение», 2(87), 2012, с.48-58.
3. Бамбышева Д.А., Мочалов И.А. Моделирование нечеткого программного управления. Труды 10-го Международного симпозиума «Интеллектуальные системы», г.Вологда, 25-29 июня 2012г., с.89-93.
4. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.
5. Buckley J.J., Feuring J. Introduction to fuzzy partial differential equations. Fuzzy sets and systems, 105(1999), 241-248.
6. Friedman M., Ma M., Kandel A. Fuzzy linear systems. Fuzzy sets and systems, 96(1998), 201209 .
