Нечеткие дифференциальные игры Текст научной статьи по специальности «Математика»

1 2

Мочалов И.А., Хрисат М.С.

ХМГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, Россия

2Российский университет дружбы народов, Москва, Россия

НЕЧЕТКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Класс задач управления, к которым обычно применяют принцип максимума Понтрягина и динамического программирования (метод Беллмана) являются задачи исследования типа:

«хищник - жертва»;

Футболист, догоняющий противника с мячом;

Преследование подводной лодки надводным кораблем;

Ракета, догоняющая цель и т.д.

Эти задачи имеют два переменных управления "U", "И",. Целью "U", - минимизация показателя каче-

ства, "V" - максимизация этого же показателя.

Перечисленные выше задачи преследования обычно рассматриваются в теории дифференциальных игр [1] .

Цель настоящей работы состоит в реализации нечеткого аналога одного из типов четких дифференциальных игр.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Имеется модель объекта управления в векторной форме:

х = f(t,x,U,V),x(t = t0) = хон — нечеткая переменная с заданной функцией принадлежности г(яо)є[0;1]. и функционал качества управления (план игры):

I(U,V) = f^f0(t,x,U,V)dt + F(x(t = t1)),f0 —интегрант функционала.

Цель 1-го игрока найти U*: Ii(U^) = minumaxv I (U,V) ,а цель 2-го игрока - найти V,:Ii(V,) = maxvminuI(U,V).

В этих условиях необходимо найти: 1. U,h,V,h - нечеткое оптимальное управление; 2. Нечеткую цену

игры 1(и,р)1и*н. Отметим здесь, что в четкой задаче имеем x(t = t0) = х0 - четкая переменная, а в не-

2*Н

четкой задаче - x(t = t0) = x0h - нечеткая переменная.

МЕТОД РЕШЕНИЯ

Алгоритм решения состоит из следующих процедур [1]:

Составляется гамильтониан: H = Y,i Чif.—fo, где f0 - интегрант функционала; f - правая модели объекта; ¥5- вспомогательная переменная.

Находится минимакс Н по переменнымU,V: Йи = 0; Hv = 0 и находятся соответствующие решения U,,V,. Составляется и решается система канонических уравнений с краевыми условиями: ¥5 =—Йх.; x,|t=to = x0H';4lt=tl =—Fx., ГДЕ F(0 - вторая составляющая функционала качества.

ПРИМЕР

Решение задачи демонстрируется на примере. Имеемб

x = и — 6, x(t = 0) = x0h

ti=i

I = j (и2 — 262)dt + 0.5x2(t = ti = 1)

to = 0 >

Гамильтониан равен: Й = ¥ • f\f=u-s — fo\f0=u2-s2 = ¥(u — 6) — (u2

(и2 — 262Лі] = 0 ^ и, = 0.5¥;

— [¥(и — 6 )- (и2 — 262)] = 0 ^ 6* = 0.25¥; каноническая система

—Hxlu,,G, ^ Ч = — [Ч(и* — 6,) — (и2 — 26Ж ^

^ ¥t = 0,x(t = 0) = x0H; ¥(ti = 1) = —Fx\f=0Qx2.

В результате из R = 0 ^ R(t)\w(ti=i)=-x(i') = С ^ С =

l.U,H>6,H ?

2.1,н.

62); минимакс Н по и, 6:— [¥(и — 6 ) —

du

имеет вид: x = и — 6|u,A ^ x = 0.25¥; ¥ =

= —x(t) ^ R(t) = —x(1),, откуда x = 0.25VIW=-X(i) ^ x =

= 0.25x(ti = 1) ^ x(t) = 0.25x(1) • t + b\x(i)=i ^ b = xaH ^ x(t) = x0H — 0.25x(1)lx(i)=i ^ x(1) = x0H — 0.25x(1) • 1 ^

x(t) = 08xOH ^ x,H(t) = °.25x(1) Ix(i)=0.8xoh • t + b\b=x0H ^

x,H(t) = x0h0.25x0h • t ^ x,H(t) = (1 — 0.25 • t) • x0h- оптимальная нечеткая траектория в виде нечеткой линейной системы 1 (НЛС)1 относительно x,H(t) .

Далее находим оптимальные нечеткие управления : и,н = 0.5’R\s=-x(i)=o.8xoH ^

^ и*н = —0.4xOH — (НЛС)2; 6*H = 0.25R\s=-x(i)=0.8xoH ^

^ 6,н = —0.2x0h — (НЛС)з. Нечеткая цена игры равна:

I(u,H, 6,H»x(1))\u»H = -0-4xoH = j [(0.4xOH)2 — 2(—0.2xOH)2]dt + 0.5(0.8xOH)2 ^

5,h = -0.2xoh Jo x,h=0.8xoh

^ I,h = 0.2(xoh)2 - (НЛС) 4.

В результате получены совокупность (НЛС)і, i=1,4, каждая из которых решается стандартным спо-

собом [2]. Например, для (НЛС)2 имеем расширенную НЛС:

/1 : 0 \ / и1\ / —0.4xo(r) \

— ——0.4xo(r—

, detS ф 0 :

. = (и,(г) = —0.4xo(r);u, = —0.4xo(r) /г Є [0;1]).

xoH

Здесь хон

нечеткое число, поэтому и,н- нечеткая

«сильная» переменная.

Аналогичным способом решаются (НЛС)1,3,4. В результате получим: 6,н = (6,(r) = —0.2xo(r); 6,(r) = —0.2xo(r)/r Є [0; 1]); x,H(t) = (x,(r, t) = (1 — 0.25t) • xo(r,t); (1 — 0.25t)x,(r)/r Є [0; 1]);

I,h = (L(r) = 0.2xss(r);l,(r) = 0.2xo(r)/r Є [0; 1]),

нечеткое начальное условие с заданной функцией принадлежностей

где хан = (х0(г),х0(г)/г Є [0;1]) -r(Xo) , r Є [0;1] , ХоЄНх.

Полученные нечеткие решения зависят только от Ион, которое является нечетким числом, поэтому все полученные решения являются «сильными» решениями.

ВЫВОДЫ.

Сформулирована нечеткая игровая задача, которая решается традиционным методом с последующей фазификацией полученного решения.

На простейшем примере показана методика нечеткого решения игровой задачи. Показано, что все получаемые нечеткие решения являются «сильными».

ЛИТЕРАТУРА

1. Jsaacs R. Different Games, New York, John Wiley and Sons, Jnc., 1965.

2. Пантелеев А.В. Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2003 .