Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.97

Оценивание параметров модели по нечетким данным

© И.А. Мочалов1, М.С. Хрисат2

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия 2 Российский университет дружбы народов, 117198, Россия

Рассмотрены традиционные методы получения точечных оценок применительно к «гибридным» данным, которые являются одной из разновидностей нечетких случайных переменных. Методами теории нечетких линейных систем показано, что при обработке «гибридных» данных возникают «сильные/слабые» оценки точечных параметров. Приведены простейшие примеры обработки нечетких случайных данных.

Ключевые слова: гибридные данные, методы обработки гибридных данных, «сильные/слабые» оценки.

Введение. Одной из задач традиционной математической статистики является оценка неизвестных четких параметров выбранной параметрической модели. В этом случае полагается, что закон распределения fx, 0) четкого случайного вектора x генеральной совокупности задан, а четкий вектор 0 параметров является неизвестным. Задача оценивания в этом случае имеет вид: необходимо найти четкий вектор оценки 0 по выборке четких случайных данных x = (x1, x2, ...,xn), полученной из генеральной совокупности случайным образом.

Подобная задача оценивания имеет место в нечетком случае, когда x — нечеткий случайный вектор с 0 нечетким вектором параметров. Такие нечеткие случайные данные принято называть гибридными данными (ГД) [1]. В терминах вероятностных пространств полагается, что метрика в этом пространстве задается в виде евклидовой метрики.

Далее будем рассматривать задачу оценивания для ГД. В этом случае применяются традиционные методы математической статистики, а для нахождения функции принадлежностей полученной оценки используются приемы и терминология теории нечетких линейных систем [2]. В результате этого появляются «сильные/слабые» оценки.

1. Постановка задачи. Имеется многомерная нечеткая плотность f(xH, 0н) генеральной совокупности, где xH, 0н — нечеткие векторы; Н — индекс нечеткости. Необходимо по ГД x1H, x2H, ..., xnH случайной выборки из генеральной совокупности найти вектор нечеткой

оценки 0 Н нечеткого вектора параметров 0H.

2. Методы решения. В прикладных задачах традиционной математической статистики для решения сформулированной выше задачи чаще всего используются методы моментов, максимального правдоподобия, наименьших квадратов [3].

2.1. Метод моментов. Есть нечеткая случайная выборка данных хн = (х1н, х2н, ..., х„н) из генеральной совокупности Хн, которая имеет закон f(хн, 0Н) распределения с точностью до нечеткого вектора параметров 0Н = (01н, 02н, ..., д„н). Полагается, что у нечеткой случайной величины Хн существуют первые г нечетких моментов

ткН = ЕХН, к = 1, г, которые являются функциями нечеткого вектора

неизвестных параметров т^(0н).

С другой стороны, имеется г нечетких выборочных характеристик (нечеткие статистики) ткН = п-1 Е П=1 хкН, к = 1, г .

В соответствии с методом моментов нечеткая оценка 0Н находится из нечеткой системы уравнений: тк (0Н) = тш, к = 1, г относительно 0Н. В общем случае эта система является нелинейной. Подобные уравнения справедливы относительно нечетких центральных моментов и их выборочными нечеткими центральными моментами:

Ак (0н ) = АкН » к = 1»г .

Пример. Пусть нечеткая случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с неизвестным нечетким параметром А,н:

/ (х, X н ) = Х н еГ-пХ, х > 0.

Задана нечеткая случайная выборка: х1н, х2н, ..., хпН. Необходимо найти нечеткую оценку X Н неизвестного параметра А,н по методу моментов. Для экспоненциального распределения имеем т1Н = XН [3].

Первый нечеткий выборочный начальный момент пг1Н = и-1 х,Н,

откуда \ Н = (п 1 £ ;=1 хгН) '.

Для упрощения дальнейших вычислений переходим к обратной

величине ТН = ЯН1 = п-1 £ П=1 хш .

Положим

Хн = (X (г) = ( - в) + Рг; X (г) = (х + а) - а г / г е [0; 1]), а> 0, в> 0, а>в — параметры, тогда

Т = ■'и

'£(/•)=п1 ^ [(( -в )+вг) Т(г) = п-1 £"=1 [( + а) - аг] / г е [0; 1]

откуда

[¿(г) = (Тср - в) + вг; Г (г) = (Гср + а) - аг / г е [0;1]), Гср = I*ых,.

Т =

Для того чтобы Тн было нечетким числом, должны выполняться неравенства [2]

(Гср + а)-аг <0, (-р) + рг > 0,

(( +а) - аг > ( - в) + вг, Уг € [0; 1],

которые справедливы всегда, так как а > 0, в > 0. Это означает, что нечеткая оценка Тн является «сильной». Расчеты показывают, что XН также является «сильной» нечеткой оценкой.

2.2. Метод максимального правдоподобия. Вектор нечетной оценки находится из следующего условия: тах0н 1п Ь (хН, 0Н), где

Ь (хН, 0Н) = П "=1 / (хН, 0Н) — функция правдоподобия.

Это приводит к нечеткой системе уравнений относительно нечетких компонент 0кН вектора 0Н:

д 1пЬ(хн,0Н)

д 0,

= 0, К = 1, г.

Пример. В теории управления достаточно часто используются нечувствительные или робастные нечеткие системы [4], которые малочувствительны к внешним возмущениям. Аналогичные системы существуют при нечетком оценивании, когда возникает задача фильтрации аномальных измерений. Один из способов их описания состоит в использовании для этих целей нечеткого распределения Лапласа [3].

Пусть задана нечеткая случайная выборка х = (хш, х2Н, ..., хпН) с независимыми компонентами, которые имеют плотность

/ (н, еи ) = 2 2 5 ехР

22 / Хн-0н

Л = 1,2.

Здесь 0Н = Ех — нечеткое математическое ожидание, подлежащее оцениванию; 8 — заданная четкая константа.

Имеем

п __

/ (, ен ) = п / (, ен ) = 6-п 2 2 ехр<

г=1

V21п=1 |х,н -ен

- функция правдоподобия нечетких переменных. Логарифмическая функция правдоподобия

1п / (хН, 8Н ) = -п 1п 8-0,51п2 - 218-1 Е"=1 |хН-9Н| = а + Ь ( + С2)

где

^(=1 К ' Хи > ' ^(=1 |Хн ' ХН < '

1

а = -п 1п 8 - 0,51п 2; Ь = -2 2 81; п1 + п2 = п

Нечеткое уравнение для нахождения 0 Н:

д

тах

1п (хн, вн )<-

де.

а

+ ¿11 вн + X вн

= 0 о

о Ь (-п1 + п2) = 0 о п1 =

П2 ■

Это означает, что 0 Н = Ме |хгН }, где Ме — символ медианы совокупности нечетких переменных хш, I = 1, п.

Медиана нечеткой совокупности находится аналогичным способом, существующим для четких переменных. В этом случае отношение порядка «<»; «>»; «=» для нечетких переменных, определенные в [5], используются для построения нечеткого вариационного ряда

Х(1)Н, Х(2)Н, •••, Х(„)Н.

В результате получим:

Эн = Ме {хш =

0,5

х(2 т)н + х(2 т+1)н

(2т+1)н ,

п — четное п — нечетное

Пусть п — нечетное, тогда 0 Н является «сильной» оценкой, так как

по условию задачи полагается, что все элементы {хгНимеют

функции принадлежностей в виде нечетких чисел.

Очевидно, что при четном п также получается «сильная» оценка. 2.3. Метод наименьших квадратов (МНК). В соответствии с МНК нечеткие случайные данные ум, I = 1, т связаны между собой

в

Н

линейной моделью уН (t) = Zn=i хНf (t) + еН (t), t e [0,T] e R1, где eH — нечеткая случайная переменная с симметричной плотностью и параметрами: EeH(0); DeH(t) = 82-I, I — единичная матрица; 8 — заданная четкая константа; нечеткость eH(t) задается с помощью функции принадлежностей r(eH) треугольного типа; f (t), i = 1, n, — заданные базисные функции модели; хН, i = 1, n — неизвестные нечеткие параметры модели, подлежащие определению по m нечетким случайным измерениям: YH = (yh (t), Ун (^2 ) >•••> Ун (tm )) = (У1н ' У2нУш н ) > которые получены в момент времени t: ti, t2, ..., tm; m > n — число измерений m больше числа n неизвестных параметров модели. Нечеткий вектор оценок находится из условия

minx еНен = minx ||yh - FX\,

где F = (fi(tj))mxn — прямоугольная матрица.

Это приводит к необходимости решения нечеткой линейной системы [2] AX = UH, где A = (f,fj); i,j = n — квадратная матрица

dim A = (n x n); UH = ( = ((, YH), U2H = (f, YH),...,U„H = (f, YH)) — вектор нечетких переменных, UiH = (f.,YH), г = 1, n, — скалярное произведение векторов f, YH

в En. В результате находится вектор нечетких оценок ХХН = (х1Н, х2Н,..., хпН), компоненты которого, согласно

[2], могут быть «сильными» или «слабыми».

Пример. Имеем модель yH(t) = x1H-1 + x2H-t + eH(t). Здесь f1(t) = 1, f2(t) = t — базисные функции (n = 2). Получены нечеткие случайные данные (m = 3):

точка Oi : ( =-1; уш = (( = r; y = 2 - r / r е[0;1])),

точка 02: (2 =0; У2Н = ((2 =0; y2 =0 / r e M))

точка O3 : (3 = 1; Узн = ((3 = r; У3 = (ß -1) - ßr / r e[0;l])), ß > 0. Вычисления дают следующее:

(f) = E3=i 1 -1 = 3; (/„ f) = (f, f) = E3=i 1 • 0;

(2, f ) = Z?=i ti2 = 2;

3

(/P Yh ) = X1 - Ун = (Н + УЗН )UIH =

i=1

= (Ui (r) = 2• r; Ui (r) = (ß + 3)-(ß + 1)r /r € [0;1]);

(f2, yh ) = tу1н = (-У1н + узн ) = U2н =

= (U2 (r) = 0; U2 (r) = (ß-1)-(ß-1 )r /r e [0;1]). В результате получим

f f ) (f, f2 ) (, fl ) (, f2 )

Х1Н

VX2H У

Uih = (fi, YH )'

U2H = (f2' YH \

| 3 ' Х1Н + 0 ' Х2Н = U1H 10 ' Хш + 2 ' ХН = U2H

—>■

Uh

^ Х1Н = uih / 3 =

( , 2 x ( , ß + 3 ß + 1

(r ) = — r; x1 (r ) =---

w 3 1W 3 3

r / r € [0;l]j;

Х2Н = U2H / 2 =

Х2 (r) = 0; Х2(r) = ÖLÜ-i^r / r € [0;lf

Оценка xiH, i = 1,2 является «сильной», если компоненты x(r), xi (r), i = 1,2 удовлетворяют следующим условиям:

(i) x,(r) — монотонно убывающая;

(ii) х(г) — монотонно возрастающая:

(iii) x(r) > x,(r), Vre[0;1].

Для x1н(г) имеем: x1 (r) t; x1 (r) l, x1H (r = 1) = x1 = 2/3; xj (r = 0) = = 1 + ß/3, поэтому при Vß> 0, r = 0 ^ 1 + ß/3 > 2/3 ^ о x1 (r = 0) ^ x1 справедливо (iii). Это означает, что X1Н является

«сильной» оценкой при Vß.

Аналогичные вычисления для X2H дают, что при ß > 1 оценка X2H является «сильной», а при 0 < ß < 1 — «слабой». Это означает, что в зависимости от величины параметра ß нечеткая оценка модели yH(t) может быть либо «сильной», либо «слабой».

Выводы.

1. Рассмотрены нечеткие случайные переменные в виде «гибридных» данных.

2. Сформулирована задача по оцениванию параметров «гибридных» данных.

3. Рассмотрены модификации традиционных методов математической статистики: метод моментов; метод максимального правдоподобия; метод наименьших квадратов при обработке «гибридных» данных.

4. Приведены простейшие примеры появления «сильных/слабых» оценок.

2Н

A

ЛИТЕРАТУРА

[1] Bernhard F. Arnold. Jesting fuzzy hypotheses with crips data. Fuzzy sets and systems, 94(1998), pp. 323-333.

[2] Menahem Friedman et al. Fuzzy linear systems. Fuzzy sets and systems, 96(1998), pp. 201-209.

[3] Горяинов В.Б. и др. Математическая статистика. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

[4] Ma J., Feng G. An approach to Hm control of fuzzy dynamic systems. Fuzzy sets and systems, 137 (2003), pp. 367-386.

[5] Goetshel R. Jr and Voxman W. Elementary fuzzy calculus. Fuzzy sets and systems, 18 (1986), pp. 31-43.

Статья поступила в редакцию 28.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Мочалов И.А., Хрисат М.С. Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 10. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/hidden/1089.html

Мочалов Иван Александрович родился в 1941 г., окончил Московский энергетический институт в 1965 г., МГУ им. М.В. Ломоносова в 1971 г. Д-р техн. наук, профессор кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 научных работ в области теории и практики оптимизации и идентификации систем автоматического управления.

Хрисат Мохммад Слеман родился в 1981 г., окончил Нью-Йоркский технологический институт в 2007 г., получив степень магистра, преподает в университете Аль-Балка с 2007 г., аспирант Российского университета дружбы народов с 2012 г. e-mail: mohd.khrisat@fet.edu.jo