Нечеткая модель второго типа прогнозирования временных рядов с хеджалгеброй и алгоритмом генетической оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Нечеткая модель второго типа прогнозирования временных рядов с хедж-алгеброй и алгоритмом генетической

оптимизации

Нгуен Тхи Тху Зунг, Л. В. Черненькая

Аннотация—Чтобы соответствовать современным требованиям развития социально-экономических проблем необходимо разрабатывать и совершенствовать модели прогнозирования. Существующие модели прогнозирования нечетких временных рядов (FTS) построены на основе теории нечеткой логики первого типа, однако теория нечеткой логики второго типа показывает больший охват предметных областей и более точное моделирование состояния объектов и систем. Это важно, поскольку в реальности степень принадлежности элемента к конкретному множеству не может быть определена точно, а только в пределах диапазона. В данной работе предложена нечеткая модель прогнозирования временных рядов, основанная на теории нечеткой логикой второго типа и структуры алгебры Хеджа. Параметры предложенной модели оптимизированы с помощью генетических алгоритмов. Предложенная модель тестируется на прогнозе ежедневных значений данных тайваньского фондового индекса (TAIEX), а результативность прогнозирования оценивается по метрикам RMSE, MAPE и MSE.

Ключевые слова—Нечеткая логика второго типа, нечеткая модель прогнозирования временных рядов второго типа, хедж-алгебра, генетический алгоритм, оптимизация модели прогнозирования, фаззификация, дефаззификация второго типа.

I. Введение

Одним из значительных достижений в информационных технологиях является появление нечеткой теории, предложенной Заде в 1965 году [1]. В дальнейшем, в 1993 году Сонгом и Чисомом разработана нечеткая модель прогнозирования временных рядов [2]. С тех пор нечеткие модели прогнозирования временных рядов применяются и совершенствуются для прогнозирования различных ситуаций [3]. Прогнозирование нечетких временных рядов - это краткое название прогнозирования нечетких временных рядов первого порядка. Для совершенства модели нечетких временных рядов первого порядка по качеству точности прогнозирования целесообразно использовать следующие подходы: техника дискретизации универсума дискурса с помощью методов на основе

отношений, методов оптимизации (метод роя частиц (PSO), генетический алгоритм), методы кластеризации при фаззификации (метода К-средних (КМ) и нечеткой кластеризации С-средних ^СМ)), построение моделей высокого порядка, эвристических моделей, гибридных моделей и многофакторных моделей [4], [5].

На практике во многих реальных случаях невозможно однозначно определить степень принадлежности элемента к нечеткому множеству. Это затрудняет применение модели прогнозирования нечетких временных рядов первого типа. Для преодоления указанной проблемы Хуанг в своей работе предложил модель прогнозирования нечетких временных рядов второго типа [6]. В данной модели нечеткие логические группы отношений (FLRG) получены из модели нечеткого временного ряда первого типа, а затем расширены до модели нечеткого временного ряда второго типа путем определения дополнительных переменных, таких как "высокий", "низкий", с применением операторов объединения и пересечения на нечетком множестве второго типа в процессе дефаззификации. Преимуществом нечеткого множества второго типа является способность выражать больше информации. В работе [7] гибридные интеллектуальные системы, нейронные сети и интервальная нечеткая логика второго типа представлены и применены для прогнозирования хаотических временных рядов. Результаты прогнозирования показали, что интервальная нечеткая логика второго типа превосходит некоторые гибридные интеллектуальные подходы, а нейронные сети дают результат, сопоставимый с нечеткими системами второго типа.

Модели нечеткого прогнозирования второго типа для временных рядов разрабатываются и совершенствуются многими исследователями. В работе [8] предложен новый метод прогнозирования тайваньского фондового индекса на основе оптимизированного нечеткого временного ряда высокого порядка второго типа. В работе [9] предлагается интервальная нечеткая весовая подстройка второго типа для нейронных сетей с обратным распространением, которая применяется в задаче прогнозирования временных рядов. Кроме того, в

Статья получена 19 ноября 2023.

Нгуен Тхи Тху Зунг, аспирантка, Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого (e-mail: thudung.mta.tb@gmail.com; ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9206-5968).

Черненькая Людмила Васильевна, д-р техн. наук, проф., Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого (e-mail: ludmila@qmd.spbstu.ru).

работе [10] нечеткие нейронные сети интервального второго типа (1Т2) применяются для нелинейной идентификации и прогнозирования временных рядов. Разработана новая модель прогнозирования временных рядов второго типа на основе трехфакторных нечетких логических отношений, при этом используется новая техника разделения пространства рассуждений на интервалы различной длины для разных факторов [11]. Предложена интервальная система нечеткой логики второго типа (IT2FLS) для прогнозирования фондового индекса на основе нечеткого временного ряда и нечеткой карты логических связей (FLRM) [12]. Кроме того, в работе [13] предложен гибридный метод прогнозирования на основе весовой корректировки нейронной сети с использованием обобщенного нечеткого множества второго типа. Также в работе [14] предложена модель временных рядов на основе нечеткого множества второго типа. Прогнозирование временных рядов на основе интервального нечеткого множества второго типа с использованием подхода, основанного на разбиении данных, описано в работе [15]. Новая модель IT2-FCM-FTS, использующая алгоритм интервального второго типа FCM вместо традиционного FCM для разделения области выборки и улучшения производительности модели прогнозирования временных рядов, представлена в работе [16].

В моделях прогнозирования нечетких временных рядов первого типа широко применяется метод Хеджа-алгебры, однако его применение в моделях прогнозирования нечетких временных рядов второго типа пока ограничено. Наряду с этим комбинированное применение методов оптимизации для моделей прогнозирования нечетких временных рядов второго типа по-прежнему требуется большого внимания и развития [17], [18], [19].

В данной статье рассмотрена новая модель прогнозирования нечетких временных рядов второго типа с использованием подхода Хеджа-алгебры. В частности, процессы семантизации и десемантизации используются для эффективной поддержки фаззификации и дефаззификации на основе выявления существенных связей между лингвистическими метками (а также семантическим значением) и граничными интервалами соответствующих нечетких множеств. Для оптимизации результатов прогнозирования путем минимизации значения ошибки МАРЕ в модели применен генетический алгоритм для получения величины основных входных параметров.

Данная статья разделена на 6 частей. Первая часть представляет собой введение. В следующей части представлены теоретические основы модели. В третьей части приведена структура предлагаемой модели и этапы ее реализации. В четвертой части представлено применение предложенной модели для прогнозирования реальных данных. В пятой части приводится оценка эффективности предложенной модели. Обобщенные выводы представлены в Заключении.

II. Теоретические основы А. Основы теории нечеткого множества второго типа

Определение 1. Нечеткое множество второго типа

можно определить как расширение нечеткого множества первого типа.

Пусть U — универсума дискурса; A — нечеткое множество в U . Тогда нечеткое множество A второго типа в X — это нечеткое множество, степени принадлежности которого сами по себе являются нечеткими и тогда

A = {( x, да ( x)) | ma ( x) e A(U ): x e X},

где Да : X — A(U) . Заметили, что в нечетком множестве

первого типа степень принадлежности характеризуется четким значением, тогда в нечетком множестве второго типа степень принадлежности рассматривается как нечеткая.

B. Прогнозирование нечетких временных рядов второго типа

Определение 2. Нечеткая модель временных рядов второго типа использует нечеткие отношения, установленные моделью первого типа на основе наблюдений первого типа. Операторы используются для включения или исключения нечетких связей, полученных из наблюдений первого типа и второго типа. Прогнозы второго типа затем рассчитываются на основе этих нечетких отношений.

Определение 3. Операторы объединения и пересечения определены для вычисления отношений между двумя нечеткими логическими группами отношений:

V( LHSd, LHSe ) = RHSd U RHSe

A(LHSd, LHSe ) = RHSd П RHSe,

где V — оператор объединения и A — оператор пересечения в теории множеств; LHS и RHS — это левая и правая стороны группы нечетких логических отношений d и e соответственно.

C. Хедж-алгебраический подход

Определение 5. Хедж-алгебраическая структура имеет вид AX = (X,G,C,H,<), где: G = {c+,c-} —

множество первичных образующих, c+ и с-отрицательный и положительный первичный термин лингвистической переменной X ; C = {0,W,1} — набор констант, которые различаются элементами в X ; H — набор хеджа, где

H — ={h_p h_2,..., h—q }, h_i < h_2 < ... < h—q и

H + = Ri> h+2,...;h+ p} h+i < h+2 < .. <h+ p .

Определение 6. Семантическая квантификация

Пусть v : X —> [0,1] - семантическое количественное отображение, порожденное fm на X. Тогда семантическая квантификация метки определяется следующим образом:

v(hjX) = v(x) + sign(hjX)

где

^ fm(hjx) — i^(hjX) fm(hjX)

i=sign{ j)

u(hjX) = 2 [l + sign(hjX) sign(hphjX)(ß — a)], j e [—qAp, j ^ 0

где функция S'gn(х) - представляет собой знаковую функцию; уот называется мерой нечеткости.

III. Предложенная модель

В данной работе предложена новая модель для повышения эффективности прогнозирования модели нечетких временных рядов второго типа с использованием подхода хедж-алгебры. Для оптимизации результатов модели прогнозирования путем минимизации значения МАРЕ при изменении входных параметров в предложенной модели используются генетические алгоритмы. Модель выполнена для различного количества входных наблюдений: 50, 100, 150, 200, 250 соответственно. Структура предложенной модели прогнозирования представлена на рис. 1. Этапы реализации предложенной модели описаны следующим образом: Шаг 1. Ввод данных

Входной временной ряд имеет вид (Г) со

значениями в наборе X , где X = {х,}, i = 1, п, п — количество наблюдений, соответствующее количеству моментов во входном временном ряду. Предположим, что в каждый момент времени t наблюдаемое значение имеет верхнее и нижнее предельное значение х, и х соответственно, тогда временные ряды второго типа имеют вид (Г) и § (Г), расположенный в

соответствующих множествах X и X, где

X = {х,}, X = {£■}, i = Ш.

Шаг 2. Дискретизация

Универсум дискурса имеет вид

и = [Х^ — Xшax + и2 ]. На данном шаге выполняется деление универсума дискурса и на N интервалов, т.е. и = {и }; / = . Шаг 3. Фаззификатор

Целью данного шага является построение нечетких множеств А/ на основе интервалов м^, затем

определение принадлежности наблюдений к нечетким множествам, одновременно определение семантики и семантической квантификации для лингвистических переменных соответствующих нечетких множеств. Шаг 3.1. Определение нечетких множеств. Нечеткие множества А/ определяются следующим

образом:

А1 = 1/ и1 + 0.5/ м2 + 0/ и3 +... + 0/ , А2 = 0.5/м1 +1/м2 + 0.5/м3 +... + 0/,

Ау—1 = 0/м1 + 0/м2 +... + 0.5/—2 +1/му— 1 + 0.5/,

= 0/м1 + 0 /м2 +... + 0/2 + 0.5/1 +1/. Шаг 3.2. Семантизация и семантическая квантификация

Семантизация объясняется тем, что лингвистические метки {ЙА,с} соответствуют нечетким множествам А/,

структурированным в соответствии с подходом хедж-алгебры, т.е. А1 ^ {йА1с}, А2 ^ {М2с},...,^ {йАус},

где йД. представляет собой хедж-ряд, действующий c с c = {c-,c+} .

Семантическая квантификация выполняется путем расчета семантических значений по параметрам а,3, в

следующим образом: {hA^c} — fj (в,а,3) посредством

отображений v, fm, sign.

Шаг 3.3. Фаззификация

Наблюдаемые значения x., x., х. временного ряда

F (t), F (t), F (t) фаззифицируются путем определения их

принадлежности к нечетким множествам Aj.

Шаг 4. Построение групп нечетких логических отношений

После фаззификации наблюдаемых значений временного ряда F (t), на данном шаге создаются группы нечетких логических отношений. Тогда да-я группа имеет вид SAm — SAk , где m, k е [1, N]. Шаг 5. Определение нечетких отношений

Из построенных групп нечетких логических отношений прогнозирование наблюдения в момент i определяется через наблюдаемое значение в момент времени i — 1. То есть для целевого временного ряда

F (t) получается SAm--11) — SAki—для ряда F (t) и F (t) , -(i—n - SAki—'' и SAm-1> - SAki—15

получаются &4, соответственно. Шаг 6. Дефаззификация

Шаг 6.1. Дефаззификация второго типа

Для дефаззификации второго типа необходимо определить объединение и пересечение, где объединение

имеет вид &4<?) = У(ЯА<'—&А'—1), &4*—:°) и пересечение

имеет вид = Л(£А('—11), &4*—1), &4*—1)). Шаг 6.2. Десемантизация

Десемантизация определяется на основе последствий нелинейной десемантизации со значениями параметра семантизации лр и параметра десемантизации следующим образом:

Для объединения: х*° = (лр ор, SAIV')), для

пересечения: Х® = Япогт (^р, Ф, 5АлЛ') ) .

Шаг 6.3. Дефаззификация первого типа

Дефаззификация первого типа — это определение прогнозируемых значений для целевого временного ряда, то есть прогнозируемое значение, наблюдаемое в момент времени ', равно:

х(') + х(')

2

Шаг 7. Оптимизация

Оптимизация осуществляется с помощью генетического алгоритма. Чем точнее модель прогнозирования, тем меньше значение МАРЕ. Таким образом, генетический алгоритм ^А) оптимизирует значения входных параметров /, в, а, 3, ф , так, что бы минимизировать значение МАРЕ, т.е.

Яа(ЛМХЕ,в, а,3,яр,Ор) .

Рис. 1. Структура предложенной модели IV. Эксперимент и анализ результатов

А. Эксперимент

В работе предложенная модель была протестирована на прогнозировании ежедневных данных ТА1ЕХ в период с 04.01.2000 до 21.3.2000. Значения ежедневных данных показаны в таблице 1. Шаг 1. Ввод данных

Целевой временной ряд — это ряд ежедневных значений данных ТА1ЕХ на момент закрытия. Временные ряды второго типа представляют собой

ежедневный ряд самых высоких значений и ряд самых низких значений данных ТА1ЕХ. Тогда наблюдаемое множество значения X = [8250,10394].

Таблица 1. Ежедневные данные ТА1ЕХ

Момент F (t ) F (t) F (t )

01.04.00 8757 8804 8643

01.05.00 8849 8868 8668

01.06.00 8922 9024 8864

01.07.00 8846 8941 8739

01.10.00 9103 9126 8892

01.11.00 8927 9333 8891

A12 = Ic I = Lo

A23 = [h-1...h-^ c J = ¿..L.Lo;

A24 = [W ] = mid/e;

A25 = [h-1...h-1 c+ J = VZ-Hi;...; A35 = [h-1c+ J = L.Hi;

A36 =|c+I = Hi;

A37 = [h+1c+ J = V.Hi;

A47 = [L+1...h+1 c+ J = VJ..Hi;

Положительные хеджи усиливают семантическое значение, то есть оттягивают лингвистическую

1 НМ - Нечеткое множество

переменную от положения равновесия W , а отрицательные хеджи действуют наоборот (см. рис. 3).

Шаг 2. Дискретизация

Универсум дискурса определяется U = [8200,10400]. В данной работе универсум дискурса U разбит на 47 равных интервалов, т.е. U = {[щ]} , щ = [8200, 8246.8], и2 = [8246.8, 8293.6],..., u47 = [10353, 10400] Шаг 3. Фаззификатор

Шаг 3.1. Определите нечеткие множества Треугольные нечеткие множества определяются разделенными интервалами следующим образом: A1 = 1/щ + 0.5/и2 + 0/U3 +... + 0/U48 , A2 = 0.5/щ +1/U2 + 0.5/U3 +... + 0/U48 ,

A46 = 0/щ + 0/U2 +... + 0.5/U45 +1/U46 + 0.5/U47 , A47 = 0/ щ + 0/ U2 +... + 0/ U45 + 0.5/ U46 +1/ U47 . Функции принадлежности, соответствующие нечетким множествам, показаны на рис. 2.

А15 А16 А17 А18 А19 А20 А21 А22

8855 8902 8949 8996 9043 9089 9136 9183 9229

Рис 2. Треугольная нечеткая функция принадлежности типа 1 Шаг 3.2. Семантизация и семантическая квантификация

Семантизация лингвистических переменных выполняется в соответствии со структурой хедж-алгебры с множеством первичных образующих

G = jc_, c+j=j/ow, highj , при наборе констант

C = j0, W,lj , W = jmid/ej , и наборе хеджа

H_ = jh_1 j = j /itt/e j , H + = jh+1 j = jveryj .

Тогда лингвистические переменные структурированы следующим образом:

A1 = [h+1...h+1 c_] = FJ/Lo;...; A11 = [h+1c_] = VLo; 1 11 ' 11

A13 = [h_1c_] = L.Lo;...;

Рис. 3. Семантический уровень лингвистических переменных

При семантической квантификации лингвистических переменных параметры определены следующим

образом: >(0) = Ап^) = /ш(1) = 0, /т(с+) = 1-в , /т(с-) = в , у(с+) = а + рв, у(с-) = рв . В данной работе, значения а = 0.0085 и в = 0.4745 выбраны.

Тогда семантическая квантификация выполняется следующим образом:

у( Аи) = уф+С)

= у(с-) + sign(h+lc-) [ /т^о-) - ш ^с- Х/т^с-)]

= eß2

где

! 0.4665

1

ш(}г+1с ) = ^[1 + sign(h+1c )sign(h+lh+lc )(З - а)|

Аналогично определяются семантические

квантификации для всех лингвистических переменных.

Шаг 3.3. Фаззификация

Для фаззификации временного ряда необходимо определить принадлежность наблюдений к нечетким множествам. Наблюдения относят к тому нечеткому множеству, в котором они имеют наибольшую принадлежность (см. таблица 2).

Таблица 2. Фаззификазия

Момент F(t) НМ1 F (t ) НМ F (t ) НМ

01.10.00 9103 A20 9126 A 20 8892 Al5

01.11.00 8927 A16 9333 A 25 8891 Al5

01.12.00 9145 A21 9145 A21 8937 Al6

01.13.00 9107 A20 9238 A 23 9095 A20

01.14.00 9023 A18 9237 A 23 8968 A17

01.17.00 9315 A24 9385 A 26 9230 A23

01.18.00 9250 A23 9354 A 25 9210 A22

01.19.00 9151 A21 9336 A 25 9151 A21

01.20.00 9137 A21 9211 A 22 9078 A19

Шаг 4. Построить группы нечетких логических отношений

На основе фаззификации группы нечетких логических отношений представлены в таблице 3.

Таблица 3. Группы нечетких логических отношений

Закрытый Высокий Низкий

a14 ^ a10, a14, a16, a20 Al8 ^ Ai6 A 20 ^ A25 a15 ^ a12 , a15 , a16 a16 ^ a20

13 января 2000 г. необходимо учитывать, что значение наблюдения 12 января 2000 г. принадлежит нечеткой группе A21 для временных рядов "закрытый" и A21, A16 для временных рядов «высокий» и «низкий» соответственно (согласно табл. 2), поэтому используется группа нечетких логических отношений A21 ^ A^, A21, A23 для временных рядов "закрытый" и

A21 ^ A^ ; A16 ^ A20 для временных рядов «высокий» и «низкий» соответственно (согласно табл. 3) для прогноза на 13 января 2000 года.

Нечеткие отношении, определенные для прогнозирования каждого момента времени, показаны в таблице 4.

Таблица 4. Нечеткие отношения

a16 ^ a14 , a21 A21 ^ A23 a17 ^ a23

a18 ^ a24 a22 * a24 a19 ^ a21

a2q ^a16,a18 a23 ^ a23 a2q ^ a17

a21 ^ a2q , a21, a24 ^ a15, a27 a21 ^ a19 , a25

a23 a25 ^ a21 , a22, a25 a22 ^ a21

a23 ^ a21, a26 a26 ^ a25, a31 a23 ^ a22

a24 ^ a23

Шаг 5. Определение нечетких отношений

Чтобы определить прогнозируемое значение для времени Г, используется группа отношений нечеткой логики, соответствующая времени Г — 1.

Например, для прогнозирования значения наблюдения

Момент F(t) F (t ) F (t )

Q1.11.QQ a20 ^ a16, a18 a20 ^ a25 a15 ^ a12, a15 , a16

Q1.12.QQ a16 ^ a14 , a21 a25 ^ a21 , a22, a25 a15 ^ a12, a15 , a16

Q1.13.QQ a21 ^ a2q, a21, a23 a21 ^ a23 a16 ^ a2q

Q1.14.QQ a2q ^ a16, a18 a23 ^ a23 a2q ^ a17

Q1.17.QQ a18 ^ a24 a23 ^ a23 a17 ^ a23

Q1.18.QQ a24 ^ a23 a26 ^ a25, a31 a23 ^ a22

Q1.19.QQ a23 ^ a21, a26 a25 ^ a21 , a22, a25 a22 ^ a21

Q1.2Q.QQ a21 ^ a2q, a21, a23 a25 ^ a21 , a22, a25 a21 ^ a19, a25

Шаг 6. Дефаззификация

Шаг 6.1. Дефаззификация второго типа

Для дефаззификации второго типа необходимо выполнить два действия: определение объединения и определение пересечения.

Например, для прогноза значения наблюдения 13 января 2000 г. используются следующим нечеткие отношения: Закрытый: А21 ^ А20, А21, А23 ; Низкий:

А16 ^ А20 ; Высокий: А21 ^ А23 . По оператору объединения:

А, [13.1.2000] = V« А20, А21, А2з), А20, А2з) = А20, А2Р А2з По оператору пересечения: АЛ [13.1.2000] = Л((А20, А21, А23), А20, А23) = 0 Шаг 6.2. Десемантизация

Десемантизация выполняется на основе последствий нелинейной десемантизации по оператору объединения и пересечения, значения параметров семантизации и десемантизации выбираются лр = 0.6774 и ф = —0.626 . Результаты расчета представлены в таблице 5.

Таблица 5. Эвристические нечеткие отношения

Q1.14.QQ 9135 9136

Q1.17.QQ 9112 9Q43

Q1.18.QQ 9184 9323

Q1.19.QQ 9276 9277

Q1.2Q.QQ 92Q5 9183

Q1.21.QQ 92Q5 9183

Q1.24.QQ 9276 9277

Q1.25.QQ 9489 9417

Q1.21.QQ 92Q5 9183

Например, вычисляется значение прогноза для [13.1.2000] следующим образом:

Из таблицы 7 нечеткие соотношения используется для прогноза на момент [13.1.2000]:

По оператору объединения:

А, [13.1.2000] = А20, А21, А23

Семантическое значение определяется следующим образом:

[13.1.2000] = (2/5)* А20 + (1/5)* А21 + (2/5)* А23

и (25) * 0.4705 + (15) * 0.4705 + (2 / 5)* 0.4705 и 0.4705

Как показано на рис. 2, А20,А21,А23 находятся на отрезке от а = 9066 до Ь = 9300, тогда:

высокого порядка

Момент объединение пересечение

Q1.1Q.QQ 8874 8855

Q1.11.QQ 9135 9136

Q1.12.QQ 8922 8949

Q1.13.QQ 92Q5 9183

Я«™ (х,, лр) = (0.4705,0.6774)

= (0.6774 * 0.4705 * (1 — 0.4705) +

+ 0.4705)(9300 — 9066) + 9066

и 9216

Спрогнозированное значение определяется из нелинейной денормализации:

х, [13.1.2000] = (х,, ф) = Яитл (0.4705, — 0.626) и —0.626*(9216 — 9066) * (9300 — 92161(9300 — 9066) + 9216 и 9205**

*, ** Расчетные значения могут отличаться из-за аппроксимации

По оператору пересечения: АЛ [13.1.2000] = 0 Поскольку оно равно пустому множеству, для прогнозирования берем нечеткое множество А21 на 12 января 2000 г. Аналогично, после выполнения десемантизация и денормализации получаем хЛ[13.1.2000] = 9183 . Шаг 6.3. Дефаззификация первого типа Дефаззификация первого типа дает результаты прогнозирования временного ряда, показанные в таблице. 6.

Таблица 6. Результаты дефаззификации первого типа

Момент Прогноз

01.10.00 8865

01.11.00 9136

01.12.00 8936

01.13.00 9194

01.14.00 9136

01.17.00 9078

01.18.00 9254

01.19.00 9277

01.20.00 9194

01.21.00 9194

01.24.00 9277

01.25.00 9453

01.26.00 9453

01.27.00 9570

01.28.00 9629

01.31.00 9676

Например, прогнозное значение на 13 января 2000 года рассчитывается следующим образом:

x [13.1.00] =

xv [13.1.00] + хЛ [13.1.00] 9205 + 9183

= 9194

2 2 Шаг 7. Оптимизация

После проведения оптимизации путем применения генетического алгоритма с целевым значением МАРЕ результаты оптимизации при разных количествах наблюдений показаны в таблице 7.

Параметры для получения оптимальных результатов прогнозирования отображаются в столбцах "параметров", которым будут соответствовать наименьшие найденные значения ошибок для MSE, МАРЕ, RMSE, как и в столбце "метрика".

Значение МАРЕ наименьшее, когда входные данные равны п = 50 , количество нечетких множеств равно N = 35 , а соответствующие параметры а = 0.058, в = 0.4615 , яр = 0.3827 , ф = 0.0389 .

Таблица 7. Оптимизация по MAPE

n Параметры Метрика

N а в лр dp MSE MAPE RMSE

50 35 0.058 0.4615 0.3827 0.0389 27342 0.0130 165.35

100 75 0.0589 0.6197 0.1074 -0.3123 27733 0.0140 166.53

150 139 0.0508 0.5241 -0.1574 -0.1552 23487 0.0134 153.25

200 187 0.0502 0.5174 -0.6163 -0.0736 25782 0.01527 160.56

250 235 0.05 0.4248 -0.1965 0.1537 25481 0.0165 159.63

В. Анализ результатов прогнозирования

Сходство фактических значений и прогнозных значений по предложенной модели изображено на рис. 4, 5 для случая с п = 50 и п = 250 соответственно. Видно, что прогнозные и фактические значения для каждого случая достаточно близки друг к другу при средних разницах, составляющих примерно 1,3% и 1,65%, соответственно.

Для оценки эффективности прогнозирования предложенной модели в данной статье применены следующие меры погрешности между фактическими значениями и прогнозируемыми значениями:

Средняя абсолютная ошибка в процентах:

МАРЕ = 1 £|х(Г) — Х(Г)| п ,=1 х(Г)

Среднеквадратичная ошибка:

MSE = -£ ( x(t ) - x(t ))2 П i=1

Корень из среднеквадратичной ошибки: 1

RMSE = (x(t ) - x(t ))2

I П i=1

где х(Г) - фактическое значение в момент Г;

• х(Г) - прогнозируемое значение в момент Г;

• п - количество наблюдений.

10400

8400 -'-1-1-1-'-1-1-1-1-

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 4. Фактические и прогнозируемые значения при п = 50.

В случае с п = 50, модель прогнозирования дает среднюю процентную ошибку МАРЕ примерно 1,3%. Данный показатель говорит о том, что ошибка прозноза составила 1.3% от фактических значений. Среднеквадратичная разница между прогнозируемыми значениями и фактическими значениями (по метрике MSE) составляет МБЕ = 27342 и квадратный корень из средней квадратичной разницы между прогнозируемыми значениями и фактическими значениями (по метрике RMSE) составляет ЯМБЕ = 165.35.

0 50 100 150 200 250

Рис 5. Фактические и прогнозируемые значения при п = 250

Для случая с п = 250 результаты прогнозирования показали, что средняя процентная ошибка МАРЕ составляет примерно 1,65%, среднеквадратичная разница между прогнозируемыми значениями и фактическими значениями равна МБЕ = 25481 и квадратный корень из средней квадратичной разницы между прогнозируемыми значениями и фактическими значениями составляет ЯМБЕ = 159.63 .

V. Заключение

В данной работе предложена модель прогнозирования временных рядов второго типа с применением хедж-алгебры для прогнозирования временного ряда. Результаты прогнозирования оптимизируются с помощью генетического алгоритма путем минимизации значения меры ошибки МАРЕ при разных количествах наблюдений. Практическое применение модели показано для прогнозирования временных рядов ежедневных значений акций ТА1ЕХ с использованием значений закрытия ТА1ЕХ в качестве целевого временного ряда, а также максимальных и минимальных значений ТА1ЕХ за тот же период для нечеткой логики второго типа.

Предложенная модель прогнозирования больше подходит для коротких временных рядов. При увеличении времени увеличивается и ошибка. Результаты прогнозирования оценены путем сравнения прогнозируемых значений и фактических значений временного ряда.

Благодарности

Выражаем благодарность учёным и исследователям в рассматриваемой области, предложившим эффективное направление прогнозирования временных рядов, которое является основой для разработки новых улучшений, предложенных в этой работе.

Библиография

[1] L. A. Zadeh, "Fuzzy Sets," Information and control, vol. 8, pp. 338-353, 1965.

[2] Q. Song and B. S. Chissom, "Fuzzy time series and its models," Fuzzy Sets Syst, vol. 54, pp. 269-277, 1993.

[3] T. T. D. Nguyen and L. V. Chernenkaya, "Forecasting model of intuitionistic fuzzy time series using ratio distribution," International Journal of Open Information Technologies, vol. 11, no. 11, pp. 35-44, 2023.

[4] Т. Т. З. Нгуен and Л. В. Черненькая, "Фаззификация в моделях прогнозирования нечетких временных рядов," Журнал Известия Тульского государственного университета - Технические науки (ТулГУ, г. Тула), vol. 8, no. Системный анализ, Управление и обработка информации, pp. 337-346, 2023.

[5] Нгуен Тхи Тху Зунг and Л. В. Черненькая, "Дискретизация в моделях прогнозирования нечетких временных рядов," Журнал Известия Тульского государственного университета -Технические науки (ТулГУ, г. Тула), vol. 8, no. Системный анализ, Управление и обработка информации, pp. 296-304, 2023, doi: 10.24412/20716168-2023-8-296-297.

[6] K. Huarng and H. K. Yu, "A type 2 fuzzy time series model for stock index forecasting," Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 353, no. 1-4, pp. 445-462, 2005, doi: 10.1016/j .physa.2004.11.070.

[7] O. Castillo and P. Melin, "Comparison of hybrid intelligent systems, neural networks and interval type-2 fuzzy logic for time series prediction," IEEE International Conference on Neural Networks -Conference Proceedings, pp. 3086-3091, 2007, doi: 10.1109/IJCNN.2007.4371453.

[8] N. S. Bajestani and A. Zare, "Forecasting TAIEX using improved type 2 fuzzy time series," Expert Syst Appl, vol. 38, no. 5, pp. 5816-5821, 2011, doi: 10.1016/j.eswa.2010.10.049.

[9] F. Gaxiola, P. Melin, F. Valdez, and O. Castillo, "Interval type-2 fuzzy weight adjustment for backpropagation neural networks with application in time series prediction," Inf Sci (N Y), vol. 260, pp. 1-14, 2014, doi: 10.1016/j.ins.2013.11.006.

[10] O. Castillo, J. R. Castro, P. Melin, and A. Rodriguez-Diaz, "Application of interval type-2 fuzzy neural networks in non-linear identification and time series prediction," Soft comput, vol. 18, no. 6, pp. 1213-1224, 2014, doi: 10.1007/s00500-013-1139-y.

[11] Abhishekh, S. S. Gautam, and S. R. Singh, "A refined weighted method for forecasting based on type 2 fuzzy time series," International Journal of Modelling and Simulation, vol. 38, no. 3, pp. 180-188, 2018, doi: 10.1080/02286203.2017.1408948.

[12] J. A. Jiang, C. H. Syue, C. H. Wang, J. C. Wang, and J. S. Shieh, "An Interval Type-2 Fuzzy Logic System for Stock Index Forecasting Based on Fuzzy Time Series and a Fuzzy Logical Relationship Map," IEEE Access, vol. 6, pp. 69107-69119, 2018, doi: 10.1109/ACCESS.2018.2879962.

[13] S. S. Pal and S. Kar, "A Hybridized Forecasting Method Based on Weight Adjustment of Neural Network Using Generalized Type-2 Fuzzy Set," International Journal ofFuzzy Systems, vol. 21, no. 1, pp. 308-320, 2019, doi: 10.1007/s40815-018-0534-z.

[14] N. F. Rahim, M. Othman, R. Sokkalingam, and E. A. Kadir, "Type 2 fuzzy inference-based time series model," MDPI, Symmetry, vol. 11, no. 11, pp. 1-13, 2019, doi: 10.3390/sym11111340.

[15] A. C. V. Pinto, T. E. Fernandes, P. C. L. Silva, F. G. Guimaraes, C. Wagner, and E. Pestana de Aguiar, "Interval type-2 fuzzy set-based time series forecasting using a data-driven partitioning approach," Evolving Systems, vol. 13, no. 5, pp. 703-721, 2022, doi: 10.1007/s12530-022-09452-2.

[16] Y. Yin, Y. Sheng, and J. Qin, "Interval type-2 fuzzy C-means forecasting model for fuzzy time series," Appl Soft Comput, vol. 129, p. 109574, 2022, doi: 10.1016/j.asoc.2022.109574.

[17] D. N. Thi Thu and L. V. Chernenkaya, "A Forecasting Model Intuitionistic Fuzzy Time Series Using Distribution Ratio-Based," in 2023 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russian Federation: IEEE, Sep. 2023, pp. 392-397. doi: 10.1109/RusAutoCon58002.2023.10272755.

[18] D. N. T. Thu and L. V. Chernenkaya, "A High-Order Heuristic Fuzzy Time Series Forecasting Model Based on Hedge Algebras Approach," in 2023 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russian Federation: IEEE, Sep. 2023, pp. 721-728. doi: 10.1109/RusAutoCon58002.2023.10272750.

[19] Васильев Б. Ю., Нгуен Т. Х. Анализ влияния полупроводниковых преобразователей на батарею и двигатель асинхронного привода шахтных горнотран- спортных машин // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2023. - No 9-1. - С. 299-318. DOI: 10.25018/0236 1493 2023 91 0 299.

A forecasting model fuzzy time series type 2 with hedge algebraic and general optimization

algorithm

Nguyen Thi Thu Dung, L. V. Chernenkaya

Abstract—In order to keep with the evolution of socioeconomic problems, the development of forecasting models increasingly needs improvement. Existing fuzzy time series (FTS) forecasting models are based on the first type fuzzy logic theory, but the second type fuzzy logic theory shows greater coverage and more accurate modeling of reality in many cases. This is suitable because in reality, the degree of membership of an element to a set cannot be determined specifically, but only within a range. In this paper, a fuzzy time series forecasting model is proposed based on type two fuzzy logic theory and Hedge algebra structure. The parameters of the proposed model are optimized using genetic algorithm. The proposed model is tested by forecasting the daily values of TAIEX data and the forecasting performance is evaluated by RMSE, MAPE and MSE metrics.

Keywords—Type II fuzzy logic, type II fuzzy time series forecasting model, hedge algebra, genetic algorithm, forecasting model optimization, fuzzification, type II defuzzification.

References

[1] L. A. Zadeh, "Fuzzy Sets," Information and control, vol. 8, pp. 338-353, 1965.

[2] Q. Song and B. S. Chissom, "Fuzzy time series and its models," Fuzzy Sets Syst, vol. 54, pp. 269-277, 1993.

[3] T. T. D. Nguyen and L. V. Chernenkaya, "Forecasting model of intuitionistic fuzzy time series using ratio distribution," International Journal of Open Information Technologies, vol. 11, no. 11, pp. 35-44, 2023.

[4] T. T. D. Nguyen and L. V. Chernenkaya, "Fuzzification in forecasting models of fuzzy time series," Journal of Tula State University - Technical Sciences (Tula State University, Tula), vol. 8, System analysis, Management and information processing, pp. 337-346, 2023.

[5] Nguyen Thi Thu Dung and L.V. Chernenkaya, "Discretization in forecasting models of fuzzy time series," Journal of Tula State University - Technical Sciences (Tula State University, Tula), vol. 8, no. System analysis, Management and information processing, pp. 296-304, 2023, doi: 10.24412/20716168-2023-8-296-297.

[6] K. Huarng and H. K. Yu, "A type 2 fuzzy time series model for stock index forecasting," Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 353, no. 1-4, pp. 445-462, 2005, doi: 10.1016/j .physa.2004.11.070.

[7] O. Castillo and P. Melin, "Comparison of hybrid intelligent systems, neural networks and interval type-2 fuzzy logic for time series prediction," IEEE International Conference on Neural Networks -Con/erence Proceedings, pp. 3086-3091, 2007, doi: 10.1109/IJCNN.2007.4371453.

[8] N. S. Bajestani and A. Zare, "Forecasting TAIEX using improved type 2 fuzzy time series," Expert Syst Appl, vol. 38, no. 5, pp. 5816-5821, 2011, doi: 10.1016/j.eswa.2010.10.049.

[9] F. Gaxiola, P. Melin, F. Valdez, and O. Castillo, "Interval type-2 fuzzy weight adjustment for backpropagation neural networks with application in time series prediction," In/Sci (N Y), vol. 260, pp. 1-14, 2014, doi: 10.1016/j.ins.2013.11.006.

[10] O. Castillo, J. R. Castro, P. Melin, and A. Rodriguez-Diaz, "Application of interval type-2 fuzzy neural networks in non-linear identification and time series prediction," So/t comput, vol. 18, no. 6, pp. 1213-1224, 2014, doi: 10.1007/s00500-013-1139-y.

[11] Abhishekh, S. S. Gautam, and S. R. Singh, "A refined weighted method for forecasting based on type 2 fuzzy time series," International Journal of Modelling and Simulation, vol. 38, no. 3, pp. 180-188, 2018, doi: 10.1080/02286203.2017.1408948.

[12] J. A. Jiang, C. H. Syue, C. H. Wang, J. C. Wang, and J. S. Shieh, "An Interval Type-2 Fuzzy Logic System for Stock Index Forecasting Based on Fuzzy Time Series and a Fuzzy Logical Relationship Map," IEEE Access, vol. 6, pp. 69107-69119, 2018, doi: 10.1109/ACCESS.2018.2879962.

[13] S. S. Pal and S. Kar, "A Hybridized Forecasting Method Based on Weight Adjustment of Neural Network Using Generalized Type-2 Fuzzy Set," International Journal o/Fuzzy Systems, vol. 21, no. 1, pp. 308-320, 2019, doi: 10.1007/s40815-018-0534-z.

[14] N. F. Rahim, M. Othman, R. Sokkalingam, and E. A. Kadir, "Type 2 fuzzy inference-based time series model," MDPI, Symmetry, vol. 11, no. 11, pp. 1-13, 2019, doi: 10.3390/sym11111340.

[15] A. C. V. Pinto, T. E. Fernandes, P. C. L. Silva, F. G. Guimaraes, C. Wagner, and E. Pestana de Aguiar, "Interval type-2 fuzzy set-based time series forecasting using a data-driven partitioning approach," Evolving Systems, vol. 13, no. 5, pp. 703-721, 2022, doi: 10.1007/s12530-022-09452-2.

[16] Y. Yin, Y. Sheng, and J. Qin, "Interval type-2 fuzzy C-means forecasting model for fuzzy time series," Appl So/t Comput, vol. 129, p. 109574, 2022, doi: 10.1016/j.asoc.2022.109574.

[17] D. N. Thi Thu and L. V. Chernenkaya, "A Forecasting Model Intuitionistic Fuzzy Time Series Using Distribution Ratio-Based," in 2023 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russian Federation: IEEE, Sep. 2023, pp. 392-397. doi: 10.1109/RusAutoCon5 8002.2023.10272755.

[18] D. N. T. Thu and L. V. Chernenkaya, "A High-Order Heuristic Fuzzy Time Series Forecasting Model Based on Hedge Algebras Approach," in 2023 International

Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russian Federation: IEEE, Sep. 2023, pp. 721-728. doi: 10.1109/RusAutoCon58002.2023. 10272750.

[19] Vasilev B. U., Nguyen T. H. Influence of semiconductor converters on asyn- chronous drive battery and motor in mining machines. MIAB. Mining Inf. Anal. Bull. 2023; (9-1):299-318. [In Russ]. DOI:

10.25018/0236 1493 2023 91 0 299