CC BY
49
МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ
УДК 519.25
Р.Р. РЗАЕВ*, З.Р. ДЖАМАЛОВ**, Г.М. ШИХАЛИЕВА***, Ф.Б. АГАЕВ****
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ДЕФАЗЗИФИКАЦИИ ВЫХОДОВ НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА
Институт систем управления НАН Азербайджана, Азербайджанский государственный технический университет, Баку, Азербайджан Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан Институт туризма Азербайджана, Баку, Азербайджан Институт систем управления НАН Азербайджана, Баку, Азербайджан
Анотація. На прикладі конкретного часового ряду показника «Маржинальність продажів» розглядаються відомі нечіткі моделі прогнозування, що відрізняються своїми правилами фаззификації та/або дефаззифікації. В контексті даного дослідження пропонується метод точкової оцінки нечітких прогнозів, який, як показали обчислення, в порівнянні з деякими відомими правилами дефаззифікації дозволяє поліпшити статистичну якість прогнозування часового ряду. Ключові слова: часовий ряд, нечітка безліч, нечіткий прогноз, нечітке відношення, точкова оцінка.
Аннотация. На примере конкретного временного ряда показателя «Маржинальность продаж» рассматриваются известные нечёткие модели прогнозирования, отличающиеся своими правилами фаззификации и/или дефаззификации. В контексте данного исследования предлагается метод точечной оценки нечётких прогнозов, который, как показали вычисления, по сравнению с некоторыми известными правилами дефаззификации позволяет улучшить статистическое качество прогнозирования временного ряда.
Ключевые слова: временной ряд, нечёткое множество, нечёткий прогноз, нечёткое отношение, точечная оценка.
Abstract. On the specific example of the time series of “Marginality of sales” indicator there are considered known fuzzy forecasting models which differ in rules of fuzzification and/or defuzzification. In the context of this study, we propose point-estimation method of fuzzy forecasts which, according to the calculations, compared with some known rules of defuzzification can improve the statistical quality of time series forecasting.
Keywords: time series, fuzzy set, fuzzy forecasting, fuzzy relationship, point estimate.
1. Введение
Многие компании годами накапливают бизнес-информацию, надеясь, что в будущем она поможет им в комплексном аналитическом исследовании тенденций развития интересующих их процессов. Действительно, в некоторых случаях совокупность неприметных на первый взгляд «сырых» данных может стать источником дополнительной, гораздо более ценной информации - сведений о закономерностях, тенденциях или взаимозависимостях между какими-либо данными, которые невозможно получить на основе одной конкретной записи.
Одним из способов исследования скрытых закономерностей является
интеллектуальный анализ временных рядов, извлеченных из хранилищ исторических данных. Такой анализ непосредственно входит в сферу профессиональной деятельности специалистов различного профиля: менеджеров высшего и среднего звена, аудиторов, специалистов в области контроля качества, экономистов, маркетологов, аналитиков и др. Сама концепция интеллектуального анализа данных определяет задачи поиска
96
© Рзаев Р.Р., Джамалов З.Р., Шихалиева Г.М., Агаев Ф.Б., 2015 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
функциональных и логических закономерностей в накопленной информации, помогает строить модели и правила, которые объясняют найденные аномалии и/или прогнозируют развитие исследуемых процессов.
Прогнозирование временных рядов поддерживается в составе OracleDatabase посредством команды OracleOLAPFORECAST и опции OracleData Mining (ODM), которые, применяя стандартные механизмы прогнозирования [1], работают с «чистыми» историческими данными, то есть данными, представленными в виде обычных чисел. Однако в подавляющем большинстве случаев эти данные являются все же слабоструктурированными или даже неструктурированными, то есть такими, о которых известна их принадлежность к определенному типу. Поэтому для получения более адекватных результатов лучше всего их представлять интервально, например, как х є [ х ■ х 1, или, ещё лучше, в виде утверждений типа «х=близко к 7», то есть в виде
термов (значений) лингвистических переменных, описываемых нечёткими множествами.
В настоящей статье на конкретном примере слабоструктурированного динамического ряда рассматриваются некоторые известные нечёткие модели временного ряда, которые отличаются своими правилами фаззификации и/или дефаззификации. От того, насколько эти правила позволяют адекватно описывать слабоструктурированные данные временного ряда посредством нечётких множеств и, соответственно, интерпретировать полученные результаты в традиционной численной манере, зависит достоверность полученных прогнозов. В этой связи предлагается метод точечной оценки нечётких прогнозов, который по сравнению с рассмотренными известными правилами дефаззификации позволяет улучшить качество прогнозирования временного ряда.
2. Постановка задачи
При отсутствии адекватной математической модели интеллектуальный анализ временного ряда позволяет выявить достоверную информацию об исследуемом явлении в прошлом. Поэтому объектом нашего исследования будет временной ряд:
{A (k )}(k = 1 * t), (1)
в котором A(k ) является слабоструктурированной данной или, в нашем представлении, нечётким множеством, характеризуемым кортежем [2]:
{xk / m(xk)}, m(xk) ® [0,1], j = 1 * J. (2)
Нашей задачей является разработка метода дефаззификации для выходов известных нечётких моделей временного ряда, который позволил бы улучшить результаты прогнозирования по сравнению с существующими методиками. С этой целью в качестве базового ряда выберем временной ряд изменения показателя «Маржинальность продаж», отражающий динамику рентабельности компании за период с начала 1988-го года по конец 2-го квартала 2010-го года (табл. 1). Резонно полагать, что представленные в табл. 1 среднестатистические исторические данные в силу ряда объективных и субъективных причин не являются абсолютно достоверными и поэтому их целесообразно рассматривать как слабоструктурированные, то есть в нечёткой интерпретации. Последнее, как показала практика, позволяет более адекватно отнестись к динамике временного ряда и, соответственно, к его прогнозированию.
Таблица 1. Временной ряд показателя «Маржинальность продаж»
Год, квартал Показа- тель Год, квартал Показа- тель Год, квартал Показа- тель Год, квартал Показа- тель
1988,I 15,024 1993,IV 11,988 1999, III 13,186 2005, II 12,902
1988, II 13,514 1994,I 12,284 1999, IV 15,211 2005, III 13,606
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
97
Продолж. табл. 1
1988, III 11,637 1994, II 11,761 2000, I 17,030 2005,IV 14,401
1988, IV 11,691 1994, III 9,620 2000, II 16,012 2006, I 15,803
1989,I 12,651 1994, IV 9,595 2000, III 16,202 2006, II 15,704
1989, II 13,973 1995,I 8,169 2000, IV 15,320 2006, III 15,297
1989, III 12,777 1995, II 8,837 2001, I 16,450 2006, IV 14,497
1989, IV 11,005 1995, III 8,712 2001, II 14,298 2007, I 14,598
1990,I 12,137 1995, IV 11,012 2001, III 13,495 2007, II 15,701
1990, II 13,096 1996,I 11,044 2001, IV 13,920 2007, III 14,773
1990, III 13,183 1996, II 10,701 2002,I 15,045 2007, IV 13,313
1990, IV 13,441 1996, III 10,685 2002, II 13,862 2008, I 14,403
1991, I 13,748 1996, IV 10,332 2002, III 13,188 2008, II 14,708
1991, II 14,091 1997,I 10,911 2002, IV 13,183 2008, III 16,432
1991, III 14,123 1997, II 12,111 2003, I 12,611 2008, IV 15,825
1991, IV 16,186 1997, III 12,183 2003, II 12,734 2009, I 14,911
1992, I 14,633 1997, IV 12,085 2003, III 12,937 2009, II 13,951
1992, II 12,848 1998,I 11,684 2003, IV 12,870 2009, III 14,197
1992, III 13,379 1998, II 12,158 2004, I 13,406 2009, IV 13,421
1992, IV 13,987 1998, III 13,455 2004, II 12,794 2010,I 12,619
1993,I 13,336 1998, IV 13,787 2004, III 13,100 2010, II 11,736
1993, II 13,071 1999,I 12,570 2004, IV 13,600
1993, III 12,113 1999, II 12,096 2005, I 13,096
3. Прогнозирование нечёткого временного ряда на основе алгоритма Поулсена
Проблемой прогнозирования нечётких временных рядов активно занимаются на протяжении двух последних десятилетий. Среди многочисленных публикаций в этой области в первую очередь следует отметить работы К.Сонга и Б.Чиссома [3-5], Н.Кумара и др. [6], а также С.Чена [7, 8], К.Ченга и др. [9]. При этом большинство подходов к прогнозированию нечётких временных рядов предусматривают последовательное выполнение следующих процедур: 1) определение универсума в виде покрытия диапазона данных временного ряда; 2) фаззификация «исторических данных»; 3) выявление внутренних связей и их локализация; 4) нахождение нечётких выходов (прогнозов) и их дефаззификация.
Одним из наиболее адекватных подходов к нечеткому моделированию и прогнозированию слабоструктурированных временных рядов является алгоритм Поулсена [10], который предусматривает выполнение следующих шагов.
Шаг 1: определение универсума в виде покрытия диапазона данных временного ряда. Для определения ширины покрытия U для данных временного ряда используются следующие стандартные показатели: AD - среднее расстояние между двумя
последовательными числами ряда и sAD - соответствующее ему среднеквадратичное
отклонение, которое вычисляется соответственно как
AD =
1
t -1
t-1
SI x
k=1
(3)
SAD =
1
t
S (X
k=1
(4)
где X = X- X+J [10].
98
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
Само покрытие определяется как U = [х . — AD х + AD 1, где AD является
скорректированным значением показателя среднего отклонения данных; х^ является минимальным, а х является соответственно максимальным значением данных временного ряда. В частности, для нашего временного ряда, где t=91, имеем xmin =8,169, xmax =17,031. Чтобы найти нижнюю (LB) и верхнюю (UB) границы покрытия U вначале необходимо вычислить соответствующие значения показателей (3) и (4). В нашем случае это AD =0,7751 и sAD =0,5923. Далее выбирается минимальное значение среди отклонений в последовательных данных временного ряда, удовлетворяющих условию:
0,7751 — 0,5923 < хк < 0,7751 + 0,5923 (к = 1 *t — 1).
В нашем случае это х50 = 0,19. Тогда нижнюю и верхнюю границы покрытия U
определяют соответственно, как: LB=8,169-0,19=7,979, UB=17,031+0,19=17,221. Таким образом, искомым покрытием будет отрезок U=[7,979; 17,221], длина которого
вычисляется как разность между нижней и верхней границами: D=UB-LB=17,221-7,979=9,242.
Наконец, число интервалов, на которые необходимо разбить покрытие, вычисляется по адаптированной формуле:
n =
D Х50
2 ' Х50
9,242 - 0,19 2 • 0,19
= 23,8211» 24.
Шаг 2: построение нечётких подмножеств универсума U. После определения универсума U строятся его нечёткие подмножества с трапецеидальными функциями принадлежности вида
m A (х)
х — a
, a1 < х < a2,
a2 — a1 1, a2 < х < a3,
aA — х
—-------, a3 < х < a4,
a4 — a3
0, otherwise.
(5)
Для нахождения параметров aj ( j = 1 * 4) для каждой трапецеидальной функции
принадлежности используются «ключевые» точки разбиения универсума на 24 интервала. В частности, первая и вторая функции принадлежности выглядят так, как это показано на рис. 1.
Рис. 1. Трапецеидальные функции принадлежности
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
99
Построенные в подобной манере нечёткие множества представлены в табл. 2.
Таблица 2. Нечёткие множества, описывающие исторические данные временного ряда
Нечёткое множество Параметры функции принадлежности Нечёткое множество Параметры функции принадлежности
«1 «2 «3 а4 «1 аг а3 а4
А1 7,979 8,169 8,358 8,546 А13 12,506 12,694 12,883 13,072
А2 8,358 8,546 8,735 8,923 А14 12,883 13,072 13,260 13,449
А3 8,735 8,923 9,112 9,300 А15 13,260 13,449 13,637 13,826
А4 9,112 9,300 9,489 9,677 А16 13,637 13,826 14,014 14,203
А5 9,489 9,677 9,866 10,055 А17 14,014 14,203 14,391 14,580
А6 9,866 10,055 10,243 10,432 А18 14,391 14,580 14,769 14,957
А7 10,243 10,432 10,620 10,809 А19 14,769 14,957 15,146 15,334
А8 10,620 10,809 10,997 11,186 А20 15,146 15,334 15,523 15,711
А9 10,997 11,186 11,375 11,563 А21 15,523 15,711 15,900 16,089
А10 11,375 11,563 11,752 11,940 А22 15,900 16,089 16,277 16,466
А11 11,752 11,940 12,129 12,317 А23 16,277 16,466 16,654 16,843
А12 12,129 12,317 12,506 12,694 А24 16,654 16,843 17,031 17,221
Шаг 3: фаззификация данных временного ряда. В процессе фаззификации временного ряда для каждой его исторической данной в качестве аналога выбирается такое нечёткое множество, чтобы значение его трапецеидальной функции принадлежности от этой данной по сравнению с остальными имело бы наибольшее значение. Результаты фаззификации временного ряда представлены в табл. 3.
Таблица 3. Фаззификация исторических данных временного ряда
Год, квартал Показа- тель Нечёт- кий аналог Год, квартал Показа- тель Нечёт- кий аналог Год, квартал Показа- тель Нечёт- кий аналог
1988, I 15,024 А19 1995, III 8,712 А2 2003, I 12,611 А13
1988, II 13,514 А15 1995, IV 11,012 А8 2003, II 12,734 А13
1988, III 11,637 А10 1996,I 11,044 А8 2003, III 12,937 А13
1988, IV 11,691 А10 1996, II 10,701 А7 2003, IV 12,870 А13
1989, I 12,651 А13 1996, III 10,685 А7 2004, I 13,406 А15
1989, II 13,973 А16 1996, IV 10,332 А6 2004, II 12,794 А13
1989, III 12,777 А13 1997,I 10,911 А8 2004, III 13,100 А14
1989, IV 11,005 А8 1997, II 12,111 А11 2004, IV 13,600 А15
1990, I 12,137 А11 1997, III 12,183 А11 2005,I 13,096 А14
1990, II 13,096 А14 1997, IV 12,085 А11 2005, II 12,902 А13
1990, III 13,183 А14 1998,I 11,684 А10 2005, III 13,606 А15
1990, IV 13,441 А15 1998, II 12,158 А11 2005, IV 14,401 А17
1991, I 13,748 А16 1998, III 13,455 А15 2006, I 15,803 А21
1991, II 14,091 А16 1998, IV 13,787 А16 2006, II 15,704 А21
1991, III 14,123 А17 1999,I 12,570 А12 2006, III 15,297 А20
1991, IV 16,186 А20 1999, II 12,096 А11 2006, IV 14,497 А18
1992, I 14,633 А18 1999, III 13,186 А14 2007, I 14,598 А18
1992, II 12,848 А13 1999, IV 15,211 А19 2007, II 15,701 А21
1992, III 13,379 А15 2000, I 17,030 А24 2007, III 14,773 А18
1992, IV 13,987 А16 2000, II 16,012 А22 2007, IV 13,313 А14
1993, I 13,336 А14 2000, III 16,202 А22 2008, I 14,403 А17
1993, II 13,071 А14 2000, IV 15,320 А20 2008, II 14,708 А18
1993, III 12,113 А11 2001, I 16,450 А23 2008, III 16,432 А23
1993, IV 11,988 А11 2001, II 14,298 А17 2008, IV 15,825 А21
100
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
Продолж. табл. 3
1994, I 12,284 А12 2001, III 13,495 А15 2009, I 14,911 А19
1994, II 11,761 А10 2001, IV 13,920 А16 2009, II 13,951 А16
1994, III 9,620 А5 2002,I 15,045 А19 2009, III 14,197 А17
1994, IV 9,595 А5 2002, II 13,862 А16 2009, IV 13,421 А15
1995, I 8,169 А1 2002, III 13,188 А14 2010,I 12,619 А13
1995, II 8,837 А3 2002, IV 13,183 А14 2010, II 11,736 А10
Шаг 4: выявление внутренних нечётких отношений и разбиение их на группы.
Таблица 4. Нечёткие связи первого порядка
А1—А3 а8—а8 А11 ——А10 А13——А10 А15 —А13 А17 —А20 А19 —А15 А22——А22
А2—А8 А8—А7 А11 ——А15 А14 —А14 А15 —А14 А17——А15 А19 —А24 А22 —А20
А3—А2 А10—®А10 А12——А10 А14 —А15 А15 —А17 А17 —А21 А19——А16 А23 —А17
А5 —А5 А10—®А13 А12 —А11 А14——А11 А16——А13 А17——А18 А20 —А18 А23 —А21
А5 —А1 А10 —А5 А13 ——А16 А14 —А19 А16——А16 А18 —А13 А20 —А23 А24——А22
А6—А8 А10—®А11 А13—А8 А14——А13 А16——А17 А18 —А18 А21——А21
А7——А 7 А11 —А14 А13 ——А15 А14 —А17 А16 —А14 А18 —А21 А21——А20
А7 —А6 А11 ——А11 А13 ——А13 А15——А10 А16——А12 А18 —А14 А21 —А18
А8 —А11 А11 —А12 А13 ——А14 А15——А16 А16——А19 А18 —А23 А21 —А19
Таблица 5. Нечёткие связи второго порядка
А1, А3—А2 А8, А7 —А7 А11, А12 —А10 А13, А14 —А15 А15, А10——А10 А16, А17 —А20 А18, А18 —А21 А2Ь А21 —А20
А2, А8—А8 А10, Аю—А13 А11, А15—А16 А14, А14 —А15 А15, А16—А16 А16, А17—А15 А18, А21—А18 А21, 20——А18
А3, А2—А8 А10, А13 ——А16 А12, А10 —А5 А14, А14 —А11 А15, А16 —А12 А16, А14 —А14 А18, А14——А17 А21, А18 ——А14
А5, А5—А1 А№ А5—А5 А12, Ац—Аи А14, А14—А13 А15, А16—А19 А16, А12 —А11 А^ А23—А21 А2Ь А19—А16
А1—А3 А10, А11 ——А15 А13, А16——А13 А14, А15 ——А16 А15, А16 —А14 А^ А19 —А16 А19, А15 —А10 А22, 22 —А20
А6, А8—Ап А1Ь А14 —А14 А13, А8—Ап А^ А15—А14 А15, А13—А14 А17, А20—А18 А19, А24———А 22 А22, 20 —А23
А7, А7—А6 А11, А14 —А19 А13, А15—А16 А14, Ац—Ац А15, А13—Аю А№ А15—А16 А19, А16—А14 А23, 17——А15
А7, А6 —А8 А11, А11 ——А12 А13, А15 —А17 А^ А19 —А24 А^ А14 —А13 А17, А15——А13 А19, А16——А17 А23, 21 ——А19
А8, А11 ——А11 А1Ь А11 ——А11 А13, А13——А13 А14, А13 ——А13 А^ А17 —А21 А№ А21 —А21 А20, А18——А13 А24, А22——А22
11——А14 А11, А11 ——А10 А13, А13 —А15 А^ А13 ——А15 А№ А13 ——А 8 А17, А18 —А23 А20, А18 —А18
А8 —А7 А1Ь А10——А11 А13, А15 —А13 А^ А17 —А18 А№ А16——А17 А18, А13——А15 А20, А23 —А17
Нечёткие связи внутри временного ряда сгруппируем по следующему принципу: если нечёткое множество Ау2 связано, например, последовательно с Aw и Ап, то относительно этого
множества формируется локальная группа связей 1-го порядка: А12 —— А10, А11. Связи 2-го
порядка группируются аналогичным образом. Подобные группы нечётких отношений 1-го и 2-го порядков представлены соответственно в табл. 6 и 7.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
101
Таблица 6. Группы нечётких связей 1-го порядка
Группа 1: А\——А3 Группа 9: А11—-А№ А1Ь А^ А14, А15 Группа 17: А19—А15, А^ А24
Группа 2: А2—А8 Группа 10: А12—А10, А11 Группа 18: А20—А18, А23
Группа 3: А3—А2 Группа 11: А13—А8, А№ А13, А14, А15, А16 Группа 19: А21 —А19, А20, А21
Группа 4: А5 —Аь А5 Группа 12: А14 —А1Ь А13, А14, А15, А17, А19 Группа 20: А22—А20, А22
Группа 5: Аб—А8 Группа 13: А15—А10, А13, А14, А16, А17 Группа 21: А23—А17, А21
Группа 6: А7—^ А7 Группа 14: А16—А12, А13, А14, А16, АП, А19 Группа 22: А24——А22
Группа 7: А8—A7, А%^ А11 Группа 15: А17 —А 15, А18, А20, А21
Группа 8: о Ч — О Ч Ч Группа 16: А18—А13, А^ А18, А21, А23
Таблица 7. Группы нечётких связей 2-го порядка
Группа 1: АЬ А3—А2 Группа 24: А^ А13—*А^ А13 Группа 47: АП, А20——А18
Группа 2: А2, А 8 —А8 Группа 25: А^ А14 —А15 Группа 48: АП-, А21 —А21
Группа 3: ^, А2—А8 Группа 26: А^ А15—*А^ А^ А17 Группа 49: А^ А13——А15
Группа 4: ^ А1—А3 Группа 27: А13, А16——А13 Группа 50: А^ А14 —А17
Группа 5: ^, А5—А1 Группа 28: А14, А11 ——А11 Группа 51: А^ А18——А21
Группа 6: ^, А 8 —А11 Группа 29: А^ А13—-■А^ А15 Группа 52: А^ А21——А18
Группа 7: ^, А6—А8 Группа 30: А14, А14 —А1 Ь А13, А15 Группа 53: А^ А23 —А21
Группа 8: ^ А7—А6 Группа 31: А14, А15—-■А^ А16 Группа 54: А№ А15——А10
Группа 9: А8, А7—А7 Группа 32: А14, А17 —А18 Группа 55: А№ А16—-А^ А17
Группа 10: А8, А8—А7 Группа 33: А^ А19 —А24 Группа 56: А19, А24 —А22
Группа 11: ^ А11 —®А11, А14 Группа 34: А15, А10——А10 Группа 57: А20, А18—А13> А18
Группа 12: А10, А5—А5 Группа 35: А^ А16——А12, А^ А16, А19 Группа 58: А20, А23 —А17
Группа 13: А10, А10—А13 Группа 36: А15, А13——А10, А14 Группа 59: А21, А18 —А14
Группа 14: А№ А11 —®А15 Группа 37: А15, А14 —А13 Группа 60: А21, А19——А16
Группа 15: А№ А13 —®А16 Группа 38: А15, А17 —А21 Группа 61: А2П А20 —А18
Группа 16: А1Ь А10——А11 Группа 39: А^ А12——А11 Группа 62: А2Ь А21——А20
Группа 17: А1Ь А11 ——А10, А1Ь А12 Группа 40: А№ А13 ——А 8 Группа 63: А22, А20 —А23
Группа 18: А1Ь А12——А10 Группа 41: А^ А14 —А14 Группа 64: А22, А22 —А20
Группа 19: А11, А14——А14,А19 Группа 42: А16, А16——А17 Группа 65: А23, А17——А15
Группа 20: А1Ь А15 ——А16 Группа 43: А^ А17 —А15, А20 Группа 66: А23, А21——А19
Группа 21: А^ А10——А5 Группа 44: А16, А19——А16 Группа 67: А24, А22 —А22
Группа 22: А^ А11——А14 Группа 45: А17, А15——А13, А16
Группа 23: А^ А8 —А11 Группа 46: АП-, А18 —А23
Шаг 5: дефаззификация нечётких выходов модели. Для дефаззификации нечётких выходов в алгоритме Поулсена применим правила Чена [7, 8]. В частности, отталкиваясь от нечёткого описания объема маржинальных продаж за II квартал 1995-го года, вычислим его числовой прогноз на следующий III квартал 1995-го года. Нечётким аналогом исторической данной за I квартал 1995-го года является множество A1, которое, согласно
табл. 5, образует только одну однозначную связь: A1 — A3. Поэтому, применяя первое из
102
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
указанных правил, получим следующий прогноз: 9,018=(8,923+9,112)/2, Здесь имеется в виду, что и3 = [8,923; 9,112] относится к А3 с наибольшей степенью принадлежности.
Рассмотрим другой случай (на применение 3-го правила Чена [7, 8]): прогнозирование объема маржинальных продаж на II квартал 2001 -го года, где отправным предикатом является значение за I квартал того же года, так как нечётким аналогом этого показателя для I квартала 2001-го года является А23, тогда, согласно табл. 5, имеют место
группа нечётких отношений: А^ ® А17, А21 и соответствующие ей интервалы: и17 = [14,203; 14,391], u21 = [15,711; 15,9]. В этом случае прогнозом на II квартал 2001-го года будет число:
14,203 +14,391 15,711 +15,900
2______________2
2
15,051.
Таким образом, руководствуясь правилами дефаззификации Чена [7] для связей 1-го и 2-го порядков, получим соответственно следующие прогнозные результаты1.
Таблица 8. Дефаззифицированные выходы модели Поулсена для связей 1-го порядка
Год Факт, данные Прогнозные данные Группы нечётких отношений Средние точки интервалов
1988, I 15,024 А19 А24 13,543, 13,920, 16,937
1988, II 13,514 14,800 А15 А17 11,657, 12,789, 13,166, 13,920, 14,297
1988, III 11,637 13,166 ^10®^ А1Ь А13 9,772, 11,657, 12,034, 12,789
1988, IV 11,691 11,563 ^10®^ А1Ь А13 9,772, 11,657, 12,034, 12,789
1989, I 12,651 11,563 ^13®^ А16 10,903, 11,657, 12,789, 13,166, 13,543, 13,920
1989, II 13,973 12,663 ^16®^^ A'1, А19 12,412, 12,789, 13,166, 13,920, 14,297, 15,051
1989, III 12,777 13,606 ^13®^ A14, А16 10,903, 11,657, 12,789, 13,166, 13,543, 13,920
??????????
2010, I 12,619 13,166 A13®A8, A14, А16 10,903, 11,657, 12,789, 13,166, 13,543, 13,920
2010, II 11,736 12,663 ^10®^ А1Ь А13 9,772, 11,657, 12,034, 12,789
Таблица 9. Дефаззифицированные выходы модели Поулсена для связей 2-го порядка
Год Факт, данные Прогнозные данные Группы нечётких отношений Средние точки интервалов
1988,I 15,024
1988, II 13,514 А15®А10 11,657
1988, III 11,637 11,657 А10®А10 11,657
1988, IV 11,691 11,657 А10®А13 12,789
1989,I 12,651 12,789 А13®А16 13,920
1989, II 13,973 13,920 А16®А13 12,789
1989, III 12,777 12,789 А13®А8 10,903
??????????
'Из-за громоздкости вычислений здесь приведены только фрагменты результатов прогнозирования. В табл. 12 результаты прогнозирования по Поулсену для связей 1-го и 2-го порядков приведены в полном объёме.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
103
Продолж. табл. 9
2010,I 12,619 13,355 A\5, А14 11,657, 13,166
2010, II 11,736 12,412 А15, А13—®А10, А14 11,657, 13,166
4. Дефаззификация выходов модели Поулсена методом точечной оценки нечётких множеств
Дефаззификация нечётких выходов является ключевым шагом в процессе прогнозирования нечёткого временного ряда, от которой в немалой степени зависит достоверность прогнозирования в обычных числах. Многие правила, используемые при дефаззификации нечётких прогнозов, используют усредненные значения составных интервалов разбиения универсума, покрывающего диапазон данных временного ряда. В настоящем разделе предлагается использовать метод точечной оценки нечётких прогнозов, суть которого состоит в следующем.
Предположим, что нечёткое подмножество At универсума U (At с U) является
нечётким прогнозом, полученным в результате применения одной из рассмотренных выше моделей. Как правило, это множество консолидирует в себе два и более элементарных нечётких множества из списка множеств, описывающих исторические данные рассматриваемого временного ряда. Так, например, согласно алгоритму Поулсена, нечётким прогнозом на II квартал 1988-го года является группа нечётких отношений первого порядка: A19 — A15, A16, A^. В нотации механизма нечёткого вывода это
означает: «если предикатом является A19, тогда прогноз будет A15 или A16, или A^».
Учитывая наличие в правой части данного правила оператора «ИЛИ», функция принадлежности для нее определяется как
mA1988 II(u) = m45 u a16 ua24(u) = max{mA15(u),mA16(u),rnA24(u)}. Здесь в качестве функций
принадлежности мы будем использовать следующую трапецеидальную функцию:
m a, (x)
x — a
1k
a2k a1k
a1k £ X £ a2k ,
1 a2k £ X £ a3k ,
a4k — X
a4 k — a3k
a3k £ X £ a4k ,
0, otherwise,
(6)
которая восстанавливает k -ый нечёткий аналог Ak (к = 1 + 24) соответствующей
слабоструктурированной данной временного ряда.
Для точечной оценки нечёткого прогноза определим а -уровневые множества (ає [0; 1]) в виде Aa ={i | m~ (i)>а, І Є I}, где I - конечная совокупность чисел от
Umin до Umax, составляющих арифметическую прогрессию. Далее для каждого уровневого множества определим его мощность M (Aa) по формуле [11, 12]:
m(A )=, І є C
= n
В итоге точечная оценка нечёткого множества At вычисляется из равенства
(7)
104
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
1 amax
F(A) =----- f M (Aa )da,
a J
^max 0
(8)
где a - максимальное значение на A .
max і
Сформулированный метод точечной оценки применим к нечётким выходам модели Поулсена, которые в большинстве случаев представляют собой объединение нескольких элементарных нечётких множеств из перечня {Ak}(к = 1 ^ 24). Для построения этих
множеств в качестве опорного вектора выберем подходящую совокупность чисел из универсума U = [7,979; 17,221]. Пусть это будет набор из 51-го числа, изменяющихся от 7,979 до 17,221 с шагом 0,185:
С={7,9790, 8,164, 8,349, 8,534, 8,718, 8,903, 9,088, 9,273, 9,458, 9,643, 9,827, 10,012,
10,197, 10,382, 10,567, 10,752, 10,936, 11,121, 11,306, 11,491, 11,676, 11,861, 12,045, 12,230,
12,415, 12,600, 12,785, 12,970, 13,155, 13,339, 13,524, 13,709, 13,894, 14,079, 14,264, 14,448,
14,633, 14,818, 15,003, 15,188, 15,373, 15,557, 15,742, 15,927, 16,112, 16,297, 16,482, 16,666,
16,851, 17,036, 17,221}.
В качестве примера выберем нечёткий вывод модели Поулсена на II квартал 1988го года (А1988,п), являющийся объединением нечётких множеств A15, A16 и A24 (см. табл.
6), Восстанавливая эти множества с помощью соответствующих трапецеидальных функций принадлежности вида (6) на базе опорного вектора C, получим следующую интерпретацию нечёткого множества А1988,ц:
, 0000000000
1988,п 7,979 8,164 8,349 8,534 8,718 8,903 9,088 9,273 9,458 9,643
000000000
+-----------1------1------1------1------1------1-1-1-----------+
9,827 10,012 10,197 10,382 10,567 10,752 10,936 11,121 11,306
000000000
+-----------1------1------1------1------1------1-1-----------1-+
11,491 11,676 11,861 12,045 12,230 12,415 12,600 12,785 12,970
0 0,420 1 0,619 1 0,658 0 0 0
+-----------1------1------1------1------1------1------1------1-+
13,155 13,339 13,524 13,709 13,894 14,079 14,264 14,448 14,633
000000000
+-----------1------1------1------1------1------1------1------1-+
14,818 15,003 15,188 15,373 15,557 15,742 15,927 16,112 16,297
0 0,066 1 0,973 0
+-----------1------1------1------1------.
16,482 16,666 16,851 17,036 17,221
Уровневые множества Aa и соответствующие им мощности M (Aa) определим следующим образом [12]:
• для 0 <a< 0,066, d a = 0,066, Aa = {13,339, 13,524, 13,709, 13,894, 14,079, 16,666,
16.851, 17,036}; M (Aa) = 14,888;
• для 0,066<a<0,420, da = 0,354, Aa = {13,339, 13,524, 13,709, 13,894, 14,079,
16.851, 17,036}; M (Aa) = 14,633;
• для 0,420<a<0,619, da = 0,199, Aa = {13,524, 13,709, 13,894, 14,079, 16,851, 17,036}; M ( Aa) = 14,849;
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
105
• для 0,619<a<0,658, da = 0,039, Aa = {13,524, 13,894, 14,079, 16,851, 17,036}; M (Aa) = 15,077;
• для 0,658 <a< 0,973, da = 0,315, Aa = {13,524, 13,894, 16,851, 17,036}; M (Aa) =
15,326;
• для 0,973 <a< 1, d a = 0,027, Aa = {13,524, 13,894, 16,851}; M (Aa) = 14,757.
При этих данных, согласно (11), точечной оценкой нечёткого прогноза А1988,ц будет
F (A1988,n) = - j M (Aa )d a = ^( 0,066 -14,888 + 0,3539 -14,633 +
10 1
+0,199 -14,849 + 0,039-15,077 + 0,315 -15,326 + 0,027-14,757) = 14,932.
Таким образом, применив процедуру точечной оценки нечётких множеств к выходам модели Поулсена индуцированными связями 1-го и 2-го порядков, получим соответствующие искомые прогнозы (табл. 10 и 11)2.
Таблица 10. Точечная оценка нечётких выходов модели Поулсена для связей 1-го порядка
Год, квартал Факт, данные Группы нечётких отношений 1-го порядка Точеч- ная оценка нечёт- ких выхо- дов Год, квартал Факт, данные Группы нечётких отношений 1-го порядка Точечная оценка нечётких выходов
1988, I 15,024 + 19®+^ + ^ +24 1999, II 12,096 + 11®+^ +1Ь +12, + 14, +15 11,845
1988, II 13,514 + ^ +1^ + ^ + 17 14,932 1999, III 13,186 + 14®+1Ь +^ +^ + 15, +17, +19 12,573
1988, III 11,637 + 10®+5, + № + 1H + 13 13,158 1999, IV 15,211 + 19®+^ +16, +24 13,523
1988, IV 11,691 + 10®+5, + № + 1H + 13 11,509 2000, I 17,030 +24—®+22 14,932
1989, I 12,651 + 13®+8, + № + 1^ + 16 11,509 2000, II 16,012 +22®+20, +22 16,181
1989, II 13,973 + 16®+^ + ^ +14 + ^ + 1Ъ +19 12,601 2000, III 16,202 +22®+20, +22 15,809
1989, III 12,777 + 13®+8, + № + 14, +16 13,671 2000, IV 15,320 +20®+18, +23 15,809
1998,IV 13,787 + 16®+12, +13, +14, + ^ +17, +19 13,158 2010, I 12,619 + 13 ®+ 8, +10, +13, + 14, +15, +16 13,158
1999, I 12,570 + 12®+10, +11 13,671 2010, II 11,736 + 10®+5, +10, +11, + 13 12,601
2 Как и в предыдущем случае, здесь приведены только фрагменты результатов прогнозирования. Ниже в табл. 12 результаты прогнозирования с применением точечной оценки выходов модели Поулсена для связей 1-го и 2-го порядков приведены в полном объёме.
106
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
Таблица
1. Точечная оценка нечётких выходов модели Поулсена для связей 2-го порядка
Год, квартал Факт, дан- ные Группы нечётких отношений второго порядка Точе- чная оцен- ка нечёт- ких выхо- дов Год Факт, дан- ные Группы нечётких отношений второго порядка Точечная оценка нечётких выходов
1988,I 15,024 1999, II 12,096 А11—А14 12,035
1988, II 13,514 Al9, А15 —А 10 1999, III 13,186 А1Ь А14—-А1^ А19 13,166
1988, III 11,637 Al5, А10—А10 11,658 1999, IV 15,211 Al4, А19—А24 14,134
1988, IV 11,691 Al0, А10—А13 11,658 2000,I 17,030 Al9, А24—А22 17,035
1989,I 12,651 Al0, А13 —®А16 12,789 2000, II 16,012 А24, А22—А22 16,181
1989, II 13,973 Al3, А16—А13 13,919 2000, III 16,202 А22, А22—А20 16,181
1989, III 12,777 А13—А8 12,789 2000, IV 15,320 А22, А20—А23 15,428
?????????
1998, IV 13,787 Al5, А16—-А14 А19 13,919 2010,I 12,619 Al5, А13—А14 13,355
1999,I 12,570 А16, А12—А11 13,667 2010, II 11,736 А15, А13—А14 12,408
5. Сравнение результатов прогнозирования
Для сравнения рассмотренных подходов к прогнозированию слабоструктурированных временных рядов на основе выбранного временного ряда «Маржинальность продаж» воспользуемся статистическими критериями оценки, а именно: средней абсолютной ошибкой, выраженной в процентах (MAPE-Mean Absolute Percentage Error):
1 n forecast. - actual.
MAPE = - Y-----------J---------
n —- actual.
x 100,
(9)
и среднеквадратичным отклонением (MSE - MeanSquared Error):
1 n 2 MSE = — Y( forecast. - actual.)
n-=i
(10)
Результаты сравнения приведены в следующей таблице.
Таблица 12. Сравнение результатов прогнозирования
Год, квартал Факт, данные Модель Чена при наличии связей Модель Сонга- Чис- сома Модель Поулсена при наличии связей Де фаззификация нечётких выходов модели Поулсена методом точечной оценки при наличии связей
1-го порядка 2-го порядка 1-го порядка 2-го порядка 1-го порядка 2-го порядка
1988, I 15,024
1988, II 13,514 14,500 14,500 14,800 14,932
1988, III 11,637 13,850 13,417 13,850 13,166 11,657 13,158 11,658
1988, IV 11,691 11,250 11,250 11,250 11,563 11,657 11,509 11,658
1989, I 12,651 11,250 11,250 11,250 11,563 12,789 11,509 12,789
1989, II 13,973 13,200 13,200 13,200 12,663 13,920 12,601 13,919
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
107
Продолж. табл.
1989, III 12,777 13,850 13,200 13,850 13,606 12,789 13,671 12,789
1989, IV 11,005 13,200 11,900 13,200 12,663 10,903 12,601 10,904
1990, I 12,137 11,250 11,250 11,250 11,155 12,034 11,162 12,035
1990, II 13,096 13,200 13,200 13,200 12,562 12,600 12,573 12,600
1990, III 13,183 13,200 13,200 13,200 13,480 14,109 13,523 14,134
1990, IV 13,441 13,200 13,200 13,200 13,480 12,789 13,523 12,793
1991, I 13,748 13,850 13,200 13,850 13,166 13,543 13,158 13,547
1991, II 14,091 13,850 14,500 13,850 13,606 13,637 13,671 13,667
1991, III 14,123 13,850 14,500 13,850 13,606 14,297 13,671 14,296
1991, IV 16,186 13,850 14,500 15,150 14,863 14,486 14,867 14,511
1992, I 14,633 15,150 15,150 14,500 15,617 14,674 15,64 14,673
1992, II 12,848 14,500 14,500 13,200 14,599 13,732 14,715 13,757
1992, III 13,379 13,200 13,850 13,850 12,663 13,543 12,601 13,543
1992, IV 13,987 13,850 13,200 13,850 13,166 13,669 13,158 13,659
1993, I 13,336 13,850 14,500 13,850 13,606 13,637 13,671 13,667
1993, II 13,071 13,850 14,500 13,200 13,480 13,166 13,523 13,166
1993, III 12,113 13,200 11,900 13,200 13,480 12,789 13,523 12,793
1993, IV 11,988 13,200 13,200 13,200 12,562 12,034 12,573 12,035
1994, I 12,284 13,200 13,200 13,200 12,562 12,034 12,573 12,031
1994, II 11,761 13,200 13,200 11,250 11,846 11,657 11,845 11,658
1994, III 9,620 11,250 13,200 9,950 11,563 9,772 11,509 9,773
1994, IV 9,595 9,950 10,600 9,950 9,018 9,772 9,003 9,773
1995, I 8,169 9,950 8,650 9,950 9,018 8,263 9,003 8,265
1995, II 8,837 9,950 8,650 9,950 9,018 9,018 9,019 9,019
1995, III 8,712 9,950 9,950 9,950 8,640 8,640 8,642 8,642
1995, IV 11,012 9,950 9,950 11,250 10,903 10,903 10,904 10,904
1996, I 11,044 11,250 11,250 11,250 11,155 10,903 11,162 10,904
1996, II 10,701 11,250 11,250 11,250 11,155 10,526 11,162 10,527
1996, III 10,685 11,250 11,250 11,250 10,337 10,526 10,337 10,527
1996, IV 10,332 11,250 11,250 9,950 10,337 10,149 10,337 10,150
1997, I 10,911 9,950 10,600 11,250 10,903 10,903 10,904 10,904
1997, II 12,111 11,250 12,550 13,200 11,155 12,034 11,162 12,035
1997, III 12,183 13,200 13,200 13,200 12,562 12,600 12,573 12,601
1997, IV 12,085 13,200 13,200 13,200 12,562 12,034 12,573 12,031
1998, I 11,684 13,200 13,200 11,250 12,562 12,034 12,573 12,031
1998, II 12,158 11,250 11,250 13,200 11,563 12,034 11,509 12,035
1998, III 13,455 13,200 13,200 13,850 12,562 13,543 12,573 13,543
1998, IV 13,787 13,850 13,200 13,850 13,166 13,920 13,158 13,919
1999, I 12,570 13,850 14,500 13,200 13,606 13,637 13,671 13,667
1999, II 12,096 13,200 11,900 13,200 11,846 12,034 11,845 12,035
1999, III 13,186 13,200 13,200 13,200 12,562 13,166 12,573 13,166
1999, IV 15,211 13,200 13,200 14,500 13,480 14,109 13,523 14,134
2000, I 17,030 14,500 16,450 15,150 14,800 16,937 14,932 17,035
2000, II 16,012 15,150 15,150 15,150 16,183 16,183 16,181 16,181
2000, III 16,202 15,150 15,800 15,150 15,806 16,183 15,809 16,181
2000,IV 15,320 15,150 15,800 14,500 15,806 15,429 15,809 15,428
2001, I 16,450 14,500 14,500 15,150 15,617 16,560 15,64 16,558
2001, II 14,298 15,150 15,150 13,850 15,051 14,297 15,067 14,296
2001, III 13,495 13,850 12,550 13,200 14,863 13,543 14,867 13,543
2001,IV 13,920 13,200 11,900 13,200 13,166 13,355 13,158 13,354
2002, I 15,045 13,200 13,200 13,200 13,606 13,637 13,671 13,667
2002, II 13,862 13,200 13,200 13,200 14,800 13,920 14,932 13,919
2002, III 13,188 13,200 13,200 13,200 13,606 13,732 13,671 13,741
2002,IV 13,183 13,200 13,200 13,850 13,480 13,166 13,523 13,166
2003, I 12,611 13,850 13,200 13,200 13,480 12,789 13,523 12,793
2003, II 12,734 13,200 11,900 13,200 12,663 13,166 12,601 13,170
2003, III 12,937 13,200 13,200 13,850 12,663 13,166 12,601 13,170
2
108
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
Продолж. табл.
2003, IV 12,870 13,850 13,200 13,200 12,663 13,166 12,601 13,170
2004, I 13,406 13,200 11,900 13,200 12,663 13,166 12,601 13,170
2004, II 12,794 13,200 13,200 13,850 13,166 13,669 13,158 13,659
2004, III 13,100 13,850 13,200 13,850 12,663 12,412 12,601 12,408
2004,IV 13,600 13,850 14,500 15,150 13,480 13,543 13,523 13,543
2005, I 13,096 15,150 15,150 14,500 13,166 13,355 13,158 13,547
2005, II 12,902 14,500 14,500 14,500 13,480 12,789 13,523 12,789
2005, III 13,606 14,500 13,850 13,850 12,663 13,166 12,601 13,170
2005,IV 14,401 13,850 13,417 13,850 13,166 13,669 13,158 13,659
2006, I 15,803 13,850 14,500 15,150 14,863 15,806 14,867 15,805
2006, II 15,704 15,150 15,150 14,500 15,240 15,806 15,247 15,805
2006, III 15,297 14,500 14,500 14,500 15,240 15,429 15,247 15,428
2006,IV 14,497 14,500 14,500 13,850 15,617 14,674 15,64 14,673
2007, I 14,598 13,850 13,417 14,500 14,599 13,732 14,715 13,757
2007, II 15,701 14,500 15,150 14,500 14,599 15,806 14,715 15,805
2007, III 14,773 14,500 14,500 14,500 15,240 14,674 15,247 14,673
2007, IV 13,313 14,500 14,500 13,850 14,599 13,166 14,715 13,166
2008, I 14,403 13,850 13,417 13,850 13,480 14,297 13,523 14,296
2008, II 14,708 13,850 14,500 14,500 14,863 14,674 14,867 14,673
2008, III 16,432 14,500 15,150 15,150 14,599 16,560 14,715 16,558
2008, IV 15,825 15,150 15,150 15,150 15,051 15,806 15,067 15,805
2009, I 14,911 15,150 15,800 14,500 15,240 15,051 15,247 15,051
2009, II 13,951 14,500 14,500 13,850 14,800 13,920 14,932 13,919
2009, III 14,197 13,850 13,417 13,850 13,606 13,732 13,671 13,741
2009, IV 13,421 13,850 14,500 13,850 14,863 14,486 14,867 14,511
2010, I 12,619 13,850 14,500 13,200 13,166 13,355 13,158 13,355
2010, II 11,736 13,200 11,900 11,250 12,663 12,412 12,601 12,408
MAPE 6,8372 6,5198 5,5188 5,3357 2,1630 5,4333 2,1755
MSE 1,1517 1,0954 0,7513 0,7515 0,1977 0,7610 0,1985
2
6. Заключение
Результаты прогнозирования, полученные с применением метода точечной оценки, сравнение их с результатами, полученными с применением известных методов прогнозирования, показали, что данный способ дефаззификации выходов нечётких моделей временных рядов имеет право на существование. В рассмотренном варианте применения метода точечной оценки нечёткие выходы модели временного ряда описывались нечётким множеством по опорному вектору, включающему 50 компонент из задаваемого универсального множества. Дальнейшие эксперименты показали, что с увеличением числа компонент опорного вектора (например, до 100 единиц и более) качество прогнозирования заметно улучшается. Другими словами, при увеличении числа компонент опорного вектора существенно вырастает достоверность прогнозирования, что и предопределяет преимущественные особенности метода точечной оценки.
Рассмотренные в статье нечёткие модели временных рядов являются неотъемлемой частью стремительно развивающейся теории интеллектуального анализа данных (Data Mining). С помощью применения методов нечёткого анализа удается более взвешенно подойти к проблеме слабоструктурированности данных временного ряда, выявить и, что самое главное, формализовать внутренние многопорядковые связи между данными, Направление Data Mining еще найдёт своё дальнейшее развитие. Однако полученные уже сейчас результаты в виде методологии нечёткого прогнозирования временных рядов можно и необходимо адаптировать для интеграции в существующую программную среду информационных технологий Data Mining, например, в OracleDataMining. Это, в частности, позволит существенно обогатить применяемый в OracleDataMining весьма ограниченный набор стандартных функций интеллектуального анализа данных.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
109
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Marcos M.C. Oracle Data Mining and Analytics. Blog on Data Mining and Analytics with a special focus on Oracle [Електронний ресурс] / M.C. Marcos // Analytics paves the way to transform databases into Knowledge bases.URL. - Режим доступу: http://oracledmt.blogspot.com/ (accessed at 14.05.2014).
2. Минаев Ю.М. Методы и алгоритмы решения задач идентификации и прогнозирования в условиях неопределенности в нейросетевом логическом базисе / Минаев Ю.М., Филимонова О.Ю., Бенамеур Л. - М.: Горячая линия-Телеком, 2003. - 205 с.
3. Song Q. Forecasting enrollments with fuzzy time series - part I / Q. Song, B.S. Chissom // Fuzzy Sets and Systems. - 1993. - N 54. - P. 1 - 9.
4. Song Q. Fuzzy time series and its models / Q. Song, B.S. Chissom // Fuzzy Sets and Systems. - 1993. -N 54. - P. 269 - 277.
5. Song Q. Forecasting enrollments with fuzzy time series / Q. Song, B.S. Chissom // Fuzzy Sets and Systems (Part II). - 1994. - N 62. - P. 1 - 8.
6. Fuzzy time series forecasting of wheat production / N. Kumar, S. Ahuja, V. Kumar [et al.] // International Journal on Computer Science and Engineering. - 2010. - Vol. 2, N 3. - P. 635 - 640.
7. Chen S.M. Forecasting enrollments based on fuzzy time series / S.M. Chen // Fuzzy Sets and Systems. -1996. - N 81. - P. 311 - 319.
8. Chen S.M. Forecasting enrollments based on high-order fuzzy time series / S.M. Chen // Cybernetics and Systems: an International Journal. - 2002. - N 33. - P. 1 - 16.
9. Cheng C.H. Entropy-based and trapezoid fuzzification fuzzy time series approaches for forecasting IT project cost / C.H. Cheng, J.R. Chang, C.A. Yen // Technological Forecasting & Social Change. - 2006. -N 73. - P. 524 - 542.
10. Poulsen J.R. Fuzzy Time Series Forecasting - Developing a new forecasting model based on high order fuzzy time series / J.R. Poulsen // AAUE: CIS 4. - 2009. - 67 p.
11. Рзаев Р.Р. Нейро-нечёткое моделирование экономического поведения / Рзаев Р.Р. - Verlag: LAP Lambert Academic Publishing GmbH & Co, 2012. - 104 с.
12. Рзаев Р.Р. Интеллектуальный анализ данных в системах поддержки принятия решений / Рзаев Р.Р. - Verlag: LAP Lambert Academic Publishing GmbH & Co, 2013. - 130 с.
Стаття надійшла до редакції 03.11.2014
110
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 1
