Применение нечеткого моделирования к прогнозированию количества абитуриентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 001.891.573

Т.В. Афанасьева, MX. Тонерян ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ К ПРОГНОЗИРОВАНИЮ КОЛИЧЕСТВА АБИТУРИЕНТОВ

Работа посвящена моделям нечетких процессов для прогнозирования количества абитуриентов. Данная проблема актуальна и имеет важное значение, так как от ее адекватного решения зависит объем финансирования вуза. Существует много подходов прогнозирования количества абитуриентов. Однако, временные ряды, содержащие сведения о поступающих в вуз, как правило, характеризуются небольшой длиной, нестационарностью , -кусственных нейронных сетей для г/елей прогноза. Также, традиционные модели не могут , . Нечеткие временные ряды являются эффективным инструментом для решения таких проблем. В качестве приложения нечетких временных рядов приводится пример прогнозирования абитуриентов из Университета Алабамы.

Нечеткие временные ряды; прогнозирование; нечеткие процессы с нечеткими прира-.

T.V. Afanasjeva, M.S. Toneryan

APPLICATION OF FUZZY MODEL TO FORECASTING UNIVERSETY

OF APPLICANTS

The paper is devoted to models of fuzzy processes for forecasting of number of entrants. This problem is actual and is important, as the university financing depends on its adequate decision. There have been a good many methods to forecast university enrollments in the literature. However, the enrollment's time series, as a usually, are short and nonstationary, that complicates creation of statistical models and models on the basis of artificial neural networks. Also, traditional models can't be applied, when historical data are linguistic values. Fuzzy time series is an effective tool to deal with such problems. In this paper, as an application of fuzzy time series in educational research, the forecast of the enrollments of the University of Alabama is carried out.

Fuzzy time series; forecasting; fuzzy processes with fuzzy differences.

Введение. Очень важно сделать достаточно точные оценки количества поступающих в университеты, так как многие решения в университете будут зависеть от них. Когда исторические данные о количестве поступающих состоят из

, , например, экспертами, единственным формальным инструментом являются нечеткие временные ряды (НВР), модели которых для описания нечетких процессов предложены в работе [1] для прогнозирования количества учащихся университета Алабамы и развиты в работах, обзор которых приведен в [2]. В приложениях НВР есть две возможности: когда исторические данные находятся в лингвистической форме и когда исторические данные представлены в числовых значениях. Во втором случае данные сначала должны быть фаззифицированы. В нашем исследова-

22 , дальнейшем будем обозначать для краткости «Алабама».

Алгоритм прогнозирования количества абитуриентов университета на основе модели нечеткого временного ряда

Шаг 1. Определим универсальное множество U, в пределах которого изменяются исторические данные и на которых нечеткие множества будут определены (U= [13 000, 20 000]).

Шаг 2. Разделим универсум U на 7 интервалов с равными длинами.

Раздел IV. Математические методы искусственного интеллекта

Шаг 3. Определим нечеткие множества на универсуме и с треугольными функциями принадлежности А (= (1...7).

Шаг 4. Фаззифицируем исторические данные.

Шаг 5. По историческим данным построим модель НВР

10

Л. = Л._1 о R , где Я(г, г _1) = R = , (1)

.=1

R1 = А х А1,R2 = АТ хА,,R3 = А хЛ3,R4 = АТ хЛ3,R5 = Л3Г х Л4,

R6 = Лт4 х А4,R7 = Лт4 х А3,R8 = Лт4 х А,,R9 = А х А,,R0 = АТ х А7,

А —— А, \ —— А2, А2 —— А3, А3 —— А3, А3 —— А4, а4 — A4, а4 — Д3, а4 — A6, А6 — A6, А6 — A7,

где А_1 является регистрацией года . _ 1 и А предсказанная регистрация года I, Щ, г -1) - система нечетких отношений, ' о ' - операция тах-тт композиции.

Шаг 6. Вычисляем прогнозируемые результаты. Предположим, что регистрация года г известна, чтобы предсказать регистрацию года г +1. Пусть Д._1 в (1) регистрация в год г, и применим формулу (1). Тогда А. и будет прогнозированной регистрацией года г +1. Для 1972-1991 гг. результаты показаны на рис. 1.

Шаг 7. Дефаззифицируем полученные результаты. Подробное изложение моделей НВР и процедуры прогнозирования ВР <^абама» приведено в [1]. Ошибки прогноза по критерию МАРЕ колеблются от 0,1 до 8,7 % со средней ошибкой, составляющей 3,18 %. На 1991 г. ошибка прогноза составляет 1,7 %. Для временной прогно-

3,18 % .

• Т • I • • ■ • V • I • 'I• • 1 " I I "Г "I • • I • • ! "Г " [ • ~п

1975 1980 1985 1990

Время

Рис. 1. Прогнозирование ВР «Алабама» на основе модели НВР (о - фактическая регистрация, * - предсказанная регистрация)

Алгоритм прогнозирования количества абитуриентов университета на основе модели нечеткого процесса с нечеткими приращениями. Пусть

Х(,( г = 1,2,...) С Я1 - универсальное множество, на котором определены нечеткие множества х],(1 = 1,2,...), |7/,( ] = 1,2,...), ,( s = 1,2,...), и Хг - коллек-

ция х‘{,(1 = 1,2,...), V - коллекция у],( ] = 1,2,...), А - коллекция = 1,2,...). и пусть существуют отношения ЯУ:ХхХ — У, ЯА:ХхX — А, тогда определим модель нечеткого процесса с нечеткими приращениями ( - )

X = (X— —1 xVt x A )оR(t,t — 1),

(З)

где

К = Уг_!хц_2х...хУг_р оЩг,г_р), А = А_1хД_2х...хД_9ощг,г_д).

Здесь система отношений Я.( ,,, _ р ), , _ д) ^^^еделяет модель по-

ведения нечетких приращений, получивших название нечетких элементарных тенденций [3]. Алгоритм прогнозирования количества абитуриентов на основе модели нечеткого процесса с нечеткими приращениями включает адаптацию алгоритма, рассмотренного выше и представленного в работе [1].

Шаги с 1 по 4 выполняются аналогично.

Шаг 5. По историческим данным построим модель (3).

Шаг 6. Применим модель (3) для прогноза значений (рис. 2).

Шаг 7. Дефаззифицируем полученные результаты. Помимо прогноза значений в этом алгоритме идентифицирована общая нечеткая тенденция «Рост», а также более корректно спрогнозированы нечеткие элементарные тенденции (нечеткие ).

Рис. 2. Прогнозирование ВР «Алабама» на основе Т-модели (0 - фактическая регистрация, * - предсказанная регистрация)

В табл. 1 приводятся сравнительные результаты тестирования моделей - нечетких и статистических - по внешним ошибкам для краткосрочного прогноза ВР «Алабама» (на 1 интервал). Анализ табл. 1 показывает, что нечеткие модели по сравнению с базовыми статистическими моделями при краткосрочном прогнозе короткого нестационарного ВР «Алабама» демонстрируют потенциал и конкурен-.

1

Сравнение моделей для прогноза ВР «Алабама» на 1 интервал

Модель МАРЕ %

Т-модель [3] 0,4

Jilani&Bruney,2007 [5] 1,0

Chen, 2002 [4] 1,5

ARIMA (0,1,1)(0,1,2) 2,1

S-модель [1] 2,4

Метод Брауна 4,2

. -

вания количества абитуриентов в Университете штата Алабама на основе модели нечеткого ВР и на основе нечеткого процесса с нечеткими приращениями. Конеч-, :

7. -

ные методы дефаззификации могут привести к различным прогнозируемым результатам. Это делает процесс довольно субъективным. Чтобы преодолеть этот недостаток, должен быть применен объективный метод. Несмотря на проблемы, преимущества делают нечеткие модели ВР очень конкурентоспособными в про, .

,

решения сложных практических задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Song Q., Chissom B. Fuzzy time series and its models // Fuzzy Sets and Systems. - 199З. - № 54. - P. 269-277.

2. . ., . .

нечетких тенденций. - Ульяновск: УлГТУ, 2009. - 299 с.

3. . . , . . -

циями в анализе временных рядов // Вестник РГУПС. - 2011. - № З. - С. 6-15.

4. Chen S.M. A new method to forecast enrollments using fuzzy time series // International Journal of Applied Sciences and Engineering. - 2004. - 2 (З). - . 2З4-244.

5. Jilani T.A. Fuzzy Metric Approach for Fuzzy Time Series Forecasting based on Frequency Density Based Partitioning / Tahseen Ahmed Jilani, Syed Muhammad Aqil Burney, Cemal Ardil // Proceedings of World Academy of Science, Engineering and Technology. - 2007. - Vol. 2З.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.А. Стецко.

Афанасьева Татьяна Васильевна - Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ульяновский государственный технический университет»; e-mail: [email protected]; 4З2027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, З2; тел.: +7906З918568; кафедра информационных систем; к.т.н.; доцент.

Тонерян Мкртыч Саркисович - e-mail: mkr73@ yandex.ru; тел.: +790847З9746; кафедра прикладной математики и информатики; ассистент; аспирант.

Afanasjeva Tatyana Vasilievna - Federal State Budget Institution of Higher Professional Education; e-mail: [email protected]; З2, Severny Venetz street, Ulyanovsk, 4З2027, Russia; phone: +7906З918568; the department of information systems; cand. of eng. sc.; associate professor.

Toneryan Mkrtych Sarkisovich - e-mail: [email protected]; phone: +790847З9746; the department of the higher mathematics; assistant; postgraduate student.

17З