Научно-методический аппарат решения системно-экономических задач по многоуровневой системе критериев Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 623.966

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ АППАРАТ РЕШЕНИЯ СИСТЕМНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО МНОГОУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЕ КРИТЕРИЕВ

Рассматривается один из возможных подходов научнометодического аппарата решения системно-экономических задач по многоуровней системе критериев. Сформирован системный подход к синтезу научно-методического аппарата решения системно-экономических задач, разработаны автоматизированные процедуры оценки объектов системно-экономического анализа по многоуровневой системе критериев.

Ключевые слова: системный подход, синтез научнометодического аппарата решения системно-экономических задач, автоматизированные процедуры оценки объектов системно-экономического анализа.

В статье рассмотрен системный подход к синтезу научно-методического аппарата решения системно-экономических задач, разработаны автоматизированные процедуры оценки объектов системно-экономического анализа по многоуровневой системе критериев.

На основе проведенного системного анализа формальных признаков системноэкономических задач была предложена их классификационная схема, которая послужила исходной посылкой к синтезу концептуального научно-методического аппарата решения системно-экономических задач. Принимая во внимание то обстоятельство, что при разработке научно-методического аппарата имеет место целенаправленный процесс воспроизведения заданной совокупности функций, то в основу его синтеза должен быть положен функционально-структурный подход. Данный подход основывается на предположении первичности функционального назначения системы по отношению к её структурной организации.

С позиций функционально-структурного подхода задачу разработки научнометодического аппарата можно сформулировать как синтез такой его структуры и состава, при которых: а) вероятность нахождения допустимых отображений поступающих на вход научно-методического аппарата задач на множество его элементов стремится к максимуму; б) ресурсы на разработку научно-методического аппарата не превышают допустимых:

P (f: Z——X) max, R<Rзад , (1)

где Z — множество задач, поступающих на вход методического аппарата; X — множество элементов, образующих методический аппарат; f: Z—X — допустимое отображение; т.е. отображение задачи на элементы методического аппарата, позволяющих решить задачу; P(f: Z— X) — вероятность нахождения допустимых отображений; Rзад - ресурсы, выделенные на разработку методического аппарата.

Опираясь на постановку (1), в главе сформулированы и обоснованы предложения по составу и структуре научно-методического аппарата решения системноэкономических задач, укрупненная схема которого приведена рис. 2. Предложенный научно-методический аппарат следует рассматривать как открытую динамичную систему, развивающуюся в соответствии с потребностями практики системноэкономического анализа. Ввиду существенного разнообразия элементов предложенного научно-методического аппарата были уточнены границы дальнейшего исследования, которые очертили элементы, направленные на решение многокритериальных задач системно-экономического анализа. При этом фокус внимания был смещен на

С.Н. МАЛИКОВ А.П. ИГНАТЬЕВ21

1) МАРТИТ

e-mail:myamlik@super-computer.ru

2) Белгородский государственный университет

e-mail: aignatiev@rktelecom.ru

первый и второй типы многокритериальных задач, наиболее распространенными из которых задачи оценки объектов системно-экономического анализа по многоуровневой системе критериев (1-ий тип многокритериальных задач) и задачи планирования распределения недостаточных денежных средств по объектам финансирования на основе системы приоритетов (2-й тип многокритериальных задач).

Концептуальный научно-методический аппарат решения системно-экономических задач (модели и методы системно-экономического анализа и экспертов)

Методы решения задач, не поддающихся фор- Методы решения задач, поддающих-

мализации (или для которых формализация ся формализации

значительно затруднена) 4 ►

Эвристические методы синтеза решений

Методы ненаправленного синтеза

Методы направленного синтеза

Метод

аналогий

Метод

инверсии

Метод идеализации

Метод «мозгового штурма»

Метод фокальных объектов

Метод «матриц открытия»

Метод гирлянд случ. ассоциаций

Метод

синектики

Метод коллект. блокнота

Оптимизационные модели и методы (модели и методы исследования операций)

Балансовые модели и методы

Статические модели и методы

Рис. 2. Структурная схема концептуального научно-методического аппарата решения

системно-экономических задач

При разработке методов решения многокритериальных задач приходится решать ряд специфических проблем, основными из которых являются: проблема выбора принципа компромисса и соответствующего ему принципа оптимальности; проблема учета приоритетов критериев; проблема нормализации критериев. Перечисленные проблемы носят не столько формальный, сколько концептуальный характер, что обусловливает необходимость применения различного рода эвристических процедур, в которых существенная роль принадлежит экспертам. Среди методов решения много-

критериальных задач, имеющих, с одной стороны, признанную теоретическую обоснованность, а с другой стороны, удовлетворяющих требованию универсальности, в настоящее время наибольшее распространение получили методы теории полезности, методы теории нечетких множеств, методы векторной стратификации, метод анализа иерархий. Границы проведенного исследования очерчивают вычислительные процедуры метода анализа иерархий, занимающего доминирующее положение в современной практике системно-экономического анализа.

Предложен научно-методический аппарат оценки объектов системноэкономического анализа по многоуровневой системе критериев, являющийся развитием метода анализа иерархий и включающий в себя ряд новых основных и вспомогательных вычислительных процедур: процедуру нахождения максимального собственного значения (индекса однородности) и главного собственного вектора (вектора приоритетов) матрицы парных сравнений; модифицированную процедуру сокращенного построения матрицы парных сравнений; процедуру определения мест нарушений однородности экспертных суждений; процедуру сравнения объектов на основе построения интервалов, согласованных со шкалой метода анализа иерархий.

Разработанная и теоретически обоснованная основная вычислительная процедура метода анализа иерархий предназначена для нахождения максимального собственного значения и главного собственного вектора матрицы парных сравнений. Данная процедура не уступает в точности типовой процедуре метода и при этом обладает более быстрой сходимостью. Последнее превосходство достигается благодаря учету особенностей строения матрицы парных сравнений, что позволяет эффективно использовать обратную схему вычислений Хтах ^^1, W2,....., Wn), где Хтах — максималь-

ное собственное значение матрицы парных сравнений, используемое для расчета индекса однородности; ^1, W2,..., Wn) — главный собственный вектор матрицы парных

сравнений, являющийся искомым вектором приоритетов.

Используя предложенную схему вычислений, удается избежать главного недостатка типовой процедуры — возведения матрицы парных сравнений в произвольно большие степени в соответствии с выражением

где А — матрица парных сравнений; е = {1,1,...1} — единичный вектор; р — показатель степени; С — константа; Ш= ^1, W2,...., Wn) — главный собственный вектор.

В разработанной процедуре операция возведения матрицы в степень используется для нахождения коэффициентов характеристического многочлена и не превосходит порядка матрицы п (п<<р). Укрупненный алгоритм разработанной процедуры представлен на рис. 3.

В основу теоретического обоснования процедуры положено исследование коэффициентов и корней характеристического (векового) уравнения

После преобразования уравнение (2) представляет собой алгебраическое уравнение п-ой степени относительно X:

где Ь1=1г(А)=ац+а22+....+апп=п — след матрицы А; Ьт=£М(т) — сумма всех главных миноров т-ого порядка; Ьп=Ье1(А) — определитель матрицы А.

Лре

□ т —-----------= СЖ, р ,

Л лр„ г

еЛре

ац — X а12 а1п

Р(Х)= а21 а22- X а2п = 0.

ап1 ап2 апп— X

(2)

Р(Х)=Ье1(А- ХЕ)= (-Х)п+Ь1 (-Х)п-1+... + Ьп-1 (-Х)+Ьп=0,

(3)

Рис.3. Укрупненный алгоритм основной вычислительной процедуры метода анализа иерархий

В процессе обоснования процедуры доказаны теоремы о коэффициентах Ь и Ьз характеристического многочлена матрицы парных сравнений. Показано, что

и-2 п 1 п (а а — а )2

Ь2 = 0, а Ьз= У У У (аа ^ } .

Для коэффициента Ь4 установлено, что получить его компактное аналитическое выражение через элементы матрицы парных сравнений не удается, но есть возможность произвести эффективное разложение определителя матрицы парных сравнений по определителям 3-ого порядка. Для нахождения коэффициентов ^(¡>5) предложено использовать эффективные вычислительные процедуры Фадеева или Ливеррье.

Теоретически обоснована минимальная правая граница окрестности, в которой гарантированно находится наибольший действительный корень характеристического уравнения Атах, которому соответствует главный собственный вектор матрицы парных сравнений. Получено компактное аналитическое выражение (4), позволяющее получить точную оценку минимальной правой границы окрестности для матриц с нечетным порядком п и близкое приближение для матриц с четным порядком п:

I ПГ Атах= 45П — 3 —.

9 9

В табл.1 приведены значения Атах , рассчитанные для матриц п=з....15 на основании аналитического выражения (4), а также на основании характеристического уравнения

P(X) = (- Х)п+п(-Х)п'1+Ьз(-Х)п'3_ + Ьп-і(-Х) + Ьп=0.

(5)

Таблица 1

п і пГ Атах по уравнению (5) inf Xmax ПО формуле (4) п і пГ Атах по уравнению (5) inf Xmax ПО формуле (4)

3 10,11 10,11 10 41,66 42,00

4 13,75 14,67 11 46,56 46,56

5 19,22 19,22 12 50,83 51,11

6 23,20 23,78 13 55,67 55,67

7 28,33 28,33 14 59,98 60,22

8 32,46 32,89 15 64,78 64,78

9 37,44 37,44

Для определения главного собственного вектора матрицы парных сравнений ^1, W2, ..., Wn) используется постановка Атах в систему уравнений

<

(1-Amax)Wi + 8i2Wi2+.... + (1— Xmax)Wn = 0, a2lWi+(1- Xmax)W2+.... + a2nWn = 0,

an1W1 + an2W2+.... + (1- Xmax)Wn = 0.

(6)

Система (6) однородная, поэтому имеет бесконечное множество решений. Одно решение может быть выбрано произвольно. В этом случае можно определить отношение корней: Ш^2:......^п= |ХП|: |Х; 2|:..| Хп |, (7), где |Хгу| - алгебраическое дополне-

ние элементов любой строки. Тогда Wk может быть найдено из выражения (8):

Wk = -

ш

SI

к=1

(8),

где \Х1к\ — алгебраическое дополнение к-ого элемента первой строки.

Для выделения алгебраического дополнения к-ого элемента первой строки матрицы парных сравнений предложено следующее правило перенумерации элементов матрицы, используемое перед применением вычислительных процедур расчета определителей:

'ai+y еслиі<к, i= 1,n-1, j= 1,n-1,

(9)

ai+1j+1 еслиІ>к, i= 1, n -1, j = 1, n-1.

Учитывая особенность строения обратносимметрических матриц, в качестве эффективного алгоритма расчета алгебраических дополнений предложено использо-

вать алгоритм, основанный на идее представления матриц в виде произведения двух треугольных матриц.

Предложен метод оценки точности приближенных вычислительных процедур метода анализа иерархией, основанный на проведении имитационного статистического эксперимента. Для матриц парных сравнений порядка п=з...15 получены статистические оценки точности приближенных вычислительных процедур (среднее, среднеквадратическое отклонение, доверительные интервалы при уровнях значимости а=0,1;а=0,05;а=о,О1). На рис. 4 представлены графики зависимости усредненных относительных отклонений ёг от порядка матрицы п.

Рис. 4. Зависимости усредненных относительных отклонений от порядка матрицы п

На основе предложенного метода проверено предположение о существовании

(X? + х2а +... + хап х с

вычислительной процедуры (степенного среднего Sa= п таким зна-

чением параметра а), при которой Аатах ,рассчитанное на основе степенного среднего ва, сколь угодно близко к А0тах. Результаты эксперимента подтвердили данное предположение, однако регулярные значения параметра а для матриц заданной размерности получить не удалось, так как этот параметр оказался очень чувствительным к изменению элементов матрицы парных сравнений.

В главе разработаны вспомогательные вычислительные процедуры метода анализа иерархий, расширяющие прикладную направленность метода: модифицированная процедура сокращенного построения матрицы парных сравнений; процедура определения мест нарушений однородности экспертных суждений; процедура сравнения объектов на основе построения интервалов, согласованных со шкалой метода анализа иерархий.

Модифицированная процедура сокращенного построения матрицы парных сравнений позволяет строить однородную матрицу парных сравнений на основании суждений эксперта, вынесенных только относительно первого объекта сравнения

. п(п -1)

(в этом случае эксперт выносит п-1 суждение по сравнению с —-—суждениями в

типовой процедуре). Указанная возможность обеспечивает переход от квадратичного роста числа парных сравнений по мере роста числа п к росту линейному. Особенность модификации процедуры заключается в соблюдении условия кардинальной однородности суждений в соответствии с принятой дискретной шкалой отношений путем приведения элементов а*ц к элементам а^ с помощью выражения а^вк при выполнении условия

М1п

*

а г, - 5,,

к~ К,

где Sk ~ Б (Б — множество оценок в соответствии со шкалой метода).

Процедура определения мест нарушений однородности экспертных суждений в матрице парных сравнений позволяет выявить такие нарушения в случае построения матрицы стандартным (не сокращенным) способом. Эффективность процедуры про-

является особенно для матриц порядка п>6, когда выявление мест нарушения однородности экспертных суждений вызывает существенные затруднения.

Суть процедуры заключается в расчете вспомогательных элементов

- Ъ к

—^-,если Кц > а^ ,

а,.

си_ і

,где Ь|]=

а

і-1. ]

а

(10)

і-1.і

а,

. —если К^ > а^

Ъ

У

которые указывают на степень нарушения однородности экспертных суждений (чем больше с], тем в большей степени нарушена однородность суждением эксперта, высказанном относительно элемента а^). Пересмотр суждений относительно элементов а^ осуществляется в порядке убывания элементов с^ , при этом во внимание принимаются значения элементов К]. Если значение элемента К^ выходит за границы интервала [1/9;9], то соответствующий элемент а^ корректируется к ближней границе (относительно элемента К^ ) указанного диапазона.

Процедура сравнения объектов на основе согласованных интервалов эффективна в ситуациях, когда при сравнении объектов существенным является не точное значение критерия, а его попадание в границы определенного интервала. В процессе разработки данной процедуры предложено правило нормирования критериев, если лучшему значению критерия соответствует определенное значение г*, справа и слева от которого равноудаленные значения равнозначны:

г,. - г

Wi

І (і -

і=і

г. - г

. если 0 < < 2г*

(11)

_ о, если г\ < о или г\ > г

Рассчитаны границы согласованных интервалов применительно к случайной величине Ъ, распределенной по нормальному закону. В этом случае границы интерва-

(X - х)2

1 Г

лов ві (і =1,8) находятся через функцию агдФ, обратную функции Ф=—---------------- I

Ж.

^л/2П _

Для стандартного нормального распределения (т=0, а =1) значения точек аст\ (\ = 1,8) приведены в табл. 2.

Таблица 2

*

=<

г

=<

)

*

г

Точка Значение Точка Значение

аСТі - 1,22064 аСТ5 0,13971

аСТ2 - 0,76471 аСТб 0,43073

аСТз - 0,43073 аСТ7 0,76471

аСТ4 - 0,13971 аСТ8 1,22064

На основании значений, приведенных в табл.2, можно легко получить значения точек а\ (\=1,8) для нормального закона распределения с произвольными параметрами т и а по формуле (12): а\=а\стх а + т. (12)

После нахождения всех точек а\ (\=1,8) будет получено девять интервалов, длина которых зависит от параметров т и а . Математическое ожидание т=г приходится на середину пятого интервала (рис. 5).

Рис. 5. Интервалы, согласованные со шкалой метода анализа иерархий

Перевод значений г в оценки в соответствии со шкалой метода анализа иерархий осуществляется по следующему правилу

ам=

N - N ,\ +1, если 14 > N

(13)

1

N - N +1

, если 14 < N1,

где N — номер интервала, в который попало значение г\.

Предложенные процедуры прошли апробацию при разработке методических рекомендаций по автоматизированной оценке квалификации поставщиков телекоммуникационного оборудования по конкурсной системе распределения заказов (конкурсные торги).

Заключение

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1) Представ материал по структуре и составу концептуального научнометодического аппарата решения системно-экономических задач, построенного на их классификации по их формальным признакам предложены научно-методический аппарат, следует рассматривать как открытую методическую систему развивающуюся в соответствии с потребностью практики системно-экономического анализа.

2) Научно-методический аппарат оценки объектов системно-экономического анализа по многоуровневой системе критериев, являющихся развитием метода анализа и включающий в себя ряд новых основных и вспомогательных вычислительных процедур, а именно: процедуру нахождения максимального собственного значения (индекса однородности) и главного собственного вектора (вектора приоритетов) матрицы парных сравнений; модифицированную процедуру сокращенного построения матрицы парных сравнений; процедуру определения мест нарушений однородности экспертных суждений; процедуру сравнения объектов на основе построения интервалов, согласованных со шкалой метода анализа иерархий.

Литература

1. Борисов А.Н. и др. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. - Рига: Зинатне, 1982.

2. Демин В.К., Тютин Н.Н., Храмешин Г.К., Чудинов С.М. Региональные информационные структуры методы и функциональные оценки БелГУ; 2008-2009 г.

3. Кравец А.С. Природа вероятности. М.: Мысль, 1976.

4. Розен В.В.. Математические модели принятия решений в экономике. М.: Высшая школа, 2002.

5. Недосекин А.О. Методологические основы моделирования финансовой деятельности с использованием нечетко-множественных описаний. Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов, 2003.

6. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1981.

7. Трофимец В.Я. Системный анализ и синтез автоматизированных процедур в поддержку принятия системно-экономических решений. М: МАРТИТ, 2004 г.

SCIENTIFICALLY-METHODICAL DEVICE OF THE DECISION OF SYSTEM-ECONOMIC PROBLEMS ON MULTILEVEL SYSTEM OF CRITERIA

S.N. MALIKOV 1) A.P. IGNATYEV 2)

Summary: one of possible approaches of the scientifically-methodical device of the decision of system-economic problems on multilevels to system of criteria Is considered. The system approach to synthesis of the scientifically-methodical device of the decision of system-economic problems is generated, the automated procedures of an estimation of objects of the system-economic analysis on multilevel system of criteria are developed.

') MARTIT

e-mail:

aignatiev@rktelecom.ru

2) Belgorod State University

e-mail:

aignatiev@rktelecom.ru

Key words: the system approach, synthesis of the scientifically-methodical device of the decision of the system-economic problems, the automated procedures of an estimation of objects of the system-economic analysis.