CC BY
47
УДК 330.13
Трофимов С.П., Сафронова К.К.
НАРАЩЕНИЕ КАПИТАЛА И РАСЧЕТ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ ПО КОМПЛЕКСНЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ
Аннотация. В статье рассматривается новый способ наращения капитала по комплексной процентной ставке с «квадратным корнем из минус единицы». Данный способ сравнивается с традиционными формулами наращения: простая, сложная и непрерывная. В процессе наращения образуются комплексные деньги. На практике используются вещественные составляющие комплексных денег. Показано преимущество комплексной процентной ставки для банковского сектора. Данный способ позволяет устранить риск досрочного закрытия вкладов или досрочного расторжения договоров. Комплексная ставка имеет два параметра, которые позволяют подобрать ставку с заданным периодом начисления процентов и коэффициентом роста капитала.
Ключевые слова: комплексная процентная ставка, комплексная производственная функция, риск досрочного закрытия вклада, потребительские вклады, денежный поток, комплексные деньги, формулы наращения капитала.
Trofimov S.P., Safronova К.К.
CAPITAL GROWTH AND CASH FLOWS FOR INTEREST RATES WITH SQUARE ROOT OF MINUS ONE
Annotation. The article discusses a new way of capital growth for complex interest rate with the "square root of minus one". This method is compared with the traditional formula: simple, complex and continuous. As a result of the growth we obtain complex money In practice, we use real components of complex money. Complex interest rate has big advantage for the banking sector. This method makes it possible to eliminate the risk of early termination of the deposit agreements. Complex rate has two parameters that allow us to adjust period and coefficient of the capital growth.
Keywords: complex interest rate, complex production function, the risk of early closure of deposit, consumer deposits, cash flow, complex money.
Актуальность работы
Сегодня сложно представить себе науку и технику без применения комплексных чисел. Электротехника, теория управления и другие науки невозможны без использования комплексных чисел. Экономика как гуманитарная наука до сих пор не знает широкого применения комплексных чисел. Использование комплексных чисел в экономическом анализе дает новые результаты. В работах [1, 2] комплексные числа использовались для обобщения моделей производственных функций. Модель производствен-
ной функции в форме комплексного числа используется при прогнозировании экономической конъюнктуры.
В статье [3] предлагается применение комплексных чисел для анализа доходности и эластичности денежных потоков.
В статьях [4,5] комплексные числа впервые используются для наращения капитала по комплексной сложной процентной ставке. Построены графики вещественной составляющей наращенной комплексной суммы.
76
ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
1. Введение
1.1. Комплексные числа в экономике
Комплексные числа появляются в науке иногда в достаточно экзотической форме. Например, гипотетические тахионы - частицы, которые могут перемещаться со скоростью больше скорости света. Если предположить, что масса покоя этих частиц комплексная, то их масса в движении будет вещественным числом. В этом случае противоречия с теорией относительности Эйнштейна не возникает.
Количество применений комплексных чисел в экономике невелико. В результате изложение комплексного анализа при изучении экономических дисциплин в вузе кажется излишним.
В данной работе предлагается новый подход при моделировании периодических процессов в экономике с использованием комплексных чисел в качестве процентных ставок. Это приводит к введению комплексных денег, дополняющих реальные деньги неким внутренним качеством.
Как известно, наращение капитала может проходить несколькими способами. На практике, как правило, используется наращение по [сложной] [годовой] [процентной] ставке. Каждое из выделенных слов можно заменить аналогичными понятиями с существенным изменением формулы расчета наращенной суммы. Например, можно использовать простую учетную ставку.
Важной иллюстрацией финансовой операции является график наращения капитала. Так, при наращении по сложной годовой процентной ставке графиком является экспонента. Другие способы наращения графически представляются прямыми, гиперболами. При переменной процентной ставке графики могут быть достаточно сложными. В любом случае мы имеем дело с обычными графиками функции одной вещественной переменной.
Основным недостатком стандартных способов наращения капитала является ложное и вредное для банковской системы ощу-
щение, что операцию можно прекратить в любой момент.
Комплексные числа г и b•/ расширяют понятие вещественного числа. Они подчиняются тем же операциям, что и обычные числа: сложение, умножение, возведение в степень, извлечение корней. Другими словами, комплексные числа образуют такое же алгебраическое поле, каким является множество вещественных чисел. Единственное отличие заключается в отсутствии важного для экономики свойства полной упорядоченности комплексных чисел.
Комплексные числа имеют три способа представления. Геометрический способ позволяет представить число z а b-i на комплексной плоскости. Тригонометрический способ представляет число z p-fcos а / sin а) в полярной системе координат. Здесь р (а2 Ь-)12 - модуль числа z, a arctg(ba) -аргумент числам. Экспоненциальный способ изображает комплексное число в виде г mod-e
/. 2. Производственные функции комплексных переменных
В работе И.С. Светунькова [I] рассмотрены производственные функции комплексных переменных в экономическом анализе, возможность их использования в эконо-мико-математическом моделировании на примере теории ПФ. Предложен способ представления пары экономических показателей в форме комплексной переменной, что позволяет применить элементы теории функции комплексных переменных вэконо-мико-математическом моделировании. Введены в научный оборот степенные производственные функции комплексного аргумента, в том числе предложена и исследована линейная производственная функция комплексного аргумента:
Qt = (а„ - i<*i)(Kt ~
Qt - объем выпуска (доход организации), Kt - капитал (стоимость основных производственных фондов),
НКС'ТНИК УRVIЬС'КОГО ИНСТИТУТА 'Ж0110М11КИ, УПРАВЛЕНИЯ М ПРАВА ДМ 2016 77
Lt - труд (численность персонала либо суммарная зарплата персонала),
i - мнимая единица (число, удовлетво-
.7 1
ряющее равенству I" = — 1),
fig >ai - коэффициенты производственной функции.
В автореферате обоснована и исследована степенная производственная функция комплексного аргумента с действительными коэффициентами:
Qt = a(Kt + iLt)b
где
fl - коэффициент пропорциональности,
Ь - коэффициент «типа производства», показывающий, является ли производство на предприятии капиталоинтенсивным или трудои нтенсивным.
1.2. Комплексные доходности вещественных денежных потоков
В статье Осборна [3] рассматривается регулярный, постоянный, конечный денежный поток, состоящий из п периодов. Доходностью данного потока принято считать минимальный положительный корень уравнения (I):
AAA A FV
l>V ~ (1+г) ' (1+г)2 ' (1+г)3 ' "" + (1+г)" ' (1+г)" ~ ° ^
Однако уравнение (1) как алгебраическое уравнение n-го порядка имеет п корней,
в том числе комплексных .....Zn. Ос-
борн рассматривает эти комплексные корни для того, чтобы связать или получить зависимость между различными величинами купонов « и комплексными корнями
\Ii%1ai\ = Il?=1ri, гдеr-ll-zj. (2)
В формуле (2) предполагается, что для потока начальная сумма PV-1 и конечная сумма l'V 1. Далее автор использует комплексные числа для определения дюрации потока. Дюрация - это коэффициент эластичности приведенной стоимости потока к малым возмущениям вещественной про-
центной ставки. При этом остальные комплексные корни остаются неизменными. В этом случае стоимости купонов из формулы (2) превращаются в комплексные денежные суммы. Однако комплексные денежные суммы автором не рассматриваются.
Также Осборн рассмотрел регулярные денежные потоки с одним дробным купоном и эластичность приведенной стоимости потока к возмущению ставки /*.
2. Комплексные деньги и комплексные ставки
Рассмотрим наращение по сложной процентной ставке
FV PV'(1 г)', (3)
где начальная сумма РVнаращивается в течение срока / по ставке г. Всегда предполагалось, что ставка г - вещественное число. Предположим, что ставка г является комплексным числом г a b'i. Тогда при анализе свойств финансовой операции наращения мы можем изменять два параметра: реальную и мнимую часть ставки г.
Рассмотрим тригонометрическую форму представления комплексного числа г, участвующего в формуле наращения (3)
z 1 г (la) h'i р -(cosa i sin а), где
р ((i a)2 b2)I/2, (4)
а угол а находится из тригонометрических соотношений
cos а = (1 а) р, sin a b р, 0 < а 2п. (5)
Тогда по формуле Муавра наращение (3) получает вид
l'V PV-(1 г)' PV'( р * (cos a i'sin а))' PV' р ' '(cos /а i'sin (а) (6)
После наращения по формуле (3) комплексную составляющую числа FV можно отбросить и рассматривать в качестве реальной денежной суммы только вещественную часть PV • с'' eos ta.. Мы наблюдаем синусоидальные колебательные явления при наращении капитала. В экономике это
78
ВСКРОССТНК КП И НАУЧНО-АИА.ШТПЧКСкНП ЖУРНАЛ
встречается очень часто. Примером являются сезонные колебания.
Отметим, что график наращения комплексной суммы /'У по формуле (3) в комплексной плоскости представляет собой спираль, которая пересекается с вещественной осью в ее положительной и отрицательной части. Например, при комплексной ставке г -0,64 У,09ч по формуле (3) получим график наращения на рис. 1. Период наращения капитала составляег 5 лет, коэффициент роста капитала за этот период равен 2.
Ю.ООр
Рис. 1. Комплексная наращенная сумма, РУ=1, г = -64% + 109% 1
При переходе к вещественным деньгам можно отбросить мнимую составляющую наращенной комплексной суммы. Тогда мы получим график на рис. 2.
Рис. 2. Вещественная часть наращенной комплексной денежной суммы
Это можно интерпретировать следующим образом. После начала финансовой операции в определенные моменты времени наращенная сумма 1'У остается положительной, то есть можно прекратить операцию с прибылью. Спустя некоторое время выход из операции приведет лишь к значи-
тельным уоыткам, затем мы получаем еще большую прибыль и т.д.
Модуль комплексного числа z 1 г определяет скорость роста капитала, а его аргумент задает временной период, через который можно прекращать операцию с наибольшим положительным доходом. Видно, что вещественная и мнимая части комплексной процентной ставки г одновременно влияют на важные и вполне конкретные характеристики финансовой операции.
Таким образом, комплексная ставка наращения является гибким регулятором основных параметров финансовых операций и может использоваться в банковской сфере.
Зависимость между параметрами наращения и компонентами комплексной ставки
В соответствии с формулой (3) вещественная составляющая наращенной комплексной суммы равна
FV (t)=PV- р1 • eos ta.
peair ' ~
Величину l'V (i) можно рассматривать как денежную сумму, выдаваемую на руки владельцу депозита в момент времени /.
Найдем точки локальных экстремумов функции ]'V¡¡ ai((). Для этого приравняем к нулю ее производную FV' (1) =0,
pcai ■ '
In р • р' • cos /а - р ' • а • sin ta 0. (7)
Отсюда получаем
tg/a In р / a = С (а, Ь).
Таким образом, точки локальных экстремумов равны
Тк farctg С тек) а, к 0, 1, ...
Из формулы (7) при t=0 получаем
]<У (0) In р.
pC'ÍLV / >
Если с < 1, то arctgC < 0 и наращенный капитал UV^Jt) убывает в точке 1=0. Поэтому первым положительным локальным экстремумом является точка локального минимума
7'; (arctgC к) а.
Первым положительным локальным мак-
13,00р.
8,00р
ВЕСТНИК УРАЛЬС'КОГО ИНСТИТУТА 'Ж0110М11КИ, УПРАВЛЕНИЯ И НРАВА ДМ 2016 79
симумом, а значит, и первым моментом выплаты будет являться
Т = (arctg С +2ж) / а
В момент Т2 сумма на руки бу-
дет меньше начальной суммы PV и в целом наращенный капитал будет уменьшаться.
В дальнейшем будем предполагать, что р > 1. TormFV^Jt) возрастает в точке t=О, и первый положительный локальный экстремум будет точкой локального максимума
Т = (arctg С) / а
Остальные точки локальных экстремумов, а значит, и моменты выплат отстоят от точки Т0 на величину, кратную 2тг/ а. Таким образом, период наращения капитала равен Г = 2я / а (а, Ь). (8)
За этот период коэффициент наращения капитала составит
K = p2nla(a,b) (9)
Таким образом, доказана
Теорема 1. При р> 1 имеет место наращение реальной составляющей FV (t) комплексного капитала в точках ее локального максимума, которые равны
Тк = (arctg С(а, Ъ) + 2%к) /а, к = 0,1, ...
При этом период Т и коэффициент К наращения капитала определяются по формулам (8) и (9).
Рассмотрим классическое наращение FV (t) = PV( 1 + г)' капитала РУпо сложной
процентной ставке г = р-1. Найдем связь между двумя способами наращения: FV^ Jt) и FV^Jt) Справедлива
Теорема 2. Пусть р> 1 Графики наращений FV (t) и FV^Jt) касаются друг друга в точках 2пк) /а, к=0, 1, ... . Если завершить наращение капитала FV (t) в точке ее локального максимума Тк, к=0, 2,4, ..., то доходность финансовой операции станет меньше, чемг= р-1 и будет равна г' = р' -1, где р=р'{\+(\пр! а)2)(АЭТк). (10)
Доказательство. Легко проверить, что в
точках 2жк б функции FV (t) и FVaeJ(), а также их производные одинаковы. Поэтому в этих точках графики этих функций касаются друг друга. Вычислим
FVpJT) = PV'PTk'cos Тр. = PV •/>"'• cos
arctg (lnp/а).
Приравняем полученное выражение к PV* р'Тк и найдем р' В силу тождества
cos arctgxe(l+x2)"0,5 получаем уравнение
/^•(1+(1п/>/ а)2)-°'5=р'тку откуда вытекает формула (11). Теорема 2 доказана.
4. Различные способы наращения капитала по комплексной ставке
В данной работе мы рассматриваем наращение капитала несколькими стандартными способам. Приводим сравнения наращений капитала по вещественной и комплексной ставкам.
Рассмотрим основные способы наращения Применим к каждому из них комплексную ставку. В результате наращения получим комплексную наращенную сумму FV Вещественная часть этой суммы
КОМИ -
представляет собой конечный результат финансовой операции. Сравним FV и наращенную сумму FV по аналогичному способу с вещественной ставкой.
4.1. Простая процентная ставка
FV = PV ( 1 + г t),
вещ v вещ
FV = PV(1 + rt) = PV( l+(a + bi)t)
комп Y ' v Y ' '
= PV (1+ at + bit) =
PI YP (cos oc + sin a) ), ще
--—--l+flt 1+at
p= v(i + a£) + (i)f):. cosa=-= . =,
^ p -J (l+at)'+(bty
bt
sin a = —=—(
bt
p j(l+aty+(bt)-
Найдем вещественную составляющую наращенного комплексного капитала
1+at
FVpeM = PV—
V(1+at)2+(bt)2'
80
ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
Построим совместные графики (рис. 3) наращения по вещественной и комплексной простой процентной ставке.
800.00р. 600,00р. •100.00р.
JOO.OOp. 0,00р.
-'Уэеал
О с О О О О С wOC С И Г^ X Л «J IN — О —* IN т ic .с г-*" а.
Рис. 3. Наращения по простой процентной ставке, РУ = ЮОруб, гжш = 50%, г = 50% + 30%1
При наращении по простой процентной ставке графики наращения совпадают.
4.2. Сложная процентная ставка
РУ = РУ(1 + г V,
вещ 4 псин '
РУК)ШП РУ- (У (сох (1а) / л/// (1а)), откуда
РУ.к.1и= РУ' // ■ соэ (их).
Построим совместные графики (рис. 1) наращения по сложной процентной ставке: вещественная г = ((1+а)2+62)о5-1, комплексная г а Ы (рис. 4).
ЬУК»
PV
PV
pv
pv
(i-at-bi-t) p(cosa + i-sina)
PV-
р-е
i а
pv _ ■ pv
—e lce — (cos a-isin а), где p p
p ((J-at)2 (bl)2)12,
(11)
cosa (l-at)p,sina (-bt)p, 0 ? а 2п. (12)
Найдем реальную составляющую наращенного комплексного капитала
PVpea:i(l)
PV
v'Ú-at)2 + {bt)2 V(1 -at)2+(bt)2 1 -at
(l-at)2 +(bt)2'
При d = а, производные функций PVJl) и l'V (t) при 1=0 совпадают, поэтому графики наращения касаются друг друга. На рис. 5 горизонтальный участок наращения по вещественной простой учетной ставке объясняется тем, что наращенная сумма стремится к бесконечности в момент (Id.
/<У,
ino.oop ЧМ.Шр
ioo.oop у iMMian
Рис. 4. Наращения по сложной процентной ставке, РУ = 100, г = 2,96%, г = -
7 кош 7 7
10% +50% • \
Стандартное наращение по вещественной сложной процентной ставке является верхней огибающей для графика реальных денег при наращении по сложной комплексной ставке.
4.3. Простая учетная ставка РУ
-JftO.OOp
-Ti"
Рис. 5. Наращения по простой учетной ставке, РУ = ЮОруб, с1дащ = 50%, (1 = 50% +30% -1
Реальная составляющая а комплексной простой учетной ставки d = а + Ь/ со-
~ КОМ11Л
впадает с вещественной простой учетной ставкой d = а. Добавление комплексной
вещ ^
составляющей к учетной ставке дает видимое преимущество, так как в момент / / с/и, не происходит появления бесконечной наращенной суммы.
аещ
(l-dBemt)
ВКСТНИК УРАЛЬСКОГО ИНСТИТУТА 'ЖОПОМПКН, У11РАВ1КПИЯ И ПРАВА Л«4 2016 81
4.4. (".южнаяучетная ставка PV
(1-овещ)г ' PV PV
1<'К
ИУколш TTáy (l-(a+biyy~
PV
PV
((l—a)— bi)f p(cosa:+i-sina)t
PV t PV . t
— e — Сcosa — i ■ sina)
PV
— ■ (eos (at) - i ■ sin (at)), откуда
pv
l'Vpea-, — ■ eos (at),
где а определяется по формуле eos а (¡-а) р, sin a -b р, 0 < а 2ж.
Совместный график наращения по вещественной и комплексной сложной учетной ставке представлен на рис. 6.
О V Í Л V 4 - \ f I Я b ~t s Ь Г '' г IV I
rVj»v,)i : VHf-Д
" КОНПЛ 1 _ J
"компл
4.5. Непрерывная процентная ставка
FY = PV егвещ'',
1'Ушш PV- ert PV- e(a+bi)t PV- gta+tbi py■ eta ■ e—
PV eta- (cos(ib) isin(tb)).
Найдем реальную составляющую наращенного комплексного капитала: РУреал= PV eta • cos(tb). Совместный график наращений представлен на рис. 7.
Рис. 7. Непрерывная процентная став-
ка, PV = ЮОруб, d = 20%, d
rj 7 вещ 7 к
+200% • i
= 20%
Рис. 6. Наращения по сложной учетной ставке, PV = 100, d = 19,38%, d = 20%
7 7 вещ 7 7
+10% • i
Соотношение эквивалентности между комплексной сложной процентной г и
' KOMI 1.1
комплексной сложной учетной d став-
J КОМ1Ш
ками имеет хорошо известный вид
4.6. Численные расчеты
Проведем анализ чувствительности наращения капитала по сложной комплексной процентной ставке. Зафиксируем сложную комплексную процентную ставку г = -10%+50%. Второй максимум наблюдается в точке Т, = 12 лет с суммой 140 руб. Будем по отдельности варьировать вещественную и мнимую составляющие ставки г.
Из рис. 8 видно, что при увеличении мнимой составляющей (г = -10%+55%) график также сжимается по оси t и растягивается вдоль оси FV (Т, = 11,3 лет с суммой 182 руб.).
При уменьшении вещественной составляющей график сжимается вдоль оси t и сжимается по оси FV (Т, = 11,3 лет с суммой 83 руб.).
5. Расчет денежных потоков по комплексной процентной ставке
5. /. ('тоимость бесконечного денежного потока (ренты) по комплексной процентной ставке
Бесконечный поток постоянных плате-
82
ВСКРОССТНК КН И II ЛУЧ НО-Л11Л.1 !1Т И Ч KCh'H ii ЖУРИЛ. I
-10%+50% i
200 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200
r=-10%+50% i
r=-10% +55% i
r=-15%+50% i
Рис. 8. Изменение графиков реальной части комплексных денег при варьировании компонентов сложной комплексной ставки г
жеи с постоянными промежутками между ними называется вечной рентой. Примерами вечных рент являются кредиты с одинаковыми разовыми платежами, пенсионные потоки и так далее. Современная величина ренты постнумерандо есть А
РУ ~ (13)
где/}- стоимость разового платежа в конце периода, г- сложная процентная ставка за период.
Допустим, ставка г является комплексной, то есть г а Ы. Рассчитаем приведенную стоимость ренты по формуле (13)
РУ,
А-а
реал
<
А-а
а2 + Ь2 а2
А
а
РКг
A(a-bi) _ А-а А-Ь
a+bi
z2+b2 a2+b2 a2+b2
I.
Реальная составляющая комплексной суммы равна
Таким образом, реальная составляющая комплексной стоимости ренты меньше стоимости ренты с вещественной ставкой г=а. Это означает, что комплексная процентная ставка занижает реальную составляющую комплексных денег. Другими словами, часть реальных денег переходит в комплексную составляющую комплексных денег.
5.2. Доходность конечного денежного потока по комплексной процентной ставке Для конечной ренты постнумерандо с // постоянными платежами и ставкой г за один период приведенная стоимость равна: РУ = Л[1-(1+г)"п]/г. (14)
Рассмотрим более общий вариант конечной ренты с ненулевой конечной суммой Р'У. Тогда приведенная стоимость потока рассчитывается по формуле (1).
Область диаграммы
ВКСТНИК УРАЛЬСКОГО ИНСТИТУТА ЖОНОМПКН, УПРАВЛЕНИЯ II ПРАВА А»4 2016 83
Допустим, г а Ы - комплексная сложная процентная ставка за один период ренты. Численные расчеты показали, что вещественная составляющая РУ КОМПЛеКС-
есн*
ных денег (14) также меньше приведенной стоимости /Т такого же денежного потока с вещественной ставкой г а.
Приведение потоков по комплексным ставкам уменьшает вещественную составляющую по сравнению с приведением по вещественной ставке. Это объясняется, по-видимому, тем, что часть вещественных денег комплексной приведенной стоимости переходит в комплексную составляющую этой стоимости. Ситуация похожа на закон сохранения энергии.
6. Портфели ценных бумаг с комплексными процентными ставками
Из депозитов с различными комплексными ставками можно составлять портфели ценных бумаг На рис. 9 представлена сумма двух комплексных вкладов. Меняя весовые коэффициенты вкладов в этой сумме, можно добиться желаемых свойств итогового портфеля.
Допустим, портфель состоит из ценных бумаг С, и С,, представляющих собой вклады по комплексным сложным процентным ставкам. Портфель П образуется из ценных бумаг Ср С, в пропорции: затраты на бумагу С, равны а%, а на бумагу С, равны (1 -а) %, 0<а <1. Будем считать, что портфель П1
Рис. 9. Сумма двух вкладов с различными комплексными ставками
84 ВСКРОССИЙСКИ И ИДУЧНО-ЛНАЛИТИЧКС'КНА ЖУРНАЛ
лучше П2 на интервале наращения [0, Ткщ], если минимальная вещественная сумма дохода портфеля П1 больше аналогичной суммы П2 на интервале наращения.
Бумаги имеют следующие параметры:
Ценная бумага С,: РУ= 100 руб., г=10%+20%7, дата оформления 01.01.2016.
Ценная бумага С.: PV=200 руб., г=20%+30% /, дата оформления 01.01.2016.
Расчеты показали, что оптимальный портфель П состоит: 95% бумаги С, и 5% бумаги С,. При этом его минимальная вещественная сумма дохода равна -781 руб. На рис. 10 представлен график комплексного дохода портфеля Помг на интервале наращения до 21 года.
Заключение. В статье проведено сравнение различных способов наращения капитала: вещественной и комплексной ставкам. Показано, что часть наращенной суммы переходит из вещественной части в комплексную часть. Проведен анализ приведен-
Рис. 10. График комплексного дохода портфеля из двух ценных бумаг с комплексными доходностями
ной стоимости денежных потоков по комплексной процентной ставке. Рассчитаны оптимальные портфели ценных бумаге комплексными процентными ставками. Показано, что комплексные ставки имеют ряд преимуществ перед вещественными ставками. Они позволяют уменьшить риск банка при досрочном расторжении договоров по вкладам.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Светуньков И.С. Производственные функции комплексных переменных в экономическом анализе: Автореф.... канд. эконо. наук, 2008.
2. Светуньков С.Г. Основы комплекснозначной экономики. СПб.: Издатель Васильки-наМ.Н.,2011. 156 с.
3. Osborne, Michael J. Multiple Interest RateAnalysis: Theory and Applications. Kindle Edition, 2014.133 р.
4. Трофимов С П. Применение комплексных чисел в финансовых операциях // Вестник Уральского института экономики, управления и права. 2013. № 4 (25). С. 81-83.
5. Трофимов СП., СафроноваК.К. Сравнение способов наращений капитала по вещественной и комплексной ставкам // Актуальные проблемы науки XXI века. М.: Международная исследовательская организация "Cognitio", Ч. 3. 2016.72-76 с. (http://www.mio-cognitio.com)
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
ТРОФИМОВ Сергей Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент Департамента «Информационные технологии и автоматика», Уральский федеральный университет, имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург.
E-mail: tsp61 @mail.ru
САФРОНОВА Ксения Константиновна, студентка 3-го курса Уральского государственного экомического университета, направление «Экономика предприятий», г. Екатеринбург.
E-mail: ksush777.1996@mail.ru
BKCT1IIIK УРАЛЬСКОГО ИНСТИТУТА -ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА ДМ 2016 85
