CC BY
39
УДК 539.219.2
НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ КЕССОНА ПРЯМОГО КРЫЛА
В.И. Корольков
В данной статье рассматривается решение краевой задачи о напряженно-деформированном состоянии консольной оболочки, подкрепленной продольным и поперечным набором, представляющей модель кессона крыла.
Ключевые слова: депланация, напряжения.
В современном авиастроении силовые элементы конструкций (стержни, пластины и оболочки) часто работают в условиях стесненного изгиба и кручения. Например, лопатки турбин и компрессоров, крылья летательных аппаратов и другие объекты, интерпретируемые как стрежни и оболочки произвольного очертания, в плоскости заделки испытывают стеснение депланации. Как следствие этого возникают значительные всплески напряжений в этом сечении, быстро затухающие по размаху. И хотя этот эффект известен давно, решение конкретных задач в достаточно строгой постановке до настоящего времени представляет значительную трудность.
В данной статье, посвященной решению этой проблемы, рассматривается консольная оболочка некругового поперечного сечения, подкрепленная продольным силовым набором и нагруженная сосредоточенными и распределенными силовыми факторами.
На рис. 1 показана жестко заделанная в сечении Z=0 оболочка, нагруженная комбинацией распределенных и сосредоточенных силовых факторов: погонной нагрузкой интенсивности q(z), поперечной силой Qy, изгибающими Мх, крутящим Mz и распределенным т^)
моментами. Отличительной особенностью этой задачи является наличие переменности толщины обшивки и продольных стенок кон-трукции. Принято, что толщина обшивки одновременно изменяется по двум направлениям, причем закон изменения толщины принят достаточно общим:
h( z, s) = h(z)•h(s), (1)
где h(z) = h1 (1 - rz)k ;
h(s) = 1 -+c | sin p |
r = ( - 14h>l tfK)/l;
h1, h2 - толщина в корневом и концевом сечениях при h(s) = 1; c, к - постоянные, р, s -угловая и контурная координаты. Толщина стенок hc в общем случае зависит от толщины обшивки hc = g • h(z), где g - постоянный множитель.
Наличие функции h = h(z, c), как будет показано ниже, существенно изменяет характер напряженно-деформированного состояния
конструкции, и его учет в расчетной практике необходим. Кроме того, надлежащий выбор закона изменения толщины, как показывают расчеты натурных объектов, позволяет разработать конструкцию, близкую к оптимальной по массе.
Рис.1
Корольков Владимир Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 249-53-24, е-шай: кого1коу vi@bk.ru
Обратимся к решению задачи о напряженно-деформированном состоянии (НДС) оболочки, описываемой системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
6+П
Е
2=1
[аЦи'і + ЬЦиі ) - Ьчи'г - с]іиі = Я]/0 , (2)
7=1, 2, ..., 6+п
и естественными граничными условиями вариационной задачи
(3)
(Р. - Р] У>и
іг—0 ] \г—1
— 0, 7=1, 2, ..., 6+п
где
= | [_2(1- у)-1 р1г + рр \і( z, $)ёБ -
І I. 4 ’ Т.гТгг ' ТХ
+ 2(і+ у)Ерр Щ ;
к
Ьл = ІРрхК( z, 5)йК ,
С]2 = |р'jzPizh(z, ^ ;
иі,и' - обобщенные перемещения и их производные по г;
Я. - грузовой член, учитывающий характер внешней нагрузки;
Р., Р. - обобщенные силы; п - число степеней свободы контура г=сош1;, связанных с его депланацией; ,р.х ,р]г ,р]х - предвари-
тельно выбираемые координатные функции и их производные по S; О, у - модуль сдвига и коэффициент Пуансона; АРк - площадь поперечного сечения к-го стрингера, переменная по размаху.
Переменные коэффициенты а., Ь.і, с. можно представить в виде произведения К(г) на постоянные геометрические характеристики оболочки а і , Ь]2, с і .
а]і = ЧФр, Ь]і = КФ]і ,
Для вычисления а і , Ь.2, с.і
задать координаты контура. Представим криволинейные панели в виде дуг эллипса с полуосями а и Ь, а боковые стенки - вертикальными прямыми. Запишем координаты контура в виде:
С]2 = к(2)СР
необходимо
X —
У =
- ё рє р0,Р-р) 1
- а ■ єіпр, Ьє [р - А),Р + Ь01
ё, Ре [р + А0,-А01
- а ■ яп А Ре [-А0,р01
ё ре\р0,р-р0 1
ь ■ со8 р, р є [р - р0, р+р0 1
- ё ■ ^Р, Рє \п + р0,-р01
ь ■ cosр, рє [-р0,р01
р0 = агс&
V/ V
В практических расчетах в уравнениях (2) достаточно удерживать три перемещения контура и2, и4, и6 как твердого тела и два перемещения и7, и8, учитывающих его депланацию [1]. Для симметричного контура отличными от нуля будут коэффициенты:
а22, а44, а66, а77, °88, Ь24, Ь28, Ь67, С48, С77, С88
Взяв интегралы первых шести уравнений, систему (2) запишем в виде:
— і т т Р2 .
а22и2 + Ь24и4 + Ь28и8 =
Ок( г)
а44и4 —
р.
ОК( г)
_ — р а66и6 + Ь67и7 = 6
ОК(г) ’ кг _ , г , _
л 77 7
■ а77и7 Ь67и6 с67и7 = 0 ;
1 - ГГ
кг _ , _
~ а8 8 и 8 - с8 1 - ГГ
(4)
*8 ^28И2 М8М4
где
р2 = Qy + | q(z)dz, Р4 = Qy (I - z) + } q(z)dz + Mz,
I I
_ z
Рб = Mz +1 т( z)dz
I
Первые три уравнения системы (4) интегрируются в квадратурах
0 '
г р г \гр I Ь 2
и2 = а-1I -а-I1\ёг - ^ I и8ёг;
ОКг) 0 І0 ОН(г) I а2
22 0
г Р
----1 Г Р4
и л — а ‘
4~ а44 ^, 4 ч ёг;
0 ОК(г)
(5)
г р Ь г
= а66 I ОрТл - ^ I и7 ёг.
0 ОК(г) а66 0
Последние два, учитывающие смещения, обусловленные депланациями контура, приводятся к уравнениям
кг
N..
1 - гг
К( г)
где
А7 = -
с77 Ь67
а77 а66 а77
А8 = -
с88 Ь67
а88 а22 а
N7 —
Ь67 Р6
а66 а77 О
N8 —
Ь28 Р2
8 - - - п а22 а88О
6
Далее, подстановкой Х=ИГ—z [2] уравнения (б) сводятся к неоднородным уравнениям Бесселя
N
и8 + ки8-А и
КгкХ
, і = 7,8
(7)
Решение соответствующих (7) однородных уравнений записывается в виде
(8)
и 0 —СіР1 +DiР2, 2 = І-6
где С,, В, - постоянные интегрирования. Вид функций р1 и (р2 зависит от знаков коэффициентов Л]. В случае Л].>0 решение записывается через модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента [3]:
р = I а (Х^Л~ Х, Р2 = К а (Х^Л~ Х , где а = (к — 1) / 2 .
Если же Л;<0, то в решении (8) присутствуют действительные функции Бесселя первого и второго рода. Здесь коэффициент Л] следует брать под корнем по абсолютной величине. Проведенный численный анализ показал, что отрицательное значение Л] принимают в том случае, если поперечное сечение имеет большую строительную высоту, то есть Ь приблизительно равно или больше а. В данной статье этот случай рассматривать не будем.
Частное решение и* уравнения (7) найдем методом вариации постоянных [2].
и* —Р2\р18^ ёХ-р1 ¡Р28^
где 11 ——1, 8] — ^.к
К1гкХк
Ж = Р ~ Р2 " детерминант Вронского.
Детерминант Вронского, следуя [4], можно представить в виде
Ж = %~к. (9)
Общее решение дифференциального уравнения (7) складывается из суммы решений
0 *
и и ми выражается с учетом (9) в виде
11 I
М] = С,р, + В,Р2 +Р2 } PgjXkdX — р |Р2gjXkdX . (10) X X
Решения (5) и (10) должны удовлетворять граничным условиям (3), которые в рассматриваемом случае имеют вид
дил 0 — 0 .
21 г—0
7=1, 2, 6
(р] - Р7 ) „1 — .]=7- 8
где Р7 = Р7 = 0 , Р7 = а77и7 , Р8 = а88и8 .
Отсюда получим
'I 'I п
и7 , = М8 , = 0 .
7 \z=l 8 \z=l
Так как в сечении оболочки z=0 перемещения контура отсутствуют вследствие заделки, то
и 2 I z=0 = М4 I z=0 = Мб| z=0 = М7 I z=0 = М8 I z=0 = 0 (11)
Перемещения и2, и4, иб, записанные в виде (5), удовлетворяют граничным условиям (11). Из четырех оставшихся граничных условий найдем постоянные С и В,.
с — {В±-ВіЖк- е. •
Di —
оЛ{1і“ -^і“ )к,
гвгк0а е
" Ег
V 1 а
(12)
гап “-к-1 ка -.а)
где Іа — I
0 г "V т 1 т 11 .
І1 — I
х ГУ х Г.
а—0,5(іа-1 + іа+1); А
к 0 — к —_____— • кі — К 11 •
^а ^а ? ^а ^а г~м— ?
г №
ка—0,5(ка _1+ка+1);
а а-
І1 І1
Вг — I І°а 8гёХ, Ег — | к“ 8гё{.
1/г 1/г
Частное решение и * уравнения (7) можно выразить через модифицированную функцию Струве Ьа [2], если на оболочку действуют лишь сосредоточенные силовые факторы: поперечная сила Qy, изгибающий Мх, и крутящий Мг моменты, приложенные на свободном конце
и*X-“.
Щг^А,
Общее решение в этом случае принимает
вид
о,і“Х*А )+ )х
лЫ.
___]___Т
к г—Ьа
где
О
_ ока
и/. а •
І
а
0
І
а
Qr — —-
0,5PV,.
hxrkJA
l-aL'a — L°a -a + arxa
1 a
L
tI — tI ^a
La *a о V * a J
f
'I \
t '
г^1 z^0 У
K „ — K™ — a a о
V 1 a J
+ ali
I
z-^i r-^0___a
Krs — K ry ----------
a a о
V 1 a J
T0 = T
La La
La — 0,5
L + t +
^a—\^ ^a+1 ^
i (0,5liJA У
VP
T(a +1,5)
Г( 0+1,5) - гамма-функция.
Деформация и напряжения в произвольной точке оболочки определяются по формулам [1]
-8 ' 8
= Е«¿И ; 7*1 = Е| «¿И* + «
i—1
_ Ee
S z — 2 ; t xz —
1 — v2
i—1
ds J ’
2(1 + v)
которые с учетом (1, 5, 10, 12) в случае совместного действия сосредоточенных и распределенных силовых факторов запишутся:
--P4y(a44Gh1(1 — rZ)k) + £ u )
u jjjz ; j—7,8
Y„ — P2 (a44Gh1(1 — rZ)k)—1 dy +
+p6 (a66Gh1(1—rz) k) 1( Л ~ yds)+ u'jjjx
где
u j — 0,5
Ci (l a—1 + 1 a+1 ) + Di (Ka—1 + Ka+1 ) I1
— (Ka—1 + Ka+1 ) J S j1 adz +
1/r—z
h
+ (la—1 + Ia+1 ) J S jKadz
1 / r — z
j z — xy + k 4 x + k 5 y + k 6;
— x2 y + k1 x + k2 y + k3 + k7 (xy + k4 x + k5 y + k 6);
CiIa+ DiKa Ka JgjIadz + Ta \gjKadz ;
1 / r — z
a J & У 1/ r—z
j7 x —
dj7 z — b28 dy.
ds a22 ds ’
dj8z b67
ds a66 ^ ds
dx
J x3 yh(s)ds
k3 —
k5 — ■
k 7 —
k 4 — —
k1 — 2 ; k 2 —
Jx h(s)ds
J x2 yh(s)ds J h(s)ds ’
J xy 2h(s)ds J y 2 h(s)ds
J x 2 y j7 zh(s)ds J j7 zh(s)ds
J x3 y 2 h(s)ds J y 2 h(s)ds
J x 2 yh(s)ds J x 2 h(s)ds
k6 —
J xyh(s)ds Jh(s)ds ’
В производстве в основном находит применение линейный закон изменения толщины по размаху
h(z) — h1(1 — rz).
В этом случае достаточно в решениях положить k равным единице. Если толщина оболочки не изменяется по контуру h(s)=const, то в этом случае необходимо взять коэффициент с равным нулю. Используя полученные выше решения, автором произведены расчеты, некоторые результаты которых представлены на
рис. 2-5.
В расчетах использовались безразмерные параметры
_ z _ a — h2 — h1 — b — d
z — —; a — —; h — -^; h1 — —; b — —; d — —. l l h1 baa
На рис.2-5 приведены графики безразмерных нормальных и касательных напряжений, которые в случае изгиба равны
_ Ga ъо, _
Ga 2т
EPyl
y
а в случае действия только крутящего момента -
_ Ga2la7 _ Gait„
s —--------z • t —-------—
z EPz ’ xz EPz ’
0 0
где Py — Qy + J q(z)dz ; Pz — Mz + Jm(z)dz . l l
.3.
x
u
n
x
a
l
x
r
Sz —
z
На рис.2 представлены графические зависимости о2 в функции координаты 1 при действии на оболочку различных силовых факторов. Кривые 1 и 2 построены для случая приложенных в концевом сечении 1=/ крутящего момента Ы2 и поперечной силы Qy соответственно; кривые 3 и 4 изображают собой распределение 1) при распределенных по
трапецеидальному закону крутящего момента и поперечной силы соответственно:
тер по сравнению с кручением Ы2 и изгибом Яг
Рис.2
д = д1
1 -1 (т1 - т2)
1 т1/ ’
1 -1 (д1 - д2) д11
(13)
Видно, что характер распределения о2 в значительной степени зависит от вида приложенной к конструкции нагрузки. Параметры оболочки в расчетах принимались следующие: а = 0,2; Ь = 0,1; к = 0,2; Н1 = 0,004 ;
й = 0,5; к=1; с=1; ^=2.
На рис. 3 показано распределение ТХ2 = /(1) при действии на конструкцию Ы2 (кривая 1), Qy (кривая 2) и распределенного по закону (13) погонного момента т (кривая 3).
Параметры оболочки принимались те же, что и при получении предыдущих зависимостей о2 = /(1). В отличие от о2, распределение тХ2 по длине конструкции в случае кручения сосредоточенным Ы2 моментом или изгиба силой Qy почти идентичны. При действии распределенного момента т распределение тХ2 = / (1) принимает совершенно иной харак-
Рис.3
Кривые, изображенные на рис. 4, отражают распределение о 2 = / (1) в случае линейного закона изменения толщины к(1) и к = 0,2 при различной относительной длине оболочки а = а / /. Параметр а при действии М оказывает влияние на распределение 02 по всей длине конструкции, особенно в ее средней части. Только у концевого сечения 1 = 1 влияние а незначительно.
1- а =0,75; 2- а =0,5; 3- а =0,333 Рис. 4
Интересно проследить, как влияет на распределение о 2 = / (1) закон изменения толщи-
т=т
ны оболочки. Данные результаты представлены на рис.5 для а = 3/8 . Как видно из графиков, в случае действия на конструкцию сосредоточенного крутящего момента М1, увеличение параметра к в степенном законе изменения толщины
к( 1) = к1(1 - ) к приводит к более резкому падению по всей длине конструкции. При получении графических зависимостей рис.4 и 5 принимались следующие параметры:
Ь = 0,16 ; к1 = 0,02 ; й = 0,5; с=0; ^=2.
А. 5 СГ*1СГ5
о о, 5 л г
1 - k=1; 2 - k=3; 3 - k=5 Рис.5
Следует также отметить, что в предельном переходе к постоянной толщине оболочки к = 1 все представленные зависимости совпадают с известными из литературы [1, 5].
Полученное в данной статье решение может быть распространено и на случай нагрева обшивки, что вызовет изменение лишь правой части разрешающей системы дифференциальных уравнений (2).
Литература
1. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. 659с.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Гос.изд.физ.-
мат. литературы, 1961. 703с.
3. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. 424с.
4. Справочник по специальным функциям. / Под редакцией М.Абрамовица и И.Стиган. М.: Наука, 1979, 830с.
5. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. 393 с.
Воронежский государственный технический университет
STRESS-STRAIN STATE OF RIBBED COFFERS STRAIGHT-WING
V.I. Korolkov
This article discusses the solution of the boundary of the stressed-deformed stateconcentration solo shell reinforced by longitudinal and transverse set representing a model caisson wing
Key words: warping, stress
