Исследование напряженно-деформированного прямоугольного кессона переменной толщины при сосредоточенных нагрузках и нагреве Текст научной статьи по специальности «Физика»

і- У Ч Е Н Ы Е З А П И С К И Ц А Г И

..п.,....-...і —і, ....і.. ■ д ....і і —і= ■■ і ■ ..... ... и ....

Т о м XII 19 8 1

№ I

УДК 624.074.4—415.014.043

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО КЕССОНА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗКАХ И НАГРЕВЕ

С. Н. Булатов, П. И. Курочка

На основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа получена система разрешающих дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Из решения указанной системы определяются перемещения произвольного контура поперечного сечения кессона, находящегося под действием сосредоточенных обобщенных сил и неоднородного температурного поля. Смещения точек контура, обусловленные депланациями, определяются из неоднородных уравнений Бесселя. Приводятся результаты расчетов, выполненных на ЭВМ.

Ранние работы по теории расчета крыла базируются в основном на классических концепциях балки и конструктивно орто-тропной пластины. Однако такая схематизация пространственной конструкции является весьма приближенной и не всегда отражает действительный характер ее работы. Достаточно сказать, что, например, восприятие внешней нагрузки пластиной и крылом принципиально различно. .. -д.

Учитывая то обстоятельство, что по весовым и аэродинамическим соображениям толщина работающей обшивки сильно из* меняется по размаху, а иногда и по хорде, можно в качестве расчетной схемы крыла принять ортотропную оболочку переменной толщины. Однако задачу расчета таких оболочек нельзя считать решенной.

Цель данной работы — дать замкнутое аналитическое решение для прямого кессона переменной толщины, как наиболее часто встречающегося силового элемента крыла. В рамках теории |1] исследуется напряженное и деформированное состояние (НДС) кессона, находящегося под действием сосредоточенных обобщенных сил (}у, Мх, Мг и неоднородного температурного поля. Толщина стенки по размаху изменяется по степенному закону (рис. 1)

Н = /г (г) =:(<7— Щк, ■ (1)

где д = угй^, г = {угГх — ку¥^1.

12 Г

В общем случае НДС конструкции описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

6+л

2 \ац К + (а'ц + Ьа — ьа) К + (Ь'п - сп) и,\ - — Я,,

1=1

и естественными граничными условиями

(Р, - Pj) bUj = 0, j - 1, 2, . . ., 6 + n,

где .

(f (?;* V/, + V]x 9u)ds, §Vjxo'izds,

(2)

(3)

2(1 +v)

w;. --- перемещения произвольного контура как твердого тела (f = l, 2, . . . , 6) и перемещения (t' = 7, 8, . . . , 6-{-и), связанные с депла-нацией и искажением контура 2 = const; штрих означает производную по г; <?и, «уг, <рА, ч>1г, -л'.х, <р'г, <р'1г - координатные функции

и их производные по S1, принятые по [1]; 5 — контурная координа-

\ 1 \ \ '*3

, -у*

- - Г4

Ь 1 \

NL *г 1 Рис. 1

та; Е, V — коэффициенты упругости и Пуассона соответственно; = ^ — ~ члены. характеризующие влияние температурного

поля; $)<&, = ~-ф?;г^(2, 5)^, «-ко-

эффициент линейного расширения материала; Ь = / (2, $) — температура нагрева кессона; п — число функций, аппроксимирующих перемещения, при которых имеют место депланация и искажение контура.

Система (2) допускает упрощение путем однократного интегрирования первых шести уравнений

6+л

2 (а и и, + Ьп и,) = Р'ц + Р;, у=1, 2, ..., 6 + п;

i=1

6+Л

2 к

«-и

а и, + (a,i + Ьп — 6|;) т + (Ьц - с„) и,] — - Rjh j — 7, 8, . . ., 6 + п,

(4)

где Р1==я8 = 0, Р2=^С}у, Р4 = Мх + 0У (г ~1), Р5 = О, Рб = Л1г.

Перемещения «), отсутствуют, если температура изменяется лишь вдоль образующей по линейному закону

где С — длина контура поперечного сечения.

Для дальнейшего решения необходимо найти коэффициенты разрешающих уравнений (4); принимая, что контур в своей плоскости недеформируем, депланацию сечений аппроксимируем двумя функциями:

где первая соответствует депланации кручения, вторая — изгибу; х~х(з), у = у (в) — уравнения контура поперечного сечения; К— коэффициент ортогональности:

Для прямоугольного сечения отличными от нуля будут коэффициенты

Здесь сомножители с чертой независимы от г.

С учетом (1), (5), (6) и равенства а22 = Ь24, Ь^ = с8А система (4) принимает вид

і = М1 — рг).

где р = (1 — **/*„)//. Поэтому

Рц — Р% І = Рі і = Ръ І = Рб І = #7 ( = /?8 і — О,

<р,г - X (в) у (5), у, г = X2 (5) у (5) + АГу («),

/С -

£

.Ї2 у2

®221 а33> Я44> °66і °77і й83> ^28) ^67і ^24> ^77> С88> ^84‘ (^)

Представим коэффициенты (5) в виде

а ц = кап, Ьл = <?у, = Нсп.

(6)

Ла25 «2 + Л624 «4 = Су - М28 и8, Ла38 иг — —-----------------------------

Наи щ = Ліх + <Зу (г — І), //а66 «6 = — кЬ61 и7,

(0 аЕ (1 — рг) ЛС

1 — V

(7)

Интегрируя первые четыре уравнения системы (7), получим

(1%2 ьУ Н • ... *л . \ «У ■■

Мх + Оу (г-1)

а-ц Л

йг -Ь С3 с?2

^28

в-)--

«о

' аЕС

-1 и8 4* Си

(0 аЕрс

г —

«зз (1 — "О 2д33 (1 — V-)

Г Мх + 0 (г-I)

«4 = ----

г2 4" С2,

а44 Л

йг + Сз.

мв — I с1г----------------------Ь1- \ и7 иг + СА.

■ йбв* /7~

*2!_

^66

Последние два уравнения подстановкой с — /гг — г, где т —ц\г, приводятся к неоднородным уравнениям Бесселя . . . л. .

* ^ «; + 4«;+Ъ «у=Н1 - /=7-8- у до

;..;3 (9)

где

*67

Ят - - 42-, Я8 =

Я*

^28

Я 22 ^88

ду&24 /'^22 &88

с83

Д38.

Понятно, что решение уравнений (9) будет зависеть от знака Если Я,->0, то

с^а + с;¥а + уау.

■Л

V Я, (Л. Кд - 4 Г«) *а+* / = 7, 8,

(10)

Ка-Уа Кв)^+*

где Л = ./а ( КЯ/£), Ка = Уа (]//?,;) — цилиндрические функции

первого и второго рода, а = (1— &)/2.

Используя выражение для детерминанта Вронского, получим

У а - Ja ¥а=2’:гУй}\. ;

. -.«■ ат • ... ... С ■ ' ■ г % •:

Такая ‘замена существенно упрощает вычисление интегралов, входящих в решение (10). В случае, когда Я; < 0, решения уравнений выражаются через модифицированные функции Бесселя первого и второго Ка = Ка(У Я;£) рода. Под корне

следует брать Яу по абсолютному значению;- " и--"

м

Г Г н>1аа%

и, = с,1а + с; ка+ ка —-—^ч—

7 [ ' У 1<1 {1а К'а --1а кс.

:)^+а

_/ Г Н}Кд&

а) УЩ(1ак'а-гй.к11)? + а

7 = 7, 8.

(П)

Как и в предыдущем случае, с помощью детерминанта Вронского

1аКа-1аКа=- \iVRjI можно существенно упростить интегралы, входящие в (11). Тогда

М] - (С; 4 + С* Ка - Н} Ка | сЧа я + Н, 1а [ Р Кат / = 7,8. (12)

Постоянные интегрирования в (9), (10), (12) определяются из граничных условий (3)

5иу |г=о = 0, (Ру-Ру) |«, = 0.

Для жестко закрепленной консольной оболочки при г = 0 ^’перемещения контура отсутствуют, что выражается равенствами

I г—о ~ м3 I г—0 ~ I г—о ~ I г=0 = 1,2=0 = I 2=0 ==®'

где

6+И

р. = 0, Р, - X (ал и\ + ьп щ).

Тогда

X Ь» «(-)1г=г = 0.

• . Л~=а~..

С учетом (5) граничные условия принимают вид

аП И7 | г=г =='®' '?В«в^|*в-, = 0;' «7 |г = г = 0, к' I г=г = 0.

Для определения восьми постоянных интегрирования имеем восемь граничных условий

и2 I г=>.о =7/гЗ I о — к4 | г=0 -". %'|12.= 0 “ I г=-[) — Ць I г = 0

и*1 _п = 0,

и7 I г = 1 Н8 \г=1

(13)

Если к равно целому че'тному числу, то индекс цилиндрических функций равняется целому числу плюс одна вторая, а как известно, такие функции допускают точное выражение через элементарные. Давая к различные значения и вычисляя, интегралы, входящие в (9), будем получать решения для различных законов изменения толщины; смещения, обусловленные депланациями, находятся из выражений (10) или (12) в зависимости от знака /?у-.

Рассмотрим практически важный случай, когда толщина стенки изменяется по линейному закону. Тогда, положив &=1, из (9) получим

и = м* ^ ^—!1 (т — х) [ 1 — 1п (т — г)}---1п (т — г) +

гаи гак

+ - Ь- Ги%йг - С3г + С„

2га^ а<2ч Л

“’ = -^Л'-^) + с" !<н,

мх + <?у (т — I)., , <?у . г ■

м4 =-----------—-------- 1п (та — г) — —-Г Ь3,

гаи ган

Чс =-----1п (те — г)------С «7 4- С4.

ат ^

Смещения иу, обусловленные депланациями, определяются из (10) при /?; > 0:

«У = Су У0 4- с; Уо - Н, Л | Ко й\ + Н} У0 $ У0 Я, (у = 7, 8) (15)

и из (12), когда /?у< 0:

му = Су /0 4- С* К0 - Я;. Л'о | /0 <£ 4- «у 4 | К0 Л. (16)

Удовлетворяя граничным условиям (13), найдем постоянные интегрирования

С1 = — -_у———/га(1п/м— 1) 4- -Ы-1 иаёг\ 0,

ган а™

С, = 0, С, =-----------=-------1п т,

гаи

С4 = 4^- 1п т 4- -Iе- ] м7 <^21 0,

>•«66 «ев ^

где

.^4--^ (я-лЬи С7 — ХХ0У0

Л> л \ -/о /

-с.т + -г(г-х^)'

X ^______” А0=-^ Л 4-У,(0-£)-К1в,

2(К] У0— ^оЛ) Уо

)- =-----------, Х0 = 1®А Л + 7, (Л - £) - Г, 5,

2(Г,^0-КоЛ) Л

Л = Я7 р0Л|,=0, Я~Я7р0<«1,=1. Я-Я7|коС?51г=0,

о = я, |к0ся|г=г,

Л = //8|у0Л|,=0, 1,=1. « = к0(й|в=0,

5 = я,^к0Л|жв/> 70 = Л(1/Ж^ А = Л^ЛО/Ж^),

л = ло/Жо, у0=у0(УШ^), 7г = улУЪ\),

Го=Гс(]/^), к, = кх (]/£* *)■

Здесь и ниже цилиндрические функции с нулевым индексом берутся при 2=0, с индексом 1—при г=/, например, (]/"/?, та),

?! = У] ((Лр, (та —/)) и т. д. Постоянные интегрирования С7, С*, С8, Се получены при /?у>0. Если же то

с7=^-(с; + А) + А, с*=>мх2/;,

и

С8 = (с; + Л) + £„ с8*=х, х2 4

где

г 1

10к1 + /1 Л"о /о

у , Х2 = -4^Л + /1(£1-Д)-^51,

/о Л1 4- /1 Ло *о

\гЫ, ^1 = Я7/^о^|г=0,

= Нч § К,Л| г=/ >

л = я8|/0^|/=0, г1 = //в//0(й|,в1> д = я8/^^|г=о.

А — Я81 /С0 <^512=г,

/; = /о(1/^). Л = Л(1/Ж*). /о = 4(1/"^). Л = /.(/^5), й=/с0о/Ж*), к.-^о/Ж^), к0 = к0(УЖ^ к, = КА]/'Жг).

Для оболочки постоянной толщины в двух последних уравнениях (7) и в решениях (8) следует положить г = 0. Определив щ (г=1, 2, . . . , 8) по формулам

8 8 )

“ ТГ7,2 К ъ» х« = 2 (4 ** +и* ъ*>*

8 8

Иг "?гг> Т*г ~ (^/ 9/дг “Г ?[г)>

г=1 ;-1

(17)

находим значения напряжений и деформаций в произвольной точке кессона.

На рис. 2 в безразмерных параметрах представлены графики изменений нормальных напряжений аг = а2га66а77//Иг&67 по длине кессона при кручении сосредоточенным моментом М2. Геометрический параметры конструкции приведены ниже.

~ Кривая Параметры 1 2 3 4 5

(1 — ^\1 ^2 0,2 0,25 0,2 0,25 0,25

д = с/.., I 0,4 0,4 0,5 0,5 0,5

V А /г, Л-, 5 5 ■■ 5 5 2

Максимальные зг возникают в заделке, их увеличение на интервале г — 0,4 -4- 0,85 связано с более интенсивным уменьшением площади нормального сечения в сравнении с депланационными

усилиями при большом коэффициенте • изменяемости толщины (А = 5). Действительно, при 1г = 2 всплеск напряжений отсутствует (кривая 5), а при к = 1 получим график |1] для оболочки постоянной толщины. С целью выявления депланаций на величину нормальных напряжений при изгибе силой (Зу проведены расчеты кессона при данных, приведенных выше.

Результаты вычислений представлены на рис. 3. Пунктирные кривые соответствуют решениям с учетом депланаций, сплошные — без учета. Как видим, стесненный изгиб оказывает определенное влияние на величину аг по размаху, максимальная разница в заделкё' порядка 7%. Очевидно, в проектных расчетах этой величиной можно пренебречь. Уравнения (8) решались также численно путем двукратного интегрирования задачи Коши. Для скошенного конического кессона решения представляются в гипергео-метрических рядах.:

ЛИТЕРАТУРА

1. Образцов И. Ф., Онанов Г. Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М., .Машиностроение", 1973.

2. О б р а з ц о в И. Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М., .Машиностроение”, 1966.

Рукопись поступила 22/V 1979 г.