Научная статья на тему 'Напряжённо-деформированное состояние двухслойных плит'

Напряжённо-деформированное состояние двухслойных плит Текст научной статьи по специальности «Стержни и стержневые системы»

CC BY
58
19
Поделиться
Ключевые слова
пластина / контакт

Похожие темы научных работ по механике , автор научной работы — Чихладзе Элгуджа Давидович, Кислов Александр Григорьевич,

The theory of double-layer slab analysis taking into account the compliance of interlayer contact and the nonlinearity of the top layer deformation have been developed.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Напряжённо-деформированное состояние двухслойных плит»

УДК 624.073.11

НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВУХСЛОЙНЫХ ПЛИТ

Э.Д. Чихладзе, профессор, д.т.н., А.Г. Кислов, доцент, к.т.н., ХНАДУ

Аннотация. Разработана теория расчета двухслойных плит с учетом податливости контакта между слоями, трещинообразования и нелинейности деформирования верхнего слоя.

Ключевые слова: пластина, контакт.

Введение

Двухслойные плиты находят все большее распространение в различных конструкциях и особенно в мостостроении, так как они оказываются значительно легче однослойных плит, имеющих ту же изгибную жесткость.

Цель и постановка задачи

Настоящая статья содержит основные положения теории двухслойных плит, учитывающей податливость контакта между слоями. В основу теоретических исследований положены следующие предпосылки: рассматривается простое синхронное загружение. Материал нижнего слоя (£) имеет высокие механические характеристики; материал верхнего (легкого) слоя (В) считается нелинейно деформируемым, условно сплошным; составляющие компоненты плиты в горизонтальном направлении соединяются упругоподатли-выми связями сдвига, а в вертикальном направлении - абсолютно жесткими поперечными связями (поэтому толщина нижнего слоя не превышает 1/20-1/100 высоты плиты); высота плиты принимается малой по сравнению с другими размерами. Предполагается, что плита загружена только поперечной нагрузкой.

Реализация задачи

Зависимость между напряжениями и деформациями в главных направлениях при двухосном напряженном состоянии принята в следующем виде:

Коэффициенты А1к, А2к(к = 1, 2, ..., N) находятся из условий минимизации квадратов отклонений напряжений, полученных в экспериментах при заданном п от напряжений, полученных по аппроксимирующим зависимостям (1).

Рассмотрим вырезанный из плиты малый прямоугольный элемент (рис. 1). Считаем, что трещины пройдут по площадкам главных растягивающих напряжений. В этом случае при достижении Ых значения Мсгс в направлении действия момента М1 образуется трещина, а в направлении действия момента М 2 верхний слой будет работать без трещин. Согласно гипотезе плоских сечений, справедливой для части сечения „ В ", имеем

8ы = 28'ы / X

84й = 28Ш / х11

где х, ха - высоты сжатых и растянутых зон; 8ы, 8Ыя - фибровые деформации в сжатых и растянутых зонах.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Ак (8к)к, I = 1, 2:

к=1

(1)

где аь 2/ ам = п

Рис. 1. Элемент плиты

Положение нейтральных осей определяется значениями х1, которые находятся из условия равновесия

£ Р = 0, , = 1,2.

Из условия равновесия изгибающих моментов получим

(2)

Ле;1 = Ле^ sin2 а + Ле;х cos2 а +

М1 В\ В,

М 2 В, В2

где К =е'ы / х = еъ,- /(ко - х);

в,= В + В, 2)/2;

В, = х3Еъ / (3 (1 - VI// + х3Кы/ (3(1 - VI,)) +

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

+Е*Л; (к - х,. )2 X,. / (1 - (V;)2);

В,, =vъx2хЕ /(3 (1 -V,2 //-+VъX хуЕы/ (3 (1 // +

+Лу ;ху sin а- соя а ; Ле;2 = Ле;х cos2 а + Ле^ sin2 а --Лу^ sin а - cos а ;

Ле;х = 8(52ах / дх2 +52тху /(дх -ду)//£ ;

Ле;у =8(д2ау /ду2 +д2тух /(дх-ду))/£ ;

ЛУху =8(д2ах /(дх-ду) + д2Тух /ду2 + +д2ау /(дх-ду) + д2тух /дх2) .

Произведя известные преобразования тензоров кривизны и изгибающего момента, из выражения (2) получим

( 4)

мх Вп В\2 Аэ кх

Му = В21 В22 В23 ■ ку

Му В31 В23 В33 2кху _

+^Е*Л; (к0 - х,. )(к0 - xj )Х,. / (1 - (V* )2) ; где Вп = Дят2 а+ Д шэ2 а ;

Л; - площадь нижнего слоя на единице длины;

, = 1, 2; ] = 2, 1.

Параметры деформирования Еъ, Еы, vъ, vъ, получены приведением сжатого и растянутого верхнего слоя к условно изотропному, а напряженного состояния - к условно однородному. Например, для сжатой зоны верхнего слоя

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Еъ = Еъ1(1 ^ ъ п); ^ =п(1 - Еъ,/ Еъ 2) /(1 -П2 Еъ,/ Еъ 2);

Еъ, = 3£ ЛЛ (ек)к /(2 + к), , = 1, 2,

к=1

Е*, v; - параметры деформирования слоя, „ £ "с учетом работы за пределом упругости.

Влияние податливости контакта нижнего слоя с верхним учитывается введением поправочного коэффициента

(5)

Х = ( -Ле)/ е;, = = [ (к0 - х, ) - Ле, ] / [ (к0 - х, )]

(3)

где Ле- деформации контакта (рис. 2), которые в направлении главных осей будут иметь следующий вид:

А2 = В21 = В,;

В\ъ = В31 = В23 = В32 = ,

= (В1 - В2) соя а - sin а /2

В22 = В1 соя2 а+ В2 ят2 а ;

В33 = (В + В2 -2В,)/4 .

Используя условие равновесия элемента плиты, получим необходимое число уравнений для решения задачи о напряженно-деформированном состоянии двухслойности плиты. Жесткостные коэффициенты, входящие в уравнение (4), определяются в соответствии со стадией работы плиты, уровнем напряженного состояния с учетом деформации по контакту. При этом различают следующие стадии: упругую, упругопластичес-кую без трещин, упругопластическую с трещинами. Момент трещинообразования Мсгс определяется для полоски плиты единичной ширины с учетом нелинейных деформаций в растянутой зоне. Численно предложенное решение реализуется методом конечных разностей при шаговом нагружении плиты. Для замены дифференциальных операторов используются центральные и односторонние разностные операторы одного порядка с погрешностью аппроксимации о [к2].

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

а) е*„ б) ч>

' еЬ| у Б |

Рис. 2. Деформации (а) и напряжения (б) контакта слоя „ £ " со слоем „ В "

Процесс последовательных приближений организован таким образом, что в каждом п -ном приближении уточняются жесткостные характеристики в соответствии с деформированным состоянием (п -1) -го приближения. Итерационный процесс сходится не во всех случаях. При малых нагрузках, непосредственно после образования первых трещин, вследствие резкого падения же-сткостей в местах локального трещинообразова-ния и сильных перераспределительных усилий, итерационный процесс расходится. Это объясняется тем, что трещины в процессе перехода от расчетного цикла к циклу то раскрываются, то закрываются и, соответственно, жесткости то уменьшаются, то увеличиваются. Такое явление характерно в статически неопределимых железобетонных конструкциях и имело место при расчете рамных систем [1], двухветвевых колонн [2] и плит [3].

Для обеспечения сходимости процесса последовательных приближений в [1] рекомендуется уменьшать величину воспринимаемых бетоном растягивающих напряжений и выводить таким образом систему из состояния неустойчивого распределения усилий. Однако, как свидетельствуют исследования [2], искусственное снижение сопротивляемости бетона растяжением незначительно сказывалось на действующих в системе усилиях, действительно улучшают сходимость, но при этом искажается остальная картина деформаций конструкции. В работе [2] предложено для улучшения сходимости итерационного процесса усилия, вводимую в последующую итерацию, определять как среднее арифметическое усилий, полученных на всех предыдущих итерациях. Такой прием нашел отражение в расчетах железобетонных плит. Нами применяется упомянутая процедура не к усилиям, а к жесткостям, для чего жесткости, участвующие в процессе формирования матрицы коэффициентов СЛАУ, определяются по формуле

Б'п = (Б-1 • п + Бп )/(п +1),

где Бп - жесткость, полученная в процессе формирования матрицы коэффициентов СЛАУ в (п -1) итерации, п - номер текущей итерации.

Такой прием обеспечивает уверенную сходимость процесса последовательных приближений, хотя вызывает его замедление. На первом шаге нагру-жения в начале производится расчет плиты с абсолютно жесткими связями сдвига (Х1 = 1, i= 1,2). Линеаризация нелинейной стороны задачи осуществляется в процессе последовательных приближений, переменными параметрами которого являются жесткости Би (5) в каждой точке. Процесс последовательных приближений продолжается до достижения удовлетворительной сходимости по прогибам, после чего вычисляются значения напряжений в нижнем слое стет (I, 3), ст^ (I, 3), тху (I, 3), и определяются

параметры X 1 (3). При переходе к следующему шагу нагружения жесткости вычисляются в соответствии с деформированным состоянием, полученным на последней итерации предыдущего шага, с учетом соответствующих значений Х1. Несущая способность плиты определяется следующими факторами, имеющими место в какой-либо точке конечно-разностной сетки; прочностью верхнего слоя, нижнего слоя, и прочностью контакта между слоями [1], [2].

Для проверки достоверности расчета его результаты сравнивались с данными, полученными при испытании двухслойных плит толщиной 50 мм из бетона прочностью Яе = 40 МПа на опорном контуре 980x980 мм. Плоский лист, имея толщину 5 =1 мм из стали с физическим пределом текучести 230 МПа.

Таблица 1 Сравнение экспериментальных и теоретических значений прогибов плиты при сетке МКР 5-х5

Шаг нагрузки Нагрузка, кН Прогиб середины плиты, мм

теоретич. эксперим.

1 10 0,24 0,3

2 20 0,77 0,7

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

3 30 1,30 1,30

4 40 1,94 2,0

5 50 2,42 2,6

6 60 3,04 3,4

7 70 3,82 4,2

8 80 4,91 5,2

9 90 6,47 6,2

10 100 8,90 8,0

Начальные значения модуля упругости бетона и стали Ее = 3,3-104 и Е5 = 2,1-105 МПа. Выполненное наклонными петлевыми анкерами объединение стального листа с бетоном имело жесткость | = 8-105 т/м. Нагрузка на плиту передавалась

через штамп размером 180x180мм в середине плиты (см. таблицу).

Вывод

Разработан математический аппарат, позволяющий учесть развитие анизотропных свойств двухслойной плиты, вследствие трещинообразования и нелинейности деформирования верхнего слоя, а также податливости контакта слоев.

Литература

1. Козачевский А.И., Крылов С.Н. Исследование перераспределения усилий в сложных стержневых системах с учетом неупругих свойств железобетона// Труды ин-та / НИ-ИЖБ. Совершенствование расчета статиче-

ски неопределимых железобетонных конструкций. - М.: Стройиздат, 1968. - С.43-62.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2. Дыховичный А.А. О сходимости метода после-

довательных приближений при расчете статически неопределимых железобетонных конструкций//Вычислительная техника и организация в строительстве и проектировании. Серия II. Автоматизация строительного проектирования. - Вып. 1. - М.: Гипротис. 1967. - С. 32-35.

3. Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженер-

ные методы нелинейной теории железобетона. - М.: Стройиздат, 1982. - 287 с.

4. Карпенко Н.И. Теория деформирования желе-

зобетона с трещинами. - М.: Стройиздат. 1976. - 208 с.

5. Чихладзе Э.Д., Арсланханов А. Д. Несущая спо-

собность сталебетонных плит // Изв. вузов. Строительство и арх. - № 4. - 1989. - С.5-8.

Рецензент: А.Л. Шагин, профессор, д.т.н., ХГТУСА.

Статья поступила в редакцию 10 января 2005 г.