CC BY
21
ГЕОМЕХАНИКА
УДК 539.4:624.131
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБДЕЛКИ ТОННЕЛЯ, РАСПОЛОЖЕННОГО ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ПОРОД
П.В. Деев, А.А. Цуканов
Предложен аналитический метод расчета обделок подземных сооружений и крепи горных выработок, позволяющий учитывать влияние границы раздела пород с разными деформационными характеристиками на напряженное состояние подземных конструкций. Метод основан на аналитическом решении плоской задачи теории упругости о напряженном состоянии кольца произвольной формы, подкрепляющего отверстие в одной из двух линейно-деформируемых полуплоскостей, имеющих общую прямолинейную границу. Получено распределение напряжений в обделках железнодорожного и автодорожного тоннелей и установлены зависимости максимальных сжимающих и растягивающих напряжений от положения границы раздела.
Ключевые слова: тоннель, обделка, напряженное состояние, граница раздела, теория упругости, комплексные потенциалы.
Введение. Методы расчета подземных сооружений, основанные на аналитических решениях соответствующих задач механики сплошной среды, являются эффективным инструментом, позволяющим производить оценку напряженно-деформированного состояния подземных конструкций и окружающего массива горных пород. В качестве модели массива обычно используется линейно-деформируемая среда, что позволяет применять аппарат математической теории упругости, разработанный Н.И. Мусхелиш-вили [1]. Аналитические методы, разработанные в нашей стране, основаны на решениях достаточно сложных задач и позволяют оценивать напряженное состояние обделок тоннелей произвольной формы поперечного сечения, в том числе и взаимовлияющих, при различных нагрузках и воздействиях, включая сейсмические [2]. Использование аналитических методов для расчета подземных сооружений регламентировано действующими нормативными документами [3, 4].
В основе аналитических методов расчета, разработанных иностранными авторами, лежат решения относительно простых задач теории упругости, полученных без использования теории функций комплексного переменного. Наиболее широкое распространение получил метод упругого уравнения, рекомендованный к практическому применению Всемирной тоннельной ассоциацией [5]. Метод, основанный на работах А.М. Мюир Вуда [6] и Д. Дж. Кёртиса [7], позволяет выполнять расчет обделок тоннелей кругового поперечного сечения.
Сложность получения решений новых задач теории упругости существенно ограничивает область применения аналитических методов. Например, проблема учета особенностей реального строения массива при расчете подземных конструкций в настоящее время еще далека от решения. И если наличие неоднородностей в виде кольцевых областей вокруг выработки, локальных включений и пустот может быть учтено с помощью имеющихся методов расчета, то моделирование слоистого массива пород встречается с серьезными трудностями. Применение численных методов позволяет реализовывать достаточно сложные модели неоднородных массивов, однако результаты, полученные с их помощью, нуждаются в верификации путем сравнения с данными аналитических расчетов, физического моделирования или натурных измерений [8-10]. Выполнение многовариантных расчетов с использованием численных методов требует существенных временных затрат, что снижает эффективность их практического применения.
К аналитическим методам, позволяющим оценить влияние слоистого строения массива при расчете подземных конструкций, можно отнести метод, предложенный в работе [11], позволяющий определять напряженное состояние круговой выработки, пересекаемой по диаметру границей раздела пород. В работе [12] на основе оригинального решения соответствующей задачи теории упругости предлагается оценивать напряженное состояние обделки кругового тоннеля с учетом горизонтальной границы раздела слоев грунта, расположенной выше выработки. Настоящая работа является дальнейшим развитием указанного направления.
Математическая модель взаимодействия подземной конструкции с неоднородным массивом пород. Рассматривается обделка тоннеля, расположенного вблизи наклонной границы раздела пород с разными деформационными характеристиками. Расчетная схема подземной конструкции представлена на рис. 1.
Обделка тоннеля моделируется некруговым кольцом 51, подкрепляющим отверстие в линейно-деформируемой плоскости 50, которая имеет общую границу Ь с полуплоскостью 52 из другого материала. Деформационные свойства материалов сред 5/ (/ = 0, 1, 2) характеризуются величинами модулей деформации Е/ и коэффициентов Пуассона V/. В средах 50 и 52 существует поле начальных напряжений, задаваемое параметрами Ы, Р,
начальные смещения полагаются равными нулю. На линиях контакта Ь и Ь0 выполняются условия равенства смещений и контактных напряжений, внутренний контур кольца Ь1 свободен от внешних сил.
В качестве основной системы координат принята система хОу, полученная поворотом горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через центр отверстия, на угол а по часовой стрелке. Таким образом, координатная ось х параллельна линии контакта полуплоскостей, а ось у перпендикулярна ей.
Решение задачи теории упругости. Согласно общему методу решения задач теории упругости, изложенному в работе [1], необходимо найти комплексные функции (потенциалы) ф/г), у/г) (/ = 0, 1, 2), регулярные в соответствующих областях комплексной плоскости г = х + ¿у. Деформации и напряжения в средах Sj связаны с комплексными потенциалами с помощью известных формул Колосова - Мусхелишвили.
Для определения искомых функций ставятся краевые условия, соответствующие граничным условиям задачи теории упругости: - при ге Ь (г = /)
Рис. 1. Расчетная схема обделки тоннеля
Ф2^) + г ф2(*) + у Ж) = фо(*) + г Фо(^) + у );
к2ф2(/) - г ф/(г) -у 2 (г) = — к0ф0 (г) - г ф;0(0 -у 0(0 ; (1)
^ ь J
- при ге Ь0 (г = ¿0)
Фх(^о) + Ч ф!(^О) + %1(0 = Фо(0 + <о Ф0(О + У 0(О -
1 + ^ ЛГ+ , 1 ^ ЛГ+ „,2г(а+Р).
-щ +
-т0 е2
К1Ф1 (<0 ) - <0 Ф1 (<о ) - (<о ) = — КоФо (<0 ) - <0 Фо (<о ) - ^о (<0 ) - при те Ь\, (г = ¿1)
(2)
Ф^) + <1 ф°(0 + ^(0 = 0. (3)
Комплексные потенциалы ф0(т), у0(т), характеризующие напряженно-деформированное состояние среды 50, могут быть представлены в виде сумм двух функций
Фо( *) = Фо,о( *) + Фо,1( *); %о( *) = %о,о( *) + %од( 4 (4)
Первые слагаемые в формулах (4) являются функциями, регулярными в полной плоскости вне контура Ь0, вторые - функциями, регулярными в нижней полуплоскости. На основе условий (1) определяются формулы, связывающие слагаемые в выражениях (4)
й
Фо1(*)=--
т
*Фо о (* - 2Н) + % о(* - 2Н)
й
% 1 (*) = — ф0 0 (* - 2 И) +— (* - 2И) х
I
т
х
ф° 0(* - 21И) + *ф°0(* - 2И) + уо 0(* - 21И)
где
т
= 1 + ; й = Ал^Но. , = 1 - т; I = 1 - й
1+ К
1+ К
(5)
(6)
цо, ц2 - параметры Ламе; к0, к2 - коэффициенты вида напряженного состояния.
Комплексные потенциалы ф0(?0), у0(?0), ф1(^0), ^(¿о) на контуре Ь0 представляются в виде рядов Лорана по степеням комплексного переменного а = ег0 (а - точка единичной окружности с угловой координатой 0). Область комплексного переменного <, включающая единичную окружность а, связана с рассматриваемой областью г с помощью отображающей функции вида
п+1
(7)
к=0
Соотношения между коэффициентами разложения в ряды функций ф0(<), у0 (<) и ф1(<), %1(<) определяются с помощью условий на контуре Ь0 (2). На основе условий (3) составляется система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения в ряды функций ф0,0(<), у0,0 (<), регулярных в области переменного < вне единичной окружности. В правую часть системы входят неизвестные слагаемые,
наличие которых обусловлено необходимостью удовлетворения граничных условий (1). Решение полученной системы находится с помощью метода последовательных приближений, который сходится для случаев, когда окружность, описанная вокруг контура Ь0, не пересекает прямую Ь.
Напряжения, найденные из решения рассматриваемой задачи, следует умножить на корректирующий множитель а*, вводимый для учета расстояния между возводимой обделкой и забоем тоннеля [13].
Примеры расчета. В качестве примеров рассмотрены обделки железнодорожного (рис. 2, а) и автодорожного (рис. 2, б) тоннелей.
Рис. 2. Поперечные сечения обделки 1 (а) и обделки 2 (б), результаты расчета (в, г)
На рис. 2, в и 2, г показаны результаты расчета, полученные при следующих исходных данных: Е0:Е1:Е2 = 5:10:1; у0 = 0,3; у1 = 0,2; у2 = 0,35;
= 1,0; а = 0 (горизонтальная граница раздела расположена над тоннелем); Н = 5,0 м (обделка 1), Н = 6,5 м (обделка 2). В силу симметрии полученных результатов показаны только половины эпюр: слева - напряжения на внутреннем контуре, справа - на наружном. Пунктирными линиями на рис. 2 в, г даны напряжения в обделках тоннелей, расположенных в однородном массиве пород, значения напряжений приведены в скобках.
Из рис. 2, в, г видно, что наличие границы раздела пород может существенно влиять на распределение напряжений в обделке тоннеля. Так, максимальные напряжения в своде обделки 1, испытывающей влияние границы раздела, на 65 % выше соответствующих напряжений, возникающих в случае, когда тоннель расположен в однородном массиве.
Исследование влияния положение границы раздела на напряженное состояние подземных конструкций. С помощью разработанного программного обеспечения были выполнены многовариантные расчеты, в которых изменялся угол наклона границы а к горизонтали, а расстояние Н от центра выработки до границы раздела оставалось неизменным. Таким образом, при разных значениях угла а граница занимала разное положение относительно тоннеля.
Полученные зависимости максимальных напряжений в обделке от угла наклона границы при различных значениях параметров и Р, характеризующих поле начальных напряжений в ненарушенном массиве, представлены на рис. 3. В случае силовой симметрии расчетной схемы (рис. 3 а, б, г) рассматривался диапазон значений угла наклона границы а = 0...1800, при действии максимального главного напряжения N под углом 450 к горизонтали (рис. 3 в) угол наклона границы раздела изменялся в пределах а = 0...3600. Цифрами обозначены зависимости, соответствующие следующим случаям: 1 , 2 - максимальные сжимающие напряжения в обделках 1, 2; 3, 4 - максимальные растягивающие напряжения в обделках 1, 2.
Зависимости максимальных сжимающих напряжений, представленные на рис. 3, имеют локальные максимумы в точках а ~ 1200 (обделка 1) и а « 1550 (обделка 2). Положение границы раздела, характеризуемое указанными значениями угла а, соответствует случаю, когда граница проходит вблизи места сопряжения стенки и лотка обделки, т.е. части обделки, в которой имеет место концентрация напряжений (см. рис. 2,в, г).
Наибольшие растягивающие напряжения в обделке 1 возникают в случае, когда главное напряжение N направлено горизонтально (Р = 0) при вертикальном положении границы раздела (а = 900), в обделке 2 - в случае, когда главное напряжение N направлено вертикально (Р = 900) при положении горизонтальной границы раздела под тоннелем (а = 1800).
Рис. 3. Зависимости максимальных напряжений от угла наклона границы: а -£ = 1; б - £ = 0,5, / = 900; в - £ = 0,5, / = 450; г - £ = 0,5, / = 0
На рис. 4, а, б приведены зависимости максимальных сжимающих и растягивающих напряжений в обделках 1 и 2 от расстояния до границы раздела. Цифрами обозначены кривые, соответствующие следующим случаям: 1 - £ = 1, граница раздела проходит вблизи угловой точки контура выработки; 2 - £ = 0,5, а = 900, / = 0; 3 - £ = 0,5, а = 1800, / = 900 (сжимающие напряжения); 4 - £ = 0,5, а = 900, / = 0; 5 - £ = 0,5, а = 1800, / = 900 (растягивающие напряжения).
Рис. 4. Зависимости максимальных напряжений от расстояния до границы раздела: а - обделка 1; б - обделка 2
Зависимости, полученные для рассмотренных обделок тоннелей, имеют схожий характер. В случае, когда граница раздела проходит вблизи угловых точек контура поперечного сечения выработки, ее влияние на величину максимальных напряжений в подземной конструкции проявляется в наибольшей степени. Наличие границы раздела, расположенной параллельно стенке обделки 1 или лотку обделки 2, может привести к возникновению растягивающих напряжений на внутреннем контуре поперечного сечения подземной конструкции.
Сравнение напряженного состояния обделки тоннеля, испытывающего влияние границы раздела, со случаем однородного массива пород показывает, что при расстоянии H, превышающем два максимальных размера выработки, влияние границы раздела на напряженное состояние конструкции не превышает 5 %.
Выводы
1. Разработан метод расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения, расположенных вблизи границы раздела пород с разными деформационными характеристиками. Метод реализован в виде программного обеспечения, позволяющего эффективно выполнять многовариантные расчеты в научных и практических целях.
2. Наличие вблизи тоннеля слоя более слабых пород может привести к существенному росту максимальных сжимающих и растягивающих напряжений в обделке тоннеля, при этом область влияния слоя может составлять два и более характерных размера выработки.
3. Неблагоприятными для подземных конструкций являются положения границы слоя слабых пород в непосредственной близости от участка обделки, имеющей концентратор напряжений (сопряжение стенок с лотком, угловые точки контура выработки) и параллельно участку контура выработки, имеющему малую кривизну (стенки и лоток обделки).
Список литературы
1. Muskhelishvili N.I. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Noordhoff, 1977.
2. Н.Н. Фотиева, Н.С. Булычев, П.В. Деев. Расчет обделок параллельных тоннелей мелкого заложения на сейсмические воздействия землетрясений // Известия Тульского государственного университета. Науки о Земле. 2015. Вып. 3. С. 118-124.
3. Руководство по проектированию подземных горных выработок и расчету крепи. М.: Стройиздат, 1983. 273 с.
4. Руководство по расчету и проектированию транспортных тоннелей для районов с повышенной сейсмичностью: методическое пособие.
М.: ФАУ ФЦС, 2018. 165 c. https://www.faufcc.ru/upload/methodical mate-rials/mp05 2018.pdf.
5. Guidelines for the design of shield tunnel lining. Working group No. 2, International Tunnelling association // Tunnelling and Underground Space Technology, Vol. 15, 2000. P. 303-331.
6. Muir-Wood A.M. The circular tunnel in elastic ground // Geotechniqe, Vol. 25, 1975. No.1. P. 115-127.
7. Curtis D.J. Discussion on the circular tunnel in elastic ground // Ge-otechnique, Vol. 26, 1976. No. 1. P. 231-237.
8. Physical model test and numerical simulation on the failure mechanism of the roadway in layered soft rocks / X. Sun, C. Zhao, Y. Zhang, F. Chen, C. Zhang, K. Zhang // International Journal of Mining Science and Technology. Vol. 31. Issue 2. March 2021. P. 291-302.
9. Geomechanical model test for analysis of surrounding rock behaviours in composite strata / L. Shi, H. Zhou, M. Song, J. Lu, Z. Liu // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering. Available online. February 2021.
10. Response of a tunnel in double-layer rocks subjected to harmonic P-and S-waves / Wang T.-T., Hsu J.-T., Chen C.-H., Huang T.-H. // International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences. 70 (2014). P. 435-443.
11. Фотиева Н.Н., Афанасова О.В. Расчет круговой крепи подземных сооружений в неоднородном массиве на действие собственного веса пород // Подземное и шахтное строительство. 1991. № 2.
12. Саммаль А.С., Анциферов С.В., Павлова Н.С. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния горного массива в окрестности подкрепленной круговой выработки, сооружаемой вблизи границы раздела пород с различными деформационными характеристиками // Фундаментальные и прикладные вопросы горных наук. 2019. Т. 6. № 1. С. 221-225.
13. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений: учебник для вузов. М.: Недра. 1994. 382 с.
Деев Петр Вячеславович, д-р техн. наук, доц., dodysya@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Цуканов Александр Александрович, асп., dekartkeyn @mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
STRESS STA TE OF TUNNEL LINING LOCA TED NEAR ROCK INTERFACE
P.V. Deev, A.A. Tsukanov
An analytical method for designing linings of underground structures and supports of mine workings located near the interface of rocks with different deformation properties is proposed. The method is based on the analytical solution of the plane problem of the theory of elasticity about the stress state of a ring of arbitrary shape supporting a hole in one of two
linearly deformable half-planes with a common straight boundary. The stress distribution in linings of two different shapes has been obtained and the dependences of the maximum stresses on the location of the tunnel relative to the interface have been studied.
Key words: tunnel, lining, stress state, interface, theory of elasticity, complex potentials.
Deev Petr Vyacheslavovich, doctor of technical sciences, associate professor, dody-sya@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Tsukanov Alexandr Alexandrovich, postgraduate, dekartkeyn@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
Reference
1. Muskhelishvili N.I. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Noordhoff, 1977.
2. N.N. Fotieva, N.S. Bulychev, P.V. Deev. Seismic analysis of lining of parallel shallow tunnels. Izvestiya Tulskogo gosudarstvennogo universiteta. Earth Sciences. 2015. Issue. 3, pp. 118-124.
3. Guidelines for the design of underground mine workings and the calculation of the support. M .: Stroyizdat. 1983.273 s.
4. Guidelines for the calculation and design of transport tunnels for areas with high seismicity. Handbook. Moscow: FAU FTSS, 2018.165 p. https://www.faufcc.ru/upload/ me-thodical_materials/mp05_2018.pdf.
5. Guidelines for the design of shield tunnel lining. Working group No. 2, International Tunneling association // Tunneling and Underground Space Technology, Vol. 15, 2000. P. 303-331.
6. Muir-Wood A.M. The circular tunnel in elastic ground // Geotechniqe, Vol. 25, 1975.No.1. P. 115-127.
7. Curtis D.J. Discussion on the circular tunnel in elastic ground // Geotechnique, Vol. 26, 1976. No. 1.P. 231-237.
8. Physical model test and numerical simulation on the failure mecha-nism of the roadway in layered soft rocks / X. Sun, C. Zhao, Y. Zhang, F. Chen, C. Zhang, K. Zhang // International Journal of Mining Science and Technology. Vol. 31, Issue 2. March 2021. P. 291-302.
9. Geomechanical model test for analysis of surrounding rock behaviors in composite strata / L. Shi, H. Zhou, M. Song, J. Lu, Z. Liu // Journal of Rock Mechanics and Geotech-nical Engineering. Available online. February 2021.
10. Response of a tunnel in double-layer rocks subjected to harmonic P- and S-waves / Wang T.-T., Hsu J.-T., Chen C.-H., Huang T.-H. // International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences 70 (2014). P. 435-443.
11. Fotieva N.N., Afanasova O.V. Design of circular support of underground structures in a heterogeneous rock mass on the action of the rock own weight. Podzemnoe i shakh-tnoe stroitelstvo. No. 2. 1991.
12. Sammal A.S., Antsiferov S.V., Pavlova N.S. Mathematical modeling of the stressstrain state of a rock mass in the vicinity of a reinforced circular opening being built near the interface of rocks with different deformation properties // Fundamental and Applied Problems of Mining Sciences. 2019.Vol. 6.No. 1. P. 221-225.
13. Bulychev N.S. Mechanics of underground structures: a textbook for universities. Moscow: Nedra. 1994. 382 p.
