CC BY
72
1/2006
ff ^
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ АНИЗОТРОПНОГО ВОДОНАСЫЩЕННОГО
ОСНОВАНИЯ
фунда-
ри проектировании ментов сооружений на сжимаемом основании важным этапом является выбор расчетной геомеханической модели основания, а также выбор расчетной модели самих грунтов, слагающих сжимаемое основание. К геомеханическим моделям сжимаемого основания следует отнести модели эквивалентного слоя H.A. Цытовича, неоднородного основания Г. К. Клейна, слоя ограниченной толщины К.Е. Егорова, двухслойного основания, слоя ограниченной ширины автора настоящей статьи, анизотропного основания С.Г. Лехницкого и др. [1-7].
В настоящей статье основное внимание будет уделено вопросам количественной оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) анизотропного водонасыщен-ного основания, которое часто встречается в инженерной практике. В качестве расчетной модели грунтов, слагающих анизотропное основание, рассматривается упругая (линейно-деформируемая) модель грунта, которая в настоящее время широко применяется в расчетах оснований сооружений.
Анизотропное основание может иметь самое различное происхождение, обусловленное с одной стороны его генезисом и с другой - искусственным преобразованием однородного слабого основания (рис. 1) К естественным - отно-
З.Г. Тер-Мартиросян
сятся слоистые и переуплотненные грунты. К искусственным - относятся послойно уплотненные, армированные и трамбованные основания, а также слабые водонасыщенные грунты, уплотненные буронабивны-ми песчаными сваями. В последнем случае в лидирующую скважину нагнетается песок или песчано-гра-вийная смесь путем обратного вращения шнека [5]. Вследствие этого, диаметр лидирующей скважины увеличивается в два и более раза, тем самым создается дополнительное горизонтальное напряжение в окружающем песчаную сваю масси-
б)
к к л ~
<<<<<<<
в)
Ь,
> а г,
е)
шшяшшяш
< < Г/ Г Г /
-V •) I. -11
щ
1Г
fi ■
К
"X
X"
щЩ
ШШ
2Ra
"X"
Рис. 1. Примеры естественно - анизотропного (а), (б) и искусственного созданного анизотропного основания (в) -(е): а - слоистые основания; б - основание из переуплотненного грунта; в - основание после уплотнения трамбовкой; г - основание, уложенное слоями и уплотненное тяжелыми катками; е - основание, усиленное песчаными или грунтовыми сваями, уплотненные трамбовкой, вибратором или шнеком
ве грунтов. Мерой количественной оценки анизотропности основания могут служить коэффициент анизотропии по деформированному состо-
янию Х=ех/еу=^Ех /Еу или по напряженному состоянию X,
причем Хе=а/Хст. В таких основаниях
при прочих равных условиях (плотность - влажность) под воздействием внешней нагрузки возникает НДС, существенно отличающаяся от НДС однородного основания. Это в первую очередь относится к осадкам поверхности слоя анизотропного грунта, которые могут отличиться в несколько раз (рис. 2).
Из рис. 2 видно, что влияние анизотропии на деформации грунтов (а) и на осадку грунтовой толщи (б), под воздействием штампа существенно. Этот эффект очевидно, необходимо учитывать при количественном прогнозировании НДС анизотропного основания в связи с проектированием и строительством на таких основаниях.
Следует отметить, что физическая анизотропия, обусловленная генезисом грунтовой толщи, имеет совершенно определенные характеристики деформируемости ех<е2, что не обязательно связано с условием ех<е2. Наведенная анизотропия связана с созданием искусственного анизотропного НДС, когда ех>е2. Следует также отметить, что в процессе нагружения любого изотропного нелинейно-деформируемого грунта, возникает наведенная анизотропия, что подтверждается при испытаниях грунтов на различных траекториях нагружения. Однако этот вопрос здесь не рассматривается.
В настоящей статье делается попытка дать приближенное решение задачи по оценке НДС в анизотропном водонасыщенном основании под воздействием местной полосовой нагрузки (плоская деформация) на основе имеющегося ранее приближенного решения К. Вольфа [7]. Это решение описывает НДС анизотропного однокомпонентного осно-
Рис. 2. а - зависимость £1 — глинистого грунта при испытании в условиях осеметричного трехосного сжатия (1,4), плосной деформации (2,5) и компрессии (3,6) после предварительного уплотнения при Хст 1 (кривые 1, 2, 3) и приХст 1 (кривые 4,5,6); б - кривые б - р, полученные по результатам штампо-вых испытаний песчаного грунта плотностью 1,65 г/см3 в лотке с площадью штампа 1,8 м2. 1-при послойном уплотнении вибратором; 2 - при отсыпке грунта с высоты 4 м. [6].
вания. Для количественной оценки НДС в начальном и промежуточном (нестабилизированном) состояниях водонасыщенного анизотропного основания необходимо решение этой задачи с учетом взаимодействия анизотропного скелета грунта и изотропной поровой воды, что в конечном итоге связано с рассмотрением плоской задачи консолидации для анизотропного водонасыщенного основания. Поэтому, в первую очередь рассмотрим стабилизированное НДС, что значительно проще.
Стабилизированное НДС. При действии погонной силы Р(кН/м) в анизотропном грунтовом полупространстве возникает НДС, которое по К.Вольфу описывается следующим образом:
2Р
х2 z
=
0z =
T*z =
ХЕж ( x2 + z2 )2
2Р 3 z
Xs% ( x2 + z2 )2
2Р х z2
Хеп (x2 + z2)2
(1)
Sx ^ x Е x 0y •
Е у
оУ - 0x V
ЕУ Е x
Sz 0 0x •
Е x
Е.
0 z V
Е _
=0 ; (3)
Gy -V
ЕУ
Уxy
ХУ
V
Полагая, что Ех = Еу из условия s =0 получим:
(
0у =
Я. +
о, Е
z Х
Е
■V
z У
; (4)
В случае изотропности: (Ех = Еу = Ег ), выражение (4) примет обычный вид: оу = (ох + оу) -V ,
а сумма главных напряжений и объемная деформация будут определены следующим образом.
Модуль объемной деформации можно определить на основании (3) после их суммирования, полагая:
ох =оу =oz =о, т.е. имеем:
= 1 - 2v К = 3
' 1 1 1 ^
— + — + —
Е Е Е
V x У z у
. (5)
гДе Хе = ^ЕХ / Еz , vx =vz = v = const
Тогда модуль сдвига такого основания может быть определен в первом приближении по формуле [1]:
Е Е Е
G ~ _х z_ = _x_ (2)
пр~ Еx +Еz(1 + 2v)~ X2s +1 + 2v ; (2)
а связи между напряжениями и деформациями для условий плоской деформации (оу ^ 0 , sy = 0) могут быть определены следующим образом:
■v о ■ v
Очевидно, в случае
Ех =Еу =Ег =Е получим обычное
выражение для модуля объемной сжимаемости:
11 - IV Е
— =- или К =-;
К Е 1 - IV
Подставляя выражение ау из (4)
в (3) получим:
ег (1 -V2)(1 +v)v . (6) Е Е
2 X
В условиях компрессии, когда е = вх =0 получим:
s=
о Е
(
1 -
2v
2 Л
z
1 -v
(7)
Это означает, что в условиях компрессионного сжатия анизотропия не влияет на деформацию е2 и, следовательно, анизотропный грунт не следует испытывать в условиях компрессионного сжатия, а следует испытывать в условиях трехосного сжатия.
s
При действии равномерно распределенной нагрузки по полосе шириной 2а=Ь НДС анизотропного основания можно определить, интегрируя выражения (1) в интервале х=± а, заменяя Р на х на (х-Е, ). Тогда получим следующие выражения:
о х = ■
о„ =
Р
а - х а + х ат^--+ ат^--+
2аг(х2 - г2 - а2)
а - х ат^--+ ат^
т„, =
_Р____
(х2 + г2 - а2)2 + 4а2г2
г (х2 + г2 - а2)2 + 4а2г2
а + х 2аг(х2 - г2 - а2)
2 2
(х + г2 - а2)2 + 4а2г
4ахг
(8)
р I а - х а + х )
0 х + 0 г = 7—I атс^-+ атс^-1;
Леп ^ 2 г )
0v =0 х +0 у +0г =0х (1 + У) +0г [1 +У-(Ех /Ег )] .
На оси х=0 выражения (8) принимают вид:
о„ =
о „ =
2Р
2Р
а а
атЩ---2-2
г а2 + г
а
а
ат+ 2 2 г а2 + г
т = 0.
хг
На вертикалях х=±а получим:
(9)
о„ =
о „ =
т „ =
2 Р
2 Р
2а 2аг
ат Щ---2 „ 2
г г + 4а
2а 2аг
атЩ-+ 2 /| 2
г г + 4а
4а2
2р__
г2 + 4а2
(10)
Очевидно, что при = ^/Ех /Ег > 1 будет иметь место деконцентрация напряжений ог(г) и ох(г), а в случае <1 - наоборот, концентрация этих
напряжений (рис.3).
Из эпюр напряжений видно, что при < 1 имеет место концентрация напряжений по сравнению со случаем = 1. Следовательно, при прочих равных условиях (плотность-влажность) осадка анизотропного основания меньше, чем изотропного. Этот вывод имеет экспериментальное подтверждение (рис.2б) и имеет важное практическое значение, так как в подавляющем большинстве случаев грунты, особенно переуплотненные, в условиях естественного залегания обладают физической анизотропией, то есть < 1.
Анизотропия влияет не только на НДС оснований, но также на несущую способность основания при действии на него полосовой нагрузки. Для ко-
м ч
1 N
о-р
Рис. 3. Эпюры напряжений в анизотропном основании при действии нагрузки р по полосе шириной 2а=Ъ. Слева эпюры <5х(1),
справа <5(1) по оси х=0; 1, 2 -соответствуют случаям, когда коэффициенты анизотропии Хе
соответственно равны 2 и 1.
личественной оценки этого влияния рассмотрим задачу Пузыревского Н.П. относительно анизотропного по исходному НДС основания, то есть, когда
* 1.
Для этого рассмотрим условия предельного равновесия при плоском НДС, то есть:
(5 -5 )2 +Т2
V х 1 / хг
БШ ф =
(<х +51 + 2с • ^ф)2
где <х = <хр +<Х8 ; <1 = <1Р + ■ причем
= /• (1 + к)
= К <1 = К я •К1 + к) ,
(11)
(12)
где коэффициент бокового давления грунта в условиях естественного залегания >1).
Если потребовать, чтобы на вертикалях х=а ордината области предельного равновесия была равна четверти ширины полосы нагружения, то есть 1а=Ъ/4=а/2, то на основе (11) и (12) с учетом (10) для
соответствующего значения нагрузки р1* получим трансцендентное уравнение вида:
БШ ф =
. *
4р± -т+Ь-+1 *)
Ал 1 +4а
*\2
16( Р*)
а
Х2еп2 12 + 4а2
аг^ — + у( 1 + И)(Та +1)+ 2с • ^ф
(13)
где р* = р - g■h;; к - глубина от поверхности земли. С учетом условия - 1 = а/2 получим:
2
2
sin р = -
arctg4 + у(à + h)(K +1)+ 2c ■ ctgq) Xn 2 g
(14)
Для определения р* при фиксированных значениях а, к, Ха, Хе, с, ф необходимо решить трансцендентное уравнение (14) относительно р*. Поскольку нас интересует влияние анизотропии на р*, то при фиксированных значениях а, к, с, ф, следует варьировать и Ха.
-12
Рис. 4. Зависимость начальной критической нагрузки от 2таж и от коэффициента анизотропии
4 / ■
Кривые 1, 2, 3 соответствуют значениям Ха = 2; 1,5 и 1 - соответственно.
Выполненные расчеты по программе МаШСДй дали результаты, приведенные на рис. 4.
В случае водонасыщенного анизотропного основания условие (14) перепишется в виде:
sin р =
+ Y (h + z )X„- 1 )
16(p*)2 a4
X2n2 z2 + 4a2
^^ arctg— + y'( z+h)(xa +1)- uw (a z ) + 2c ■ ctgp Лсж z
(14а)
где у - удельный вес грунта во взвешенном состоянии; пм/(а, х) - поровое давление на вертикали х = а, определяемое по решению задачи о НДС водонасыщенного анизотропного основания (см. формулу 26).
2
2
Нестабилизированное НДС.
Консолидация анизотропного водонасыщенного основания также существенно отличается от консолидации изотропного основания, так как анизотропия грунта отражается и на фильтрационную анизотропию, то есть kx ^ kz. В этом случае уравнение консолидации с учетом условия постоянства среднего тотального напряжения o(t) = ст(0) = ст(ю) = const принимает вид:
ди, ы
■ _ с„
дх2
С„„ _
- + с„.
дг2
к.
где
_±_ • £ _ _£_
2 (I + V) 3п ' 2 (I + V) + 2п_
К
I
I - 2v
Ж
К,,
К
Ж
К
5К
Л
I I I
— + — + —
Е Е Е
V х у г у
I
К ,
I Ли + р + у
• га >
(15)
(16)
(17)
Км 3 1 - (1 -Н)
где и, - поровое давление; сш, с- коэффициенты консолидации; кх, к2 - коэффициенты фильтрации, Кж, К, - модули объемной деформации скелета и поровой воды соответственно; - степень водонасыще-ния; Н - коэффициент растворимости по Генри (0,02).
В первом приближении можно принять, что
К _ Ра
К • _ т-
1 - ^
Если
Я _ с / с
с Лх V2
мет вид:
ди„, ( ■ _ с„.
(18)
ввести обозначения то уравнение (1 5) при-
дГ
Я,
д 2и д 2и - + ■
дх дг2
(19)
Для решения (15) или (19) необходимо иметь начальное и граничные условия для и,(х, г, ) Начальное условие можно определить, полагая, что на начальном этапе на-гружения не происходит изменение соотношений твердой (скелет) и жидкой (поровая вода) фаз в единице объема грунта, то есть на начальном этапе НДС формируется в условиях закрытой системы или отсутствия дренажа. Чем меньше коэффициент фильтрации грунтов, тем больше вероятность такого предположения.
Известно, что промежуточный этап НДС имеет длительность на несколько порядков, превышающий длительность начального этапа. По этому длительностью начального этапа можно пренебречь. Для опре-
деления начального НДС необходимо иметь параметры деформирования скелета и поровой воды при объемном изменении.
В условиях закрытой системы при всестороннем сжатии анизотропного водонасыщенного грунта возникает сложное НДС. Тотальные напряжения о_ (о + Оу + о.)/3 будут распределяться между скелетом и поровой водой обратно пропорционально их жесткостям. Введем понятие приведенного или эквивалентного модуля объемного сжатия грунта в целом - Кпр, который связан со средним тотальным напряжением и объемной деформацией грунта следующим образом
£ / К
С другой стороны объемная деформация скелета
(20)
Полагая, что
_ и, /К,
получим
К пр _ К Ж +
К,
п
(21)
где КК - определяется по (4).
Б =е =п-я
Из совместного рассмотрения (20) и (21) с учетом условия а - а к + и* следу-
ет, что
и*(0) -а •во
(22)
где во - коэффициент начального порового давления, определяемый выражением вида: К *
во -
К Д+К *
(23)
Очевидно, что при этом нормальные напряжения в скелете в направлениях х, у и г будут определяться выражениями аХ - ох - и*; аУ - оу - и* ■
аг -аг -и*
Очевидно также, что для определения и*(0), следует в первую очередь
определить закономерность распределения тотальных напряжений а.
В рассматриваемом нами случае плоской задачи на основе решений (8), имеем:
а-ах (1 + упр) + а\ + упр Х£] , (24)
где УПр - приведенное значение коэффициента Пуассона, определяемое по выражению:
V -
пр
К Пр - 20
(25)
2(К пр + 0)
где Кпр и 0 - определяются по формулам (21) и (2) соответственно. Решение уравнения консолидации (15) при граничных условиях:
и* (±4 г, О - 0 ; и* (х, о, г) - 0 ; и* (х, И, г) - 0 , (26)
где 2£, И - ширина и толщина активной области фильтрационной консолидации соответственно с учетом (22) имеет вид:
и
Xхгг) • ехр
г-1 ]-1
г
+
]
;2\
4£2 И2
гп
21
(х + £)
I И
(27)
2
где А -Ти-
И I
\\и* (х, г, о) • бш
гп
21
(х + £)
■ Бт! ^^ г I • ёхёг
I И )
(28)
Очевидно, что при £ и И , это решение стремится к точному решению для полубесконечной области.
Стабилизированную осадку анизотропного основания при действии распределенной нагрузки р по полосе шириной Ь=2а можно в первом приближении определить через приведенный модуль сдвига (2) по известной [2] формуле:
р • Ь(1 - V)
5(ю) - -—---аи
V 1 20 и
(29)
где шн - коэффициент зависит от формы и жесткости приложенной нагрузки.
Для случая плоской задачи при определении максимальной осадки в центре загруженной площади &а - 4, а при определении средней осадки
®еотг - 2,12 [2].
г
о
у/-Jjjf
Для определения осадки, развивающейся во времени, следует воспользоваться понятием степени консолидации.
s(t) - s(o)
U (t) =
(30)
(31)
- s(o) причем 0 < U(t) < 1;
p• Ъ(\-v )-a S(0) =-2G- ■
Тогда: s(t) = [s(^) - s(o)]- U (t) + s(o) (32)
Для количественной оценки степени консолидации можно использовать зависимость вида:
1 h
и (t)=i -ц
( x, z, t )dxdz
-t 0_
t h
JJmw (x, z, o)dxdz
(33)
-l 0
В первом приближении, если ограничиваться одним членом ряда (27) степень консолидации можно определить зависимостью вида:
U (t) = \ 1 - exp
- cvzn2 + It vz I c M2 h2 J
(34)
Подставляя выражения 5(0) и 5(ю) из (29) и (31) в (32) с учетом (34), получим выражение для определения осадки анизотропного водонасыщен-ного основания во времени в виде:
s(t) =
Р • Ъ -ac
2G
V
пр V SK ,
1 - eXP
-Ж cvzt
Гяс i VI +1 -vnp ll
с2 + 2 1
^4£2 h2 J np II
(35)
где и упр - коэффициенты Пуассона скелета грунта и грунта в целом соответственно, причем уК < упр.
Очевидно, что при г = 0 - 5(0) ^ 0, а при г (г) ^(да).
Таким образом, поставленная задача по количественному прогнозированию НДС анизотропного водонасыщеного основания в рамках плоской задачи с учетом принятых допущений решена.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
1. Учет анизотропных свойств грунтов оснований сооружений естественного или искусственного происхождения оказывает существенное влияние на НДС, в том числе на осадки и на несуществующую способность анизотропных оснований. Причем, осадка основания уменьшается, а несущая способность увеличивается.
2. Для определения параметров деформирования грунтов с анизотропными свойствами необходимо проводить трехосное или компрессионные испытания в двух перпендикулярных направлениях.
3. В водонасыщенном анизотропном основании на формирование и трансформацию НДС от начального к промежуточному и стабилизированному состояниям в пространстве и во времени существенное
влияние оказывают коэффициенты анизотропии по деформациям - Хе, по исходному напряженному состоянию - и по консолидации - Xc.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. «Наука», М. 1977., 407 с.
2. Цытович Н.А. - Механика грунтов. Госстройиздат, М. 1963 г., 632 с.
3. Тер-Мартиросян З.Г. - Механика грунтов. АСВ. М. 2005г. 488 с.
4. Тер-Мартиросян З.Г. - Реологические свойства грунтов и расчеты оснований сооружений. Стройиз-дат, М. 1990г., 200 с.
5. Тер-Мартиросян З.Г. - Эквивалентные характеристики деформируемости и прочности многокомпонентного грунта. Материалы международного совещания заведующих
кафедрами: Механики грунтов, инженерной геологии, основания и фундамента и подземного строительства строительных вузов и факультетов. М. МГСУ, 2003 г. с. 15-25.
6. Галай Б.Ф., Столяров В.Г. -Шнековый способ глубинного уплотнения грунтов и устройство бурона-бивных свай. Промышленное и гражданское строительство, № 10, 2000 г.
7. Довнарович С.В., Польшин Д.Е., Баранов Д.С, Сидорчук В.Ф. Влияние характера формирования основания на его напряженное состояние. Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1977. - № 6.
8. Wolf K. - Ausbreitung der Kraft in der Halbebene und im Halbraun bei anisotropen Material. Zeitgchrift fur angeuandt. Math. und Mech. H. S. B.15, 1935, 249-254.
