Наибольшая прибыль как максимум интегрального функционала Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

НАИБОЛЬШАЯ ПРИБЫЛЬ КАК МАКСИМУМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА

С.А. Рудаков

Челябинский государственный университет rudakov@cgu.chel.su

Прибыль от продажи товара рассматривается как интеграл по времени от функций цены, затрат и спроса. Поиск максимума прибыли приводит к правилу формирования цены товара в зависимости от затрат и коэффициента эластичности.

Ключевые слова: прибыль, функция спроса, экстремальная задача, цена, затраты.

Главной целью является формирование такой цены товара, при которой прибыль от продажи была бы максимальной.

Рассмотрим обычную схему розничной торговли: закупленная партия товара продается в розницу, при этом себестоимость непроданного товара со временем растет (например, затраты на его хранение, выплаты процентов по кредиту, страховые выплаты). Прибыль от продажи товара получается как разность между выручкой от продажи товара и затратами, связанными с приобретением и хранением товара. При уменьшении цены товара увеличивается спрос, товар быстрее продается и тем самым уменьшаются затраты. С ростом цены спрос упадет, потери, связанные с хранением непроданного товара возрастут. Возникают вопросы:

- поднимать цену или уменьшать для увеличения прибыли?

- существуют ли оптимальные цены, при которых прибыль будет наибольшей?

В работе построена интегральная модель реализации партии товара. Математически обоснована формула формирования цены товара с целью получения наибольшей прибыли.

Терминология и обозначения

Положим t — время из интервала [О, Г];

ж(£) — функция цены единицы партии товара (однозначная функция от t, непрерывная, кусочно-гладкая);

г^) — функция себестоимости единицы товара;

р(£) = ж(£) — г^) — прибыль от продажи единицы товара к моменту времени £.

Определим вещественнозначные функционалы V{Ь) и р(£) на К, которые связаны соотношениями

У'(*) =/>(*), У{Т) = I РЦ)сИ.

о

V(Г) — функционал, значение которого есть количество проданного товара за время [О, Г]. Смысл функционала />(£) как функции спроса раскрывается с помощью интегральной теоремы о среднем, согласно которой для некоторой точки г из произвольного интервала [^1,^2] количество товара, проданного за период [^1,^2] есть

*2

Iр(г) сИ = р(т)(г2 - ь).

*1

В случае t2 — tl = 1 значение р(т) равно количеству товара, проданного за единицу времени. Функцию р(£) будем рассматривать как композицию р(х(г)),гАе

р(х) = сх , (1)

х 6 [ж1, Ж2], к — коэффициент ценовой эластичности.

Прибыль к моменту Т от продажи рассматриваем как функционал Р(Т, ж(-)), определенный на К X С [О, Г]:

т

Р(Т, х(-)) = !(х{Ь) - г{Ь))р{х{Ь)) <И. (2)

о

Геометрическая интерпретация

Функционалы

т т

Р(х(-)) = I(х(г) - г(г))р(х(г))(И и (у(-)) = I (у(г) - г{г))Р(у{г))М о о

можно представить (см. рисунок ниже) как объемы фигур

Рх = АгАхЕхЕгВгВхРхи Ру = АгАуЕуЕгВгВуЕуЕг .

Эти фигуры представляют собой, по терминологии Г.М. Фихтенгольца, “цилиндрические брусы”, границы оснований которых АгВг, АХВХ, АуВу являются графиками функций г(^), ж(£), у{Ь) соответственно, а боковые поверхности с образующими, параллельными оси р, таковы, что

\АуСу\ = \А7С7\ = р(у(0)) , \АХЕХ\ = \АгЕг\ = /о(ж(0)) ,

\ВуОу\ = \ВгИг\ = р(у(Т)) , |ВХЕХ\ = \ВХЕХ\ = р(х(Т)) .

Фигура Рх имеет площадь основания меньше, чем Ру, но высота Рх больше, чем высота Ру.

X

Геометрическая интерпретация прибыли для ценовых функций ж(2) < у{{) и

функции затрат

Основной результат

Возникает следующая экстремальная

ЗАДАЧА. Найти непрерывную функцию х(£) такую, что т

Р(х(-)) = У (ж (і) - г^))р{х{Ь))<И ехіг , (3)

где ж(£), Є С[0, Г], х Є [жі, ж2], 0 < х\ < ж2, р(х) Є С2(Ж_|_).

ТЕОРЕМА . /Три р(х) = сж^ (к < 0) и ,г(£) > 0 задача (3) имеет решение х(£) > 0, задаваемое равенствами к

(а) х{ї) = ^ ^ .г(£) при /г Є ( — сю, —1) ,

(б) х(і) = Х2 при к Є ( — 1, 0) .

Доказательство. Докажем, что функция ж(£), определенная в (а), является точкой максимума задачи (3). Положим х = ж(£), г = г^) при фиксированном £. Выражение под знаком интеграла имеет вид <~р{х) = (х — г)схк. Легко проверить, что при г > 0, к < — 1 эта функция принимает

к

наибольшее значение при х = --------г, т.е. подынтегральная функция (ж(£) —

к “I- 1

к

г{Ь))схк(£) принимает наибольшее значение при ж(£) = -----------для всех

к “I- 1

t € [О, Г], г(Ь) > 0. По свойству монотонности интеграла, функция (а) будет точкой максимума для функционала прибыли в (3).

При к 6 [—1, 0) <р'(х) = схк~1((к-\-1)х — кг) > 0, т.е. подынтеграль-

ная функция (р(х^)) = схк~1 ^)((к + 1)х(г) — кг^)) в функционале прибыли в (3) при условии (1) достигает наибольшего значения при ж(£) = ж2.

В части экономических терминологий и понятий смотри [1], в части методов решения экстремальных задач смотри [2].

Список литературы

1. Сидорович А.В. Курс экономической теории: Учеб. пособие. М.: Дис, 1997.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.:

Наука, 1979.

SUMMARY

In the paper the integral model of sale of a set of the goods is constructed. The profit of sale of a goods is an integral on time from function, of dependent on price, expenses and demand. The search a maximum of a profit gives the rule of formation of the price of a goods depending on price and elasticity coefficient.