CC BY
9
УДК 621.391.083.92:517 ББК 32.811.3 Д 13
Давыдочкина Светлана Вячеславовна
Доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры математики и информационных технологий управления академии права и управления ФСИНРоссии, Рязань, e-mail: dav-sv@yandex.ru
Нахождение коэффициентов адаптируемых весовых функций для частотной, пространственной селекции и обработки сигналов
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматривается решение системы дифференциальных уравнений, задающей условия нахождения весовых функций, допускающих одновременное точное вычисление частоты и амплитуды сигнала.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, весовая функция, косинусоидальный ряд.
Davydochkina Svetlana Vyacheslavovna
Associate Professor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematics and Information Technology of Management, Academy of the Law and Management, the FPS of Russia, Ryazan, email: dav-sv@yandex.ru
Finding the coefficients of the adaptable weight functions for frequency and spatial signal processing
Abstract. The article deals with the solution of the system of differential equations that sets the conditions for finding the weight functions that allow simultaneous accurate calculation of the frequency and amplitude of the signal. Keywords: system of differential equations; weight function; cosine series.
Одним из эффективных и часто применяемых математических методов обработки сигналов в классических методах спектрального анализа, задачах математической физики, синтезе антенн и т.д. является преобразование Фурье. В последние десятилетия оно стало использоваться наиболее интенсивно, чему способствовало развитие компьютерных технологий, значительно снизивших трудоемкость и длительность сложных математических расчетов. При этом появились новые задачи, в частности, адаптивной частотной селекции и адаптивной пространственной фильтрации - подавления помех при одновременном выделении полезных сигналов за счет их отличия по частоте или по направлениям воздействия.
Численные решения подобных задач обычно исключают получение результата в темпе получения данных, в связи с чем проблема получения аналитических выражений для весовых функций (ВФ), позволяющих при их использовании не только снизить боковые лепестки преобразованных характеристик, но и обеспечить решение задач частотной или пространственной фильтрации в реальном режиме времени, становится особенно актуальной.
Для решения задачи частотной (или пространственной) селекции сигналов на частоте контролируемого сигнала спектральные плотности амплитуд (СПА) мешающих сигналов (помех) должны быть равны нулю вместе с заданным количеством их производных. Возможность точной оценки параметров сигнала на фоне помех иллюстрируется рисунком 1 для отрезка бигармонического сигнала u(t) = cos(2^-100í) + 0,75cos(2^- 97,25t) с частотами x1 = 100 , x2 = 97,25 , с заданными нулями трех начальных производных ВФ на относительной частоте 2,75 и нулем первого порядка на относительной частоте 197,8. При таких частотах сигнала и задаваемых нулях СПА ВФ и их производных исключено взаимное влияние слагаемых сигнала с частотами x1 и x2, а уровень боковых лепестков слагаемых из отрицательной области частот ниже минус 166 дБ, и они также практически не влияют на оценку параметров слагаемых сигнала.
В работе [1] приведен способ расчета ВФ, форму которых можно оптимизировать ограниченным набором параметров для одновременной минимизации погрешности измерения частоты и амплитуды. Здесь установлена связь погрешности измерения относительных частот с параметрами весовой функции и условие точной оценки частоты, которое позволяет ставить задачу оптимизации этих параметров для уменьшения погрешности оценки частоты.
S(x) 0,5
0,25
0
/ч / ' 1 / 1 1 / ' 1 / \
' 1 ' 1 / ' 1 / ' V А А 1
90 95 100 105 х
Рис. 1. СПА мешающего и контролируемого сигналов, иллюстрирующие исключение взаимного влияния слагаемых сигнала на частотах контролируемого сигнала
Данное условие можно дополнить условием точного измерения максимума модуля спектральной плотности (СП) |£ (]х )| . Тогда нахождение ВФ, допускающей одновременное точное вычисление частоты и амплитуды сигнала, будет связано с решением системы уравнений:
d
\S (jxH
dx
\S И
Xmax = XR
Xmax = XR
= 0, S (О)!
(1)
ад
где £ (ух) =| ) ы{1) ехр(—у - СП взвешенной выборки сигнала и(1), полученного
—ад
на нормированном временном интервале Т; м>({) - ВФ; хк = а>кТ(2ж)— ; х = соТ(2^)—1;
t =
абс
T
нормированная частота сигнала и нормированное время.
Очевидно, что система (1), требующая решения в области комплексной переменной, весьма сложна для анализа и нуждается в преобразованиях, упрощающих ее вид, но не приводящих к искажению решения. Первым таким упрощением будет допущение £ (ух) = £ (х) и переход в область действительной переменной с выбором для анализа только ВФ, симметричных относительно начала координат. В дальнейшем можно будет рассмотреть возможность обобщения полученного решения на несимметричные ВФ.
В работе [2] приводится вывод формулы общего решения системы (1) для ВФ, представленных ограниченным рядом косинусоидальных базисных функций вида:
w
(x ) =
IX
1+ Z anbm )cos(2^x)
f N >
1 + £ an ((,.., bm )
В данной статье мы рассматриваем способ решения системы (1) и вывод расчетной формулы для коэффициентов ВФ:
X an (b1' .' Ьт ) C°s|/r(2n - 1)x]
w( X) = -N-=
X an (b1'..' Ьт )
(2)
где - заданные нормированные частоты, на которых минимизируется погрешность измерений.
n=1
n=1
n=1
Так как наличие целого ряда точек нулевой погрешности Ъ1, Ъ2, ..., Ът приводит к пропорциональному увеличению размерности системы (1), для получения общего решения ограничимся только одной точкой, а результат обобщим на т значений. Тогда ВФ (2) примет вид:
i\
Z an (b) cos[(2n -1) x]
w( x) =
и ей будет соответствовать СП
S (x, b) =
Z an (b)
cos(^x) n + 0,5
-Z an (b)~
(3)
ж
n=0
x2 -(n + 0,5)2
( N >
1+ Z an (b )
V n=0 у
(4)
Спектральная плотность ВФ конечной длительности непрерывна и многократно дифференцируема. Для минимизации погрешности оценки параметров сигнала в пределах конечного интервала приравняем к нулю саму СП и конечное число ее начальных производных в окрестности заданной точки [1]. При этом (1) преобразуется к системе уравнений:
S [[ a0(b) ai(b)...aN (b)]]=b = 0
— S [x,^n(b),ai(b)...aN(b)] = 0,
dx
(5)
d
N-1
dx
N-1
S [x, ^n(b), ai(b)...aN (b)]
= 0.
Здесь S[x, a1(b)...aN (b)] определяется выражением (4). Обозначим
F (n; x) = Z an (b)
n + 0,5
n v / 2
n=0 x
-(n + 0,5)
(6)
тогда систему (5) можно легко привести к виду: cos^-F (n; x)| x=b = 0,
F (n; x) -(cos(;zx)) + cos(ж)c)■(F (n; x))
= 0,
x=b
F(n; x) -(cos(;zx)) + 2 - (cos(;zx)) • (((n; x)) + cos(ж>c)■(F7(n; x))
= 0,
(7)
F(n;x)-(cos(;zx))(N 1) + ClN - (cosO) 2 -(((n;x)) +...
... + CN-2 -(cos(;x)) -(F(n;x))2 + cos(;zx)-(((n;x))1
= 0,
x=b
где биноминальный коэффициент CkN-1 = ■
(N -1)!
(( - к -1)1-к!
Анализ системы (7) показывает, что последовательное исключение нулевых слагаемых Г (и; х) = 0 (и; х)) = 0(и;х)) ^...(и;х)) 1 = 0 1 и сокращение полученного результата на ненулевой сомножитель соэ(ях) упрощает эту систему до
n=1
b
x
F (n; x)| x=b=0 (F (n; x))'
= 0,
x=b
( (л; х))—1 = 0.
х=Ъ
После обратной (6) подстановки и деления каждого равенства системы (8) на а0(Ъ), для исключения тривиального решения, получим систему:
0,5 Л /л п + 0,5
x2 - 0,52
N
+ X an (b )
n=1
d
f
nK~'x2-(n + 0,5 )2
= 0,
dx
x2 - 0,5
N
1 +Xan(b)-
2n n=1
d
dx
N 1 N
1 +Xan(b)-
N
vx 0,5 n=1
n + 0,5 ^ x=b
-( + 0,5)2 j
n + 0,5 N j x=b
•2 -(n + 0,5)2
(9)
an (b)
где за ап (Ъ) принято отношение " . В дальнейшем именно для нового коэффициента
а0(Ъ)
ап (Ъ) и будем выводить расчетные формулы.
К общему решению системы (9) придем через последовательное нахождение частных решений. Так, для системы двух уравнений с двумя неизвестными а1(Ъ), а2 (Ъ0 имеем:
0,5
x2 - 0,52 1
+ a1 (b) •
1 + 0,5
x
0,5
- + a1(b) •
-(1 + 0,5) 1 + 0,5
2 + a2
: (b) •
2 + 0,5
-(2 + 0,5)2
x
= 0,
- + a2 (b)"
2 + 0,5
(х2 — 0,52)) (х2-(1 + 0,5)2)2 ^ ' (х2-(2 + 0,5)) Ее решение можно представить в виде трех характерных сомножителей:
V — (1 + 0,5)2 ^
= 0.
(b) 0,5
ax(b) =---
1 + 0,5
(b) 0,5
a2(b)= ---
2 + 0,5
22 + 2
(2 + 0,5)2 -(1 + 0,5)2
v b2 - 0,52 j
12 +1
b2 -(2 + 0,5)
22
v b2 - 0,52 у
Система (9) трех уравнений с тремя коэффициентами a1 (b), a2 (b), a3(b) Ф 0 достаточно
(1 + 0,5)2 —(2 + 0,5) тремя коэффициен
громоздка, поэтому ее запись мы опускаем, а решением такой системы будут:
Ъ2 — (1 + 0,5)
(10)
(b) 0,5
ax(b) =---
1 + 0,5
(22 + 2)-(32 + з)
(2 + 0,5)2 -(1 + 0,5)2
(3 + 0,5)2 -(1 + 0,5)2
Л3
V b2 - 0,52 j
(b) = - 0,5 _(12 +1)- (з2 + 3)
a2(b) = -^ ■ 05 + 0,5)2-(2 + 0,5)2]-
2+0,5
a3(b) = i
(3 + 0,5)2 -(2 + 0,5)2
0,5 _(12 +1)- (22 + 2)_
3 + 0,5 - [(] + 0,5)2 - (3 + 0,5)2 ]- [(2 + 0,5)2 - (3 + 0,5)2 ]-
2 Y
b2 -(2 + 0,5)
v b2 - 0,52 у
(11)
2 V
b2 -(3 + 0,5)
v b2 - 0,52 у
Уже на этом шаге прослеживается общая закономерность изменения частных решений,
2
которая подтверждается при исследовании систем более высоких порядков.
Г 0,5
Первый сомножитель в правой части равенств (11) можно представить как
ч и + 0,5у
или, после небольшого преобразования, в виде |--1— |. Последний сомножитель тоже
I 2и +1У
_ Ъ2-(и + 0,5) 1' очевиден: В' =[ Ъ2 - 0,25 у .
Числитель центрального сомножителя зависит от одного параметра. Видно, что происходит перебор значений к = 1, N (где N - размерность системы уравнений и, соответственно, число коэффициентов). При этом к = и выбрасывается.
Знаменатель имеет более сложную форму, каждый его сомножитель связан с двумя параметрами: и, соответствующий индексу коэффициента, и к = 1, N.
Проанализировав центральные сомножители равенств (10) и (11), приходим к выводу, что в общем виде их можно представить, как
у ^ к ^ к
к=1 к Фи
n=t(N + 0,5)2 - (n + 0,5)2
Преобразовать полученное выражение можно двумя способами: раскрыв скобки в знаменателе; разделив и числитель и знаменатель на 0,52. При этом получим два соответствующих равнозначных результата:
У к2 + к у 4(к2 + к)
У (к2 + к) - (и2 + и) и У (1 + 2к)2 - (1 + 2и)2 .
к Ф и к Ф и
С учетом вышеизложенного, общее решение системы (9) можем записать, как
Г Ь2 ( .пс^ ЛN
a„ (b) = An
где
b2 -(n + 0,5)2
2
V b
b2 - 0,25
(12)
-1 N 4(к2 + к) , -1 Л 4(к2 + к) , ч
А =-П-Ц---7 или А =-П-^-2-. (13)
2и +1 к=1 (1 + 2к)2 - (1 + 2и)2 2и +1 к=1 (к2 +к) - (и2 + и)
к Ф и к Ф и
Анализ частных решений системы (9) различных порядков показывает, что для выполнения условия Ап > 0 в выражении (12) достаточно внести в него (-1)". Тогда общее решение системы (9) примет вид:
(Ъ) = т-ГЪ2 -2(и+а5)2^
^ } К } и У Ъ2 - 0,25 у где
= (-1)и+' у 4(к2 + к) = (-1)и+' у 4(к2 + к) ( )
А = 2и +1 У(1 + 2к )2 - (1 + 2и)2 или А = 2и +1 У(к2 + к) - (и2 + и). (14)
к Фи кФи
Обобщим полученные результаты на расширенную полосу частот минимальной погрешности. Для этого потребуем, чтобы ВФ удовлетворяли условиям (1) в нескольких заданных точках частотного интервала. Тогда размерность системы уравнений увеличится пропорционально количеству заданных точек нулевой погрешности Ъ1, Ъ2, ..., Ът :
S[[^(¿i,...,ът),...,aN(¿1,...,Ът)1 _ b b b
_ 0,
ds [x, a1(Ъ1,..., Ът X... aN ^v^ Ът )]
dx
d(N :1)
_ 0,
X _ Ъ1, ^v- Ът
(15)
dx( N :1)
Отсюда для СП (4) имеем:
S [[ al(Ъl,.., Ът ),..., aN С^.. Ът )]
_ 0.
х _ К Ъ2,.. ., Ът
(
an(Ъ1,..,Ът) _ (:1)" • Л
Ъ12 :(n + 0,5)2 ^N1 f Ъ22 :(n + 0,5):
Ъ : 0,25
,Л N 2
Ъ22 : 0,25 J
Ъ2т :(n + 0,5)
,2 Л
Ът: 0,25
где Ы2, ..., Ыт - порядок нуля боковых лепестков; + Н2+... + Ыт = N, а коэффициенты Ап, не зависящие от Ь1, Ь2, ..., Ьт, вычисляются по формулам (14).
Результаты, приведенные в данной статье, подтверждены в различных работах, в частности, в [3]. Здесь значения Ап были найдены непосредственным решением системы (9) вплоть
до 10-го порядка и показали полное совпадение с расчетами, проведенными по формулам (14).
Отметим некоторые спектральные свойства адаптируемых ВФ (АВФ), которые позволяют получать ВФ с оптимальными параметрами по различным критериям и в наибольшей степени влияют на возможность снижения методической погрешности.
Положения нулей СПА АВФ определяются положениями нулей двух сомножителей. Положения нулей, определяемых сомножителем соз(ях) - периодические и не зависят от положений задаваемых нулей Ь1,..., ЬИ, определяемых вторым сомножителем. Поэтому для
сокращения записи положения нулей первых сомножителей названы стационарными, а положения нулей вторых сомножителей - варьируемыми.
Для АВФ с N варьируемыми нулями СПА кроме стационарных М0 -1 - N нулей можно выполнить формирование нулевых значений СПА на N задаваемых частотах Ь1, Ь2,., ЬN . Совмещение на одной частоте т нулей СПА приводит к образованию на
этой частоте нулей т -1 производных. В задаче оценки параметров сигнала это свойство позволяет обеспечить глубокое подавление помех на частоте сигнала.
Задание нулей СПА автоматически определяет форму весовой функции. На рисунке 2 приведена форма ВФ, реализующая форму СПА слагаемых отрезка бигармонического сигнала, изображенных на рисунке 1.
Рис. 2. ВФ, соответствующая спектру рисунка 1
Однозначная связь формы АВФ с положением задаваемых нулей СПА позволяет создавать ВФ с оптимальными параметрами по различным критериям. В качестве одного из критериев можно использовать критерий Дольфа, дополнив его требованием заданной скорости уменьшения боковых лепестков. В этом случае оптимальной будет ВФ, которая при заданной ширине основного лепестка СПА и заданной скорости уменьшения боковых лепестков
имеет минимальный уровень боковых лепестков.
Сравнение ВФ, оптимальной по указанному критерию с известной ВФ [4], приведено на рисунке 3, на котором изображена СПА ВФ [4] (пунктирная линия) и СПА ВФ, полученной из АВФ с N = 5 (сплошная линия).
Рис. 3. СПА оптимальной ВФ на основе АВФ (сплошная линия) и СПА оптимальной ВФ по [4]
При оптимизации параметров АВФ задано точное совпадение ширины основного лепестка на нулевом уровне. Задана большая асимптотическая скорость уменьшения боковых лепестков. У пунктирной кривой - минус 6 дБ/октаву, у сплошной кривой - минус 12 дБ/окт. Поэтому при х > 8 боковые лепестки СПА у сплошной кривой спадают значительно быстрее, чем у пунктирной кривой. Боковые лепестки сплошной кривой везде (кроме х = 8, где они равны) ниже боковых лепестков пунктирной кривой. Максимальная разница - почти 6 дБ. Напомним, что это при большей скорости уменьшения боковых лепестков. Кроме того, эквивалентная шумовая полоса меньше для сплошной кривой и ширина основного лепестка на любом уровне уже выше нуля. (На рисунке в приведенном масштабе это не видно).
В общем случае преимущество АВФ перед лучшими известными ВФ составляет до 12 дБ при меньшей эквивалентной шумовой полосе ЭШП и увеличивается с увеличением заданной скорости уменьшения боковых лепестков.
Выводы. Получено семейство адаптируемых весовых функций с неограниченным числом слагаемых, которые позволяют уменьшать погрешности оценки параметров отрезка полигармонического сигнала и получать весовые функции, оптимальные по различным критериям.
Примечания:
1. Давыдочкин В.М. Расчет адаптивных весовых функций // Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития: 2-й междунар. радиоэлектронный форум МРФ 2005. Харьков: АНПРЭ, ХНУРЭ. 2005. Т. 2. С. 215-218.
2. Давыдочкина С.В. Адаптируемые весовые функции для пространственной и частотной селекции обработки сигналов // Актуальные вопросы современной науки: сб. ст. по материалам Х междунар. науч.-практ. конф. Ч. 2 (4). 12 марта 2018 г. С. 170177. URL: https://yadi.sk/i/REHbU6Dc3Tf8MX (дата обращения: 19.05.2018).
3. Давыдочкин В.М. Расчет адаптивных весовых функций и их применение для минимизации погрешности измерений в ближней частотной радиолокации // Цифровая обработка сигналов и ее применение: труды Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. А.С. Попова: тез. докл. конф. М.: 2006. Т. 2, вып. 8. С. 522-526.
4. Кириллов С.Н., Соколов М.Ю., Стукалов Д.Н. Оптимальная весовая обработка при спектральном анализе сигналов // Радиотехника. 1996. № 6. С. 36-38.
References:
1. Davydochkin V.M. Calculation of the adaptive weight functions // Applied radio electronics. State and prospects of development: 2nd international radio electronic forum MRF 2005. Kharkiv: ANPRE, KhNURE. 2005. Vol. 2. P. 215-218.
2. Davydochkina S.V. Adaptive weight functions for spatial and frequency selection signal processing // Topical issues of modern hcience: collection of articles on the materials of the 10th international scientific-practical conference. Pt. 2 (4). March 12, 2018.
P. 170-177. URL:
https://yadi.sk/i7REHbU6Dc3Tf8MX (access date: 19.05.2018).
3. Davydochkin V.M. Calculation of the adaptive weight functions and their application to minimize measurement errors in the near frequency radar // Digital signal processing and its application. Proceedings of the Russian radio engineering, electronics and communications named after A.S. Popov: abstracts of the conference. M.: 2006. Vol. 2, Iss. 8. P. 522-526.
4. Kirillov S.N., Sokolov M.Yu., Stukalov D.N. Optimal weight processing in spectral analysis of signals // Ra-diotechnics. 1996. No. 6. P. 36-38.
