Оптимизация узкополосных фильтров для спектрального анализа случайных сигналов по минимуму влияния боковых лепестков их частотной характеристики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3.088.8

ОПТИМИЗАЦИЯ УЗКОПОЛОСНЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ПО МИНИМУМУ ВЛИЯНИЯ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ ИХ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ТИЩЕНКО В.А., ЧИНКОВ В.Н.

Предлагается методика решения задачи оптимизации узкополосных фильтров для спектрального анализа случайных сигналов по минимуму влияния боковых лепестков спектральной характеристики фильтра при заданной дисперсии.

Для реальных узкополосных фильтров—анализаторов спектра характерны две составляющие методической погрешности: одна вызывается “размыванием” спектра, а другая — паразитной амплитудной модуляцией спектра [1]. В той же работе сформулирована и дана методика решения задачи оптимизации узкополосных фильтров по среднеквадратичному критерию. В данной статье формулируется и предлагается методика решения второй задачи оптимизации узкополосных фильтров для спектрального анализа случайных сигналов — по минимуму влияния боковых лепестков спектральной характеристики фильтра Ф(ю) при заданной дисперсии. Проведем сравнительный анализ двух методов оптимизации: один из них предложен в [ 1], а другой—в данной статье. Перейдем к решению задачи оптимизации, сформулированной выше.

Для этого приведем выражение для оптимальной импульсной характеристики узкополосного фильтра, полученной по среднеквадратичному критерию:

. Дют

и srn——

h опт = = 2Acoso0T , v , (1)

T-т х(Т - т)

а также формулу для спектральной (или частотной) характеристики или функции спектрального окна фильтра [2]:

Т

ф(ю) = J и(т) cos ют dx, 0 <х< Т , (2)

0

где H(t) — преобразующая функция фильтра; Нопт — оптимальная преобразующая функция фильтра; ю0 —частота анализа; Дю — полоса усреднения; Т—время анализа; А = const.

Вклад от боковых лепестков функции Ф(ю) определим выражением

1 л 1 л

_юо ^ юо “2

J ф(ю )dra + J ф(ю )ію + J ф(ю )dra =

-юо +—Дю 1

юо + "2

юо н—Дю

ж 2

= |ф(ю)ію- 2 |ф(ю)dra = та(о)- 2 |ф(ю)dra (3)

—да 1 * Дю . ( )

юо ——Дю

Очевидно, оптимизация вклада боковых лепестков функции Ф(ю) сводится к обеспечению минимума разности в правой части выражения (3). При заданной нормировке передаточной функции, т.е. при h(0)=const, наименьшее значение вклада от боковых лепестков в оценку спектральной плотности мощно -сти (СПМ) достигается при условии, что значение

J Ф(ю )dra максимально. Однако уменьшение этого

Дю

вклада приводит к увеличению дисперсии оценки СПМ. Например, для локальной оценки Ф(ю)-5(ю-ю0) вклад от боковых лепестков равен нулю, но функция неограниченно велика. Поэтому корректной в данном случае является постановка задачи оптимизации на условный экстремум: найти импульсную характеристику h(x) фильтра, обеспечивающую минимум вклада от боковых лепестков при условии, что относительная дисперсия оценки СПМ не превосходит заданного значения.

Для решения её более удобно сформулировать следующим образом: определить импульсную характеристику фильтра h(x), обеспечивающую максимум

величине J Ф(ю^ю при условии, что

Дю

Т

J (Т - х)h'2 (т)dx < L = const.

о

Эта задача решается методом Лагранжа. Введем фукционал

Т

Г'= |ф(ю)ію-Х|(Т-т)Ъ2(т^т , (4)

Дю о

где X — множитель (или коэффициент) Лагранжа. Используя формулу (4), вычислим вариацию 5Г'/ 5h(x) и приравняем её к нулю:

5Г' 8h(т)

I

Дю

|h|)d ю - 2 х(Т - x)h(x) = о

(5)

здесь

8ф(ю)

АЦО

(Т -х) cos юТ,

о <т <Т

(6)

Решая уравнение (5) с учетом равенства (6), получаем выражение для импульсной характеристики фильтра: 1

sin—Дют

h'onT (х)= А' J cos ют dra = 2A' cos юот-2-, (7)

Дю т

где А' = const.

Сравнивая оптимальные функции ^пт(х), выражения (1) и ^опт(т) из (7), замечаем, что в области t<<T они практически совпадают. В то же время функция h'omA) несколько проще реализуется, чем функция йопт(т). Поэтому целесообразно выяснить, насколько отличаются спектральные характеристики Ф(ю), полученные с помощью функций ^пт(х), Лопт(т), и насколько отличаются их дисперсии.

20

РИ, 1999, № 4

Сравнение двух рассматриваемых методов оптимизации

Введем нормировку функций йопт(т) и й'опг(т) (постоянные А и А') так, чтобы h(0)=1. Тогда получим:

где x(n)=-^( 22^,

2Дю 0 т

причем -X(q) = x(-Q).

(15)

(16)

2т sin— Лют 2 sin1 Лют

ЬоптМ = -г- С08юот її \ ; ЬОптМ = — cosro0T 2--;

Лю ДТ-т) Дю т

При этом, согласно (1), преобразующие функции для каждого из методов оптимизации определяются равенствами:

2Т sin—Дют

H опт (т) = — cos® от-2--

Дю х

о <т< т ; (8)

sin1 Дют

cos Юо т sin1 Дют =

1

22

sin| Юот+ — Дют | +

+ sin| -Юот+ — Дют

имеем

где

ф(ю) = ф(ю, Юо) +ф(ю,-Юо) ,

— т ^(«о +1 Лю|т

ф(ю, Юо ) =-I cos ют —-----

Дю о т

sin|-Юо + 1 Дю |т

йт; (12)

2

-бт. (13)

ф(ю, Юо) =

Т

2Дю

— sin| Юо -Ю + 2 Дю |т

sinI юо +ю +1 Дю |т

йт +

+J-

о

2

-бт

Представим эту функцию так:

1

--і

2

ф(ю, Юо) = Х^юо - ю +1 Дю^ + Х^юо + ю +1 Дю^, (14)

Н'оПт(т) = (т-т)cosюот 2------; о <т<Т . (9)

Дю т

Используя выражения для оптимальных импульсных характеристик и преобразующих функций, определим соответствующие им оптимальные спектральные характеристики (функции спектрального окна) фильтров Ф(ю) и Ф'(ю) по формуле (2).

Для определения функции Ф (ю) подставим в формулу (2) выражение (8), получим:

2—Т sin-— Дют

ф(ю) = Г cos ют cos ЮоТ-2---бт .

Дю о т

Используя равенство

(10)

(11)

Из выражения (14) для функции Ф(ю,-ю0), описываемой равенством (13), имеем

Ф(ю,-юо) = Х^-юо -ю+1 Дю^+Х^-юо +ю+ 1Дію| .(17)

С учетом соотношений (14) и (17) формула (11) принимает вид

Ф(ю) = Х^юо — ю н— Дю^ + Х^юо + ю н— Дю^ +

+ Х^— юо — ю 4— Дю^ + Х^— юо + ю н— Дю

Перегруппировав в выражении (17) слагаемые, имеем:

Ф(ю) = Х^ю + Юо 4— Дю^ — Х^ю + Юо Дю^ +

+ Х^ю-юо + 1Дю^-Х^ю-Юо --2Дю^ .

Тогда

4 i-1

ф(ю) = х(т>1)-X(q2)+х(т>з)-X^) = =іИ X^) ,(18)

i=1

где ^1 = ю+ Юо + 2Лю ; = ю — юо + 2Лю ;

Q2 =ю+Юо -1 Лю ; Q4 =ю-юо --2Лю .

Функцию X(Q), согласно равенству (15), представим так:

А (19)

о

где Si(x) = si(x) + — , si(x) = -J—p-dx' , при х>0.

2 x x

Тогда для функции Ф(ю) из формулы (13) имеем

(20)

4

Ф)=т1-еИУ+Цт^).

2Дю i_1

Т —

ф(ю,-юо) = f cos ют -

Дю о l

Вычислим функцию Ф(ю,ю0). Применяя в формуле (12) соотношение (10), находим

График функции Ф(ю) приведен на рис.1. Из него видно, что осцилляции существенны только вблизи “краев” функции Ф(ю), т.е. вблизи частоты

ю = +юо + 2 Лю . Вблизи каждого “края” функции

Ю = Юп-------

2 Т

Рис.1

РИ, 1999, № 4

21

Ф(ю) из четырех слагаемых в формуле (18) или (20) основной вклад дает только одно из них — то, аргумент которого обращается в нуль в соответствующей точке. Его и необходимо учитывать при оценке погрешности СПМ, а остальными слагаемыми можно пренебречь.

Укажем, что на графике (рис.1) масштаб по оси ю сильно преувеличен, так как при ТДю>>1 осцилляции (колебания) имеются только вблизи “краев” функции Ф(ю), на интервалах порядка л/Т. Отметим также, что если функцию истинной СПМ G(x), а следовательно, и интегральный синус si(x) можно считать примерно постоянными вблизи “края” на интервалах ~ 1/Т, т.е. если характерный масштаб si(x) велик по сравнению с величиной 1 /Т, то осцилляции вообще не скажутся, так как возникающая из-за них добавка ДХ(О) — антисимметричная функция Q.

Уровень ближайшего к “краю” отрицательного выб-% 1 с.. . 0,281 роса (при 0 = —) равен: Siw _ J—^ -~0,09 .

п

Внутри окна наибольший выброс (при 0 = - —) равен (1+0,09)=1,09.

Оценим величину среднеквадратического отклонения реальной функции спектрального окна Ф(ю) от идеальной (прямоугольной) Ф0(ю), используя формулу ® 2

г= Лф(ю)-ф0И] dra . (21)

—да

Для этого воспользуемся тем, что функция Ф0(ю) получается из функции Ф(ю), согласно выражению (2), при Т^-да. Тогда

ф(ю)-Фо(ю)= J h(t) cos ютdx.

т

Подставляя (22) в формулу (23), имеем

п2

J H(cos ют dx

(22)

Г = J dra

—да

Представим данное равенство в виде

да да

Г = J draj J dxdx'H^H^x) cos ют cost

1 да

'dra = — J [cos(t - х')ю + cos(x + х')ю ]ію =

ІЮХ

-а> Т

где J cos юх cos ют

= я[8(т-т')+8(т + т')]. Тогда

да

Г = л|H^xjdx . (23)

т

Подставляя в выражение (23) оптимальную преобразующую функцию Нопт(т), согласно (8), имеем

г 4лТ2 7

Г = -—— J cos

(Дю)2 Т

sin2— Дют 22 Юо X----7-----dx =

^Т 2 да d^

-----21 (l+ cos2raoхYl - cos Дют)—

(дю)2 — 2

2,

или Г =■

пТ

7 dr_ пТ

J 2 _

(Дю)2ТX2 (Дю)2 L vТДю

1 + 0

(24)

В то же время

J Ф odra = 2Ф Q Дю =

22 п Т

2Аю

(25)

где учтено Ф =

пТ

2Дю

Относительная среднеквадратическая погрешность приближения оптимальной спектральной характеристики Ф(ю) к идеальной Ф0(ю) определяется выражением

Г

8Г = -

|Ф °(ю )do

После подстановки равенств (24) и (25) находим

5Г = -

2

яТДю

1 + 0

1

ТДю

(26)

Переходим к определению спектральной характеристики Ф'(ю) для оптимальной преобразующей функции Н'ош-Сс), описываемой выражением(9). Представим функцию Ф'(ю) в виде Т

Ф'опт (ю) = J H'(x) cos ют dx =

Т

=1

0 L

Hх) —— cos ю 0т sin—Дют W Дю 0 2

= cos ют dx = ф(ю) + ДФ'(ю),

да 2 Т 1

где ДФ'(ю) =------J cos Ю0Х sin—Дют cos ют dx .

(27)

0

После преобразований, аналогичных предыдущим, имеем

Т 4

Дф'(ю)=-—l(-—ГУ ТОО,

2Аю i=i ’

(28)

где

1 Х

ф(x) = — J sin x'dx' =

1 - cosx

С учетом выражений (24) и (28) формула (27) принимает вид

фЯ ~- -I {-1)1"1 Итоі ) -Ф(TOj]=

2Дю л i=i

где f(x) = Si(x) -

Тк_— 2Дю л it!— 1 - cosx

Z(- —Г1^),

(29)

(30)

Проанализируем поведение функции f(x). Прежде всего отметим, что она обладает следующими свойствами:

1) f(-x) = -f(x), т.е. функция симметрична относительно нуля;

2) при x<<1 f(x) = x--2x = -2x;

3) при x>>1

.. . л cosx sinx cosx -1 л 1 sinx f(x) =---------— +-----

2 x

2

x

x

1

x

x

x

x

22

РИ, 1999, № 4

4) f '(x) =

sinx

sin x 1 - cos x ------+-

2

1-cosx "2

2x 2sin — _______2

2

xx Точки экстремума X/ функции f(x) определим из усло-Область А вия cosx/=1, т.е.

х/=2я/, /=1,2,__

Они являются точками перегиба функции f(x), которая монотонно растет, так как f (x)>0. График 2

функции — f(x) приведен на рис.2. График функции спектрального окна Ф'(ю) изображен на рис.3.

Ф'(ю)

Ф0(ю)

Отметим важное обстоятельство: функция Ф'(ю) запредела-миокнаДю не имеет выбросов (ни положительных, ни отрицательных) и отличается от идеального (прямоугольного) спектрального окна только вблизи “краев”, в области ~ 1/Т. Так как площади Si = S2 (рис.4), то, если вблизи “краев” спектрального окна в области 1/Т СПМ Gx(ra) можно считать постоянной, искажение функции спектрального окна, т.е. её непрямоугольность вообще исключает погрешности в измерение оценки СПМ.

T

Рис.3

Рис.Т

Вычислим теперь погрешность приближения оптимальной спектральной характеристики Ф' (ю) к идеальному прямоугольному окну. Аналогично формуле (22) запишем

“г I2

Г'= |[ф' (®)-Фо(®)J da .

Используя соотношение (2) и равенство Парсеваля, это выражение представим в виде

Т 2 ^

Г=л|[н'(х)-Н(х)] dx + ^jH2(х)ix ,

о Т

или Г' = Г+ДГ, (31)

где функционал Г определяется выражением (23):

Т 2

ДГ = л|[н'(х)-Н(х)] dx > 0 .

Таким образом, как следует из (31), Г'>Г, что и следовало ожидать заранее (по постановке задачи оптимизации).

Вычислим величину AG с учетом равенств (8) и (9):

РИ, 1999, № 4

ДГ =

4л

М2 о

і. і

J cos2 ®oT sin2 — Дюх dx =

% і

=----21 (і+ cos2rao^( 1_ cos Дюх )dx =

(Дю)2 о

Тогда, согласно равенству (31),

пТ

м2

= Г

Г' = 2Г и 8Г' = 25Г . (32)

Обсуждение полученных результатов

При оптимизации спектральной характеристики фильтра по минимуму среднеквадратической погрешности аппроксимации идеального окна (первая задача опти -мизации) применение фильтра с импульсной характеристикой йопт(1), согласно выражению (1), обеспечивает минимальное среднеквадратическое отклонение 5G (формула (26), формы спектральной характеристики Ф(ю), выражение (20)) от прямоугольной, но в то же время приводит к появлению осцилляций как в полосе анализа Дю, так и вне её.

При оптимизации спектральной характеристики фильтра по минимуму боковых лепестков при заданной дисперсии оценки СПМ (вторая задача оптимизации) применение фильтра с импульсной характеристикой h'om-(t) (выражение (7)) обеспечивает спектральную характеристику Ф' (ю) (формула (29)) которая не имеет осцилляций во всем диапазоне частот, но при этом среднеквадратическая погрешность аппроксимации 5G' (равенство (32)) идеального окна увеличивается вдвое. Кроме того, функция й'опт(0 обеспечивает более простую реализацию фильтра.

Отметим также, что относительные дисперсии оценок СПМ 5G и 5G' для обеих спектральных характеристик при ТДю>>1 (при этом 5G, 5G'<<1) практически одинаковы и равны ~ - 2л 1

5G = 5G '= — = —

ТДю ТМ '

Таким образом, в результате постановки и решения задач оптимизации получены спектральные характеристики или функции спектрального окна (выражения (21) и (23)) позволяющие при заданных значениях времени измерения Т и дисперсии оценки sG наилучшим образом (каждая в своем смысле) аппроксимировать идеальное спектральное окно.

Литература: 1. Тищенко В.А., Чинков В.Н. Оптимизация узкополосных фильтров для спектрального анализа случайных сигналов по среднеквадратическому критерию. //АСУ. 1999. №110. С.61-65. 2. Тищенко В.А., Чинков В.Н. Приведение аппаратных методов оценки спектральной плотности мощности к обобщенной математической модели// Информационные технологии: наука, техника, технология, образование, здоровье // Сборник научных трудов ХГПУ. Вып.6. В четырех частях. Ч. 1. Харьков: Харьк. гос. политехи. ун-т. 1998. С.446-451.

Поступила в редколлегию 12.11.99

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Диденко К.И.

Тищенко Владимир Александрович, старший преподаватель ХГПУ. Научные интересы: цифровая обработка сигналов. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Чернышевского, 47/49, кв. 9, тел. 40-00-83.

Чинков Виктор Николаевич, д-р техн. наук, профессор ХВУ. Научные интересы: цифровая обработка сигналов. Адрес: Украина, 61202, Харьков, ул. Ахсарова, 18, кв.51, тел. 40-00-83.

23