CC BY
34
РАДИОЭЛЕКТРОНИКА
J
УДК 621.391; 621.37
В. А. Постников
СПЕКТРАЛЬНЫЙ анализ цифрового СУММАТОРА
Рассмотрены возможности использования цифрового сумматора для спектрального анализа гармонических колебаний и демодуляции ФМ-сигналов. Определена форма частотной характеристики и полоса пропускания цифрового сумматора, приведен метод подавления боковых лепестков частотной характеристики. Предложен простой алгоритм оценки параметров периодического сигнала.
В настоящее время отмечается повышение интереса к цифровой обработке сигналов. Так, в работе [1] упоминается о суммировании отсчетов как средстве реализации низкочастотной фильтрации, в книге [2] подробно рассматривается работа адаптивного линейного сумматора. Представляется полезным исследовать избирательные свойства цифрового сумматора (ЦС) и разработать рекомендации по его применению.
Применение ЦС наиболее эффективно для анализа одиночных гармонических сигналов, сочетания гармонических сигналов разных частот и амплитуд, сигналов частотной и фазовой телеграфии.
Цифровая фильтрация заключается в последовательном нормированном накоплении отсчетов анализируемого напряжения, снимаемых через равные промежутки времени. Считаем, что стробирование сигнала осуществляется от управляемого по частоте шг гетеродина. Величина отсчетов п« и динамика их изменения зависят для сигнала
от амплитуды и фазы сигнала и от разности частот Аш = шс — шг
Интересен, в первую очередь, синхронный режим — со стробиро-ванием в моменты ^ при (шс^ + ф) =0. Он предназначен для структурного анализа детерминированных сигналов с регулярной несущей, а также и при демодуляции ФМ-сигналов.
Заслуживает внимания режим синхронного трехкратного ЦС, при котором второй отсчет всегда снимается при нулевой фазе гетеродина (симметричный ЦС). При этом для его частотной характеристики
uc(t) = Ac cos(uct + p)
(1)
Ua(ti) = Ac cos(Auti + p).
(2)
K(А/) справедлива формула
K (А/) = (1/3)[1 + 2cos(AwTr + р)]. (3)
При расстройке А/ = 50 % этот сумматор обеспечивает вдвое большее подавление побочного сигнала по сравнению с обычным синхронным.
В общем случае и для быстрого спектрального анализа следует рассматривать асинхронный режим с равномерным распределением фазы сигнала в пределах от 0 до 2п.
Цифровой сумматор, по сути, однородный нерекурсивный КИХ-фильтр, известный в цифровой обработке сигналов (ЦОС) с 70-х годов. Так, в работе [1, стр.307] приведены характеристики КИХ-фильтра, суммирующего отсчеты комплексной экспоненты, подвергшейся линейной квадратурной фазовой модуляции (редкий сигнал, используемый в радиопеленгации). У этого сигнала приращение комплексной фазы заметно быстрее, чем при расстройке А/ (от гетеродина) у гармонического сигнала (например, при А/ = 12,5% — в 1,6 раза). Отсюда — разные амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) полосы пропускания.
В дополнение к известным сведениям по однородным КИХ-фильтрам, приведем формулы для расчета АЧХ ЦС для гармонических сигналов, определим полосу пропускания, предложим механизм подстройки ЦС в синхронный режим, меры по борьбе с гармониками сигнала, определим план панорамного анализа диапазона частот и методы оценки параметров сигнала по ограниченному числу отсчетов.
Расчет частотной характеристики цифрового сумматора. Для расчета характеристики K(А/) синхронного ЦС используем программу Maple:
) (1/n) * sum(cos(0,1 * 0.02 * Pi * k), k = 0 ... (n - 1)). (4)
По формуле (4) складываются n отсчетов косинуса (n = k + 1), снятых с интервалом в 0,1% от А/ = /с — /г. Сумма нормируется единицей. Числом n определяется ширина частотной характеристики.
На рис. 1, а представлена зависимость K(А/) для n = 5 и n = 37 в интервале расстроек 0 < А/(%) < 100. При больших расстройках форма кривой K(А/) повторяется. Характерно наличие быстроубы-вающих боковых лепестков. Общая закономерность — это сужение основного лепестка и уменьшение боковых лепестков с ростом n.
В асинхронном режиме наиболее неблагоприятна ситуация, соответствующая характеристике K(А/), снятой по формуле
) (1/n)sum(sin(m * 2 * Pi * k), k = 0 ... (n — 1)), (5)
Рис. 1. Частотные характеристики ЦС для значений n = 5
и n
37
где т < 1. Для сравнения на рис. 1, б показаны характеристики еще трех ЦС: 1 — трехкратного самого широкополосного, 2 — трехкратного симметричного и, наконец, 3 — пятикратного асинхронного ЦС.
Примечательна точка первого пересечения кривой К (А/) с осью абсцисс. Она характеризует половину полосы пропускания А/пр синхронного ЦС, связь которой с числом отсчетов отражается формулой:
А/пр = 50/(n - 1).
(6)
Эта формула очевидна из следующих простых соображений. Нулевая сумма получается от сложения равного количества симметричных, но разнополярных отсчетов. При этом результирующий набег фазы равен 180°, а однократный набег (между двумя отсчетами) составляет = 180°/(n — 1) ((n — 1) — число промежутков между отсчетами). С другой стороны, при расстройке в Дf = 1 % обычный набег фазы равен = 3,6° ■ Дf (%). Приравнивая правые части по получим уравнение (6).
Можно объединить АЧХ синхронного и несинхронного ЦС, добавив в аргумент косинуса формулы (4) 0 < ^ < 2п. На рис. 2 предста-
//шь Л/к X \\ 1 п=5
у\ V\ /\//у
Рис. 2. Частотные характеристики пятикратного ЦС для синхронного режима (1), симметричного (2), несинхронного (5)
влен такой график для значений р: 1 — 0;2 — п/6; 3 — п/3; 4 — п/2; 5 — 2п/3; 6 — 5п/6, 7 — п (число сложений п = 5). Кривые для остальных значений р симметричны первым относительно оси абсцисс.
Поскольку интересна зависимость К (А/) и при /с < /г, (а процентная расстройка для /с//г < 0,5 теряет смысл), то рассчитан и приведен на рис. 3 график К (А/) в функции отношения /с//г < 1 для пятикратных синхронного (сплошная кривая) и асинхронного ЦС.
Рис. 3. Частотные характеристики пятикратного ЦС при частотах сигнала, меньших частоты гетеродина:
1 — синхронного; 2 — несинхронного
Очевидно, что происходит "подавление" ЦС низкочастотными сигналами, это обусловлено кратностью отношения Тс/ Тг.
Рассчитать К (А/) для синхронного ЦС можно и по формуле сложения косинусов натурального ряда фаз:
n
[cos | + cos 2| + cos 3| + ... + cos n| =
= (2n)cos( |.20) cos( I ■ 2') cos( | ■ 22) x
n=1
x cos ( ^ ■ 23 • 2
cos
,(£.*->){ Ц ¡.(Я + 1)]},
справедливой для N = 2П при п > 2.
Методы ослабления боковых лепестков частотной характеристики цифрового сумматора. В этом направлении, видимо, наиболее эффективны работы по расчету оконных функций [3] с подавлением боковых лепестков на сотни децибел. Наша цель — добиться ослабления на 20. ..30дБ побочных каналов с помощью минимальных вычислительных средств. Возможны два решения: быстрое и медленное.
В первом случае решение о попадании сигнала в полосу главного лепестка принимается в пределах длительности одного периода частоты /г (или даже его половины), во втором — отсчеты производятся в течение, как минимум, половины периода разностной частоты /(_) = /с — /г. Начнем со 2-го случая.
Оценим скорость изменения величины отсчетов. Используем понятие дискретной производной по времени м'д(¿) = (м — и^^/Д! Минимальная скорость изменения производной — на гребне синусоиды при фазе п/2 и 3п/2, максимальная — при фазе 0 и п.
Производная необходима, чтобы, быстро опознав текущую фазу огибающей отсчетов исследуемых колебаний, подстроиться к ней, пропуская с аналого-цифрового преобразователя (АЦП) на ЦС лишь отсчеты сигналов с дискретной производной, меньшей по абсолютному значению граничной производной, соответствующей Д/пр. В таблице приведены значения синуса и его дискретной производной для Д¡ = 9° (т.е. для Д/ = 2,5%)
[вт(9°п)]£ « вт(9°п) — вт[9°(п — 1)]. (7)
Дискретный набор значений
Таблица
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sin(9°n) [sin(9° n)]t 0,1564 0,1564 0,3090 0,1526 0,454 0,145 0,5878 0,1338 0,7071 0,1193 0,8090 0,1019 0,891 0,082 0,9511 0,0601 0,9877 0,0366 1,0 0,0123
Рис. 4. Огибающая отсчетов ЦС при различных расстройках сигнала
Рис. 5. Схема цифрового фазовременного дискриминатора
После вхождения в синхронизм в дискриминаторе возможны две ситуации. На рис.4 показаны огибающая 2 биений при предельной расстройке сигнала Д/ = Д/пр; огибающая 1 сигнала, безусловно проходящего на ЦС, огибающая 3 — запредельной помехи, имеющей расстройку Д/ > Д/пр.
На рис. 5 приведена схема ЦС с цифровым фазовременным дискриминатором (ЦФВД), осуществляющая пропускание сигналов и блокировку помех. Схема подстройки ЦФВД определяет и устраняет разницу между фазой текущего отсчета и фазой опросного импульса реверсивного регистра. Важную функцию поддержания среднего уровня отсчетов постоянным выполняет схема АРУ.
Весьма эффективным средством борьбы с помехами на частотах п/г является "междуотсчетное" вычитание. Так, например, для подавления помехи на частоте 2/г частота отсчетов удваивается, и сумма нечетных отсчетов складывается с суммой четных, взятой с обратным знаком. Опознать присутствие помехи можно по разнице абсолютных значений упомянутых сумм.
Быстрое решение формируется по четырем отсчетам, снимаемым за время Тг с интервалом в Тг/4. В ходе анализа предпочтение от-
дается паре, имеющей максимальную абсолютную разность уровней. Для каждого из трех интервалов (Тг/4, Тг/2, 3Тг/4) устанавливаются граничные разности (в соответствии с предусмотренной полосой пропускания Д/пр). Для быстрого решения неплохо применить и аналоговый вычислитель без АЦП.
Оценка цифрового сумматора с точки зрения теории оптимального приема сигналов. В основе алгоритмов обнаружения и различения сигналов лежит формирование апостериорной вероятности Ш.р8 принимаемых колебаний £(£), а рабочей функцией является логарифм отношения правдоподобия, сравниваемый с некоторым порогом Л:
т
д = (2/Ло) / £(¿М^. (8)
о
Такой обнаружитель может быть реализован с помощью согласованного фильтра или корреляционного приемника. Как известно (см. например, [4]), среднее значение т1 и дисперсия шума на выходе обнаружителя составляют
Ш1 = (д!> = (2Е)/^о, = ((д! - ш^2> = (2Е
где Е = А2ти/2 — энергия посылки сигнала.
Используем принцип максимума сечения Фсигнальной функции
тах Ф[з(а, ш, ¿)] = з(а, ш, £)$(<£ — п/2). (9)
Простейшая сигнальная функция А0 эт ш0£ — синусоида. Ее максимальное (линейное) сечение А0 эт(п/2) = А0.
Сравним параметры распределения величин д (8) и суммы мак-
п
симальных отсчетов сигнальной функции £ = (1/п) ^^ ж», имеющих
1
нормальные плотности вероятности.
Число слагаемых п определяется отношением ти/Тг = ти/г.
Для распространенной /пч = 70 МГц и скорости передачи 2 Мбит/с при п = 35 выборочное среднее равно [5] (ж> = А0, а дисперсия выборочного среднего Д(ж) = а2/п [6]. Определим число независимых выборок пнез при п = 35. Оно равно отношению ти/£кор, где время корреляции шумов ¿кор = 1/(ДК,н). Энергетическую полосу ДК,н ЦС получим численным интегрированием характеристики К(Д/). Она равна 1,72246 в процентах от /г или 1,2 МГц в абсолютном выражении. Тогда пнез = 0,5 ■ 10-6 х 1,2 ■ 106 = 0,6.
Далее определяем дисперсию шума на выходе ЦС:
аП = Бп(/)-Д^эн = 1,2 ■ 106 ■ N0
и дисперсию выборочного среднего
£(ж) = аП/п = 2 ■ 106 ■ N.
Отношение сигнал/шум на выходе ЦС
т/[аП + £(х)]1/2 = 0,79 ■ (2£/^)1/2.
Чтобы сравнить с оптимальным приемом, числитель и знаменатель дроби были умножены на (ти)1/2. Этот результат можно еще увеличить, если стробировать сигнал дважды с интервалом в полпериода. В этом случае АК,н уменьшится вдвое, а отношение сигнал/шум возрастет до 0,877 ■ (2£/^)1/2.
Поскольку преобразование Фурье — это квадратурный прием с неизвестной фазой (потери в 3 дБ по сравнению с оптимальным приемом), то окончательный выигрыш ЦС будет 0,79 ■ \[2 = 1,117раза.
В подтверждение перспективности цифрового суммирования можно, кроме того, упомянуть об алгоритме арифметического преобразования Фурье (АПФ), который начал разрабатывать еще в 1903 г. математик Брунс Уидроу. Дословно, из работы [2, с. 186]: "Преимущества АПФ перед БПФ (быстрым преобразованием Фурье) заключаются в том, что данный метод фурье-анализа требует только операций сложения, за исключением умножения на масштабный коэффициент на одном этапе вычислений... ".
Применение ЦС, вследствие простоты алгоритма, наиболее целесообразно в беспроцессорных контроллерах, построенных на жестких логических связях, где операцию нормирования (1/п) можно выполнить потенциометрически, не тратя на нее время. Тогда, в режиме последовательного съема отсчетов, сокращение числа операций в ЦС — по сравнению с БПФ — выразится отношением Ц = [п п (число сложений) +п ^2(п/2) (число умножений)]/п (логарифм — двоичный). Так, для п = 32 Ц = 9, для п = 64 д = 11 и т.д. Если же спектральный анализ ведется по записанным в память отсчетам, то сложение можно провести за один такт контроллера — на цепочке спаренных сумматоров с ускоренным переносом. И выигрыш в этом случае равен п ^2(п2/2).
Об алгоритмах спектрального анализа. Можно различать статический режим анализа требуемого диапазона с помощью решетки "вложенных" фильтров и динамический режим непрерывной перестройки по диапазону. Сначала наметим распределение фильтров по шкале частот. Целесообразен октавный принцип назначения средних частот фильтров. В частности, для низкочастотного участка диапазона предлагается следующий ряд (в герцах): 1,953125; 3,90625;
Рис. 6. Октавное распределение средних частот ЦС
7,8125; 15,625; 31,25; 62,5; 125; 250; 500; 1 кГц, 2кГц и т.д. Применяя наиболее широкополосные трехкратные ЦС (Д/пр = 25%), "закроем" большую часть полосы каждой октавы (рис. 6), оставшиеся же промежутки предназначим для шестикратных фильтров, имеющих Д/пр = 10 %. Далее, полосу каждого полученного таким образом ок-тавного фильтра разделим на 10 частей, используя следующие соотно-шения:Д/пр//ср = 0,34375; Д/п/ = 0,034375; /^ = /Р1 + Д/ + + Д/2!, получим Д/2! = (1,034375/0,965625)Д/1 = а ■ Д/!, а также
Д/!(1 + а + а2 + а3 + ■ ■ ■ + а9) = /ср ■ 0,34375. (10)
Задавая среднюю частоту "редкого" фильтра, из уравнений (10) и других соотношений получим параметры решетки "частых" фильтров.
Для режима непрерывной перестройки оценим ее оправданную скорость.
Для того чтобы приблизить режим работы ЦС к синхронному, применим зондирование сигнала пачкой из пяти стробов, следующих с интервалом Тг/8 с автовыбором суммы п отсчетов (на интервале времени пТг), имеющей максимальную абсолютную величину.
При такой расстановке стробов максимальная ошибка в оценке амплитуды сигнала составляет приемлемую величину 7,6 %, соответствующую сдвигу по фазе в 22,5°. Логично предположить, что и набег по фазе между "крайними" отсчетами ЦС в цикле измерения не будет превосходить 45°.
Поэтому для равномерности перестройки соотношения длительностей трех"соседних" периодов гетеродина должны быть такими: если принять условно Тп = 1, то Тп-1/Тп = Тп/Тп+1 = 17/16.
Для выравнивания разброса оценок сигнала в широкой полосе частот (/мин . ../макс) необходимо поддерживать постоянным время анализа, соизмеримое с (1//мин), повторяя циклы выбора и усреднения.
Из большого разнообразия алгоритмов анализа сигналов остановимся на одном: оценке параметров сигнала по трем отсчетам на периоде Тг, снятым с интервалом Тг/3:
Рис. 7. Принцип оценки параметров сигнала по трем отсчетам
• вычисляется величина (|ui|2 + |u2|2 + |u3|2)1/2 = ирез; амплитуда сигнала ux(t) = Ас sin wct равна ирез/1,225 (ибо сумма квадратов таких отсчетов для синусоиды единичной амплитуды всегда равна 1,5);
• идентифицируется "фаза" среднего отсчета в масштабе периода частоты /г из наборя порядка 100 значений sin(0o < < 360°);
• сравниваются величины |u1| и |u2| с сопряженными по фазе образцовыми значениями синусоиды: если |u1| — |u10| = Аа1 > 0 и |u3| — |u30| = Аа3 > 0, то /с < /г и наоборот (рис. 7);
• по таблицам образцовых значений определяются синусоиды смещения фаз Арл и Арп колебаний ux(t) в пределах периода частоты гетеродина и их суммарное значение Арлп;
• вычисляется величина расстройки сигнала
А/(%) = (—)0,41(6) ■ Ардд; (11)
здесь учтено, что набег фазы за 1 период Тг составляет 3,6° при А/ = 1 %.
Результаты моделирования цифровых фильтров. В качестве испытательной модели использована сумма сигналов:
Y^ u„(t) = 0,2 sin(2n ■ 50t + 0,9) +
+ 0,5 sin(2n ■ 62,5t + 1,8) + 0,3 sin(2n ■ 1562,5t + 2,7), (12)
где взяты разные по амплитуде и близкие по частоте колебания. На рис. 8, а показаны сигналы на выходе 37-кратных ЦС (А/пр « 1,6%), имеющих средние частоты, отмеченные жирными точками. Подтверждается достаточная точность в оценке амплитуд и частот для не самых узкополосных фильтров. На рис. 8, б приведена реакция тех же фильтров, работающих в трехкратном режиме (А/пр = 25%). Видно, что спектр сигналов размыт. На рис. 8, в показаны выходы решетки
Рис. 8. Реакция решетки 37-кратных (а), трехкратных (б) и трехкратных октав-ных ЦС (в) на модель сигнала (12)
широкополосных трехкратных ЦС, работающих на октавных частотах — реакция на сигналы удовлетворительная.
Выводы. 1. Рассмотрены частотные характеристики цифровых сумматоров, режимы их использования, предложены эффективные методы борьбы с побочными каналами и методика оценки параметров сигналов.
2. Цифровое суммирование должно занять достойное место в устройствах спектрального анализа и обработки сигналов — ввиду простоты реализации и многократного сокращения времени выполнения операций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Куприянов М. С. Цифровая обработка сигналов. - М., 2000.
2. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. - М., 1989.
3. Дворкович А. В. Цифровая обработка сигналов. - 2001. - № 3.
4. В у д в о р д Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями в радиолокации, - М., 1955.
5. Купер Д., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. - М.: Мир, 1989.
6. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. - М.:
Мир, 1971.
Статья поступила в редакцию 19.05.2005
Владислав Андреевич Постников родился в 1930 г. Канд. техн. наук, начальник лаборатории технологий телекоммуникаций НТЦ "Техтелеком-АС", г. Мытищи Моск.области.
V.A. Postnikov (b. 1930) — Ph. D. (Eng.), head of laboratory for technologies of telecommunications of the scientific technical center "NTTs "Tekhtelekom-AS" (Mytishchi, Moscow region).
УДК 621.39
Д. А. П е р о в
КАЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБНАРУЖИТЕЛЯ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА, НАБЛЮДАЕМОГО НА ФОНЕ ШУМОВ И МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ
Рассмотрена задача разрешения сигналов существенно разных уровней мощности и предложен алгоритм оптимальной обработки по критерию максимума отношения C/П+Ш) при условии нормирования весовой функции фильтра по шуму. Проанализированы свойства оптимального алгоритма в случае одиночного мешающего сигнала.
Задача обнаружения полезного сигнала на фоне гауссового шума и мешающих отражений от группы других объектов в общем виде рассмотрена в ряде работ [1, 2], в которых, однако, отсутствует детальный анализ качественных характеристик приведенных алгоритмов обнаружения. Далее предпринята попытка провести подробный анализ применительно, в основном, к частному случаю одиночного мешающего отражения. Для этого необходимо, во-первых, проанализировать возможность обнаружения слабого сигнала на фоне протяженных боковых лепестков мощного мешающего отражения при недостаточно низком уровне боковых лепестков временного сечения функции неопределенности зондирующего сигнала (ЗС); во-вторых, определить разрешающую способность двух близких по уровню полезных сигналов, каждый из которых является мешающим для другого сигнала; в-третьих, провести анализ характеристик обнаружения-разрешения в случае РЛС моностатического типа, в которых приемник бланкируется (запирается) на время излучения ЗС.
Далее рассматривается лишь первый вопрос.
