Весовая функция, учитывающая дискретизацию и ограниченность импульсной характеристики фильтров на поверхностных акустических волнах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАДИОТЕХНИКА

УДК 621.37/39:534.12

ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ, УЧИТЫВАЮЩАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЮ И ОГРАНИЧЕННОСТЬ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ НА ПОВЕРХНОСТНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛНАХ

ЛЕПИХ Я.И._______________________________

Описывается новая весовая (оконная) функция, содержащая интегральный синус и учитывающая дискретизацию и ограниченность импульсной переходной характеристики фильтров на поверхностных акустических волнах с аподизированным встречно - штыревым преобразователем. Показывается возможность получения семейства подобных функций. Проводится сравнение полученной функции с функцией Кайзера при синтезе фильтра на указанных волнах с симметричной импульсной характеристикой.

Методы синтеза акустоэлектронных фильтров на поверхностных акустических волнах (ПАВ) с применением аподизированных встречно-штыревых преобразователей (ВШП) в настоящее время можно считать достаточно развитыми [ 1 - 5]. В общем случае методика расчета полосового фильтра на ПАВ представляется следующим образом.

По заданной передаточной функции (ПФ) H(w) методом преобразования Фурье находят импульсную характеристику (ИХ) h(t), которую затем дискретизируют. В точках дискретизации определяют масштабные коэффициенты и по разности времен в этих точках относительно первой находят времена задержки, которые через скорость распространения ПАВ пересчитывают в расстояние от первого электрода ВШП. Выбирают максимальное перекрытие электродов (амплитуду парциального сигнала) и, умножая на него нормированные относительно максимального масштабные коэффициенты, находят площади перекрытия электродов в парах.

Если требуется получить прямоугольную ПФ, что чаще всего и бывает, возникают проблемы, связанные с необходимостью ограничения ИХ, а также с технологическими ограничениями возможностей получения длины перекрытия электродов ниже некоторой минимальной. Необходимость ограничения ИХ привела к использованию весовых (оконных) функций, равных нулю в некоторых точках дискретизации и максимальных при максимальных масштабных коэффициентах, на которые умножают полученную преобразованием Фурье ИХ. При этом

выделяются точки с наибольшими масштабными коэффициентами и подавляются точки с малыми.

В настоящее время известно значительное количество различных весовых функций [2, 6, 7]. Применительно к синтезу ПАВ-устройств основные из них обладают следующими свойствами.

Функция Кайзера. Главное ее достоинство — обеспечить минимальный уровень боковых лепестков (до 80 дБ) и минимальные пульсации в полосе пропускания. К недостаткам следует отнести неоднозначность в определении коэффициентов окна и высокую чувствительность к погрешностям коэффициентов аподизации.

Функция Дольфа-Чебышева обеспечивает минимальную ширину переходной полосы при заданном уровне боковых лепестков, но имеет те же недостатки, что и функция Кайзера. Кроме того, у нее достаточно сложный для расчета вид.

Функция Хемминга (квадрат косинуса на пьедестале) . Проста в реализации и дает тем лучший результат, чем больше протяженность преобразователя. Недостаток — низкая эффективность при малом количестве электродов.

Функция Блекмана — обеспечивает большое подавление сигнала в полосе задержания.

Функции Фейера и Ланцоша — просты, обеспечивают незначительное увеличение затухания в полосе задержания.

Функция Гаусса применяется в тех случаях, когда требуется ПФ, отличающаяся от прямоугольной.

В [8] был проведен сравнительный анализ различных функций, из которого следует, что применительно к синтезу фильтров на ПАВ во многих случаях лучшие характеристики достигаются при использовании функции Кайзера.

Необходимость повышения параметров фильтров на ПАВ делает актуальным получение и применение новых оконных функций, отвечающих соответствующим требованиям. С учетом того, что известные оконные функции носят эмпирический характер, полезно иметь функцию, учитывающую физикоматематические особенности работы ВШП.

В настоящей работе предложена оконная функция, учитывающая ограниченность и дискретность ИХ, формируемой аподизированным ВШП, и приводится ее сравнение с функцией Кайзера.

Рассматривается наиболее часто встречающийся случай симметричной относительно центральной частоты ю0 требуемой ПФ и ее реализация эквидистантным ВШП. Принимаются также допущения модели 5-функций, используемой для описания работы ВШП [1, 2].

Для сложения в фазе сигналов на центральной частоте расстояние между электродами должно быть равно (или кратно) длине волны:

2л V r =---1

Ю0 ’

(1)

РИ, 2000, № 1

4

где r — расстояние между электродами ВШП; ю0 — центральная частота; V—скорость звука в материале звукопровода; | — коэффициент кратности (обычно выбирают | = 1 для минимизации размеров ВШП).

В силу эквидистантности ВШП

вателя расстояние между соседними точками дискретизации во времени постоянно и равно

At = — 2V

л

Ю0

ИХ при этом будет иметь вид:

(5)

^ к , r Л 2п

Dk = k •At = k • — = k — . (2)

V ®0 w

Здесь Dk — задержка сигнала, пришедшего от k-го электрода относительно сигнала, пришедшего от центрального штыря, причем k меняется от -n до +n в силу симметричности ИХ, тогда общее количество электродов ВШП N = 2n +1; n — количество электродов, расположенных с каждой стороны от центрального; At—задержка сигнала, пришедшего от одной из соседних пар электродов относительно сигнала от другой.

При этом масштабный коэффициент Wk равен произведению коэффициента, полученного Фурье-пре-образованием ПФ (назовем его коэффициентом аподизации Wak), на значение оконной функции в k-й точке дискретизации — коэффициент окна WQk:

Wk = Wak •Wek .

Для функции Кайзера запишем

Wok

(k )2

I0 4 1-Ы

V N )

J

!o(P)

(3)

sin

h(t) = Z Wk-

k=-n

t-----К

“0 J

k л

t------|®0

ro0'

(6)

= 4^Wk sin(to 0 - kn) k =—n t®0 _ k^ .

Определим ПФ ВПШ Фурье-преобразованием ИХ: 1

И(ю) =

л/2л _

T/2

I

" sin(tff>0 - krc)

E Wk-

T/2k=-n

t ®0 _ k л

cexp(jrot)dt,

(7)

где T — временная протяженность преобразователя

%

(причем T = (N -1) • t = 2n— ) . Меняем местами

ю0

интегрирование и суммирование, вынося Wk как независящую от переменной интегрирования величину. Для упрощения записи константы будем вносить в Wk, так как нас интересуют значения масштабных коэффициентов:

T/2

H(ffl) = Z Wk J

k=-n - T/2

sin(tra 0 _ kn) to 0 _ kл

exp(jrot)dt. (g)

Проведем замену переменных:

где р — параметр функции Кайзера; П(Р) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, служит нормирующим делителем.

При этом WQk<1.

Согласно изложенному ясно, что при симметричной относительно центральной частоты ПФ оконной может служить любая функция, монотонно убывающая от центра к краям и на краях равная нулю. Получим оконную функцию, учитывающую дискретность и ограниченность ИХ. На основании теоремы Котельникова последовательность следующих друг за другом отсчетов при большом их числе может быть представлена следующим рядом:

N

f(t) = ZMk -8(t - kAt) *

k=1

N

- EMk

k =1

sin

(t - kAt) — At

(t - kAt) — At

(4)

, q + k л 1 ,

q = to 0 - k:rc , тогда t =-, dt =-dq,

Ю 0 ю 0

верхний предел интегрирования

T/2 = ю 0 - kn = (n - k):rc , нижний предел — соответственно (n+k)p.

Внося константы в Wk, получим

H(ra) = Z Wk J sinq exp(jq ю / ю 0)'dq x

k=-n q q

xexp(jkron / Ю0). (9)

Умножим обе части на exp(-jlлю /ю0), где | может принимать любое целое значение от -n до +n, и проинтегрируем их по ю от -юв до +юв, где +юв — максимальная интересующая нас частота:

JH(ro) • exp(-jl ла / Ю0) • dю =

При этом в точках отсчетов значение f(t) совпадает с соответствующим отсчетом в силу равенства нулю остальных синусоид, а “хвосты” при суммировании практически взаимно погашаются. Представим ИХ ВШП рядом Котельникова, учитывая, что Mk соответствует Wk, и в силу эквидистантности преобразо-

+Ю в

sinq

= Jdra • exp(—jl ла / ю0) Е Wk J -юв k=-n (q) q

x exp(jqro / Ю0) • dq • exp(-jkron / ю0).

(10)

РИ, 2000, № 1

5

В левой части уравнения содержится определенный

выше коэффициент аподизации. Учитывая At = —,

получаем:

юо

Relj

! ю 1 1 Ш |

Si 11 н 1 (n - Юл - Si 1 ll (n -1

V Ю 0 ) V® 0 )

f ю ^ f ю ^

+Si 11 н 1 (n + k)л - Si 1 11 (n + k)л

JH(ro)exp(-jl лю / ro0)dю = V ю 0 ) V® 0 )

. (16)

+“в (11)

= J H(ra)exp(-jrol At)dra ,

-ю в

т.е. Фурье-преобразование ПФ в точке l . At есть коэффициент аподизации, обозначаемый Wal.

Интегрируя сначала по q, затем по ю, далее суммируя, получаем

Поскольку очевидно неравенство

ReIj < 0 (т.к. Si(ax) < Si(bx) при b<a),

что можно показать, пользуясь хотя бы геометрической интерпретацией Si, получаем

+Ю в

Jexp[(j(k - l )лю / юo)]dro Relj(ra)

<

-ю в

k +юв

Wa| = ЕWk Jexp(j^ra(-l + k)/юo)drox

n=-k -юв

r sinq , (12)

x I ----exp(jqro /ю0) • dq .

(q) q

Рассмотрим интеграл

I1 = J -sinqexp(jqro /ю 0) • dq (13)

(q) q ■ (13)

Выделим действительную часть:

r sinq ю

ReI1 = I-------cosq-----dq =

(q) q Ю 0

= 1

(q)

sin 11 + — I • q sinl —— 11 • q

dq

(14)

q

q

По определению интегрального синуса

xsint “ x2m+1(_i)2m+1

Si(x) =\ -sin^dt = e -——----------

0 t m=1(2m + 1)(2m -1)

имеем

ReI1 = Si Ї1+Ю q" - Si ї^-1] ql

V ю 0 ) q v®0 ) \

<

+Ю в

JReI1(co) dю

-ю в

|ReI1 (ra') • 2ю в

(17)

(выражение взято по модулю, так как Wa/ и W/ суть действительные числа и нас интересует модуль интеграла).

Очевидно, | ReIi(ro/) | не может превышать четырех максимально возможных значений Si, равных 4 • 1,8526 при значении аргумента Si, равного л [9]. Поскольку на интервале от 0 до л Si монотонно возрастает от 0 до максимума, возможно подобрать такое значение а, причем 0<a<1, что Si(arc) будет равен | ReI1(ro/) I. Кроме того, примем без доказательства, что при k ф l |I2|=0 . Тогда получим

Wal

Si(a л)

< Wl .

(18)

Очевидно, что для получения равенства левую часть следует умножить на Si с аргументом, зависящим от l . Для сравнительных расчетов выбран следующий вид множителя:

Si (a л

1 -

Тогда получим

W|

Wal

Si(a л)

(19)

(20)

f ю ^ f ю ^

Si 11 н 1 (n - k)л - Si 11 + 1 (-^)(n + k)

V ю 0 J V ю 0 J

1 Ш 1 1 Ш 1

Si 1 1І (n - Юл + Si 1 1І (-^)(n + k)

V® 0 J V® 0 J

Учитывая нечетность Si, получаем

. (15)

Следует отметить, что по определению WQ/ правая часть является коэффициентом окна.

Можно сделать и другой выбор зависимости аргумента Si от l , например, как в функции Кайзера через радикал этого выражения. Кроме того, возможно численными методами взять интеграл I2, рассматривать ImI1 и так далее, т.е. получить целое семейство оконных функций, что позволяет возможность выбрать наиболее подходящую, воспользовавшись следующим алгоритмом.

6

РИ, 2000, № 1

Исходя из приведенных выше рассуждений, очевидно, что для наилучшего подавления вклада отбрасываемой части ИХ и выделения вклада реализуемой части следует добиться максимально возможного отношения наибольшего оконного коэффициента к наименьшему. Значение этого отношения определяется возможностями технологии изготовления ВШП и имеет некоторый определяемый ею предел. Не останавливаясь на конкретном значении этого отношения (оно зависит от достаточно большого числа факторов), следует указать, что вполне логичным выглядит сравнение ПФ, получаемых при использовании различных оконных функций, параметры которых подобраны для обеспечения постоянного отношения наибольшего оконного коэффициента к наименьшему у всех функций, используемых для сравнения. Выбирая наиболее удовлетворительную ПФ, определяют оптимальную оконную функцию.

Сравним наиболее часто используемую для взвешивания ВШП функцию Кайзера и функцию, содержащую интегральный синус Si (СИС) при N=15 электродов ВШП.

Решение уравнения дало значение q=1,0902, при этом wOn = 0,38581.

Для найденного параметра определены оконные

коэффициенты:

W 01 =W 015 =0,38581; W 02 =W014 =0,49516;

W03=W013=0,58766; W 04 =W012=0,7622;

W 05 =W011 =0,86556; W 06 =W010 =0,93676;

W 07 =W09 =0,98395; II CO

Согласно формуле (8), ПФ ВШП определяется так: 15

И(ю) = ^ Wk exp(jrokAt) = k=1

= E Wk expl j—kл k =1 V ®0

(24)

Для фильтра на ПАВ с fQ=34,5 МГц и Af=12 МГц по

формуёе Учитывая, что Wq-k = Wq+k , получаем

Wal

(-1)1

п\

. Af \ 2fo

sin----1 л-----

2f0 Af

получены нормированные коэффициенты аподиза-ции:

Wai=Wai5=0,16501; Wa2=Wai4=-0,04154;

Wa3=Wai3=-0,14583; Wa4=Wa12=0,37382;

Wa5=Wa11=-0,60867; Wa6=Wa10=0,81254;

Wa7=Wa9=-0,95099; W08=1.

Далее по формуле (20) были вычислены коэффициенты окна для функции СИС (учитывая n=8, так как при этом Wi=Wi6=0 и N=15):

W01=W015=0,38581; Wq2=Wq14=0,66855; Wg3=Wg13=0,84501; W04=W012=0,93942; W05=W011=0,98177; W06=Wg10=0,99655; W07=W09=0,99979; Wo1o=1.

Далее для функции Кайзера

W0\

1 (\ ^ 2

І0 Ф1 -( 1)

У V Vl)

I0(q)

при l = n получаем

(21)

W0\ =

I0(q)

(22)

Согласно принятому алгоритму q следует определить так, чтобы

I0(q) = —7- = W w' W\

(23)

1

И(ю) = W8 exp| j-8л | +

ю 0

n -1 І

+ Е і W8-k exP

k=11

j—(8 - k)л

. “0 _

+W8+k exP

j — (8 + k) л

. “0

= exP

j— 8л

ю 0

n-1

1+ E Wn _ k k=1

exp| j-E- kл

“0

+

+exp I -j — kn ffl0

= exp| j—8^||l + 2E Wn-kcos—k4- (25)

V ю 0 J[ k=1 ю 0 J

Находя интересующий нас модуль ПФ и производя нормирование относительно значения И(ю 0), получаем

|И(ю)| =

n_1 ю

1 + 2 ^ Wn_k cos--к-%

k=1 ю 0

n -1

1 + 2 ^ Wn_k coskл

k=1

Выражая ПФ в децибеллах, запишем:

|H(ffl)|dE = 20 lg

n _1 ю

1 + 2 ^ Wn_k cos--Гл

k=1 ю 0

n -1

1 + 2 ^ Wn_k cos^

k =1

(26)

(27)

РИ, 2000, № 1

7

Результаты расчета сравнивались между собой в полосе пропускания, непосредственно за ней, и на частоте, соответствующей первому боковому лепестку (таблица).

Сравнение результатов применения для аподизации ВШП оконных функций

МГц Функция 37,5 40,5 34,5

Кайзера -1,805 дБ -6,874 дБ 0 дБ

СИС -1,983 дБ -7,733 дБ 0 дБ

В полосе пропускания функция СИС имеет незначительно большую (на 0,078 дБ) неравномерность, чем функция Кайзера.

Непосредственно за полосой пропускания на частоте f=41,5 МГц функция Кайзера обеспечивает затухание сигнала — 20,863 дБ, а функция СИС — 27,1 дБ, т.е. значительно больше.

На частоте первого бокового лепестка функция Кайзера обеспечивает затухание, равное —37,72 дБ, а функция СИС — 42,62 дБ, что тоже является значительным преимуществом.

Таким образом, использование функции СИС при применении ее в качестве оконной для аподизации ВШП позволяет достичь существенно лучших результатов, чем при наиболее широко используемой функции Кайзера.

Кроме того, по приведенной выше методике возможно получение целого класса оконных функций. Класс оконных функций, учитывающих дискретность и ограниченность ИХ, следует признать более предпочтительным для применения в качестве оконных при синтезе фильтров на ПАВ, чем используемые в настоящее время функции, в том числе

УДК 621.391

ПОСТРОЕНИЕ ВЫСОКОТОЧНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ПАРАМЕТРОВ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ

ГАВРИШ А.С.______________________________

Синтезируются новые нелинейные алгоритмы измерения (оценки) параметров гармонического сигнала при негауссовских помехах, отличающиеся от существующих измерителей повышенными точностными характеристиками. При этом используется метод максимизации полинома.

1. Введение

Гармоничный сигнал широко распространен в разно -образных технических приложениях, поэтому часто возникает необходимость измерять его информативные параметры. При прохождении полезного сигнала через реальные каналы связи он подвергается искажающему влиянию помех, в связи с чем решение данной задачи требует статистического подхода.

8

Кайзера, что подтверждается приведенным выше сравнительным расчетом для наиболее простой оптимальной функции СИС и функции Кайзера.

Литература: 1. Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчет, технология и применение): Пер. с англ. / Под ред. Г.Мэттьюза. М.: Радио и связь, 1981. 472 с. 2. Орлов В. С., Бондаренко В. С. Фильтры на поверхностных акустических волнах. М.: Радио и связь, 1984. 272 с. 3. Гуляев Ю.В., ЛепихЯ.И., Калашников А.Н. Исследование характеристик фильтров на поверхностных акустических волнах аналитическим методом // Радиотехника и электроника. 1988. Т.33. Вып.11. С.2395-2399. 4. Лепих Я.И., Калашников А.Н. Оптимизация аподизированных встречно-штыревых преобразователей устройств на поверхностных акустических волнах // Радиотехника. М. 1989. № 9. С.25-37. 5. ЛепіхЯ.ї. Особливості проектування фільтрів на ПАХ з п’єзокерамічним звукопроводом // Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 2. С.17-18. 6. РабинерР.Л., Маклеллан Дж, Паркс Т. Методы расчета цифровых фильтров с конечным импульсным откликом, использующие взвешенную чебышевскую аппроксимацию // ТИИЭР. 1975. Т.63, № 4. С.61-78. 7. Морган Д. Устройства обработки сигналов на поверхностных акустических волнах: Пер. с англ./ Под ред. С.И. Баскакова. М.: Радио и связь, 1990. 416 с. 8. Харрис Ф.Д. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР. 1978. Т.66, № 1. С.60-97. 9. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 427 с.

Поступила в редколлегию 25.01.2000

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Швец В.Т.

Лепих Ярослав Ильич, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, начальник НТЦ “Фонон” СКТБ “Элемент”. Научные интересы: акустоэлектроника, дат-чиковое приборостроение. Адрес: Украина, 65104, Одесса, пр-т Акад. Глушка, 29, тел.: (0482) 66-82-29, (0482) 66-82-29, т/ф (0482) 47-02-23.

Современные методы оценки параметров случайных процессов в большинстве основаны на использовании плотности распределения. В этой связи приоритетное место занимает гипотеза гауссовости наблюдаемого случайного процесса, позволяющая решить или значительно упростить ряд важных задач в различных областях науки и техники. В настоящее время возникло множество научных направлений, где гауссовская модель не всегда является адекватной реальной ситуации и поэтому вытесняется негауссовскими моделями. Однако использование существующих методов для оценки параметров негауссовских процессов часто приводит к громоздким результатам. Поэтому возникает необходимость создать и использовать новые конструктивные методы измерения параметров наблюдаемого процесса. Так, в работе [1] предложен метод максимизации полинома, основанный на использовании стохастических полиномов, при частичном априорном описании наблюдаемой случайной величины с помощью конечной последовательности усредненных характеристик (моментов, кумулянтов). Он позволяет синтезировать алгоритмы измерения параметров полезного сигнала при известных параметрах негауссовских помех.

РИ, 2000, № 1