Нахождение Бета цикла на графе – NP-полная задача Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ / PHYSICS AND MATHEMATICS

Белаш А.Н.

Доцент, Северо-Кавказский федеральный университет НАХОЖДЕНИЕ БЕТА ЦИКЛА НА ГРАФЕ - NP-ПОЛНАЯ ЗАДАЧА

В статье рассмотрено - доказательство NP-полноты задачи нахождения Бета цикла на графе Ключевые слова: теория графов, циклы, NP-полнота.

Belash A.N.

Lecturer, North-Caucasus Federal University FINDING THE BETA CYCLE IN A GRAPH - NP- COMPLETE PROBLEM

The article considers the proof of NP-completeness of the problem offinding the beta cycle in a graph Keywords: graph theory, cycles, NP-completeness.

G = (V. E) np

Теорема. Нахождение цикла Бета на графе v ' представляет собой полную задачу. Доказательство

G = (V,E) X = {у,,у2,..,у }

УСЛОВИЕ. Задан граф v ' . А также задано множество г 1 2 г) граней Бета, где

Аннотация

Abstract

Г1 = {(v1(1) . v2 )) . (v2 ) . vS1))..... (v£-1. ^ )} = Гг Q E Г2 = {(v12). v22)). (v22). vS2))..... (^-1. )} = Г2

= Г Q E

rr = {(v1r). v2r)). (v2r). v$r))..... (<>1. v(rr)} = г

Г1 uг2 u...urr = E Iх = r

= V Q E

ВОПРОС. Верно ли, что G содержит цикл Бета (БЦ)?

Так мы можем сформулировать фиксированную индивидуальную задачу из БЦ. Далее мы будем определять задачу, которая будет связана с нахождением ГЦ и будет связана с индивидуальной задачей БЦ.

G' = (V'. E') V1 = r V> х

Пусть задан граф v ' , 11 . Множество вершин у совпадает с множеством 1 . Для любых двух вершин

v- vj е V i

расстояние

d(v.v ) г Г-

4 1' между ними полагаем равным 1, если грани 1 и 1 имеют общее ребро, то есть они

V V,

смежные. Если они не смежные, то расстояние между ’х и 1 будем полагать равным 2. Граница B для длины искомого маршрута берется равной r .

Проверим первое требование сводимости:

f

Существует ДМТ-программа, вычисляющая J с временной сложностью, ограниченной полиномом [1]. f

Функция J осуществляет сводимость и может быть вычислена за полиномиальное время, поскольку для вычисления всей

d (v. v ) v г■

х J 7 необходимо лишь выяснить смежны ли грани ' 1 и 1 . Поэтому первое требование

суммы расстояний полиномиальной сводимости выполнено.

Далее проверим второе требование сводимости

'eZ* хеL

Для любого

х <

в том и только в том

случае, если f (х) П L2 [1]

G f ( G )

Для проверки второго условия необходимо показать, что содержит БЦ тогда и только тогда, когда в

проходящий через все вершины маршрут длины, не превосходящей

B

имеется Вначале допустим, что

{(V,". V?'). (V-:1. ■>)...., (f ?. vj;')} (r = B)

БЦ в G . Тогда ^ 1 2’ ’ - маршрут в J ^ * , а его длина равна r

G

(v1. v2..... v'k) f ( G )

v 1 2 k> - маршрут в v '

так как расстояние между соседними вершинами равно 1, поскольку оно соответствует ребру (для двух смежных граней)

(v' v’2.....vk) f (G) B

Наоборот, предположим, что - маршрут в , длина которого не превосходит . Поскольку расстояние

f (G) m

между двумя вершинами в равно либо 1, либо 2 и при вычислении длины маршрута суммируется ровно таких

B = m

расстояний, то из равенства

следует, что расстояние между каждой парой соседних вершин в маршруте равно 1. По

f ( g ) {(vS}. ■). (■. ■)..... (v2:-1). vi(11))}

определению , отсюда следует, что

(■. v2?)er2 (v(r-1). vi(11))е Vr

БЦ в G , где

(v1. v211))er1

в

. Теорема доказана.

5

Литература

1. Герри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.

Берзин Д.В.

Кандидат физико-математических наук, доцент, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва ДЕФОРМАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ

Аннотация

Предположим, что мы хотим изменить (деформировать) NURBS минимальным образом, чтобы достичь условия непрерывности с ее соседями. В данной работе дается алгоритм такой деформации

1

Ключевые слова: система автоматизированного проектирования, условие непрерывности G , NURBS, вариационная задача.

Berzin DV

PhD, Associate Professor, Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow SURFACE DEFORMATION WITH GEOMETRIC CONSTRAINTS

Abstract

1

Suppose we want to deform a base surface of a face in order to achieve some continuity condition (e.g., G continuity) with the given neighbors at common edges. We give an algorithm of a deformation that changes the surface geometry as little as possible.

1

Keywords: CAD, G continuity, NURBS, variational problem.

Suppose that a face F0 is surrounded by some number of neighbor faces F1, F2, ... . We want to deform an (initial) base surface of F0 in

1

order to achieve some continuity condition (e.g., G continuity) with the given neighbors at common edges. This deformation should change the surface geometry as little as possible.

1. “Curve error” functional

0

0 .... 0

Denote vectors of initial and deformed control points by P = {P 1 }, P = {P 1 } respectively. Consider a curve c (t), which belongs

0

to (or located near) the initial (not deformed) surface S(P ). Let

w = w(c , t) = (u(t),(v(t))

(1)

be a corresponding uv-curve of c (t). Consider a class of 3D-curves with a fixed w and the variable P:

(2)

n m

z z

c w (P)(t) = i=0 1=0 P1 Nг •p (u(t))N1 •q (v(t)) Consider a functional

D(P) = D(c , c w ( P)), (3)

which in some way expresses distance (or maximum gap) between initial and deformed curves. Let call such a functional “curve error” functional.

2. Other functionals

Consider two more types of functionals: H(P) and G(P). “Control point error” functional H(P) expresses a distance between sets of

0

control points P and P. H(P) is to control a deviation of a deformed surface. “Continuity error” functional G(P) is to keep some continuity

1

condition, for example, G with some of neighbor faces.

1

3. Quasi-G

11 Instead of G at sample points on boundary curves, we can try to achieve a little different (and, in some meaning, stronger, than G ) condition, which, however, leads to linearity in the variational problem. Let E be an arbitrary, but fixed sample point on some edge, which is

0 0

TT

shared by both face F0 and the neighbor face F1. Consider a tangent plane at E to a base surface of the face F1. Let S u and S v be

00

corresponding tangent vectors (taken at the point E in u and v directions respectively) to the initial base surface S(P ) of the F0. Project S u

0

0 T S S

and S v onto , get the pair of vectors u u and u v respectively. Now we can compose the continuity error functional for this condition at the point E:

GE (P) = || S u - a S u ||2 + || Sv - P S v ||2 , (4)

where S u and S v - corresponding tangent vectors to the deformed surface S(P), and & and P are real variables. Respectively,

Q

z

continuity error functional for a set of sample points is G(P) = EeQ G E (P).

4. Variational problem

Now, we can compose the “total error” functional F(P) = k D D(P) + k H H(P) + k G G(P), (5)

where constants k D , k H , k G can serve as weights and might be found empirically. Eventually, our goal is to find a minimum: F(P) ^ min (6)

This variational problem without restrictions (see [4]) can be solved according to the Fermat theorem:

grad F(P ) = 0

(7)

0

6