CC BY
27
Instead of G1 at sample points on boundary curves, we can try to achieve a little different (and, in some meaning, stronger, than G1) condition, which, however, leads to linearity in the variational problem. Let E be an arbitrary, but fixed sample point on some edge, which is
shared by both face F0 and the neighbor face F1. Consider a tangent plane % at E to a base surface of the face F1. Let S° and S° be corresponding tangent vectors (taken at the point E in u and v directions respectively) to the initial base surface S(P 0) of the F0. Project S U
and S 0 onto % , get the pair of vectors S u and S v respectively. Now we can compose the continuity error functional for this condition at the point E:
G e (P) = II S u - a S ull2 + || S v - p S v||2, (4)
where S u and S v - corresponding tangent vectors to the deformed surface S(P), and a and /3 are real variables. Respectively, continuity error functional for a set of sample points П is G(P) = X G В (p).
ВеП
4. Variational problem
Now, we can compose the “total error” functional F(P) = k d D(P) + k H H(P) + k g G(P), (5)
where constants k D , k H , k G can serve as weights and might be found empirically. Eventually, our goal is to find a minimum: F(P) ^ min (6)
This variational problem without restrictions (see [4]) can be solved according to the Fermat theorem: grad F( P ) = 0 (7)
where P is a solution of the problem.
5. Remarks
In this approach, knot vectors and the number of control points are still the same after deformation. Perhaps, this restriction will not allow achieving a precise continuity condition and preserving boundary curves within prescribed tolerances. It is needed to measure continuity and curve errors, and, if necessary, insert additional knots in the initial surface, and after that restart the deformation.
All terms in (5) should have a quadratic form, so that the system (7) becomes linear. In our first implementation, we will assume k D = k
H
= kG
1 for simplicity.
Quasi-G1 condition is not the same as G1, but we can expect that generally (6) will force the corresponding tangent planes to approach desired positions. In [5] we gave an algorithm for such a deformation.
References
1. W. Welch, A. Witkin “Variational Surface Modeling” // Computer Graphics (ACM), 1992
2. G. Celniker, W. Welch “Linear constraints for deformable B-spline surfaces” // Computer Graphics, 1992
3. D. Terzopoulos, H. Qin “Dynamic NURBS with geometric constraints for interactive sculpting” // ACM Transactions on Graphics,
1994
4. S. V. Fomin, I. M. Gelfand “Calculus of Variations” // Dover Publications, 2000
5. Berzin D.V. "Surface deformation with geometric constraints" // Research Journal of International Studies, №8 (15) 2013, part 1, p.6
Красношлыков А.С.1 Максимов В.И.2
'Магистрант, Национальный исследовательский Томский политехнический университет; ^Кандидат технических наук, Национальный исследовательский Томский политехнический университет Работа выполнена в рамках НИР Госзадания «Наука» (Шифр федеральной целевой научно-технической программы
7.3073.2011).
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В МОРОЗИЛЬНОЙ КАМЕРЕ ХОЛОДИЛЬНЫХ УСТАНОВОК НА СКОРОСТЬ ЗАМОРОЗКИ ПРОДУКТОВ
Аннотация
В статье рассмотрено экспериментальное исследование конвективного теплообмена в объеме воздуха и воды в морозильной камере, при различных режимах работы холодильной установки.
Ключевые слова: конвективный теплообмен, энергосбережение, морозильная камера.
Krasnoshlykov A.S.1, Maksimov V.I.2
1 Master's degree student, Tomsk Polytechnic University; 2PhD in Engineering, Tomsk Polytechnic University EXPERIMENTAL STUDY OF CONVECTIVE CURRENTS IN FREEZER REFRIGERATION UNITS FOR SPEED
FROZEN FOOD
Abstract
The article discusses an experimental study of convective heat transfer in the amount of air and water in the freezer, under various operating conditions of the refrigeration unit.
Keywords: convective heat transfer, energy, freezer.
Энергосбережение предприятий является важнейшим фактором развития промышленности, в том числе и предприятий, на которых применяются различные по мощности теплообменные установки. Значительная часть этих установок недостаточно эффективны, в основе их проектирования использовались балансные уравнения, а процессы конвективного теплообмена не учитывались [1]. Современные исследования конвективных течений в морозильных камерах основаны на математическом моделировании процессов тепломассообмена, в то же время, количество работ затрагиваемых экспериментальные исследования таких процессов очень мало [2,3].
Целью данной работы является экспериментальное определение значений температур в морозильной камере холодильной установки в условиях естественной конвекции и наличии различной тепловой нагрузки.
7
Экспериментальная установка (Рис.1) представляет собой парокомпрессионную холодильную машину, и состоит из компрессора, конденсатора, фильтра-осушителя, дросселя и испарителя. Испаритель представляет собой теплообменник с горизонтальными и вертикальными трубками, расположенными по периметру морозильной камеры. Для определения давления используются манометры. Рабочим телом экспериментальной холодильной машины является хладагент R-l 34А.
Рис. 1 - Схематическое изображение лабораторной установки
Эксперимент проводился с морозильной камерой (0,5*0,35*0,25)м. в которой располагалась емкость с водой (0,3*0,24х0,1)м. Использовались два варианта условий работы установки: 1 - емкость размещается в морозильной камере с момента запуска установки; 2 - емкость с водой, помещается в морозильную камеру после выхода установки на стационар.
Измерение температуры в исследуемой области осуществлялось с помощью 14 термопар. Из которых, 7 термопар измеряли температуру воздуха внутри камеры в одном сечении с переменной координатой X при постоянных Y и Z (таб. 1). Остальные 7 -измеряют температуру воды в емкости. Экспериментальное исследование проводилось с изменением координаты Z, координаты X и Y оставались постоянными (таб. 2). Схематическое расположение термопар приведено на рисунке 2.
Рис. 2 - Схематическое изображение расположения термопар в исследуемой области ________Таблица 1 - Координаты расположения термопар в объеме воздуха_____
1 2 3 4 5 6 7
X, м 0,06 0,12 0,18 0,24 0,30 0,36 0,42
Y, м 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17
Z, м 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12 0,12
Таблица 2 - Координаты расположения термопар в объеме воды
1 2 3 4 5 6 7
X, м 0,15 0,07 0,22 0,05 0,22 0,11 0,15
Y, м 0,11 0,11 0,15 0,18 0,11 0,05 0,15
0,015; 0,015; 0,015; 0,015; 0,015; 0,015; 0,015;
Z, м 0,05; 0,05; 0,05; 0,05; 0,05; 0,05; 0,05;
0,07. 0,07. 0,07. 0,07. 0,07. 0,07. 0,07.
На рисунке 2 представлены графические зависимости температуры воды от времени, в случае, когда емкость располагалась в морозильной камере при запуске.
8
Рис. 2 -Изменение температуры воды в зависимости от времени работы установки в сечении Z=0,05m.
_____- 1 термопара;.....- 2 термопара; __ __ , - 3 термопара; _ _ _ - 4 термопара; __ . __ - 5 термопара; _ . . ^_-6
термопара; -7 термопара.
Рис. 4 - Изменение температуры воздуха в морозильной камере в зависимости от времени работы установки при первом
режиме работы
9
Рис. 5 - Изменение температуры воздуха в морозильной камере в зависимости от времени работы установки при первом
режиме работы
_____- 1 термопара;....- 2 термопара; __ __ . - 3 термопара; _ _ _ - 4 термопара; __ . __ - 5 термопара;_ . . ^_-6
термопара; -7 термопара.
На рисунках 6 и 7 приведены типичные зависимости для первой и второй термопар при двух условий работы установки.
Рис. 6 - Изменение температуры в зависимости от времени работы установки в сечении по координате Z=0,015м. (а) -
термопара 1; (б) - термопара 2.
-температуря в центре емкости при первом режиме работы; _ _ -температура в центре емкости при втором режиме работы.
Рис. 7 - Изменение температуры в зависимости от времени работы установки в сечении по координате Z=0,05м. (а) -
термопара 1; (б) - термопара 2.
^^—-температура в центре емкости при первом режиме работы;
_ —-температура в центре емкости при втором режиме работы.
Проводя анализ полученных значений температур для различных режимов работы установки можно сделать вывод о том, что конвективные течения, возникающие в исследуемом образце, оказывают влияние на поле температур замораживаемого жидкого
10
продукта. Так же, следует отметить, что различные заданные условия работы не значительно влияют на время протекания фазового перехода, так как при более экономичном режиме, в случае, когда емкость располагалась в морозильной камере при запуске, вода замораживалась быстрее. При условии размещения емкости в морозильной камере в момент выхода установки на стационарный режим, процесс фазового перехода жидкости осуществлялся быстрее по времени в области нижней границы емкости (рис. 6), это связано с тем, что емкость устанавливалась на охлажденную испарителем подложку, что приводило к интенсификации процесса теплопередачи между жидкостью и воздухом в камере.
Проведены исследования по получению температурных зависимостей замораживаемой жидкости в морозильной камере при различных условиях работы холодильной установки. Установлено, что время процессов фазовых переходов при двух режимах работы отличалось на 11,3%.
Литература
1. Сергеев Н.Н. Теоретические аспекты энергосбережения и повышения энергетической эффективностипромышленных предприятий // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Экономика. - 2013. - 29-36с.
2. Красношлыков А.С., Цветков Г.В., Максимов В.И. Моделирование теплообменных процессов в холодильной камере с применением программного пакета COMSOLMULTTIPHYSICS// Материалы I международного молодежного форума «Интеллектуальные энергосистемы». - Томск, 2013. - Т. 1. - С. 279-283.
3. Кузнецов Г.В., Максимов В.И., Шеремет М.А. Естественная конвекция в замкнутом параллелепипеде при наличии локального источника энергии // Прикладная механика и техническая физика. - 20 13. - Т. 541. - № 4 (320). - С. 86-95.
Магомедов А.М.
Доктор физико-математических наук, Дагестанский государственный университет СОКРАЩЕНИЕ ПЕРЕБОРА ДВУДОЛЬНЫХ ГРАФОВ
Аннотация
В статье рассмотрен способ элиминации перебора неизоморфных бирегулярных графов, порожденных на небольших множествах вершин.
Ключевые слова: раскраска, изоморфизм, граф.
Magomedov A.M.
Doctor of physico-mathematical Sciences, Dagestan state University REDUCTION ENUMERATION OF BIPARTITE GRAPHS
Abstract
The article consideres method of elimination enumeration of nonisomorphic biregular graphs generated by a small set of vertices.
Keywords: coloring, isomorphism, graph.
Введение. Двудольные графы G = (X, Y, E), где |X| = n, степени всех вершин X равны 2а, а степени всех вершин Y равны а, будем называть ап-графом. Такое отображение множества ребер ап-графа G = (X, Y, Е) в множество из двух цветов, что в каждой вершине у EY все а ребер, инцидентных вершине у, имеют один и тот же цвет, а любой вершине х Е X инцидентны по а ребра каждого из двух цветов, будем называть гармонической раскраской графа G; граф, для которого существует гармоническая раскраска, будем называть раскрашиваемым. Гармоническая раскраска для 3п-графа G существует тогда и только тогда, когда для графа G существует интервальная реберная раскраска 6 цветами. Последняя задача является NP-полной [1], поэтому для проверки раскрашиваемости при малых значений п есть смысл прибегнуть к алгоритму перебора всех неизоморфных ап-графов, порожденных на заданных множествах вершин X и Y. Однако полный перебор ап-графов сопряжен со значительными проблемами даже при малых а и п.
Сокращение перебора. Отношение изоморфизма разбивает множество М всех ап-графов на классы эквивалентности. Если М0 - подмножество множества М, включающее не менее одного представителя из каждого класса эквивалентности, то проверка существования нераскрашиваемого ап-графа сводится к проверке раскрашиваемости графов из М0.
Процесс перебора представим как построение корневого дерева с п — 1 уровнями, с каждым узлом v которого ассоциируется двудольный граф g(v), порожденный на множествах вершин X = {х0,х1, ,.,хп_1) и Y = {yo,yi,...,y2n-i); с корневым узлом ассоциируется граф, где список смежности вершины х0 есть {у0,Уг, .,y2a-i), остальные вершины X (и Y) являются изолированными; потомки узла v уровня i — 1 индуцированы добавлением в g(v) того или иного количества ребер, инцидентных вершине х;.
Если в графе g(v) = (X, Y, Eg) все вершины подмножества Y' Y имеют степени меньше а и обладают идентичными списками смежности, то подмножество Y' будем называть предполем; предполе, не являющееся собственным подмножеством другого предполя назовем полем. Количество полей «текущего» графа g(v) обозначим через N, поля - через F1,..., FN, их мощности - через l1,.,lN. С точностью до изоморфизма потомок узла v определяется количеством вершин ак из списка смежности вершины х; графа g(v), принадлежащих полям Fk, таких, что
+ —+ aN = 2а, 0 <ак<1к\ к = 1, ...,N. (1)
Отсюда следует корректность следующего правила.
Правило 1: достаточно ограничиться теми потомками узла v, у которых список смежности вершины х; содержит точно ак начальных вершин поля Fk, к = 1, ...,N; таким образом, количество потомков, подлежащих дальнейшему рассмотрению, равно количеству наборов целых чисел, удовлетворяющих (1).
Графы, ассоциированные с потомками одного и того же родительского узла, неизоморфны; однако графы, ассоциированные с потомками разных узлов одного уровня, могут оказаться изоморфными.
Правило 2: из потомков узла v, удовлетворяющих правилу 1, для дальнейшего рассмотрения выбираются лишь те узлы о>, у которых список смежности вершины □ ; в графе д(ш) имеет не больше общих вершин с множеством Y2a = {y0,yi, .,y2a-i), чем список смежности вершины xi_1 в графе д(ш).
В самом деле, данное правило равносильно требованию упорядочить вершины х0, ...,хп_1 по принципу невозрастания в их списках смежности количеств вершин, принадлежащих Y2a.
Заключение. Сформулированные правила элиминации перебора малоизбыточного множества неизоморфных 36-графов свели задачу к построению дерева из 11645 узлов, из которых 2485 узлов принадлежат к последнему уровню и образуют искомое множество М0 36-графов. Компьютерная программа обнаружила среди них 62 нераскрашиваемых графа, а для п <5 выявила раскрашиваемость всех 3п-графов.
Статья написана при финансовой поддержки госзадания Минобрнауки России в сфере научной деятельности и отдела математики и информатики ДНЦ РАН. 11
11
