НАБЛИЖЕНИЙ МЕТОД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КЛАСУ НЕЛіНіЙНИХ ВАРіАЦіЙНИХ НЕРіВНОСТЕЙ З ОБМЕЖЕННЯМ НА ГРАНИЦі ОБЛАСТі Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.972/974 B.C. САЖЕНЮК

НАБЛИЖЕНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КЛАСУ НЕЛІНІЙНИХ ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ З ОБМЕЖЕННЯМ НА ГРАНИЦІ ОБЛАСТІ

Abstract: The method of the numeral solution for the class of nonlinear variational inequalities with restriction on the boundary of domain which is based on application of methods of fictitious region and grids is proposed. Theorems of convergence of the method and estimations of velocity of convergence are given.

Key words: variational inequality, method of fictitious regions, difference scheme.

Анотація: Для розв'язування класу нелінійних варіаційних нерівностей з обмеженням на границі довільної області пропонується чисельний метод, який базується на застосуванні методів фіктивних областей та сіток. Дається обґрунтування методу у вигляді теорем про збіжність. Отримані оцінки швидкості збіжності.

Ключеві слова: варіаційна нерівність, метод фіктивних областей, різницева схема.

Аннотация: Для решения класса нелинейных вариационных неравенств с ограничением на границе произвольной области предлагается численный метод, который основан на применении методов фиктивных областей и сеток. Дается обоснование метода в виде теорем о сходимости. Получены оценки скорости сходимости.

Ключевые слова: вариационное неравенство, метод фиктивных областей, разностная схема.

1. Вступ

До необхідності вивчення нерівностей з частинними похідними спонукає багаточисельний клас задач механіки, фізики, математичної фізики, економіки та теорії керування [1, 2]. Являючи собою екстремальні задачi на більш вузькій множині функцій ніж звичайно у випадку крайових задач, варіаційні нерівності можуть бути записані у вигляді крайових задач для операторів з частинними похідними з додатковими обмеженнями на розв'язок у вигляді нерівностей. Саме наявність обмежень не дає змоги прямо застосовувати до таких задач методи дискретизації (скінченно-різницевої апроксимації або методу скінченних елементів), які з успіхом використовуються при розв'язуванні крайових задач. Те ж саме стосується і методу фіктивних областей, який є досить ефективним і широко застосовується при побудові різницевих схем для крайових задач у випадку областей складної геометрії. З другого боку, пряме використання стандартних методів нелінійного програмування не завжди є ефективним з точки зору використання машинного часу [2]. Це спонукає до розробки чисельних методів, орієнтовних на розв'язування варіаційних нерівностей, які об'єднували у собі простоту, ефективність та універсальність методів скінченно-різницевої апроксимації та фіктивних областей.

Автором, спільно з Гаврилюком І.П. та Войцеховським С.О. [3], було запропоновано наближений метод розв'язування варіаційних нерівностей, який базується на застосуванні разом з методами скінченно-різницевої апроксимації та фіктивних областей методу штрафу. На протязі певного відрізку часу цей метод було вивчено щодо деяких класів еліптичних та параболічних нерівностей з обмеженнями в середині та на границі області [3 - б]. Використання комбінації методів штрафу та фіктивних областей дає можливість будувати ефективні чисельні алгоритми, зокрема, за методом сіток, для розв'язування класів варіаційних нерівностей у випадку складної геометрії області. В той же час клас еліптичних нелінійних варіаційних нерівностей з обмеженням на границі області з цього погляду раніше не досліджувався. Прикладами практичних задач, що зводяться до варіаційних нерівностей з обмеженням на границі області, є задачі про рух рідини в

© Саженюк В.С., 2009

ISSN 1028-97б3. Математичні машини і системи, 2009, № 1

області, обмеженій напівпроникною мембраною, та деякі задачі оптимального керування. Основними складнощами, з якими доводиться стикатися при побудові та обґрунтуванні різницевих схем, отриманих за допомогою методів штрафу, фіктивних областей та сіток, є побудова дискретної задачі та дослідження збіжності послідовності наближених розв'язків і отримання оцінок швидкості збіжності. Це викликано, перш за все, наявністю обмежень у вигляді нерівностей, приналежністю розв'язків задач з обмеженнями класу узагальнених функцій та присутністю в різницевій схемі двох або трьох малих параметрів, які потребують узгодження. Питання побудови різницевих схем та отримання узгоджених оцінок швидкості збіжності для крайових задач з узагальненими розв'язками детально досліджені у книзі [7].

2. Постановка задачі

Нехай Пє Я2 - обмежена, однозв'язна область з границею Г.

При виконанні умов (2) задача (1) має єдиний розв'язок, що належить простору Ж22(П) [1]. Варіаційна нерівність (1) еквівалентна наступній крайовій задачі з обмеженнями на границі області:

п

Крім того, 3М1 > 0 , така, що

(через Мі (і = 1,2...) будемо позначати додатні сталі, які не залежать від И та 8). Розглянемо варіаційну нерівність:

и єК , а(и, V - и) + (Р(х, и), V - и) > 0, "V є К ,

(1)

де К = {V | Vє Ж (П), V > 0 , х є Г}, функція Е(х,и) - вимірна, 3/(х)є Ь2(П) ^

|Е(х, и)| < М2/(х) , 3М3 > 0: — < М3,

Эи

(Е(х, VI) - Е(х, V2 ))(^ - V2) > 0, "VI, V2 є Ж (П).

(2)

Аи =-Е(х, и), х єП ,

(3)

Э _Э V

де Av = - V-------аі (х)-+ а0(x)v - оператор, зв'язаний з формою а(и, V);

,■ ' ЭXi Эх,

Эи 2 Эи

----= V а.--------ео8(и, х.) .

Э^ 3 Эх.

3. Основні результати

Апроксимуємо задачу (1) за методом фіктивних областей. Доповнимо область П деякою областю П1 до прямокутника П0 з границею Г0. В області П0 розглянемо задачу:

0

знайти функцію и8 є Ж21(П0) таку, що

2 Эи э і

(и о, V) + Га0и^ёх + 8 Г(V —8-----------)ёх---- Ги8 ■ vdx + + ГЕ(х, и8 У^ёх = 0,

П П1 1=1 Эх, Эх, 8 ^ J

“1 дХі дХі 8

0

"Vє ^(Оо),

де функції а0(х) та Р(х,и8) - продовжені в область 01 нулем;

2 Эv Эv

а0 (V1, V2) = I (Е аі (х) ^ , и- = 0,5и8(^і^пи8 - 1) , 8> 0 .

О і=1 Эxі ^і

Використовуючи результати робіт [8, 9], можна довести, що мають місце нерівності

-1

11и8І1 ^2(0) < М ЛЛ. (О) , ікіі ^(О. ) < М 5 8 2 II /II, (О) .

(4)

0

3

Крім того, [10] и8 Є ^22(00) і

-1

НІ4,00) < М821 /11„(0) • (5)

Теорема 1. Розв'язок задачі (4) збігається при 8 ® 0 до розв'язку варіаційної нерівності (1),

при чому має місце оцінка

||и - иЛ 1 < м 78|| /II • (6)

II 811^2(0) 7 Ік ІІ,2(0) 4 '

Доведення. Позначимо через р(х) функцію, яка є розв'язком наступної крайової задачі

Ар = -Р (х,р), х є О , (7)

Эр 1

дії~Т2

—------------------г- р = 0, х є Г .

-4 0 <?2 ' 5

Узагальнена постановка задачі (7) має вигляд:

а

1 0

(р, V) +1a0р-dx -882 | Р~vdx = - |Р(x,ррvdx , "V є Ж2(О0)

Оскільки рє Ж22(О) , то з (7) можна отримати оцінку

Р

,2(Гг )

<М882 •(/

,2 (0т ) '

Віднімемо (3) з (7). Тоді для функції н(х) = р (х) -и (х) матимемо задачу:

Лн = -(Р(х, и) - Р(х, р)), х є О;

дн дн Эр ^

н--------= р-----------------— • и, х є 1 .

ЭJ ЭJ ЭJ

Звідси, з урахуванням умов (2), випливає нерівність

!• Эw Эр

і.0 -,< М9 |(р--------------------и)йх.

1(О) ЭJ ЭJ ;

Эр

------udx = —-

ЭJ 8

1 р -

— I р udx > 0, то \2 З

р Эu . „ р Эu . р + Эu . р - Эu . „ р - 9и , ^

р------^х<- р-^х = - р-----^х + р-^х< р-ж<

і т ЭJ •* ЭJ J г ЭJ J г ЭJ J г ЭJ

<

Эu

ЭJ ,2(1 ) р~

,2(1 )

(8)

(9)

(10)

(ми скористались очевидними нерівностями рр < 0, и р > 0 та формулою р+ = р +р ).

Эu

Враховуючи приналежність функції и(х) простору Ж2 (О), в силу якої також оцінку (10) , тепер знайдемо

ЭJ

< М10 • ІИк(О), а

,2(1)

1и-р121,0(О ) < М118' I\А

,2 (О) ■

(11)

Розглянемо р(х) , яка визначається таким чином:

р(х), х є О

р( х)

Іу(х), х є О1 ’

О

О

2

Г

г

1

де у(х) є Ж22(О1) - єдиний розв'язок задачі Діріхле;

Лу = 0, хє О1, у(х) = 0, х є Т0, у(х) = р(х), х є 1 . Зрозуміло, що для функції у(х) має місце оцінка

||у|| 2 <М17||р|| 2 <м13^||/||, (О).

ІІгІІЖ22(О1) 12ІІ^Нж22(О) 13 ІК ІІ,2(О)

У подальшому будемо використовувати узагальнену постановку задачі (12):

' 2 Эy Эv ^

IIV

пЛі

=1 Эх, Эх

ёх - Г^Мvdx = 0 , "V є Ж21(П0). •< Эп

(13)

Визначимо функцію © = р- и8. Очевидно, рє Ж21(П 0), а, значить, ©є Ж2(П 0).

Помножимо рівняння (13) на 8, додамо його до (8), а потім віднімемо з (4). Для функції © отримаємо таке співвідношення:

а.

, (©, V) + П а0акёх + 8 {(V Э© • ^ { (Р (x, р) - р(x, и8))vdx

+

г г

1г - , Эу 0,

+—- Г (р - и8 ^ёх = -8Г ------vdx , "V є Ж2 (П 0).

8 ^ Эп

Эу

Эп

Покладемо в останній нерівності V = й та скористаємось монотонністю функцій ¥(х,V) та р (х). Після нескладних перетворень знайдемо

Нгім +802„і<пі) < М14 8

Эу

Э?

©І

І2(Г) ■

(14)

І2(Г)

У подальшому скористаємось нерівностями

Эу

< М16 • М

І2(Г)

Ж22(П1)

З урахуванням цього з (14) випливає О ^п <М178• \/\\т (п), а, значить, справедлива оцінка

11 11^^2 (П) II II 2( )

Р-и81 Ж2(П) < М18811/1

ІІ2(П)'

(15)

Користуючись оцінками (11) та (15), отримаємо (6). Теорему доведено.

Розглянемо питання різницевої апроксимації варіаційної нерівності з обмеженням на границі області (3). У прямокутнику П0 введемо рівномірну сітку ©0 =©0 и у() , де ©0 - множина

0

0

п

Г

Г

внутрішніх, а /0 - множина граничних вузлів відповідно. Позначимо: ё3^) = —3 V . Задачу (4) апроксимуємо такою різницевою схемою:

'X (СгУ-х, ) X, + Т1Т2(ао)У + I ёз(У = Г1Г2Р (,~ ), X

г= Гпе( х)

у(х) = х є/о,

є

(16)

де Сг (х) = РгТЪ—г (аг ( ' )) ,

аі (х), х є О а0( х) х є О

= , Р (х,у) = <

3, х є О1 0, х є О1

Р(х,у ), х є О 0, х є О ’

РоУ( • ) = Iv( хі +(2 — о)і]\, х2 +(о —1)Й2 №

—1

1

Тоу( х) = | (1 — |ґ| V х1 + (2 — а)ґк1, х2 + (а— 1)й2)Л, а = 1,2

—і

- усереднюючі оператори, у(д) - полілінійне поповнення сіткової функції у(х) , ^от(х) - слід ядра оператора Т = Т1 • Т2 на границю, е(х) - комірка сітки. Справедлива така теорема.

Теорема 2. Розв'язок різницевої схеми (16) (8= Л5) збігається при Л ® 0 до розв'язку варіаційної нерівності (3), при цьому має місце оцінка

(17)

(18)

ііУ — «Л^(О) £ М19Ь 1|/І2(О) .

Доведення. З (16), враховуючи (4), для похибки і = у — и3 отримаємо задачу:

— X (Сг2х, ) х + Т1Т2 (а0 ) 1 + I ( ёз (у ) — ёз (из))°0т( х)^ + Т] Т2 р (• , у) — Т] Т2р ( , у^) =

г=1 Гпе(х)

2

= —X %(х)+%(х) + %(х) + %(х) х є

г=1

г(х) = 0, х є /0,

де

% (х) = Р Т3—г ^ 0— ^ )Х г = 1,2 , %0 = Т1Т2 (а0 0 Ж (• ) — и3 (х)) ; дхг ‘

%(х) = I (ёз(Ыз()) — х^х , %2(х) = Т1Т2 Р ( , ()) — Т1Т2 ^ у5()) .

Гпе (х)

За допомогою методу енергетичних нерівностей, враховуючи монотонність функції ёз^), з (18) можно отримати оцінку

ІІІіл, + (ТТ¥(■'?)-ТТ¥(•■*?«).*)«,£

£ М ,»8-'[(^ ||ь

2=1

іі2(®0 иГ+ і) + !^0!і2(®о) +І^2І І2(®о))^И^2(®о) + 1(^’ 2)®оР'

Скориставшись очевидною рівністю

аЛДТТЩ.,~1)-¥(,~2)))(^ -V,) = І(¥(,~і)-¥(,~2)ХУі -~2)с1:

ХЄ^ ф

та монотонністю функції ¥(х, V) , отримаємо оцінку

х

іНЦч®,) £ М^8 [(Х 1К11 І2(®о ^7+ і ) +11^0112К) +1^2112(®0^ іі^21(^))

) 4 1 + (Ь, г)„ ] . (19)

-Л \\ш}(ґ,^ ) \/1’ А к '

2=1

Доданки у правій частині останньої нерівності оцінимо за допомогою леми Брембла-Гільберта та умов (2):

ІІЬІІ £ М91л/Лш8 3 , і = 1,2 ; \\п

\\ІЛ\ь,(аюу+,) 8 3 11'

+ ^22(По)

„і, £М^Л “ 8 3

0ІІ І2(®о) 22 11 8 3

^22(По)

\\пЛ £ М 23 Л2

II '2 IIІ2(Щ) 23

^22(По)

и8 - “8

І (Ь1, 2)®01=1( | (^(М)) - gsiUsi^)))SoMІХ)dx, ^)®01£8

Гпе( х )

Позначимо через Qй - смугу завширшки Л вздовж границі Г. Тоді

II ~ ||2 ^ / 1 II ~ ||2 , II ~ ||2 ч ,

\\и8 - “Л ^Г) £ М 24 (Л 8 - ПЛ ^) + Л К - “А ^ )Х £

(20)

4г. (21)

і-^2(Г^ і^2(^оХ

1 II ~ її2 її ~ ||2

£ М25 ур8 - “811 І2(По) + Л \г8 - І2(По)Х .

Функціонал и8(х) -“8(• ) - лінійний, обмежений у Ж22(є) та обертається в нуль на множині

многочленів першої степені, тому

“8 - г/8 £ Мп/-Л2 3 , “8 - 1 £ МП1Л2 3

II 8 8II і2(П0) 26 II 8II Ж22(По) ’ 11 8 8II »г(П0) 27 II 8ІІ К.2

^22(п,х

Звідси та з (21) знаходимо

|(Я,^ |£М„Л8 ЧІ./||І!(П) • И»і(„,)-

Підставляючи оцінки (20), (22) у співвідношення (19), отримаємо

( - 3 -3 3 -3 _7^

л/Л8"2 + Л8~2 + Л 28~2 + Л8~

\А

І2(П) ■

(22)

(23)

У подальшому скористаємось нерівністю трикутника та оцінками (5), (6), (23):

3

3

у — и 1 < у — и Л 1 + \\и3 — и 1 < \\и3 — м3 1 + и3 — у 1 + и3 — и 1 <

1к 11^2(0) 1к 311 ж2(п) II 3 ІІж^п) II 3 3ІІ ж2(П) II 3 ^ ІІж^п) II 3 11^2(0)

< М,„(и3 — у3 , + \\их — у , + и3 — и , );

30Ч1 3 ^1 ^^(О,) II 3 -ЛІЖ^йц,) II 3 ІІЖ!1(П)''’

С 1 3 3 3 3 7 Л

11-У — ЧшЦо) < М30

к2 +3 + 4Й82 + И3~2 + к2 32 + Н3

Л ■

V ІІі2(П)

Найкраща за порядком к оцінка має місце при 3 = к5. Поклавши в останній нерівності 3 = к5 та відкинувши доданки більш високого порядку малості, отримаємо оцінку (17). Теорему доведено.

4. Висновки

Сформулюємо основні результати статті. Запропоновано метод побудови різницевих схем на рівномірній сітці для нелінійних варіаційних нерівностей з обмеженнями на границі області довільної форми. Побудовано та досліджено різницеву схему (16), що апроксимує варіаційну нерівність у прямокутнику. Отримано оцінку швидкості збіжності (17) полілінійного поповнення

1

розв'язку різницевої схеми до розв'язку вихідної задачі порядку к5 в нормі Ж2(О). Розглянуто задачу методу фіктивних областей (4) та отримано оцінки (15) і (6) швидкості збіжності наближеного розв'язку у прямокутнику відповідно до розв'язків задачі зі штрафом (7) та варіаційної нерівності в

області з границею Г класу С2, які не покращуються за порядком параметра 3.

Наприкінці зупинимось на практичній реалізації запропонованої різницевої схеми. Оскільки різницева схема (16) містить малий параметр 3, то для чисельної реалізації схеми доцільно використовувати модифікований поперемінно-трикутний метод, швидкість збіжності якого слабко залежить від 3.

2

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Бенсусан А., Лионс Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства / Пер. с франц. - М.: Наука, 1987. - 600 с.

2. Гловински Р. и др. Численное исследование вариационных неравенств / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионс, Р. Тремольер / Пер. с франц. - М.: Мир, 1979 - 574 с.

3. Войцеховский С.А. и др. Оценка скорости сходимости разностных схем для вариационных эллиптических неравенств второго порядка в произвольной области / С.А. Войцеховский, И.П. Гаврилюк, В.С. Саженюк // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1986. - Т. 26. - С. 827 - 836.

4. Войцеховський С.О. и др. Оцінка швидкості збіжності методу сіток для варіаційних еліптичних нерівностей другого порядку з обмеженням усередині області / С.О. Войцеховський, В.С. Саженюк, П.О. Сущенко // Вісник Київського університету. Серія фізико-математичні науки. - 2005. - № 2. - С. 171 - 176.

5. Саженюк В.С. Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей // Математичні машини і системи. - 2007. - № 2. - С.19 - 25.

6. Саженюк В.С., Бруснікін В.М. Застосування методу сіток до чисельного розв'язування одного класу задач

імпульсного керування // Математичні машини і системи. - 2006. - № 4. - С. 99 - 106.

7. Самарский А.А. и др. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями / А.А. Самарский, Р.Д. Лазаров, В.Л. Макаров. - М.: Высшая школа, 1987. - 296 с.

8. Копченов В.Д. Метод фиктивных областей для второй и третьей краевых задач // Труды МИ АН СССР. -

1974. - Т. 131. - С. 119 - 127.

9. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.: Мир, 1972. - 587 с.

10. Буренков В.И. Об аддитивности классов (О) // Труды математического института АН СССР. - 1964. -Т. 89. - С. 31 - 65.

Стаття надійшла до редакції26.05.2008