CC BY
30
УДК 517.972/974 B.C. САЖЕНЮК
АЛГОРИТМ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ОДНОГО КЛАСУ ВАРІАЦІЙНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ НЕРІВНОСТЕЙ____________________________________________________________________________
Abstract: Examined is the class of variational parabolic inequalities with restriction inside the domain. The method of the numeral solution, which is based on application of methods of penalty, fictitious region and grids, is offered. The ground of method is given as theorems about convergence. The estimations of velocity of convergence are got.
Key words: variational inequality, method of penalty, difference scheme.
Анотація: Розглядається клас параболічних варіаційних нерівностей з обмеженням у середині області. Пропонується метод чисельного розв'язування, який базується на застосуванні методів штрафу, фіктивних областей та сіток. Подається обгрунтування методу у вигляді теорем про збіжність. Отримані оцінки швидкості збіжності.
Ключові слова: варіаційна нерівність, метод штрафу, різницева схема.
Аннотация: Рассматривается класс параболических вариационных неравенств с ограничением внутри области. Предлагается метод численного решения, который основан на применении методов штрафа, фиктивных областей и сеток. Дается обоснование метода в виде теорем о сходимости. Получены оценки скорости сходимости.
Ключевые слова: вариационное неравенство, метод штрафа, разностная схема.
1. Вступ
Математичними моделями багатьох важливих практичних задач механіки, гідродинаміки, керування, тощо є параболічні варіаційні нерівності з обмеженнями у середині області [1]. При побудові чисельних алгоритмів розв'язування параболічних варіаційних нерівностей одночасно з методами скінченних елементів або сіток застосовується метод штрафу [1]. Метод сіток є універсальним та високоефективним методом з точки зору машинної реалізації. У той же час його машинна реалізація суттєво залежить від геометрії області, в якій шукаємо розв'язок. У випадках неканонічних областей при знаходженні розв'язків крайових задач використовується метод фіктивних областей [2].
У даній статті досліджується клас параболічних варіаційних нерівностей з обмеженням у
середині області з границею класу C2. Для побудови чисельного алгоритму розв'язування параболічної варіаційної нерівності з обмеженням у середині області застосовуються методи штрафу, фіктивних областей та сіток. Наводяться оцінки швидкості збіжності розв'язку нелінійних крайових задач, побудованих за допомогою комбінації методів штрафу та двох варіантів методу
фіктивних областей, до розв'язку варіаційної нерівності в нормі простору W21,0(QT). Для одного варіанта методу фіктивних областей будується різницева схема. Отримано оцінку швидкості збіжності розв'язку різницевої схеми до розв'язку задачі, побудованої за допомогою методів штрафу
і фіктивних областей, та розв'язку варіаційної нерівності в області довільної форми порядку ъ4ь у сітковій нормі W2’°(wT ) . Встановлено залежність та співвідношення між відповідними параметрами e, d , t, h методів штрафу, фіктивних областей та сіток.
2. Постановка задачі
Нехай От = {(х, ї): х е О, ї є (0,Т)} - циліндр, О - область з границею Г класу С2, 8Т = {(х,ї) : х є Г, ї є (0,Т)} - бокова поверхня QT ,
а(у\, v2) = /СІаі] (х, ї) ~~і' іїхгіх2 +1щ(х , ї)у1у,1дх1дх,1,
і, і=\а “х “хі о
"2 ) = | "і "2 ^1 ^2 , ""1, "2 Є ^21,0 °т ) ,
О
щ(х , І) > щ щ(х , г) є і. (От ), а,! (х, І) = а, (х, і), аь (х,1) єШ.О),
СаХХ > а | X |2 ,"Хе Я1.
i, ]
Розглянемо узагальнену постановку наступної задачі розв'язування параболічної варіаційної нерівності з обмеженням у середині області:
знайти функцію и Є К , и (0,х) = и0(х) , и0(х) > 0, х є О таку, що
“V 1
-1—(V -и)йхйї +1 а(и, V - и)Л > | (/, V - и)Л- — || у(0,х)-и0(х) |2 дх , "V єК , (1)
От “ 0 0 2 О
де / є і 2(От ), и0 є Ш22(О), К = {V | V є Ш21,0(ОТ ), V > 0 майже всюди в От }.
3. Основні результати
Варіаційній нерівності (1) поставимо у відповідність задачу зі штрафом:
О
знайти функцію иє є Ш2 (От) таку, що и£(0,х) = и0(х),
“у т 1 Т Т
-1---------и£<іх& +1 а(и£,v)dІ----------------------------1 (и~£,v)dІ = | (/,у)йї +1u0.v(x,0)dx, (2)
От “ 0 Є о 0 О
0
"V є Ш21,1(0Т ) , v(х, Т) = 0 , де и~є = 0,5иє ^І£;иие -1), є > 0.
Регулярність розв'язків варіаційної нерівності (1) та відповідної задачі зі штрафом (2) досліджувалась у роботі [1], у якій встановлено, що задачі (1) і (2) мають єдині розв'язки у класі
функцій Ш2л(От ) . Має місце [1, 3] наступна теорема.
Теорема 1. Розв'язок задачі (2) збігається при є® 0 до розв'язку варіаційної нерівності (1), причому має місце оцінка
IIй - иє|| ) £ М1лЄ' (1Ик(0г) + || и 0 ||ш21(О)) . (3)
(тут і надалі через Мі позначені додатні сталі, які не залежать від Є , 5, Т,к ).
Нехай О°т = {(х,ґ) : хеО°, ґє (0,Т)} - паралелепіпед , О°- прямокутник з границею
Г0, £ 0т = {(х, ґ) : х є Г°, ґ є (0, Т)} - бокова поверхня Q 0т , О1 = О° -О;
І = {(ґ,х),хє О1,ґє (0,Т)} ; = Qlт + Qт .
Для задачі (2) розглянемо два варіанти методу фіктивних областей [3] .
Варіант I
Знайти и5 є Ш21,0 (ОТ ) таке, що
I-п5(1х& + І ( V аіі (х, ґ) ■ ~^)йхйі + | q(х, ґ^п^йхйі + — |п5\йхйі -
От— і? ^ і=т дхі От 5оТ
— | и~5уёх& = | /(х,ї)уйхйі +1и°у(х,0)ёх,
Є О
"V є Ш2,0 (О0т), v(х, т) = 0 , 5 > 0.
(+ І u0.v( х,0)ёх, (4)
Є J Л
От От
Варіант
Знайти и5 є Ш^І?) таке, що
—^ ^.—и5 —V ч , , г , ч , , 1г ^ —и5 —V .
■ І-----п5^& + І(Vа. (х,ґ) —-5——-)йхйі + Іq(х,t)u5vdхdt + — І (V —5^—-}йхйі-
І° — Іт і —х. —хі От 5 От .=1 —х. —х.
-— | u5vdхdt = | /(х, ґ)vdхdt +1u0.v(х,0)dX, (5)
Є От От О
"v є Ш2,0 (І0т), v(х, т) = 0, 5 > 0.
Задачі (4) та (5) мають єдині розв'язки, що належать простору Ш22,1(Іт) [4]. Справедливі наступні теореми [3].
Теорема 2. Розв'язок задачі (4) (є = -\[5) збігається при 5 ® 0 до розв'язку варіаційної нерівності (1), причому має місце оцінка
IIй - и5І1 ) £ М2 45 ■ (||/||і2(Іт) + II и° 1Ц(П)) ■ (6)
Теорема 3. Розв'язок задачі (5) (є = 5) збігається при 5 ® 0 до розв'язку варіаційної нерівності (1), причому має місце оцінка
IIй - и5І1 ш21,°(Іт) £ М3 45 ■ (11 /Ці2(Іт) + 11 и° ||Ш21(О)) .
Різницеву схему будемо будувати та досліджувати для випадку, коли ан = 1, і = і, ан = 0 ,
У ^ У
і Ф і , і,і = 1,2. Розглянемо задачу (4), отриману за допомогою комбінації методів штрафу та фіктивних областей (варіант I). Задачу (4) перепишемо у такому еквівалентному вигляді:
дщ
дґ
-Ащ5+ q5(х, ґ)и5+ g5(х, ґ, и5) = /(х, ґX (х, ґ) є от
и5(х,ґ) = 0, хє 8? , и5(х,0) = и°, хє О°,
(7)
де позначено
g5(х, ґ, и5) '
5 2и5,(х, ґ) є От 0, (х, ґ) є
q(х, ґ), (х, ґ) є От 5~\ (х, ґ) є І
Функція g5( х, ґ, v) задовольняє співвідношенням
1 2
(g5(х, t, V1) - g 5 (X, t, V2))(V1 - V2) £—(Ч - V2) ,
52
^5(х ґ, - g5(х, ґ, ^))(^ - V2) ^ 0, V2 є Ш2,0(ІГ0).
(8)
Розв'язок задач (7) належить класу функцій Ш22,1(0Т!) [4], причому справедлива оцінка [5]
іКііш^І) £ М45 4 ^ (||І1|і2(Іт) + 11 и° ||Ш21(П)) .
(9)
У прямокутнику О0 введемо рівномірну сітку О0 = О0 и 7°, де О0 - множина внутрішніх, а у0 -множина граничних вузлів відповідно. Позначимо:
От = {ї = и = ЇТ,! = 1,N;Т = ^} , 00Т =О0 Х0°т , у°т =у° ХО0т ,
(У^У2) = ^(У^у2), 11 У
1 1
^ Л2 Г Л2
Ет||у1
V шт
У I]
^2(ут )
!г|ІУ І]2
У]|
І2(а>т)'
Л 2
!г||у]Ґ-
, |у)=іітах 11 У(х-1 )І| +ІУ)і ■
|У|-«.т)=пух||у(х-1 )І| +|у|ш^)? ■ 11 у
■і у £и
|^ІУ |21,0,^+т||Уґ-'|2
(Ут ) '' Уґ ''^2 (ут )
£
У
12 ______11 и - і |2
|ш21,0(«т ) =|| У І|І2(®т ) | У |ш21,0 (ау) .
Апроксимуємо задачу (7) такою неявною різницевою схемою:
2
У
т
Уі - £ УхЛ + ЧвУ + Р0Т1Т2 §3(-,У) = Р0Т1Т2(/X (хї) є 00,
і=1
у(х,1;) = 0, ( х,1;)є у0, у(х,0) = Т1Т2и0, хє а0,
де Тау() = І (1 - |ї| )у( х1 + (2 -а)їИ1, х2 + (а- 1)їИ2)ії, а = 1,2;
-1
1 ї
P0u(x, ї) = -Ії = т,..., ^; з = ^ТОЧзОУ),
Т *
у (х, ї) - полілінійне по х та кусково-стале по ї поповнення сіткової функції у(х,ї) . Використовуючи умови (8) та співвідношення
1 / 2 \ Т 2
УїУ = 2(у )ї + 2 Уї,
можна отримати апріорну оцінку
ІУІ £ м5(І/Ік(Єг) + ІІи0 ІЦ(о)) . (11)
Встановимо оцінку швидкості збіжності розв'язку задачі (10) до розв'язку варіаційної нерівності (1). Для цього спочатку знайдемо оцінку швидкості збіжності розв'язку різницевої схеми (10) до розв'язку задачі (7).
Лема 1. Розв'язок різницевої задачі (10) (т = И2) збігається при И ® 0 до розв'язку задачі комбінації методів штрафу та фіктивних областей (7), причому має місце оцінка:
1 5
1 У - из ^0(0°)£ м 6(И$ 4 + И2$ 4)(||/к(Єт) + К^ЧО)) , (12)
де из (х, ї)
Р0 из, (х, ї) є 0)Т ,
0, (х, ї) є у0т, Т1Т2и0, х є О0,ї = 0.
Доведення. Похибка
2 = У - и3
є розв'язком наступної задачі:
2
2 - £ *хіхі + Чз2 + Р0Т1ТЕз(У) - Р0Т1Т2Ез(из) =
і=1
2
(13)
= -£ І}+у - і- т, (x, ї) є °0т ,
і=1
2(х,0) = 0, 2(х, ї) = 0, (х, ї) є у)т ,
де т= и3 Т1Т2иЗ , І = Р0Т1Т2^3(иЗ) - 8з(изУ) ,
дх,
І" = ) і = 1.2, У = Р*ШЧз)(«з-Уз)-
<
Раие (•) = | ие (х1 + (2 - а)їИ1, х2 + (а - 1)їИ2 )ії, а = 1,2.
-1
Помножимо (13) скалярно на 2, скористаємось умовами (8) та формулами сумування за частинами. Після нескладних перетворень отримаємо
-II2 £ М,(£ У
(о
2
2
11^2 (У°т )
+ У 0) °
II' ІІІ2(®0т)
+ У
2
°ІІ і2(®°т )
1,, +-ІІт
|2
|^2(У°т)
(14)
і=1 - - т
Функціонали у правій частині останньої нерівності оцінимо за допомогою леми Брембла - Гілберта:
Л
(і)
Ь2 (ш т)
£ МИ
Ш22,1(І °т )
і = 1,2,
Л
(0)
і (ш0) £ М95 2 • (7 + И )
•^2 (шт )
Ш22,1(І°т )'
У
°ІІі2(ш?) £ М1°5 (7 + Л )|| и5 ||ш22,1(і?) ,
т||І2(о»т)£ мц(т+И2)||из И = тах(И1, И2).
Підставляючи ці оцінки в (14) та поклавши (т = И2), отримаємо
И2
- ||*£М12(И +---) || и
з"' "з ІІЖ22,1(ЄІ°)'
Звідси, з урахуванням оцінки (9), випливає (12). Лему 1 доведено.
Лема 2. "V є Ж22(0) мають місце нерівності
1 V 1,о£ м13(| V Ц(О) +И 1 V 12(О)) ,
11 V ||0,а£ М14(И2 1 V 122(О) +И 1 v 1*0) + 11 v ||І2(О)) .
Доведення леми 2 базується на застосуванні леми Брембла - Гілберта і міститься в роботі [6] .
(15)
(16)
Теорема 4. Розв'язок різницевої схеми (10) (т = И2, з = И3 ) збігається при И ® 0 до розв'язку варіаційної нерівності (1) (аі}- = 1, і = Ї , а^ = 0 , і Ф Ї , Ьі = 0, і,Ї = 1,2;), при цьому має місце оцінка
11У - иіГ(Л )£ М15И Чі Д.І) +|К|Ш(Щ) .
Доведення. Очевидна нерівність
У - и || 10 £|| и - и5 || 10 і ||
■У ІІШ21,0(шт ) 11 5 II ш21,0 (шт) И 5
+ ІІ и5- У || 10 £|| и - и5 || 10
2 (Шт) 5 У (шт) 5 "ш2’ (шт)
(17)
+ І У - и5 и°(шт). (18)
Позначимо н = и - из . Очевидно, що н є Ж22’1 ((^Т ). Для функції V = н , використовуючи лему 2 ( оцінки (15), (16)), отримаємо
11 V \\о£ М 16(И 2 1 V |^.2(О ) +И 1 v Ь(0. ) + 11 v к (О)Х
к 1 1,н £ М17 ( 1 Ч н2(0ї) +И^\ ШІО )) ,
де 0ї - верхня основа циліндра Qі, "ї є (0, Т) .
и
и
5
5
2
4
З останніх двох співвідношень виводимо
_1 _1 _1
II V \\«<М 18(И2Т 2 і V\ш,0(ві) +Ит 2 І V Ц.о(а) +т 2 II V ||І2(Є()), (19)
_ 1 _ 1
\ V и< М 19(Т 2 \ V \ж210(Є() +кТ 2 \ V 122,0(Є()) ■ (20)
Помножимо почергово (19) та (20) на т і просумуємо по вузлах сітки « ■ Отримаємо
\\ V \\І2(шт)<М20(к \ V\ш20(дг) +к \ V |ж21-0(ет) + \\ V \\ьі(&)) ’
1 V ^(«т) < М21(^Ц^) +к \ V \І2(Єт)) ■
Отже, справедлива оцінка
\\" _ ) < М 22 11 " _ и* \1210(Єт) +°(И) ■
Звідси, (19) та (20) випливає
\\У _ " ^(«т) < М 23(||и _ и8 ) + 1 У _" ^|К210(«т) +°(к)) ■
З останньої оцінки, (18), (12) та оцінки (6), можна отримати оцінку
_1 _5
II У _" ІІ^т)<+ к8 +4'/^)-(ІІ } їй +ІІ "0 ІЦт) ■
4
Поклавши 8 = к3, отримаємо (17) Теорему доведено.
4. Висновки
Різницева схема (9) являє собою високоефективний алгоритм чисельного розв'язування широкого кола прикладних задач, математичні моделі яких можуть бути записані у вигляді варіаційних нерівностей, коли область визначення має складну геометрію. До таких моделей зводяться, зокрема, задачі керування з оптимальним часом зупинки для дифузійних процесів, задачі нестаціонарної фільтрації, задачі з вільною границею та задачі з перешкодами.
Стаціонарний випадок розглядався, зокрема, авторам роботи [7], де для еліптичної
варіаційної нерівності в області довільної форми з границею класу С2 побудовано різницеву схему, яка апроксимує нерівність і має порядок точності -\[к .
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Бенсусан А., Лионс Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства: Пер. с франц. - М.: Наука, 1987. - 600 с.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1977. - 456 с.
3. Саженюк В.С., Гаркуша В.І., Риженко А.І. Застосування методу штрафу та фіктивних областей для параболічних варіаційних нерівностей другого порядку // Вісник Київського університету. - 2006. - № 4. - С. 211-216.
4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967. - 736 с.
5. Войцеховский С.А., Гаврилюк И.П., Макаров В.Л. О сходимости метода прямых для обобщения решений параболических уравнений в произвольной области // Вычислительная и прикладная математика. - Киев: 1983. - Вып. 50. - С. 3-10.
6. Войцеховский С.А., Гаврилюк И.П. О сходимости разностных решений к обобщенным решениям первой краевой задачи для квазилинейного уравнения четвертого порядка в областях произвольной формы // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т. 21, № 9. - С. 1582-1590.
7. Войцеховский С.А., Сергиенко И.В., Ляшко С.И. Приближенное решение одного класса вариационных эллиптических неравенств второго порядка в областях произвольной формы // Кибернетика и системный анализ. - 2004. - Т. 40, № 4. - С. 157-161.
