Збіжність методу g-проекщї Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.67

ЗБІЖНІСТЬ МЕТОДУ G-ПРОЕКЩЇ

a(aj,a2,...,an) , при якому досягає екстремуму обраний критерій якості

f(Z) ^ extr,Z є G, (1)

ЯРЕМЧУК C.I., РУДЮКЛ.В.

Розглядається задача оптимізації розміщення прямокутних геометричних об’єктів у прямокутнику. Обгрунтовується можливість заміни розв’язання наведеної задачі оптимізації розв’язанням ряду підзадач. Наводиться ідея та алгоритм розробленого методу G-проекції для розв’язання обраної підзадачі. Доводиться теорема про збіжність методу G-проекції.

Вступ

Задачі, пов’язані з розміщенням геометричних об’єктів прямокутної форми у заданих прямокутних областях, виникають в різних галузях народного господарства. Наприклад, в мікроелектроніці, при проектуванні розміщення елементів на мікросхемі чи, наприклад, в енергетиці при проектуванні машинних зал електростанції. До класу таких задач можна віднести і задачі оптимального розкрою матеріалів. Задачі оптимального розміщення геометричних об’єктів довільної форми також можна звести до задач оптимального розміщення прямокутників.

Розроблені на цей час підходи до розв’язання оптимізаційних задач розміщення грунтуються на модифікаціях методу гілок та меж, евристичних методах, лінійному та нелінійному програмуванні, які в більшості потребують лінійності функції цілі.

Метою даного дослідження є розширення і розвиток математичного апарату оптимізації розміщення прямокутників у прямокутній області.

Задачі дослідження полягають у: формалізації умов неперетинання прямокутників та їхньої належності прямокутній області розміщення; розробці методу побудови підзадач поставленої задачі оптимізації розміщення прямокутників; застосуванні й апробації методу проекції градієнта Розена для розв’язання окремої підзадачі поставленої задачі оптимізації; розробці методу G-проекці'ї для розв’язання окремої підзадачі поставленої задачі оптимізації; доведенні теореми про збіжність побудованого методу G-проекці'ї.

Постановка задачі

Розглянемо задачу розміщення m геометричних об’єктів прямокутної форми Dj,j = 1,...,m, в прямокутній області q . Основними характеристиками прямокутного об’єкта є його розміри lj (l1, l2,..., іП) та положення у просторі, що визначається координатами його полюсу

Zj(§1,£,2,...,£,П)0 = 1,...,m . Полюсом прямокутника будемо називати точку перетину його діагоналей [1]. Очевидно, розміщенняm прямокутних об’єктів

буде визначатись вектором Z = (Z1, Z2,..., Zn) .

Необхідно знайти таке розміщення прямокутників в області q , розміри якої визначаються вектором

де f(Z) — неперервна та неперервно диференційована на G функція з градієнтом, який задовольняє на множині G умові Липшиця.

Множина припустимих розв’язків цієї задачі G визначається умовами неперетинання прямокутників Dj,j = 1, ...,m, та умовами їх належності області q .

Якщо систему координат ввести так, щоб її початок збігався з вершиною n-вимірного прямоктника Q , а вісі—з відповідними його ребрами, то множина G буде описуватись таким чином:

1) для кожної пари Ds,Dp прямокутників існує хоча б одне і є{1,...,п} , для якого виконується нерівність

5 ?- 5 p

11l?

2

? = 1,

m-1; p = ? +1.

m; (2)

2) для кожного прямокутника Dj має місце умова

lj j lj

—<5,і<ai , і = 1,..., n; j = 1,..., m .

2 j і 2

(3)

Обмеження (2), (3) описують множину припустимих розв’язків G поставленої задачі, яка є багатовимірною та має складну структуру. Вона багатоз-в‘язна, а також може бути незв'язною.

Для застосування методів умовної оптимізації потрібно, щоб множина припустимих розв’язків задачі була опуклою. Тому множину припустимих розв’язків поставленої задачі представимо у вигляді об’єднання опуклих підмножин таким чином [2,

3].

Нерівність (2) перепишемо у вигляді

( ? ,p W ,? ,р Л

V

l? + lp

5 ? - 5 p >

2

p ? l? + l,p

5 p - 5 ?>^^

2

J

? = 1,...,m-1; p = ? + 1,...,m.

(4)

Оберемо для кожної пари прямокутників одну з n координат, за якою буде задана умова неперетинання, та для обраної координати визначимо одну з двох умов (4). До побудованих таким чином умов додамо нерівності (3), що визначають умови належності прямокутників області Q . В результаті маємо об’єднання систем, яке описує множину G :

l? + lp

5 ? - 5 2-2 j lj

v

5j*a, --2, j j 2

5 f - 5 ?*

j lj - 5 j< j 2’.

■ li

5j<ai - 2 j j 2

l? + lp

? = 1,...,m-1, p = ? + 1,...,m,

j = 1,...,m. (5)

РИ, 2005, № 2

69

Кожна з систем (5) є системою лінійних нерівностей і тому визначає опуклу підмножину припустимих розв’язків поставленої задачі.

Кількість опуклих підмножин, що описуються системами (5), дорівнює r = (2n)Cm , де n—вимірність простору, m — кількість прямокутників.

Об’єднання цих підмножин є множина G :

r C2

G = UGk, де r = (2n)Cm . k=1

Отже, розв'язання задачі оптимізації розміщення прямокутників у прямокутній області можна замінити розв'язанням r підзадач оптимізації тієї ж функції цілі на кожній з підмножин Gk (k = 1,2,...,r), які являють собою опуклі багатогранники:

f(z) ^ extr, Z є Gk, k = 1,...,r. (6)

До розв’язання кожної з задач (6) можна застосувати метод проекції градієнта Розена [4, 5].

Алгоритм методу Розена

1. Для поточного наближення до розв’язку задачі

xk визначимо матрицю А1 — матрицю обмежень, активних у даному наближенні.

2. Наступне наближення до розв’язку задачі xk+1 знаходиться за правилом:

xk+1 = xk +pkdk,dk = P(-Vf(xk)),

де Р — матриця проектування на множину припустимих розв’язків, яка визначається таким чином:

P = E - Ajr(AiAjr)-1Ai.

Для задач оптимізації, що належать до класу, який розглядається, розроблено модифікацію методу Розена (метод G-проекції). Для знаходження вектора спуску в поточному наближенні в методі G-проекції використовується специфіка наведеної задачі оптимізації.

Основна ідея методу G-проекції

Розглянемо матрицю активних обмежень.

Рядки цієї матриці, які відповідають обмеженням (3), описують умови належності прямокутників області розміщення і містять 2m -1 нульових елементи та один одиничний елемент з відповідним знаком. Номер стовпчика, що містить одиничний елемент, визначає координату вектора розміщення прямокутників, на яку накладена умова належності прямокутника області розміщення.

Рядки матриці активних обмежень, які відповідають обмеженням (2), описують умови неперети-нання прямокутників і містять 2m - 2 нульових елементів та два одиничних елементи з протилежними знаками. Номери стовпчиків, що містять одиничні елементи, визначають координати вектора розміщення прямокутників, на які накладені умови неперетинання прямокутників.

Розглянемо одночасно координати антиградієнта функції цілі в поточному наближенні та відповідні стовпчики матриці активних обмежень.

Якщо k-й стовпчик матриці активних обмежень крім нульових елементів містить хоча б один елемент, знак якого збігається зі знаком k-ї координати антиградієнта функції цілі, то обрана координата вважається «стримуваною» — вона обмежується, стримується іншою координатою.

Якщо k-й стовпчик матриці активних обмежень крім нульових елементів містить хоча б один елемент, знак якого протилежний знакові k-ї координати антиградієнта функції цілі та умова 1 не виконується, то обрана координата вважається «стримуючою» — вона обмежує, стримує іншу координату.

Якщо k-й стовпчик матриці активних обмежень нульовий, то обрана координата вважається «вільною», її зміна не виведе за множину припустимих розв’язків.

Очевидно, що для того щоб наступне наближення до розв’язку задачі оптимізації належало множині припустимих розв’язків цієї задачі, потрібно заборонити зміну «стримуваних» координат, тобто у векторі спуску «стримувані» координати прирівнюються нулю. Інші збігаються з відповідними координатами антиградієнта.

Алгоритм методу G-проекції

1. Для поточного наближення до розв’язку задачі

xk визначається матриця А1 — матриця обмежень, активних у даному наближенні (рис. 1).

Рис 1. Проектування антиградієнта

2. Наступне наближення до розв’язку задачі xk+1 знаходиться за правилом:

xk+1 = xk +pkdk, (7)

dk = (~k - xk), ~k = PXk (xk - Vf(xk)), (8)

де Xk — опукла множина, яка описується системою активних у поточному наближенні обмежень, що містять «стримувані» координати з ненульовими коефіцієнтами; Xk — множина, яка утворюється перетином активних обмежень, що описують Xk та виконуються зі знаком “=”; Pk знаходиться з умови

f(xk +pk(xk -xk)) = min f(xk +P(~k - xk)); 0<P<B

та задовольняє нерівностям

0 < Є0 < Pk ^ 2 /(L + 2є),

70

(9)

РИ, 2005, № 2

де є0, є — додатні числа.

Практично dk визначається таким чином:

Якщо А1 для поточного наближення порожня, то покладемо dk = -Vf (Zk).

Інакше (якщо Аі не порожня), вектор спуску dk будується за таким правилом.

Покладається dk = - Vf (Zk).

Для кожної координати антиградієнта функції цілі (і = 1,..., n • m) перевіряється відповідний стовпчик матриці Аі.

Якщо s-й (s є {1,...,n • m}) стовпчик матриці Аі містить хоча б один одиничний елемент, знак якого збігається зі знаком антиградієнта функції цілі, то s-та координата вектора Z вважається «стримуваною» (тобто її зміну необхідно заборонити). У векторі спуску

Sf(xk) . 0

елемент----11 покладається рівним 0.

^s

Збіжність методу G-проекції

Розглянемо проекцію точки у на множину Xk, яка являє собою опуклий я-вимірний багатогранник (рис.2).

Лема 1. Нехай точка xy є проекцією точки у на опуклу замкнену множину Xk, Xy є Xk . Тоді для будь-якої точки xг є Xk виконується така умова:

(y - xy,x - xг) < 0, Vx є Xk . (10)

Доведення. Для того щоб точка xy була проекцією точки у на опуклу замкнену множину Xk, необхідно та достатньо, щоб виконувалось

(y - xy,x - xy) < 0, Vx є Xk . (11)

Кут між векторами y - xy та x - xr не може бути гострим тому, що вектор y - xy є перпендикулярним до Xk , що містить точку xг .

Рис 2. Проектування точки на множину (10)

Отже, і скалярний добуток цих векторів буде меншим або рівним 0, тобто умова (10) виконується.

Лема 2. Для будь-якої точки x є X, де X — опукла замкнена підмножина припустимих розв ’язків задачі (6), при використанні методу (8) буде виконуватися умова

(xk - (xk -Vf(xk)), x - xk+1) > 0, Vx є X, k = 0,1,...

(12)

Перепишемо умову (11) з урахуванням (8):

xy = ~k,y = xk -Vf(xk),

(xk - (xk -Vf(xk)),x - xk) > 0,

Vx є Xk, k = 0,1,... (13)

Якщо виконується (13), то за лемою 1 вірною буде й умова

(xk - (xk - Vf(xk)), x - xk+1) > 0, Vx є Xk, k = 0,1,...

По побудові множини Xk виконується умова X с Xk .

Тому будь-яка умова, яка виконується Vx є Xk, буде виконуватися і Vx є X , тобто

(xk - (xk - Vf(xk)), x - xk+1) > 0, Vx є X, k = 0,1,...

(15)

Теорема. Нехай X — опукла, замкнена й обмежена

множина з Rn , функція f (x) — неперервно диференційована та обмежена знизу на X, градієнт Vf(x) цієї функції задовольняє умові Липшиця на Xз константою L > 0. Тоді для послідовності {xk}, отриманої методом (8), при будь-якому початковому наближенні x0 є X гранична точка x послідовності {xk} буде стаціонарною, тобто (Vf(x*),x-x*) > 0 .

Доведення. Оскільки X — опукла множина, функція f(x) — неперервно диференційована на X, а градієнт Vf (x) цієї функції задовольняє умові Липшиця на X з константою L > 0, то на підставі відомої леми [6] виконується умова

Hx1) - f(x2) - (Vf(x2), x1 Vx\x2 є X.

< L

x1 - x2

2

)

x

2

/2,

(16)

З нерівності (16) при x1 = xk+1, x2 = xk маємо

f (xk+1) -f(xk) - (Vf (xk),xk+1

xk)

<

< L

xk+1 - xk

2

/2.

Звідси

f(xk+1) -f(xk) - (Vf(xk),xk+1 - xk) < 2

< L

xk - xk+1

/2,

f(xk) - f(xk+1) > >-(Vf(xk),xk+1 - xk) - L/2 f(xk) -f(xk+1) >

xk - xk+1

> (Vf(xk),xk - xk+1) - L/2 k = 0,1,..

xk - xk+1

2

2

(17)

РИ, 2005, № 2

71

Перетворимо нерівність (12) таким чином: (xk - xk +Vf(xk),x - xk+1) > 0 . Використовуючи (7) та (8), отримаємо

Звідси випливає, що {xk} збігається до точки

>Н h- И« Ь- і і Н*

x : {xk} ^ x , на основі (20) {xk+1} ^ x . Перейдемо в (18) до границі при k ^ да :

xk+1 _ xk , , .

(---------+ Vf(xk),x - xk+1) > 0,

Pk

Перетворимо цю нерівність:

xk+1 - xk

Pk

x - xk+1) + (Vf (x k), x - xk+1) > 0:

(Vf (xk), x - x k+1) > -(-

Pk

,x - xk+1 ),

(Vf(xk ),x- xk+1) >

> (xk - xk+1,x - xk+1)/Pk, Vx є X, k = 0,1,...

Оскільки xk є X , то з нерівності (18) випливає

2

/ Pk .

(18)

(Vf(xk),xk - xk+1) >

xk - xk+1

Перепишемо дану нерівність, врахувавши (9):

2

/(2/(L + 2є)).

(Vf(xk),xk - xk+1) >

xk - xk+1

Таким чином, маємо

(Vf(xk ),xk - xk+1) > (L/2 + є) Підставимо цю оцінку в (17):

xk - xk+1

f(xk)-f(xk+1) >

xk - xk+1

> (L/2 + є) f(xk)-f(xk_rl) >є

2

- L/2

xk - xk+1

xk - xk+1

k = 0,1,.... (19)

2

2

2

Оскільки f(x) обмежена знизу на X і послідовність {f(xk)} спадає, то існує скінченна границя

lim f(xk) > f

і, таким чином,

lim (f(xk) - f(xk+1)) = 0 . k

Звідси на підставі (19)

lim | xk - xk+1|= 0 . (20)

Оскільки X — непуста замкнена множина із Rn , функція f(x) — скінченна, обмежена знизу на X та для деякої фіксованої точки xs є X множина Лебега

M(xs) = {x: x є X, f(x) < f (xs)}

обмежена. Тоді, на підставі відомої теореми [6], f >-да, множина стаціонарних точок X непуста та будь-яка мінімізуюча послідовність {xk}, що належить M(xs), збігається до X .

lim (Vf (x k ), x - xk+1) >

k —

> lim ((xk -xk+1,x-xk+1)/pk), k

використавши (9), отримаємо

lim (Vf(xk ),x - xk+1) > k

2

> lim ((xk -xk+1,x-xk+1)/--),

k —L ^ 2s

тобто (Vf(x*),x-x*) > 0 , Vx є X .

Висновки

За результатами досліджень можна зробити такі висновки.

1. Розроблено метод побудови підзадач поставленої задачі оптимізації розміщення прямокутників з опуклими множинами припустимих розв’язків.

2. Застосовано метод проекції градієнта Розена для розв’язання окремої підзадачі поставленої задачі оптимізації.

3. Розроблено метод G-проекції, який є модифікацією методу проекції градієнта Розена, для розв’язання окремої підзадачі поставленої задачі оптимізації.

4. Доведено збіжність методу G-проекції.

Практичне значення проведених досліджень поля-гаяє в розробці нового методу умовної оптимізації розв’язання задач спеціального вигляду та доведенні теореми про збіжність побудованого методу.

Перспективи дослідження. Для того щоб формально розв'язати задачу оптимального розміщення геометричних об’єктів прямокутної форми в прямокутній області на всій множині припустимих розв'язків, потрібно розв'язати кожну з підзадач (6). Подальші перспективи досліджень полягають у розробці методів розв’язання вихідної задачі оптимізації, які можуть базуватися на повному або спрямованому переборі опуклих підмножин множини припустимих розв’язків.

Наукова новизна одержаних результатів полягає ось у чому.

1. Набула подальшого розвитку ідея представлення множини припустимих розв’язків задачі, що має складну структуру, у вигляді об’єднання опуклих підмножин та ідея заміни розв’язання поставленої задачі оптимізації розв’язанням ряду побудованих підзадач.

2. Вперше розроблено спеціальний чисельний метод G-проекції розв’язання обраної підзадачі опти-мізації та побудована теоретична та статистична оцінка часової складності методу G-проекції.

72

РИ, 2005, № 2

3. Вперше доведено теорему про збіжність побудованого методу G-проекції.

Література: 1. Стоян Ю.Г., Путятин В.П. Размещение источников физических полей. Киев: Наук. думка, 1981. 186с. 2. Жовновський Д.О., Рудюк Л.В., Саваневіч

К.Є., Яремчук С.І. Оптимізація розміщення джерел фізичного поля модифікованим методом Розена // Вісн. Житомир. інж.-технол. ін-ту. Технічні науки. 2000. № 13. С. 188-191. 3. Svetlana I. Yaremchuk, Lidia V. Ruduyk. Practical solution of the problem of rectangular physical field sources arrangement in rectangle // Proceedings of the Fifth international scientific conference “electronic, Computers and Informatics” 2002, October 10-11, 2002 Kosice—Herl’any, Slovakia. P.93-97. 4. Rosen

J.B. The gradient projection method for nonlinear programming // Part I, Linear Constraints, SIAM J. Applied Mathematics 8. 1960. P. 181-217. 5. Rosen J.B. The

УДК 681.3

ВИЗНАЧЕННЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕМАТИКИ САЙТУ НА ОСНОВІ ПОШУКОВИХ ЗАПИТІВ

ТОЛОЩУКР.О, ПЕЛЕЩИШИНА.М.__________________

Розглядаються проблеми визначення та оптимізації тематики Веб-сайту з огляду на його популярність та інші критерії ефективності. Пропонується підхід до вирішення проблеми, що базується на запитах до пошукових машин.

1. Постановка проблеми та її актуальність

Актуальність дослідження. Проблема визначення тематики інформаційних ресурсів World Wide Web є задачею, актуальність якої обумовлена рядом факторів, серед яких найважливішими є:

— величезні обсяги інформації у WWW та високі темпи її приросту;

— високий користувацький попит на сервіси пошуку, класифікації та аналізу інформаційних ресурсів WWW;

— потреба власників сайтів у точному відображенні тематики сайту в сервіси пошуку, класифікації та аналізу інформаційних ресурсів WWW.

Існуючий стан досліджень. Задача визначення тематики інформаційних ресурсів (у першу чергу сайтів та їхніх сторінок) неодноразово розглядалася як з теоретичної точки зору, так і зі спробами реального впровадження. Проте дослідження у даній сфері носять односторонній характер — це автоматизоване (частково чи повністю) визначення тематики сайту для використання у подальшому в алгоритмах пошуку інформації в WWW та її аналізу. Таким чином, основні дослідження у даній сфері проводяться дослідницькими групами, що працюють над створенням чи вдосконаленням глобальних інформаційних сервісів — пошукових систем, каталогів, систем Інтернет-реклами, порталів [1,6].

Метою дослідження є побудова формальних методів моделювання тематики сайту на основі запитів до пошукових систем та побудова загальних

РИ, 2005, № 2

gradient projection method for nonlinear programming. / / Part II, Linear Constraints, SIAM J. Applied Mathematics. 1961. 9. P. 514-553. 6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач // М.: Наука, 1980. 518с.

Надійшла до редколегії 17.12.2004

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Панішев А.В.

Яремчук Світлана Іванівна, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри ПЗОТ Житомирського державного технологічного університету. Наукові інтереси: екстремальні задачі, математичне моделювання. Адреса: Україна, Житомир, вул. Черняхівського, 103, тел. (0412)418-542.

Рудюк Лідія Василівна, аспірантка кафедри ПЗОТ Житомирського державного технологічного університету. Наукові інтереси: методи оптимізації, комп’ютерне моделювання. Адреса: Україна, Житомир, вул. Черняхівського, 103, тел. (0412)418-542.

підходів до оптимізації визначеної таким чином тематики сайту згідно з інтересами власників сайту.

Задачі дослідження:

— побудувати формальні методи моделювання тематики сайту на основі пошукових запитів;

— побудувати підходи до оптимізації тематики сайтів;

— апробувати отримані наукові результати на конкретному прикладі.

2. Аналіз досліджень

WWW на відміну від традиційних текстових колекцій є активним середовищем, яке складається з мільйонів сайтів, кожен з яких має окремого власника і, відповідно, власні цілі, які не завжди збігаються з цілями вказаних глобальних проектів. Це суттєво обмежує можливості автоматизованого визначення тематики сайтів. Як наслідок, результати, що отримуються автоматизованими сервісами, не є повноцінним описом тематики сайту. Не випадково гаслом найбільшого каталогу сайтів ODP (Open Directory Project ) є “Humans do it better” (“люди роблять це краще”) [2].

Значна кількість досліджень, причетних до задачі визначення тематики сайту, проводиться фахівцями з Інтернет-реклами, просування сайту в Інтер-нет, оптимізації сайтів під пошукові машини. Проте дані дослідження носять лише практичний характер і часто навіть розглядаються (в першу чергу власниками глобальних сервісів) як ворожі чи шкідливі для глобального середовища.

Очевидно, що розв’язання складних задач по опрацюванню інформаційних ресурсів WWW є можливим лише за умови врахування інтересів як звичайних користувачів та глобальних сервісів (які беруть на себе місію по представленню інтересів користувачів), так і власників сайтів, які власне і формують WWW. Як наслідок, у спільноти WWW виникає певне розуміння щодо спільних цілей, які ставляться перед надавачами та користувачами різних послуг. З’являється чітке розмежування двох альтернативних підходів до популяризації сайтів їхніми власниками серед користувачів WWW:

73