CC BY
33
УДК 517.972/974
B.C. САЖЕНЮК, В.М. БРУСНІКІН
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СІТОК ДО ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ІМПУЛЬСНОГО КЕРУВАННЯ
Abstract: Examined is one class of impulsive management tasks, which is made by the tasks of determination of stop time for the dynamic systems with limitation. The method of numeral solution for this class of tasks, which is based on application of methods of penalty and finite difference approximation, is offered. The ground of method is given as theorems about convergence. The concerted estimations of velocity of convergence are got.
Key words: variation inequality, method of penalty, difference scheme.
Анотація: Розглядається один клас задач імпульсного керування, який складають задачі визначення часу зупинки динамічних систем з обмеженням. Пропонується метод чисельного розв'язування цього класу задач, який базується на застосуванні методів штрафу та скінченно-різницевої апроксимації. Подається обґрунтування методу у вигляді теорем про збіжність. Отримані узгоджені оцінки швидкості збіжності. Ключеві слова: варіаційна нерівність, метод штрафу, різницева схема.
Аннотация: Рассматривается один класс задач импульсного управления, который составляют задачи определения времени остановки динамических систем с ограничением. Предлагается метод численного решения этого класса задач, который основан на использовании методов штрафа и конечно-разностной аппроксимации. Дано обоснование метода в виде теорем о сходимости. Получены согласованные оценки скорости сходимости.
Ключевые слова: вариационное неравенство, метод штрафа, разностная схема.
Важливий клас задач імпульсного керування складають задачі визначення часу зупинки. Під час розв'язування таких задач основним є не визначення еволюції стану, а знаходження моменту зупинки цієї еволюції, який називається часом зупинки. Цей момент є змінна, що підлягає визначенню у процесі розв'язування задачі оптимального керування.
У статті розглядаються задачі з оптимальним часом зупинки, математичні моделі яких наведені та досліджені у роботі [1].
Ідея побудови алгоритму чисельного розв'язування задачі з оптимальним часом зупинки полягає у наступному. Спочатку запишемо цю задачу у вигляді деякої варіаційної нерівності. До задачі з обмеженням, якою є варіаційна нерівність, застосуємо метод штрафу. Отриману таким чином нелінійну крайову задачу в подальшому апроксимуємо за методом сіток різницевою схемою.
З метою обґрунтування такого підходу у статті формулюються і доводяться відповідні теореми про збіжність та отримуються оцінки швидкості збіжності. При цьому суттєвим для коректної побудови алгоритму є встановлення співвідношень між параметрами методів штрафу та сіток.
2. Постановка задачі
Нехай QT = {(х,ї) : х еП, ї є (0,Т)} - паралелепіпед, а 8Т = {(х, ї) : х є Г, ї є (0,Т)} -
бокова поверхня QT , де П - прямокутник з границею Г.
Введемо у розгляд оператор:
1. Вступ
Тоді, для вартості и(х,ї) стану х = (х1,х2) динамічної системи в момент часу ї з нульовою вартістю зупинки, маємо задачу [1]
—и
+ А(ї)и - /(х, ї) > 0 , и (х, ї) > 0 ,
дї
ди
(-------+ А(ї)и - /(х, ї)) и(х, ї) = 0 , (х, ї) є QT (1)
дї
и (х, ї) = 0 , (х, ї) є 8Т , и (х,0) = и о (х) , х єП,
де /(^ ї) є ^2(&Т ), X аХХ >а|Х|2, к 2 ,
^ і
д(Хі, х2,ї) > ^ > 0, £(*!, х2, ї) є (<2Т ),
аі] (Х1 , Х2 , Ґ) = а,г (Х1, Х2 , Ґ), аг, (Х1, Х2,Ґ) Є Ж Шт X
Задача (1) еквівалентна варіаційній нерівності з обмеженням в середині області: знайти функцію и є К , и (0,х) = и0(х) , и0(х) > 0, х є О таку, що
- І —^ (V - и")йхйї +1 а(и, V - и)йї > І (/, V - и)йї -1 || у(0,х)-и0(х) |2 ёх , "V є К ,
QT — 0 0 2 П
де и0 є Ж22(П), К = {V | V є W21,0(QT), V > 0 майже всюди в QT },
а^1, v2) - білінійна, симетрична, коерцитивна форма, зв'язана з оператором А(ї) :
а(у1, v2) = X | а у (х, ї) —1 —-^ йх1йх1 +1 д(х , ї)^2 ёх1ёх2,
і,і=іп —хі —хі П
(V1, V2 ) = | V1 V2 ^1 ^2 , VVl, V2 є ^21,0 (& ) .
П
3. Основні результати
Задача зі штрафом, асоційована з задачею (1), має вигляд:
знайти функцію ие є (QT) таку, що ие(0,х) = и0(х),
—и" + А(ї)иЄ-1 и£~ = /(х, ї) , (х, ї)є QT ,
(2)
—ї Є
иЄ (х, ї) = 0 , (х, ї) є ST , (3)
иЄ (х,0) = и (х), х є П.
Відомо [1], що при виконанні умов (2) и,ие є Ж22,1 (<2Т ) . Справедлива [1, 2] наступна теорема.
о
Теорема 1. Нехай виконуються умови (2). Розв'язок задачі (3) збігається при є® 0 до розв'язку задачі (1), при чому має місце оцінка
11и - иє|1 ^(Ог) £ М1лЄ' (1 Лш) + ||и 0 ||Ж21(П)) , (4)
(тут і надалі через Мі позначені додатні сталі, які не залежать від Є , т та к).
Позначимо 8Є (иЄ ) =----------иє . Задачу зі штрафом (3) перепишемо у такому вигляді:
Є
ди 2 д 2 и
-—¡-- X аі —х — х + 4(х, ї)иє + 8Є (иє ) = Л(х, їX (х, ї) є Qт , (5)
иЄ(х,ї) = 0 , х є ST , иЄ(х,0) = и0, х є П .
Легко бачити, що для функції 8Є(0 виконуються умови
Г 1 - - 2
| [8Є (vl ) - 8Є ^2 )](vl - V2 ¥х^ > - II V“ - ^2 ||L2(QT) ,
Qт Є
| 8є К ) - 8є ^2 ) |£ - К - V2 ^ Vvl , V2 є Ж21,0 °т ).
Є
(6)
У прямокутнику О введемо рівномірну сітку Ю = Ю^у, де Ю - множина внутрішніх, а у -множина граничних вузлів відповідно. Позначимо
Ю= {Ї = Ї, = ,т, І = 1, #;г = -N1, Ют =юхюг , Ут = ухщ,
| у )=|тах|1 у(х,ї) ||2+| у |2w“,0(wт)|, н у н*=1у ) +тн у- )1 •
Апроксимуємо задачу (5) неявною різницевою схемою:
Уї - Х(СуУщ ) ^ + С0 У + Р0 ^ 8є (~ ) = X (х, ї) еwт ,
і,і=1 (7)
у(х,1;) = 0, ( х,1;)є ут, у(х,0) = т1т2и°, хє о,
1
де [3] т^( х, ї) = | (1 - |в|)у( х“ + (2 - а)вк1, х2 + (а - 1)вк2 )ів, а = 1,2,
-1
“ ї
Р°v(х,ї) = - Іv(х,X)dX, ї = т,...,#т.,
Т ї-т
0
Р V (х, ї) = | v(х“ + (2 - і)вк“, х2 + (і - 1)вк2 і = 1,2 ,
-1
С і = Р°Р1Р2 (ау ) , С0 = Р°т1т2 (30 ,
~(х, ї) - полілінійне по х та кусково-стале по ї поповнення сіткової функції у(х,ї) .
В силу монотонності функції gє(v)
£ ?(Р0Т1Т2gє (~), У) = £ 7 • Р0 |gє (~^ = |gє (~^ 0 .
щ щ п дт
1 / 2 \ 7 2
Крім того, очевидна тотожність у-(у = — (у )- + — у^ . Використовуючи це та метод енергетичних
нерівностей, можна отримати апріорну оцінку
І У І ^(щ.) £ М2(1 /1к(Єт) + ІІ“0ІІ^1(П)) , (8)
з якої випливає стійкість різницевої схеми (7) за початковими даними та правою частиною. Дослідимо збіжність та отримаємо оцінку швидкості збіжності. Справедлива наступна теорема. Теорема 2. Нехай виконуються умови (2). Тоді розв'язок різницевої задачі (7) збігається при к ® 0 до розв'язку задачі зі штрафом (5), при цьому має місце оцінка
к2 к2 т
к к т І— II II
І у - ие )£ Мз(к+^7е+^7т+^7е т)^ ■^ІІі2(ет) +ІІ и0 ІІж2і(п)), (9)
де и£( X, ї) =
Р0и£, (X,ї)є щ,
0 , (х, ї) є ут,
Т1Т2и0, хє щї = 0.
Доведення. Застосуємо до рівняння (5) оператор Р0ТгТ2. Порівнявши отриману тотожність з рівнянням (7), для похибки і = у - й отримаємо задачу
2
2 - £ (сч2хі )Х] + с02 + PoTlTgє(~) - Р0ті^Е(иЕ) = ^ (x,ї) є Щ,
^ У=1
2(х,0) = 0, 2(X, ї) = 0, (X, ї) є ут , (10)
де позначено
і, У=1 і, У=1 і, У=1
Ди Ди
%=р рт-і (а ^) - р рд- (Р0 (а) Дхє).
У=р^ра) ^ДХ^) - Р0 )РТз- ^р^)-
%»=р0 рр (а) ртз- - р0 рір2 (а і Щ),
Уі = р0Т1Т2(^ ()(и£() - и є (X, ї))), т= иє-T1T2Uє, %0 = р0Т1Т2^є(иє) - gє((Uє)) .
Помножимо скалярно (10) на і, скористаємось умовами (6), нерівністю Коші-Буньяковського, Є-нерівністю та співвідношенням (Р0Т1Т2gЄ (3?),у) = |gЄ (у) • уйхйї. Після нескладних
2 т
перетворень отримаємо оцінку
3 2
И * £ М4 { £ £ (|\ %і і]і2(®т ) + ІІ %2у ] \і2(ащ))+ ІІ У0 \\і2(ют)
і=1 І=1
1 її ~ її і и и і
+ г~ \\иє и^|І2(Єд) + ^ т11і2І>Т) } .
(11)
Оцінимо величини %>,¥o,m, \\иє-иє \\і2(єт).
Позначимо
el(x) = (^ - ^, X1) X ^ - ^ ^ + к2) , Є2 (X') = (X1 - ^ X + к1) Х ^2 - К X2) , еи (X, ї) = еі (X) X (ї-т, ї), і = 1,2; £1 = (-1,0) X (-1,1) , Е2 = (-1,1) X (-1,0) ;
иі - функція, яку можна отримати з и після заміни змінних, що переводить еі(X) в Еі.
Для Г}(Р маємо
' У
%"=ррТз_і(о„Iе)-рірДз-і(р,(а»)Iе)=едТз,[Т | (}Да»^Ди1]'
Звідси отримаємо оцінку
. т . , М5т .. .. ..
\% 11 аі^(е)• ||иє
2
Підсумовуючи останню нерівність по вузлах сітки а>т , знайдемо
£ (іі7і(;)і]І2(«т) + К)]к(«т))£мб<£ кНі(Єт))• КІіж2і,0(Єт)■ (12)
і=1 ¡, і
Функціонали ?іі2 оцінимо за допомогою „білінійної леми” [4]. Маємо
І = р0 рт-і ( р0 4) Де) - р0 ррг (а) ртз- ^=рТз-і (а ДЦ1) - рр (а) ртз- ДиЦ 1
І п(2) |£ М7 || ті || • || и ||
1 % \£ к » ІІ^'І( Еі) 11 є \\^2(Е() .
Крім того, білінійна форма %2) задовольняє умовам
•У ' У 5 / ’ у
Тоді за допомогою „білінійної леми”,
%2|(а,,1) = 0, "а, є»І(Е,); ЩЧи) = 0, "и є№-1(Е,).
і%2>!£ ^4 Іі.Е. )-Іиє и< Е.) ■
Звідки випливає, що
1,0
і так як
1 аУ ^(е) -|1 ау ||ЖІ(Єт) , 1 й Ц(е;) - I й к1,0(еа) , то
| г(2) |- М10 || а || || й ||
|ГІ |- ^ 11 а ІІш1(еІІ) • 11 йє ^^(е,) .
Підсумовуючи останню нерівність по вузлах сітки а>Т :
£ (||Г?)|]І2(«г) + )) - М11Ь(£ К )) •||йЄ1ж2',0(Єт )■ (13)
] =1 ¡, ] функціонал Г представимо у такому вигляді :
і = РР а )Р,Т- (- РР2 (а і )й&1
Тоді | г(3) І- Мі2 || а.. || • || й || 2 .
' ’ч ' ь у "ь_(е) 11 Є іі^22(еі)
Крім того, функціонал Гр(й) приймає нульові значення на поліномах нульової та першої степені. Скориставшись лемою Брембла - Гілберта [4], отримаємо
і Г(з) |- Мізк || а іі • і й і - Міі а іі • іі й іі
^¡ЬЛН1 1 1 "(е) 1 Є і^22(єі)“ ,^Й~ 1 ~(2т) 11 Є ш?,0(е“).
Звідси випливає оцінка
£ (ІІГі(/} |]І2(^т) + 11 Г2!^)] |І2(»Т)) - М14Ь(£ 11 аі ||ЖІ(ЄТ)) • IIй Є ||^21,0(ЄТ ) ■ (14)
І =1
Вираз /ц( х, і ) представимо у вигляді
т = й Є - Т1Т2йЄ = й Є - Р0Т1Т2йЄ + Т1Т2йЄ - Р0Т1Т2й Є = ^
~ і (2)і/ М154г иди
Очевидно, що І т І- —г5
є_
4^2 " Зі "І2(е|),
де е( = е (х)X(і -т,і) , е(х) = (х1 - Ь,х1 + ^)X(х2 -И2,х2 + Ь2) . Функціонал т(1) оцінюється за допомогою леми Брембла - Гілберта:
і т М16к2 ..
1 т |- Та 22,0(єі).
Таким чином,
2
І І/ ^ / Ь2 ^ ..
1 т |- 4Ьн2 ж22,1(е|).
Звідси
\\ т \\ьг(а>т)£ М18(к + Т)|\ иє ііЖ22,1(Єт ) . Вираз у0( X, ї) перепишемо у такому вигляді:
О = PoШq(ZX22’m- І (|да>(Х’Х’Р)Р? ].ШШ:)-Ю) =у^,> + У
Др
Ч/ Г0 1 Г0
Тоді
| у(1) |< М19 'Т II Ди
Звідси
11 Дї 2 (Єї ) "^ Иі- (е< V І^0 І- Т Ж22,°(є, ) "^ "і- (е< )■
■\[Т 1
|у0 \ £ М21(~^кф + ^ иє 11ж22Д(Є' ) 11 4 !іІ- (Є') .
Просумувавши по вузлах сітки, отримаємо
|у0 \ит )< М22(Т + к)||иє
(16)
Вираз || иє -иє ||І2(^) оцінимо таким чином:
иє иє \ \ І2(Єт ) £| 1 иє иє \ \ ^(Єт ) + \ \ иє иє \ \ І2^Т ) ,
и є и є \ \ ^2(@Т ) "
I
бт
1 І
(£,£,в) — І иє&ХгАЖ т ■’
І
бт
1 І
- І и(£,£,в) - иє(Х,ї2А)сів1 т
йХйХ^в ■■
їі в
1г » в Ди
¡2 І( І (І -Др(Х, Х, р¥р^в )2 <
Др
< — т2
1 т г Ди
1т£ (І(І(І(|l--UL(fi,X,р)\Ф^в)гй&хм
<
І=1 п 0-1 їі-1 їі-1
Др
т J
Значить,
Далі, маємо
<г£ (І І(Др хх,р))2^р) хх < мгзт
»=1 п »1
2 її \ \ 2
иє ^(Єт ) .
иє иє \\і2(Єт)< М24Т \\ иє ||ж22,1(ЄТ) .
\иє - иє ||2І2(Єт) =\\ vє- ~є "2
є є IIі,(Єт ) '
(17)
Лінійний фунціонал г9 = vє -~є (vє = иє) обмежен у W22(eв(x)) та приймає нульові значення на
поліномах першої степені. Значить,
2
и
є
»-1
2
І-1
Ят ї»-1 в
\ #!< М 25к2(к1к2) 2 \ ^ і?^)) < М 2бк' (к1к2Т) 2 \ иє 122,0(ев) .
Звідси
Таким чином,
т
иє - ~є \\2 ¿2(Єт) < М 27к4 ££\иє |2І22,0(еї) < М 28к .
є Хт) —±гГН *'*'2
XЄ « І = 1
||иє-иє ^(вт) < М 29(Т + к )||иє ||і22,1(Єт) . (18)
Підставляючи (12) - (18) в (11) отримаємо (9). Теорему доведено.
Теорема 3. Розв'язок різницевої схеми (7) (т = к2, є = к2) збігається при к ® 0 до задачі (1), при цьому має місце оцінка
IIу -и|| 10 <М30к(|| /|| +1| и0 || , ч). (19)
\У ІІІ21,0(®Т) 30 ||і2(Єт) И 0 "іЧП)' 4 '
Доведення. Очевидна нерівність
\\У - и ||і21,0(№т ) <||и - иє ||і21,0(№т ) + ||иє - У ||і21,0(№т ) £ М31^ - ^ ^ « ) + 1 У " иє ^(«д )). (20)
Використовуючи лему Брембла-Гільберта, можна отримати оцінку [5]
\\ и - иє ||і21,0(«т)< М32 !и - иє\\і21,0(Єт) + °(к)) .
Звідси, (20), (9), та з нерівності (4) випливає оцінка
_ к2 к2 Ті— і—
|| у - и || 10 < М33(к +—т= +—т= +—т= + у т + у є) • (|| і || +1| и011 1 ).
11 і,(«т) 334 4є 4т 2(вт) 11 0 "іЧпг
Поклавши т = к2,є = к2, отримаємо (19). Теорему доведено.
4. Висновки
Як показано, різницева схема (7) є стійкою при довільних к,т і є. Однак саме при т = к2,є = к2
неявна схема (7) є, в деякому розумінні, оптимальною по точності, коли вхідні дані належать відповідним класам функцій (2). У цьому випадку оцінка швидкості збіжності (19) узгоджена за вхідними даними. Така ситуація повністю відповідає результатам, щодо скінченно-різницевих та варіаційно-різницевих схем, які мають місце для першої початково-крайової задачі [6].
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Бенсусан А., Лионс Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства: Пер. с франц. - М.: Наука, 1987. - 600 с.
2. Саженюк В.С., Черній Д.І., Риженко А.І. Обгрунтування методу сіток для параболічних варіаційних нерівностей другого порядку з обмеженням усередині області // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. наук. - 2006. - № 3. - С. 176-180.
3. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. - М.: Высшая школа, 1987. - 296 с.
4. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 512 с.
5. Войцеховский С.А., Гаврилюк И.П. О сходимости разностных решений к обобщенным решениям первой краевой задачи для квазилинейного уравнения четвертого порядка в областях произвольной формы. - М.: Диффер. уравнения. - 1985. - Т. 21, №9. - С. 1582-1590.
6. Войцеховский С.А., Новиченко В.Н. Об оценке скорости сходимости разностных схем для параболических уравнений второго порядка в классах обобщенных решений. - Киев, 1985. - 18 с. Деп. в УкрНИИТИ 2.09.85 г., № 2006, Ук-ДЕП.
