N-решения уравнения минимальных поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Романова И.А., 2011

УДК 517.956 ББК 22.161.6

ЛГ-РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

И.А. Романова

Работа посвящена исследованию решений уравнения минимальных поверхностей, полученных методом, разработанным в [3].

Ключевые слова: квазилинейные уравнения, уравнение минимальных поверхностей, проблема Бернштейна, целые решения, минимальные поверхности.

Рассмотрим квазилинейное уравнение

ЬЪ£[и\ = ихх (2е + (7 + 1) и2х + (7 - 1 )и2у) + 4ихуихиу+

+ иуу (2е + (7 + 1) и1 + (7 — 1) Чт) = 0, (1)

где 171 > 1, е = 0, 1 или —1. Это уравнение обобщает многие известные уравнения геометрии и теории потенциала.

Для уравнения (1) в работе [3] была исследована проблема существования целых решений для случая 171 > 1. Для одного предельного случая 7 = 1, е = 1, соответствующего уравнению Саймона

-^1,1 М (1 М'т) ихх 2ихиу иХу (1 и у) Иуу О,

проблема Бернштейна была рассмотрена в [4]. Другой предельный случай 7 = — 1, £ = — 1 соответствует уравнению минимальных поверхностей

1._ 11 ^ (I I ^1/) М'хх 2ихиу иХу I (I I Ут) 1^уу 0. (2)

Хорошо известно (см. [2]), что целыми решениями уравнения минимальных поверхностей являются только линейные функции. Для уравнений (1) и уравнения Саймона свойство Бернштейна не выполняется, поскольку существуют счетные семейства нетривиальных решений, заданных в виде явной параметризации в терминах гипергео-метрических функций [3; 4].

Тем не менее метод построения этих решений может быть применен для исследования уравнения минимальных поверхностей. В данной работе приводятся результаты этого исследования.

1. Замечания о методе построения решений

Опишем кратко суть метода построения решений уравнения (1).

С помощью преобразования Лежандра [5, с. 43]

f = их(х, у), V = щ(х, у), v(€, Г}) = х£ + УЧ - и(х, у)

преобразуем квазилинейное уравнение (1) в линейное

ЩИ [2е + (7 + 1 )'Ч2 + (7 - I)?2] - Ч'ПЩч + %/ [2е + (7 + I)?2 + (7 - 1 W] = 0.

Будем искать решение последнего в виде функций с разделенными полярными переменными

£ = р cos т, ц = р sin т, v = f(p) cos(кт).

Непосредственными вычислениями можно установить, что

v(p, в) = рк F(a, 6; с; —"Р2) cos N9,

где в = t/(N — 1), к = N/(N — 1), а

F(a, Ъ■ с■ - ^ 9 ^р2) = 2Fi(a, 6; с; - ? ^ р2) -

гипергеометрическая функция с параметрами, заданными равенствами

а = 12(к + ф1~ YFT\ Vk;2(72 - 1) + l),

Ь = \ (А: + + фт\ ^к2(72 - 1) + l) ,

с = к + 1.

Напомним, что гипергеометрическая функция F(a,b; с; i) является решением урав-

нения

i(l - i) F" + [с - (а + Ъ + 1) i] F' - ab F = 0 и при с ф — 1, —2,... представима в виде ряда

F(a,b-c-t) = }^—--------------- (3)

к=о

где

(a)fc = а ■ (а + 1)(а + 2)... (а + к - 1) = + ^ , (а)0 = 1.

Г(а)

Таким образом, поскольку преобразование Лежандра является инволюцией, решение квазилинейного уравнения (1) будет определяться параметризацией

х = щ(£> У = (f,v), и = х£ + yrj - v(f,'/?)•

И будет справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть 171 > 1, N > 2 — произвольное натуральное число, к — N "

jv—1

/(р) = ркР(а, 6; с; —где ^(а, 6; с; Ь) — гипергеометрическая функция Гаусса с параметрами

а = I (к + 7т - РРЧ ^2(72 - 1) + 1).

Ь = |(<: + 7г + ^Ь|У*Ч7^1УТт). (4)

с = к + 1.

Тогда параметрическое представление

х = А(р) cos(2iV — 1)в + В(р) cos 9,

у = А(р) sin(2N — 1)в — В(р) sin в, (5)

un = М (р) cos N9

задает непрерывную функцию uN(x, y), являющуюся решением уравнения (1). Здесь

л(р) = Uf(p)-LfmY

В(р) = \ (Пр) + |/w), <6>

М(р) = pf(p)~f(p)-

Решения вида (5) будем называть N-решениями.

Отметим, что из метода построения не следует, что полученные решения являются

целыми или даже, что они определяют функциональную зависимость и,м(х,у). Дока-

зательство этих фактов требует более тонкого анализа и базируется на исследовании свойств гипергеометрических функций и их комбинаций специального вида. В частности, принципиальную роль играет доказательство того факта, что градиентное отображение

W = О*, У) = rj) (7)

является гомеоморфизмом плоскости на себя.

2. iV-решения уравнения минимальных поверхностей

Чтобы получить параметрическое представление iV-решений уравнения минимальных поверхностей, можно проделать все действия предыдущего параграфа применительно к (2). С другой стороны, можно воспользоваться полученной параметризацией (4)-(6). Используя и тот, и другой подход, мы получим одинаковый результат, что означает непрерывность решений по параметру 7 в предельных точках 7 = —1 и 7 = 1.

Отметим, что непрерывность в 7 = 1 установлена в [3].

Таким образом, можно сформулировать теорему.

Теорема 2. Пусть N > 2 — произвольное натуральное число, k = и

где F(a, 6; с; t) — гипергеометрическая функция Гаусса. Тогда параметрическое представление

X = А(р) cos(2iV — 1)6* + В(р) cos в,

у = А(р) sin(2iV — 1)6* — В(р) sin в,

un = М{р) cos N9,

задает непрерывную функцию ujv(^, y), являющуюся решением уравнения (1). Здесь

А(р) = \(f{p)-kpf{p)Y В(р) = l{f(p) + Kpf(p)), М(р) = pf'(p)-f(p).

Отметим одну особенность полученной параметризации. В случае, когда пара первых параметров гипергеометрической функции отличается на |, определено квадратичное преобразование Гаусса (см. [1, с. 77]), а именно:

1

— 2а

1 — у/1 — Z 1 + у/1 - Z

F(a, а + с; л) = 22а 1 + F ^2а, 2а — с + 1; с:

Таким образом, после надлежащих преобразований, имеем

н2 2.2Л + 1. *>) (п-угт?)*-1 1 + v/ГTpI

Поскольку, в силу (3),

Я«,—1;с;0 = ;С(~п(а)'‘^ = 1 —

^ (с)„ п! с

I к 2, 2^ Л (fc-1) l-Vl + J2

F( о - о’ fc + 1; -р ) = т; ;—• 1 -

то

2 2’ 2’ ’ , J (l + v/TTT2)k~l V (к +1) 1 + v/TT^y

Используя полученное параметрическое представление iV-решений уравнения минимальных поверхностей, можно получить большинство результатов [3]. Перечислим те, которые потребуются нам в дальнейшем.

Лемма 1. Пусть 17'| > 1, к = N/(N — 1) и N — натуральное число, N > 2. Пусть также параметры а, Ъ и с удовлетворяют (4), а А(р) и В(р) определены равенствами

(6). Тогда

(i) функция В(р) положительна при всех р > 0, а А(р) сохраняет знак, причем sgnA(p) = sgiry;

(ii) справедливы неравенства В > \А\ > О, В' > \А'\ > 0.

Учитывая изложенное выше, оценим \W\. Из (7) и параметризации решения полу-

|W|2 = + у2 = А2 + В2 + 2ABcos2N6.

В силу пункта (i) леммы 1 справедливо А < 0 и В > 0 для р > 0, а значит,

(А + В)2 < |W|2 < (В-А)2,

где

В_А=- f(п) = к • ofc кУ1 + р2 + 1_________________1________

Р " (fc + l)(l + v/T+P5)('i + ^r^)fc-1'

Из последнего представления, в силу возрастания функции В — А, следует, что

|И'| = • 2‘.

Таким образом, минимальная поверхность, имеющая структуру iV-решений, будет являться С*2-гладким графиком, заключенным в цилиндр радиуса ■ 2к.

В качестве примера на рисунке на плоскости переменных х, у изображены прообразы кривых вида р = const и проекция цилиндра радиуса 16/3 для N = 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М. : Наука, 1965. — 296 с.

2. Бернштейн, С. Н. Об одной геометрической теореме и ее приложениях к уравнениям в частных производных эллиптического типа / С. Н. Бернштейн // УМН. — 1941. — № 8. - С. 75-81.

3. Зорина, И. А. О целых решениях квазилинейных уравнений с квадратичной главной частью / И. А. Зорина, В. Г. Ткачев // Вестник СамГУ. Серия «Математика». — 2008. — № 3. - С. 108-123.

4. Зорина, И. А. Целые решения уравнения Саймона / И. А. Зорина, В. Г. Ткачев // Геометрический анализ и его приложения : труды международной школы-конференции, г. Волгоград, 24-30 мая 2004 г. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2005. — С.55-74.

5. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. — М. : ОГИЗ, 1945. - Т. 1. - 538 с.

ЛГ-SOLUTIONS OF MINIMAL SURFACE EQUATION

I.A. Romanova

In current paper we apply the method of [3] to research a structure properties of MSE-solutions.

Key words: quasilinear differential equation, minimal surface equation, Bernstain problem, entire solution, minimal surface.