О целых решениях квазилинейных уравнений с квадратичной главной частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

108 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №3(62).

УДК 519.999

О ЦЕЛЫХ РЕШЕНИЯХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С КВАДРАТИЧНОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ

© 2008 И.А. Зорина, В.Г. Ткачев1

В данной работе доказывается существование счетного семейства целых решений для широкого класса квазилинейных эллиптических уравнений. В частности, показывается, что построенные решения имеют полиномиальный рост на бесконечности и имеют топологическое строение аналогичное структуре гармонических полиномов

Ключевые слова: целое решение, проблема Бернштейна, эллиптический тип, главная часть.

1. Предварительные замечания

Известная теорема С.Н. Бернштейна [5] утверждает, что целыми (т.е. определенными во всей плоскости) решениями уравнения минимальных поверхностей

(1 + Ыу^Ыхх Уыхыуыху + (1 + Ыу)ыуу 0

являются только линейные функции. Отметим, однако, что в многомерном случае, начиная с количества переменных п = 8, аналог теоремы Бернштейна перестает быть верным [8]. Результаты существования или отсутствия целых решений для квазилинейных уравнений эллиптического типа часто называют теоремами типа Бернштейна. Подробную библиографию по данной проблематике можно найти, например, в недавних обзорах [9,10].

В рамках данной статьи нас будет интересовать проблема Бернштейна для следующего класса квазилинейных уравнений:

Ыхх (Уе + (у + 1) ыХ +(у - 1)ыу) + 4ыху ЫхЫу+ (1 1)

+ Ыуу (Уе + (у + 1) Ыу + (у - 1) Ы2х) = 0. .

Всюду далее мы обозначаем левую часть уравнения символом Ьуе[и] и предполагаем выполненным ограничение |у| ^ 1. Случай Ьу,о[ы] будет называться вырожденным. Учитывая однородные свойства уравнения, можно,

1 Зорина Ирина Андреевна (irina.zorina@list.ru), Ткачев Владимир Геннадьевич

(tkatchev@math.kth.se), кафедра математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета, 400062, Россия, г. Волгоград, пр. Университетский, 100.

не ограничивая общности, считать параметр е нормированным условием: е е {0,1, -1}. Отметим, что при еу > 0 и |у| > 1 уравнение Ьу,е[ы] = 0 имеет эллиптический тип и содержит в качестве частного случая уравнение минимальных поверхностей Ь-\-\[ы] = 0.

Случай у = 1, е = 0 является особенным и представляет собой уравнение так называемых ю-гармонических функций, впервые подробно исследованное Г. Аронссоном [1] в 1968 г. Среди прочего, Г. Аронссон доказал, что для Су-гладких решений уравнения параболического типа

Шы] = ЫхЫХХ + Уыхыуыху + Ыу Ыуу 0 (1.2)

справедлива теорема Бернштейна. Позднее в [2] было установлено существование счетного семейства целых решений (1.2), имеющих полиномиальный рост на бесконечности и задаваемых в форме ы = рк/(0), где р и 0 — полярные координаты в плоскости независимых переменных. Полученные решения не являются, однако, целыми в классическом смысле, так как принадлежат лишь гельдерову классу С1,а. Существование целых квазирадиаль-ных решений было обобщено позже в [3,4] на вырожденный случай 1^,0 [ы]:

1у,0[ы] = 0, 1 < |у| ^ ю. (1.3)

Отметим, что последнее уравнение соответствует е = 0 в уравнении

(1.1) и имеет вид бездивергентной формы уравнения р-Лапласа для р = 2у/(у-1). В недавней работе [11] одним из авторов заметки было получено представление решений Аронссона в явном виде и доказано, что каждое такое решение является вещественной степенью некоторой алгебраической функции. Таким образом, упомянутая выше гельдерова сингулярность решений носит характер ’’естественной” алгебраической особенности.

Вопрос о существовании гладких целых решений для уравнения вида (1.1) был впервые поставлен в 1994 г. Л. Саймоном в [10] в случае

Ь1Л[ы] = (1 + ыХ)Ыхх + УЫхЫуЫху + (1 + Ы2у )Ыуу = 0. (1.4)

П.А. Безбородов [7] показал, что уравнение (1.4) имеет вещественно-аналитические (на самом деле алгебраические) целые решения вида ы(х, у) =

ы( х, у)

= /(х) + g(y), имеющее полиномиальный рост, т.е. итвир—----------- > 0.

х,у^ю (х2 + уУ)У/3

Недавно авторами в [12] было доказано существование счетного семейства целых N -решений уравнения (1.4) имеющих полиномиальный рост на бес-N 2

конечности —-, где И= 1,2,... пробегает натуральные числа (решение

П.А. Безбородова соответствует У-решению в этой иерархии).

Целью данной работы является распространение результатов [12] для уравнения (1.1) на общий эллиптический случай при условии у > 1.

2. Основные результаты

В данном разделе сформулируем полученные результаты. Доказательству приводимых здесь утверждений посвящена оставшаяся часть статьи.

Теорема 1. Пусть е = 1 и у > 1. Тогда для любого натурального N ^ 1 существует целое Су-гладкое решение ЫN(х,у) уравнения (1.1), которое имеет на бесконечности полиномиальный рост

им(х,у)

пт вир —---------— = С Ф О,

(х,у)—(х2 + уУ)а",Т/У

ах,у = 1 и при N ^ У :

.. (М- 1)(у-1) ,01,

— 1 + .-------------------- . (2*1)

л/А^2(у2 - 1) + (Ж - I)2 - (Ж - 1)у

Ключевым в доказательстве теоремы 1 является следующее явное представление полученных решений.

N

Лемма 1. Пусть N ^ 2 - произвольное натуральное число, к = ——- и

/(р) = р^(й,й;с;-^^р2), (2.2)

где F(а, Ь; с; г) — гипергеометрическая функция Гаусса с параметрами

1/ 1 л/^2(У2 - 1) + 1

а = —\к +

2\ у - 1 у - 1

1/ 1 ^к2(у2-1) + 1\ (2.3)

Ь = -\к+------+ у 1

У\ у - 1 у - 1

с = к + 1.

Тогда параметрическое представление

х = Ар cos(УN - 1)0 + Вр ео8 0,

у = Ар sin(УN - 1)0 - Вр 8т 0, (2.4)

ЫN = Т(р) С08 N0,

задает однозначно определенную, СУ-гладкую во всей плоскости переменных х,у функцию ы^х,у), являющуюся решением уравнения (1.1). Здесь

Решение, заданное в форме (2.4) будем называть N-решением уравнения (1.1). Наряду с вещественным представлением ЫN(x,у), удобно использовать его комплексификацию ЫN(х + гу) = ЫN(г), где г = х + 1у и

г = Ар ег(ж-1)0 + Вр е-г0, ЫN(г) = Т(р) ■ Ие ет0.

Из этого представления, в частности, легко следует, что ^решения антисимметричны относительно поворотов на угол п/N в плоскости независимых переменных:

= -Муу(г), п е X.

Ар = —(Гр-к/), вр = —(Гр + к/), Г=р/'-/. (2.5)

Замечание 1. Принимая во внимание упомянутую выше алгебра-ичность 2-решения для уравнения (1.4), интересным представляется прояснение феномена алгебраичности для общих N -решений уравнения (1.1). Подкрепляющим правдоподобность гипотезы алгебраично-сти ^решений уравнения (1.3) является тот факт, что конусами к N -решениям (1.1) являются N -решения уравнения (1.3), в отношении которых алгебраичность при у = 1 и квазиалгебраичность при

|у| > 1 доказана в [11]. Отметим, однако, что уже в случае N ^ 3 вопрос открыт даже для уравнения (1.4).

Рассматривая полученные N -решения при е = 1 и полагая у — +ю, можно показать, что после подходящей ренормировки, в пределе получаются гармонические полиномы степени N, которые могут формально считаться ^решениями уравнения (1.1), отвечающими значению е = 1 и у = ю. В общем же случае имеет место следующее утверждение, характеризующее связь N -решений ЫN с гармоническими полиномами Ие следующим образом.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 имеет место неравенство

Щ (ЛГ- 1)»—

3. Построение решения основного уравнения

Квазилинейное уравнение (1.1) сводится с помощью преобразования Лежандра

Ч = К, П = u'y, v(£, n) = + yn - u(х, у) (3.1)

и последующей подстановки вида

^ = рсовф, г] = р sill ф, v(^, г|) = р —-p2)cos£xj), (3.2)

к гипергеометрическому уравнению

1 к(к - 1)

(1 - t)tY" + (k+l-t(k+l + -----))У' + -Ь---^ 7 = 0. (3.3)

(у - 1) 2(у - 1)

Принимая во внимание, что преобразование Лежандра является инволюцией, мы имеем

х = v^, у = v'n, и = Щ + п^П - v(4, n). (3.4)

Для любого выбора решения Y(t) гипергеометрического уравнения такая

параметризация задает (вообще говоря, многозначное) решение уравнения

(1.1) в окрестности любой точки (§, г|) с ненулевым якобианом ^ ’У\ Далее

д(Ч, п)

мы ограничимся рассмотрением случая к > 1. (Такой выбор не принципиален, так как можно показать, используя основные преобразования гипергео-метрической функции, что остальные случаи параметра к приводят либо к разрывным в нуле решениям основного уравнения (1.1), либо к перепа-раметризации в (2.3) и (2.4).)

Заметим далее, что единственным (с точностью до нормировки) ограниченным в окрестности нуля решением последнего уравнения является ги-пергеометрическая функция Гаусса F(a, b; c; t) с параметрами a, b и c, заданными соотношениями (2.3). Остальные решения гипергеометрического имеют сингулярность в нуле вида Y(t) ~ t-k, что влечет и ~ р-к при малых р, в то время как х, у ~ рк-1. Последнее, в силу того, что к > 1 означает, что решение и имеет особенность в нуле. Таким образом, с точностью до постоянного множителя, мы имеем Y(t) = F(a, b; c; t).

Чтобы мотивировать дальнейший выбор параметра к, мы кратко опишем рассуждения, аналогичные приведенным в [11]. Заметим, что непосредственная подстановка (3.1) в (2.4) приводит к следующей параметризации старых переменных:

х = ах cos^ + 1)ф + а2 cos^ - 1)ф,

у = ai sin^ + 1)ф - а2 sin^ - 1)ф, (3.5)

и = аз cos кф,

где функции ак зависят только от р.

Чтобы система (3.5) давала параметризацию однозначно заданной над

плоскостью переменных х, у функцию и, необходима рациональность пара-

n

метра к. Пусть к = ——где п и N — 1 взаимно простые положительные

числа. Очевидно, что n ^ N, т.к. к > 1. Полагая 0 = ф/CN -1), мы получаем

х = a1 cos(n + N - 1)0 + а2 cos(n - N + 1)0,

у = a1 sin(n + N - 1)0 - а2 sin(n - N + 1)0, (3.6)

и = аз cos n0.

Поскольку числа п + N - 1 и п - N + 1 взаимно просты, мы предполагаем, что 0 изменяется в интервале [0, Уп]. Тогда, чтобы отображение (х(0), у(0)) из (3.6) описывало замкнутую кривую без самопересечений, индекс этого отображения относительно начала координат должен быть равен 1. Мы можем предполагать, что |ау| > |ах | (это неравенство выполнено в силу свойства (ш) гипергеометрической функции в лемме 4, доказываемой ниже). Тогда искомый индекс равен п - N + 1. Следовательно, мы получаем, что п = N, то есть к имеет вид к = N/(N - 1), N ^ У.

Таким образом, применяя полученные значения параметра к к (3.2) и учитывая гипергеометрическую природу уравнения (3.3), мы приходим к параметризации (2.3)—(2.4), которая локально является решением основного уравнения. Доказательство того факта, что (2.4) действительно образует целое, глобально однозначное и регулярное решение основного уравнения, требует более деликатного анализа и приводится в оставшейся части статьи.

4. Вспомогательные свойства гипергеометрических функций.

В изложении этого параграфа мы следуем [6]. Напомним, что гипер-геометрической функцией Гаусса F(a, Ь; с, г) является регулярное в t = 0 решение у^) уравнения

^1 - £)у”(0 + ф - ф + Ь + 1) t)у’(£) - aby(t) = 0, (4.1)

нормированное условием у(0) = 1. Всюду далее будет предполагается, что переменная t принимает вещественные неположительные значения. Известно, что в единичном круге функция Fф, Ь; c; t) представима степенным рядом:

(b)k ^

F(й,Z>;c;z) = 4.2

k=0 (c)k *!

Г(a + п)

где (а)п =-------= а(а + 1 )(а + 2)... (а + п - 1) — символ Похгаммера и с не

г^)

является целым отрицательным числом.

Далее, наравне с F(a, Ь; c; t), будет использоваться сокращение F(t), и

d

под F (а,Ъ\с\() понимается производная —(¥(а,Ь\с; ?)).

dt

Заметим, что для производных гипергеометрической функции справедлива формула сдвига [6, стр. 71]::

^ -пг 1 ^ (а)пф)п

—Ь(а, Ь\с; г) =-------------------Ь(а + п, Ь + п\с + и; г), (4.3)

dtn фХ

а при c > Ь > 0 имеет место интегральное представление [6, стр. 72]:

1 zb-1 (1 - z)c-b-1 £----^-----V------а (4.4)

J (\-tzY К !

Р(а,Ь!с: I) — Г(С) . Г г" (1^)'

Г(й)Г(с - Ъ) J (1 - И)а 0

Кроме того при больших значениях Щ, в случае, когда разность ф - Ь) не является целым числом, имеет место асимптотическое разложение

F(fl,й;c;^) = гг + ■^ + o(-Ц■) + o(-J-т), (4.5)

\Аа \АЬ \Иа+1/ \ЩЬ+1) У 1

где

_Т{с)Т{а-Ь) _Т{с)Т{Ь-а)

1 Г(6)Г(а —с)’ 2 Г(а)Г(6 —с)

Как непосредственное следствие (4.2) отметим следующее соотношение

F,(a, Ь\с; г) = —(Г(а + 1, Ь\с; г) - F(a, Ь\с; г)). (4-6)

Лемма 2. Пусть c > 0, Ь > 0, a > -1. Тогда для любого t ^ 0 выполнено:

F(a, Ь; c; t) > 0 и

sgn F'(a, Ь; c; t) = sgn F"(a, Ь; c; t) = sgn(a). (4.7)

Доказательство. Поскольку при указанных в условии леммы значениях параметров гипергеометрической функции справедливо представление

(4.4), подынтегральная функция в котором положительна при t ^ 0, то очевидно, что Fф, Ь; с; і) > 0.

Доказательство оставшихся знаковых соотношений сводятся к предыдущему с помощью (4.3) и условий леммы.

В условиях леммы 2 следующая функция является непрерывной при

всех t ^ 0:

(4'8>

F(a, Ь; с; t)

Лемма 3. Пусть выполнены неравенства

-1 < a < 0, с > Ь > 0, с Ф Ь + 1. (4.9)

Тогда функция g(t) положительна, возрастает при t ^ 0 и справедливо

предельное соотношение

Иш g(t) = -a. (4.10)

Доказательство. В силу (4.6) получаем

F (a + 1, Ь; с; t) - F (a, Ь; с; t) F (a + 1, Ь; с; ґ) /ллл\

9Ш = а--------------------------- = —а + а---------------. (4.11)

F (a, Ь; с; t) F(a, Ь; с; t)

Тогда справедливость предельного равенства (4.10) следует из того, что Ь > a, и асимптотического представления (4.5):

F(a + 1, Ь; с; t)

І1ГП ------------- =

^-м F(a, Ь; с; t)

иа >ч + х2 + от-і) + о(\і\-(Ь~а>) п

= І1Ш ------- ■ ---------------------:-----------7— = 0.

^-м |t|a+1 ц1 + ц2 |t|-(b-a) + O(|t|-1) + O(|t|-(b-a+1))

Кроме того, из леммы 2 следует, что функция g(t) положительна при t < 0.

Докажем теперь, что 8дп g,(z) = вдп a. Отметим предварительно, что из формулы (4.6) следует соотношение

F,,(й, Ь\с; г) = ——F,(a, Ь\с; г) + y(F,(a + 1, Ь\ с; г) - F,(a, Ь\с; ?))•

Используя это представление, преобразуем производную g'(t) следующим образом:

*'(0 = - гГ2) = • F - F1 • г), (4.12)

где F = F(a, Ь; с; t), Fl = F(a+1, Ь; с; t), а F', FJ и F" — производные F(a, Ь; с; і) и F(a + 1, Ь; с; t) по переменной t соответствующих порядков. При этом, в силу леммы 2 и условия -1 < a < 0, имеют место неравенства

F > 0, F(a + 1) > 0, F' < 0, F^ > 0,

из которых, ввиду представления (4.12), очевидно следует, что g'(t) < 0.

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть у > 1 и N ^ 2 — произвольное натуральное число и параметры a, Ь и c удовлетворяют (2.3), а Ар и Bp определены равенствами (2.5). Тогда

Ар

(1) функция — положительна, возрастает и имеет место соотношение Bp

Ар a

нш

Bp a - k

(п) функции Ар и Bp строго положительны при всех р > 0.

(ш) для любого положительного р справедливы следующие неравенства:

.Вр > Ap, Bp > Ар и

Bp 2N - 1

Доказательство. Сначала заметим, что неравенства (4.9) выполнены для параметров a, Ь и с определенных в лемме 1. В этом несложно убедиться с помощью непосредственных вычислений, используя тот факт, что

1 - У 2

к > 1. Далее, вводя замену переменной г = —-—р ^ 0, получим Ар = (у - 1)р^+1 р, = I т9к-^

у - 1 ок-1

Вр = крк~1Е - рк+1 F, = (& + 8(1)

где g(t) задана соотношением (4.8). Тогда справедливость утверждения (і) следует из (4.10).

С другой стороны, в силу леммы 2 и полученных выше представлений, знак Bp совпадает со знаком к + g(t), а знак Ap — со знаком g(t). Следовательно, в силу леммы 3 и справедливости (і), заключаем, что выполнено утверждение (іі) леммы.

Для доказательства третьего утверждения леммы отметим, что

В9 ~ Ар = ^ /(р), В'р-А'р = 2крк~2 + *(*)) F(fl, Ь- с- 0

и обе разности положительны в силу лемм 2 и 3. Наконец, неравенство

Ap 1 a

0 < — ^ -------- является следствием (і) и числового неравенства -------- ^

Bp 2N — 1 a — k

1

—-, которое устанавливается непосредственно.

5. Параметризация независимых переменных

В соответствии с выводами параграфа 3, параметризация (2.4) задает локальное решение основного уравнения. Рассмотрим параметризацию

хф, 0) = Ap cos(2N - 1)0 + Bp ео8 0, (5 1)

.уф, 0) = Ap sin(2N - 1)0 - Bp 8Іп 0, ( . )

более подробно. Всюду далее будет предполагаться, что коэффициенты Ар и Bp и входящие в них параметры определены равенствами из леммы 1. Наряду с параметрическим представлением (5.1), мы будем также использовать градиентное отображение W(§, п), порождающее (5.1) в полярных координатах ^ = р cos 0 и п = р sin 0, т.е.

W(р cos 0, р sin 0) = (х(р, 0), _у(р, 0)).

В дальнейшем мы не делаем различия между данным отображением и его комплексификацией W(Z), где

W (Z) = Ape(2N-1)0i + Bpe"

Z = pei0 є С.

(5.2)

Наша дальнейшая цель - показать, что W является гомеоморфизмом плоскости К2(?, п) на плоскость К2(х, у).

Лемма 5. Градиентное отображение W непрерывно во всей плоскости К.2(^, п) и инъективно переводит каждую окружность радиуса р > 0 с центром в начале координат в жорданову кривую, не проходящую через начало координат.

Доказательство. При заданных параметрах (2.3) функция

ІУ - !| 2Ї

F\a,b\с, --

2

-Р

является вещественно аналитической при всех зна-

чениях p ^ 0. Действительно, т.к. справедливо представление [6, стр. 76]

F(a, b; с, z) = (1 - z) aF a, с - b; с,

z - 1

то требуемое свойство гладкости будет следовать из соотношения

(5.3)

F(a, b; с, -

(Y - 1)

p2) = 1 +

Y - 1

p2 F

а, с - Ъ\с,-

p2 +

Y - 1

и того факта, что

p2 +

2

< 1 (напомним также, что при нашем выборе

Y - 1

параметров всегда выполнены соотношения (4.9)). Отсюда следует непрерывность (на самом деле вещественная аналитичность) функций Ар и Bp, а, значит и непрерывность W(^, п) в проколотой плоскости. Непрерывность в нуле следует из непосредственного разложения гипергеометрических функций в ряд в окрестности нуля.

Для доказательства второй части утверждения леммы предположим противное. Применим комплексную форму записи отображения W(^) и предположим, что найдутся две точки = pel0k, к = 1,2, на окружности |£| = р, образы которых совпадают: W(^1) = W(£2). Тогда, используя комплексное представление (5.2), получим

Bp e(2N-1)0l і - e(2N-1)02 і

Ap

e-

= h1h2[h2N-2 + h1N-3h2 + ••• + h2N-2]

z

2

a

p

2

2

p

0i

e

где Нк = е'0£. Отсюда следует, что |Вр/Ар| ^ 2И-1. Однако, в силу леммы 4, верно обратное. Полученное противоречие доказывает инъективность отображения W(£) на окружности |£| = р.

Наконец, из оценки

|W(0|2 = Ар + Вр + 2АрВр ес8 2Ы0 ^ (Вр - Ар)2

и леммы 4 следует, что образ окружности |£| = р проходит через начало координат только при р = 0.

Лемма 6. Якобиан градиентного отображения W(£) отрицателен при

I Ф 0.

Доказательство. Заметим, что для доказательства леммы достаточно найти якобиан в полярной системе координат. Непосредственные вычисления дают

д(х V)

Лр, 0) = = (2М - 1)лрлр - В'рВр + ((2N - 1)АрВ'р - А'рВр) со8 2ЛГ0.

Проверим следующее неравенство

Д = ((2# - 1)Ар Ар - Вр Вр)2 - ((2М - 1)Ар Вр - Ар Вр)2 > 0.

Отметим, что справедливо представление

Д = - [(2# - 1)2Ар - Вр] ■ (Вр - Ар) (Ар + Вр),

где, согласно лемме 4, первый множитель отрицателен при р = |£| > 0, а два других положительны. Таким образом, Д > 0, откуда заключаем, что якобиан отображения W имеет постоянный знак.

В силу непрерывности якобиан сохраняет свой знак всюду в С \ {0}. При 0 = 0 и р > 0 в силу леммы 4 справедлива оценка

Др, 0) = |(2ЛГ - 1)^ - 11 (Лр + В'р)Вр < О,

что и доказывает утверждение леммы.

Следствие 1. Градиентное отображение W(£) (5.1) является гомеоморфизмом комплексной плоскости на себя.

Доказательство. В силу отрицательности якобиана, отображение W локально инъективно всюду вне начала координат. В то же время, отображение W инъективно на каждой окружности Тр = {£, : |£| = р}, р > 0. Отсюда несложно заключить, что для каждого р > 0 найдутся р1 < р < р2 такие, что отображение W(£) будет инъективно в кольце Т(р1, р2) = {^ : р1 < |£| < р2}. Покажем, что р2 можно выбрать равным +м. С этой целью, обозначим через р2 точную верхнюю грань тех р2, при которых отображение W(£) будет инъективно в кольцевой окрестности Т(р1, р2), и предположим, что р2 < м. Тогда найдутся точки ^2 е Тр2 и ^1 е Т(р1, р2) и Тр1, такие, что

W(£0 = W(^2). Заметим, что внутри кольца Т(р1, р2) отображение W(£) является гомеоморфизмом и, значит, W(£) инъективно в некоторой кольцевой

окрестности окружности Тр^. Отсюда несложно заключить, что замыкание образа W(Т(р1, р2)) есть двусвязная область с границами W(Тр1) и W(Тр^). В силу сказанного выше, ни одна точка из кольца Т(р1, р2) и окружности Тр1 не может быть в прообразе W_1(Гp^), что противоречит выбору Полученное противоречие показывает, что р2 = м. Аналогично показывается что р1 может быть выбрано нулевым. Таким образом, W(£) инъективно во всей проколотой плоскости С\{0} и, поскольку W(£) непрерывно и W(0) = 0, то отображение W(£) глобально инъективно.

Сюръективность отображения W(£) на С легко следует из непрерывности W(£) и справедливости следующей оценки

^(£)|2 = Ар + Вр + 2АрВр 008 2№ > Вр - |Ар| ^ £|£|к-1,

где к - 1 > 0. Для доказательства последнего неравенства напомним, что а < 0 и, согласно лемме 2, функция Р(а,Ь;с;-К^р2) положительная и возрастающая по р, а значит справедлива оценка

|Щ0|2 >Вр-Ар = крк-1Р(а,Ь-с--^-^р2) > тк~1-

Из доказанного выше следует, что W(р, 0) является гомеоморфизмом и, значит, утверждение доказано.

6. Доказательство теоремы 1

Доказанная в разделе 5. гомеоморфность отображения W означает, что полученная в лемме 1 параметризация задает глобально определенные однозначные решения уравнения (1.1).

При этом, в силу леммы 6 и вещественной аналитичности функций Ар и Вр при р > 0, отмеченной в доказательстве 5, построенные решения

(2.4)—(2.5) также вещественно аналитичны. Доказательство С2-гладкости решения и#(х, V) в начале координат (х, V) = 0 сводится к нахождению пределов частных производных первого и второго порядков при р = 0. Непосредственным вычислением легко убедиться, что указанные производные непрерывны в начале координат, а их пределы при р ^ 0 равны нулю.

Таким образом, для завершения доказательства теоремы 1 осталось показать, что

им(х,у)

пт вир —---------— = С Ф О,

(х,у)^м (х2 + у2)а#.У/2

где а#,у определено (2.1).

Для оценки роста функции иN(х, у) рассмотрим ее поведение на окружностях фиксированного радиуса х2 + у2 = Я2. Построив соответствующую функцию Лагранжа Ь(р, 0, X) = и#(х, у) - Х(х2 + у2 - Я2) и исследовав систему УЬ = 0, убеждаемся, что необходимым условием экстремума для функции иN(р, 0) на окружностях х2 + у2 = Я2 будет выполнение соотношения 8Ш N0 = = 0. Поскольку при 8Ш N0 = 0 выполнены равенства х2 + у2 = (Ар + Вр)2 и

^| = ^(р), то, опираясь на формулы (2.5), (4.6) и (4.5), приходим к следующей оценке при р ——м

Л-1 гпг о 17/, 1М_______________к—1—2а ( {к ~2а)2^к\_ + ^ I

|у-1Г \р2у

Ар + В9 = рк~1 [(* - 2а) F(a) + 2а F(a + 1)] = р^1"20 • ^ + О J)

к к 2а ! (к - 2а - 1) 2а X / 1 \\

Г(р) = р* [(* - 2а - 1) F(a) + 2а F(a + 1)] = рк~2а • (--j—^-- + 0I ^ I].

Отсюда следует справедливость указанной в формулировке теоремы 1 оцен-

к - 2а

ки роста, поскольку а^у = -------, где к = N/(N - 1), а параметр а опре-

к - 2а - 1

делен (2.3). Таким образом, все утверждения теоремы доказаны.

7. Доказательство теоремы 2

Пусть z^, 0) = х(р, 0) + гу(р, 0), где х(р, 0) и у(р, 0) определены соотношениями (2.4), тогда

zN (р, 0) = (Аре(Ж-1)0 + Вре-Ю )N = е-'т(Аре2'т + Вр)м,

где N0 = т. Рассмотрим вспомогательную функцию

G(P,x) = ^=Re(^(fip+Ap^f) cos т cos т

Д, ™W9 7 - 1V . „ . . (7-1)

Z_j

j=0

cos(2j - 1)т rj dN4J cos т

Поскольку

cos(2j - 1)т T2j—i(cos т)

cos т cos т

где T2j-1 — многочлены Чебышева нечетного порядка, то последнее выражение в (7.1) является многочленом от cos2 т с непрерывными коэффициентами, зависящими только от р. Таким образом, 2(р,т) является непрерывной функцией обоих аргументов и ее поведение определяется полностью на интервале 0 ^ т <

Лемма 7. Пусть N ^ 1 и B > (2N - 1)А > 0 — произвольные вещественные числа. Тогда для всех т е [0; |)

П I е-Л / 0,v\N

(— (в + А e2ix)N\ < 0. (7.2)

cos т

2 у008т

В частности, 2(р, т) является строго положительной при всех т.

Доказательство. Поскольку, в силу условий леммы В - А > 0, то

Ъ.е(В + А е2т') > 0,

п п

а значит для любого 0 ^ т < — найдется о = о(т) такое, что |о| < — и

В + Ае2т = |В + Ае2т | ■ е1°.

и

Кроме того, из последнего равенства следует, что

A sin 2т

tg о =

> О,

B + A cos 2т

а значит, т и о имеют одинаковые знаки. Таким образом

arg

cos т

(в + A e2a) j = No(c) — т = N arctg

A sin 2т B + A cos 2т

— т.

(7.3)

(7.4)

Дифференцируя последнее выражение относительно переменной т, убеждаемся, что знак производной определяется ее числителем, для которого справедлива цепочка неравенств:

(2N - 1)AB cos 2т - B2 + (2N - 1)A2 ^ (B + A)((2N - 1)A - B) < 0.

Таким образом, функция Na(x)-x убывает на множестве т е [0; |). Поскольку

arg

cos т

(в + A e2rt)N

= 0,

т=0

e г т N

lim arg---------- (в + А еЪх)

-^2-n COST ' '

п

"2’

мы получаем неравенство (7.2). Заключение леммы о положительности Q

вытекает из свойств Ap и Bp в лемме 4.

Исследуем теперь поведение функции 2(р, т) на прообразах окружностей |г|2 = х2 + у2 = Я2. Используя параметрическое представление решения

(2.4), найдем уравнения этих кривых

Ap + Bp + 2Ap Bp cos 2т = R2.

(7.5)

Заметим, что функция р = р(т), задаваемая неявно (7.5), полностью определена своими значениями на интервале 0 < т < 5. При этом

п

р(0) < р(т) < р(-).

Действительно, обозначим для краткости

Ао = Ар(0> во = Вр(р), А\ = Арф, В\ = Врф. Тогда в силу (7.5)

Вр + Ар + 2АрВр cos 2т = (В0 + А0)2 = (В1 - АО2 = Я2. В то же время, учитывая, что Вр > Ар ^ 0, имеем

(Вр - Ар)2 < Вр + Ар + 2АрВр cos 2т < (Вр + Ар)2, а, значит, выполнены неравенства

(7.6)

(7.7)

(Вр - Ар)2 ^ (В1 - А1)2> (В0 + А0)2 ^ (Вр + Ар)2.

В силу леммы 4 функции Вр - Ар и Вр + Ар положительны и возрастающие по переменной р, откуда получаем (7.6).

2

e

— гт

e

Для получения параметризации функции Q вдоль кривой (7.5) воспользуемся (7.1) и (7.3):

RN COS (Т - N arCtg BPX^os2t I j[

Q(р(т), T) =--------------------------------------------------------------i-, 0 < T < -. (7.8)

cos т 2

п zN

В силу леммы 7 справедливо — ^ arg------------------- < 0, откуда

2 cos т

zN Ap sin 2т п

О ^ - arg------ = х - N arctg---------------- ^ т ^ .

cos т Bp + Ap cos 2т 2

Следовательно выполнено неравенство

/ Ap sin 2т

cos т — N arctg----------— I > cos т.

\ Bp + Ap cos 2т /

Таким образом, справедлива оценка

Q(p(т), т) ^ Rn = Q(p(0), 0). (7.9)

Перейдем теперь к доказательству оценки (2.6) в формулировке теоремы 2. Согласно параметрическому представлению (2.4), имеем

rw N uN{z) lF(p)cosx р (Вр + (2N - 1)Ар)

Ufj(p,V =---77 = -----Гт— = -----------------------• 7.10

к Rez Rez" NQ( р,т) v 7

В силу леммы 7, функция Un непрерывна и положительна при p > 0. Далее отметим, что

^ ^ (р(Вр + (2N - 1)АР)) = (р /' - /)' = Р Г = Р (Ар + ВрУ > 0

ввиду утверждения (iii) леммы 4, откуда заключаем, что числитель в правой части (7.10) — возрастающая функция по p и поэтому на интервале п

0 ^ т ^ — имеем

2

p(Bp + (2N - 1)Ap) < pi (Bi + (2N - 1)Ai), p = pCt).

Применяя теперь (7.9) и (7.7), заключаем

^?i(Bi+(2N-\)Al) 9l(Bl + (2N-\)Al) x/ ч

0 < C/jvCpW, t) ^ ----------77------- = ------------77--- = Ф(р1).

K N-Rn ЩВх-АхУ*

Покажем, что ф(р) = ^A является убывающей функцией.

С этой целью, найдем производную этой функции, предварительно применив (2.5):

' pf'- f"

ф' (p) =

k f\N

(-/)

p

p 2(kpf)N+1 '

Переписывая числитель последней дроби в обозначениях (2.2)

p2 f” f - N(p f - f )2 = 2tp2k([F'F + tF"F - tF'2] + tF"F - (2N - 1)tF'2),

. (у - !)р2 о

где г =----------, заметим, что в последнем выражении в силу леммы I

г(¥”F - (2N - 1^'2) > 0, и F'F + г¥”F - tF'2 = F2 ■ 8'^) > 0 согласно лемме 3 (под #(?), как и ранее, понимается функция, определенная (4.8)).

Таким образом функция ф(р) убывающая, и, значит,

ф(р1) ^ Нш ф(р).

р—>+0

Для нахождения предела воспользуемся (2.5) и (4.2), откуда В(р) ~ крк-1

N

в окрестности р = 0, где к = ——Тогда

г (1 + {МГМ)Р у кРк~1-Р (N-1)^

рЦпфф) р1Ш^ А)М Дл^р*-1)" '

Таким образом, все утверждения теоремы 2 доказаны.

Литература

[1] Aronsson, G. On the partial differential equation uxxu2x + 2uxyuxuy + uyyu2 = = 0 / G. Aronsson // Ark. Mat. - 1968. - No. 69. - P. 395-425.

[2] Aronsson, G. On certain singular solutions of the partial differential equation u2xuxx + 2uxuyuxy + u2uyy = 0 / G. Aronsson // Manuscripta Math. -1984. - No. 47. - P. 133-151.

[3] Aronsson, G. Construction of singular solutions to the p-harmonic equation and its limit equation for p = m / Aronsson G. // Manuscripta Math. -1986. - No. 56. - P. 135-158.

[4] Aronsson, G. Representation of a p-harmonic function near a critical point in the plane / G. Aronsson // Manuscripta Math. - 1989. - No. 66. -P. 73-95.

[5] Bernstein, S.N. Sur un theoreme de geometrie et ses application aux equations aux derivees partielles du type elliptiqe / S.N. Bernstein // Comm. Soc. Math. - Kharkov. - 1915—1917. - T. 2. - P. 38-45.

[6] Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М.:Наука, 1973. - 296 c.

[7] Безбородов, П.А., Контрпример к гипотезе Саймона / П.А. Безбородов // Тезисы Трудов Международной конференции по анализу и геометрии, Новосибирск, 30 авг.-3 сент. 1999. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1999. - С. 10-11.

[8] Bombieri, E. Minimal cones and the Bernstein problem / E. Bombieri, E.De Giorgi, E. Giusti // Invent. Math. - 1969. - V. 7. - C. 243-268.

[9] Geometry., V. Minimal surfaces. Edited by R. Osserman / V. Geometry // Encyclopaedia of Mathematical Sciences. - No. 90. - Berlin: Springer-Verlag, 1997.

[10] Simon, L. Asymptotics for exterior solutions of quasilinear elliptic equations l L. Simon 11 Geometry from Pac. Rim. - Berlin, New York: de Gruyter, 1997. - P. 343-362.

[11] Tkachev, V.G. Algebraic structure of y-harmonic functions l V.G. Tkachev // Pacific Journal Math. - 2006. - V. 226. - No. 1. -P. 179-200.

[12] Зорина И.А.Целые решения уравнения Саймона l И.А. Зорина, В.Г. Ткачев //Геометрический анализ и его приложения: труды международной школы-конференции, г. Волгоград, 24-30 мая 2004 г. -Волгоград, Изд-во ВолГУ, 2005. - С. 55-74

Поступила в редакцию 21/^/7/2008; в окончательном варианте — 21l VII/2008.

ON ENTIRE SOLUTIONS OF A QUASILINEAR PDE WITH A QUADRIC PRINCIPAL PART

© 2003 I.A. Zorina^ V.G. Tkachev3

In the present paper, we prove the existence of a countable family of entire solutions for a wide class of quasilinear equations. In particular, we show that all obtained solutions have a polynomial growth and their topological structure is similar to that of harmonic polynomials.

Keywords: entire solution, Bernstein problem, elliptic type, principal part.

Paper received 21/V77/2008. Paper accepted 21/V77/2008.

2Zorina Irina Andreevna (irina.zorina@list.ru), Dept. of Mathematical Analysis and Function Theory, Volgograd State University, Samara, 400062, Russia.

3Tkachev Vladimir Gennadjevich (tkatchev@math.kth.se), Dept. of Mathematical Analysis and Function Theory, Volgograd State University.