CC BY
6
2021
Математика и механика
№ 70
МАТЕМАТИКА
УДК 514.76 MSC 53c15
DOI 10.17223/19988621/70/1
С.В. Галаев
^-ЭЙНШТЕЙНОВЫ ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
На почти контактном метрическом многообразии M рассматривается N-связность VN, определяемая парой (V, N), где V - внутренняя метрическая связность, N: ТМ ^ TM - эндоморфизм касательного расслоения многообразия M, такой, что N| = 0, N (D) с D. Рассматривается случай косо-
симметрической N-связности VN. Кручение кососимметрической N-связ-ности, представленное трехвалентным ковариантным тензором, кососим-метрично. Такая связность определена однозначно и отвечает эндоморфизму N = 2у, где эндоморфизм у задается равенством m(X,Y) = g(\yX,Y) и получает в работе название второго структурного эндоморфизма почти контактного метрического многообразия. Вводится понятие ^-Эйнштейнова почти контактного метрического многообразия. Для случая N = находятся условия, при которых почти контактные метрические многообразия являются VN -Эйнштейновыми многообразиями.
Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, внутренняя связность, полуметрическая связность с кососимметрическим кручением, VN-Эйнштейново многообразие.
1. Введение
Систематическое изложение теории многообразий Эйнштейна с кососиммет-ричным кручением приводится в работе [1]. Интерес к таким многообразиям определяется применением связностей с кручением в модифицированной теории относительности Эйнштейна - Картана (см., также, [2]). Многообразие Сасаки является одним из примеров многообразий Эйнштейна с кососимметричным кручением [1]. В работе [3] доказывается, что на многообразии Сасаки существует единственная связность с кососимметрическим кручением, совместимая со структурой Сасаки. Эта связность получила название характеристической связности. Ранее автором настоящей статьи было показано, что на многообразии с почти контактной метрической структурой существует, и при этом единственная, N-связность VN с кососимметрическим кручением [4]. В настоящей работе такая связность получила название канонической связности. Доказывается, что в случае многообразия Сасаки характеристическая связность совпадает с канонической связностью.
В настоящей работе рассматриваются почти контактные метрические многообразия, оснащенные N-связностью VN. Нас будет интересовать следующий во-
прос: «Какие почти контактные метрические многообразия являются УЖ-Эйнштейновыми многообразиями с кососимметрическим кручением?».
Не всякая связность с кососимметричным кручением является Ж-связностью. В то же время под определение Ж-связности попадают часто используемые в геометрии почти контактных метрических многообразий связности с кручением. Ж-связность УЖ определяется на почти контактном метрическом многообразии, наделенном внутренней связностью У и эндоморфизмом Ж: ТМ^ТЫ касательного расслоения многообразия Ы, таким, что Ж| = 0, Ж (Б )с Б, как единственная связность на многообразии Ы, удовлетворяющая следующим условиям [5]:
1) УЖХУ £ Г(Б);
2) УЖ I = 0;
3) УЖУ = [|, У ] + ЖУ;
4) уЖг = УУг , х £Г(ты), у , г £Г( б ).
Если У - метрическая связность, то связность УЖ характеризуется следующими условиями [5]:
1) £(X, У) = 2ю(X, У)| + п(Х)ЖУ -п(У)ЖХ, X, У, г £Г(ТЫ);
2) УЖXg (У, г) = о, х, у , г £Г( б );
3) У ЖI = 0, X £Г(ТЫ);
4) У Ж п = о, X £Г(ТЫ).
Задавая соответствующим способом эндоморфизм N можно получить известные ранее классы Ж-связностей. Ниже приводятся далеко не все примеры Ж-связностей, естественным образом возникающих на многообразиях с почти контактной метрической структурой (или, более обще, на субримановых многообразиях контактного типа).
Примеры Ж - связностей
1. Связность Бежанку Ув с нулевым эндоморфизмом Ж = 0. Связность Бежан-ку Ув связана со связностью Леви-Чивита У8 помощью формулы [6]
УВсУ = УхУ -П^)УУ| + (®+ С)(X,У)|.
2. Связность Танака - Вебстера Уш определяется как единственная связность, удовлетворяющая следующим условиям [6]:
1) УТШ п = 0;
2) Уш | = 0;
3) УШ8 = 0;
4) £(X,У) = 2ю(X,У)|, X,У £Г(Б);
5) £(|,фX) = -ф£(|,X), X £Г(ТЫ).
Связность Уш совпадает с Ж-связностью в случае, когда Ж = С.
3. Связность Схоутена - ван Кампена У£К определяется равенством
У£ку = (У 8XУh )н + (У gXУv У и является Ж-связностью для случая, когда Ж = С - ф [7].
4. В работе [8] доказывается существование и единственность связности V, удовлетворяющей условиям:
1) Vz :Г(Б)^Г(Б);
2) VI = 0;
3) ^ = 0;
4) £ (X, У ) = ю(Х, У )|;
5) £ X ) = ЫХ, где N - симметрический оператор, X, У еГ( Б), г еГ(ГМ).
5. Полученный В.В. Вагнером тензор кривизны неголономного многообразия коразмерности 1 совпадает с тензором кривизны Ы-связности с эндоморфизмом Ы: ТМ^ТМ специального строения [9, 10].
Из приведенных выше примеров видно, что класс Ы-связностей, используемых в геометрии почти контактных метрических многообразий, достаточно широк. Представление о связностях с кручением, не принадлежащих классу Ы-связностей, можно получить, например, ознакомившись с работой [2]. Об использовании Ы-связностей для построения продолженных структур можно узнать из работ [5, 11-14].
Известно, что почти контактное метрическое многообразие является многообразием Эйнштейна относительно связности с кручением только в том случае, когда эта связность риччи-плоская [1]. Для случая Ы-связности указанный результат в настоящей работе уточняется. А именно, приводятся необходимые ограничения на второй структурный эндоморфизм такой связности.
Во втором разделе мы сообщаем основные свойства Ы-связности с кососиммет-рическим кручением. Частично результаты этого раздела отражены в работе [4].
В третьем разделе приводятся примеры ^-Эйнштейновых почти контактных метрических многообразий с кососимметрическим кручением.
2. Определение и основные свойства ^-связности с кососимметрическим кручением
Рассмотрим почти контактное метрическое многообразие М нечетной размерности п = 2т + 1. Пусть (М, п, Ф, g, Б) - заданная на многообразии М почти контактная метрическая структура, где ф - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, | и п - вектор и ковектор, называемые соответственно структурным вектором и контактной формой, g - (псевдо) риманова метрика. При этом выполняются следующие условия:
1) ф2 =-/ + п®|;
2) п(1 ) = 1;
3) g (фХ, фУ ) = g ( х , у )-п( х )п(У);
4) а п(|, х ) = о,
где X,У еГ(ТМ). Здесь Г(ТМ) - модуль гладких векторных полей на М.
Гладкое распределение Б = кег п называется распределением почти контактной структуры.
В качестве следствия условий 1) - 4) получаем
5) ф| = 0;
6) п ° ф = 0;
7) п(Х) = g(X,|), X еГ(ТМ).
Кососимметрический тензор X, У) = g (X, фУ) называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство О = ё п. Гладкое распределение Б1 = ¿рап(|), ортогональное распределению Б, называется оснащением распределения Б. Имеет место разложение ТМ = Б © Б1.
Многообразие Сасаки - контактное метрическое пространство, удовлетворяющее дополнительному условию Жф + 2ёп®| = 0, где Иф(X,У) = [фX,фУ] +
+ ф2 [X,У] — ф[фX,У]-ф[[Г,фУ] - тензор Нейенхейса эндоморфизма ф. Выполнение условия Ыф + 2ё п®| = 0 означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством.
Более подробно подход автора к исследованию почти контактных метрических многообразий изложен в работе [5]. В основе этого подхода лежит активное использование внутренней, или, в другой терминологии, трансверсальной геометрии изучаемых пространств. Идея использования внутренней геометрии и внутренних инвариантов восходит к исследованиям Вагнера [9, 10].
Наряду с инвариантным методом в работе используется метод координат. А именно, карту К(ха) (а, в, у = 1,..., п; а, Ь, с = 1,..., п-1) многообразия М будем называть адаптированной к распределению Б, если дп =| [7]. Пусть Р: ТМ^Б - проектор, определяемый разложением ТМ = Б © Б1, и К (ха) -
адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = еа = да — ГП дп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение Б: Б1 = зрап(еа). Неголономному полю базисов (еа) = (еа, дп) соответствует
поле кобазисов (ёха,п = 9п = ёхп +Гпаёха). Имеет место равенство [еа,еЬ] = = 2юЬадп. Условие ёп(|,X) = 0 влечет справедливость равенства дпГп = 0.
Для адаптированных карт К(ха) и К'(ха ) выполняются следующие формулы преобразования координат: ха = ха (ха ), хп = хп + хп (ха ).
Тензорное поле /-типа (р,ч), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению Б), или трансверсальным, если / обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются или п. Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид / = ^ ®...®еа ® ёхЬ ®...® ёхЬч.
Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:
га _ да лЪ'.а' 1Ъ - Аа'АЪ 1Ъ' ,
ла' дха'
где да _-
йха
Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные д^ являются компонентами допустимого тензорного поля того
же типа. Заметим, что обращение в нуль производных д^ не зависит от выбора адаптированных координат.
Внутренней линейной связностью V [5] на многообразии с почти контактной метрической структурой называется отображение V:Г(Б)хГ(Б) ^ Г(Б), удовлетворяющее следующим условиям:
1) ^х+^у = + f'LV у;
2) Vх /у _(х/) у + /V-у;
3) V х (у+г )_Vxx У+V х г,
где Г(Б) - модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой
точке принадлежащих распределению Б.
Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения
' I дха'
V- ёЪ _ ГсаЪёс. Из равенства ёа _ Ааёа', где Аа _——, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:
Гс _ Аа АЪ' АсГс' + АсР Ас'
Г аЪ _ АаАЪ Ас'Г а Ъ' + Ас'ёаАЪ ■
Отсюда, в частности, следует, что производные дпГ^с являются компонентами
допустимого тензорного поля.
Известно [5], что на многообразии М существует единственная внутренняя связность V с нулевым кручением, такая, что VX8(У,2)_ О, X,У,2 еГ(Б). Кручение внутренней линейной связности по определению полагается равным £(X,У) _ VXУ-VУХ_Р[Х,У], где Р: ТМ ^ Б - проектор, определяемый разложением ТМ _ Б © Б1.
Пусть Vе - связность Леви-Чивита и Г^ - ее коэффициенты. В результате
непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующего предложения.
Предложение 1 [5]. Коэффициенты связности Леви-Чивита почти контактного метрического многообразия в адаптированных координатах имеют вид
Г с _ гс Г п _ _ С Г Ъ _ ГЪ _ сЪ +1|<Ъ Г п _ Г а _ О
аЪ аЪ аЪ Ъа аЪ ап па а а па пп
Га 1 сё / ^ ^ \ Ъ Ъс
■■ ас _ 2е (ёЪ8сё + ёс8Ъё _ ёё8Ъа ), У а _ 8 Юас,
СаЪ _ "2 дп8аЪ , СЪ _ 8 Сас -
Предложение 2 [5]. Пусть N ТМ ^ ТМ - эндоморфизм касательного расслоения почти контактного метрического многообразия М, такой, что Ы^ = 0, N (Б )с Б. Тогда на многообразии М существует единственная линейная связность Vх с кручением Б^У), однозначно определяемая следующими условиями:
1) Б(X,У) = 2ю^,У) + )ЫУ —п(У)XX, X,У еГ(ТМ);
2) VЫ^У = VXУ, X,У еГ(Б);
3) VNX| = 0, X еГ(ТМ).
Определим в адаптированных координатах отличные от нуля коэффициенты
связности ^ , положив ОЦс = 2gad (^сё + ecgЬd — ^Ьс ) О™ = ^ . Непосредственно проверяется, что определяемая тем самым связность удовлетворяет условиям предложения 2.
Из предложения 2 следует, что vXg(У,2) = 0, X,У,2 еГ(Б). Последнее замечание подтверждает целесообразность назвать связность Vх полуметрической.
Положим Б(X,У,2) = g(Б(X,У),2), X,У,2 еГ(ТМ). В адаптированных
координатах возможно ненулевые компоненты тензора Б (X, У, 2) будут иметь следующий вид:
Б (( , еЬ , дп ) = 2®аЬ ;
Б (а, дп, ) = — g №, еЬ);
Б (д п, еа, ?Ь ) = g (хеа, ).
Как видно из полученных равенств, тензор Б (X, У, 2) кососимметричен тогда и только тогда, когда 2юаЬ = g (Ыеа, еЬ) или 2юаЬ = gЬcNca. Отсюда получаем Ыса = 2gcЬюаЬ. Таким образом, в силу равенства \\1Ьа = gЬcюас окончательно получаем Ыса = 2\. Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 1. Линейная связность Vх, заданная на почти контактном метрическом многообразии, кососимметрична тогда и только тогда, когда N = 2у, где эндоморфизм у: ТМ^ ТМ определяется из равенства ю(X,У) = g(\X,У).
В инвариантном виде тензор кручения задается следующим образом:
= плё п.
В дальнейшем будем полагать, что для связности Vх со структурным эндоморфизмом N = 2у будет использоваться обозначение ^.
Теорема 2. Линейная связность ^, заданная на почти контактном метрическом многообразии, метрическая тогда и только тогда, когда g = 0.
Доказательство. Из предложения 2 следует, что V\fgaЬ = 0. Вычислим
gaЬ. Имеем
V\gaЬ = д ngaЬ — 2\^сЬ + 2\^ас = д ngaЬ + 2gCd adagcЬ + ^ adЬgac = = дngаЬ +2юаЬ +2юЬа =дngaЬ.
Пусть К(Х,У)2, X,У,2 еГ(ТМ), тензор кривизны связности ^. Вычислим ненулевые компоненты тензора К(Х,У)2. Имеем
КЪ _ КЪ + , КП _ VaУ +дпГс. Здесь Я^с _ 2ё[а Г Ъ]с + 2ГМё|ГЪ ]с - компоненты тензора кривизны Схоутена [5], определяемого равенством
я(х,у)г ^ХVyZ_VyVxZ_Vp[x,y]2_Р[е[х,у],г], е=/-Р.
Инвариантное представление тензора К(Х,У)2 имеет вид
к (х, у ) г _ я (х, у ) г+п(у XV х у) г _п( х )(vy у) г+4®( х, у )уг,
X,У,г еГ(ТМ).
После необходимых вычислений в адаптированных координатах убеждаемся в справедливости следующих теорем.
Теорема 3. Х-связность с кососимметрическим кручением, заданная на субри-мановом многообразии контактного типа, является плоской тогда и только тогда, когда Я(х,У)г _ _4ю(х,У)у1, Vу _ 0, х,У,г еГ(Б).
Теорема 4. Кручение кососимметрической линейной связности Vу, заданной на субримановом многообразии М, параллельно тогда и только тогда, когда V® _ 0, где V - внутренняя метрическая связность.
Пусть почти контактное метрическое многообразие М является многообразием Сасаки. В этом случае имеет место равенство V® _ 0. Что позволяет в качестве следствия теоремы 4 сформулировать теорему 5.
Теорема 5. Кручение кососимметрической линейной связности Vу (Х = -2ф), заданной на сасакиевом многообразии М, параллельно.
Таким образом, на каждом почти контактном метрическом многообразии существует единственная Х-связность с кососимметрическим кручением. Будем называть эту связность канонической связностью.
3. Примеры ^'-Эйнштейновых почти контактных метрических многообразий
В работе [3] было установлено, что на многообразии Сасаки существует единственная связность с кососимметрическим кручением, совместимая с почти контактной метрической структурой. Такая связность была названа характеристической связностью. Обозначим характеристическую связность символом V. Мы покажем, что в случае многообразия Сасаки характеристическая связность совпадает с канонической связностью: V _VУ. Действительно, Vу является канонической связностью и, тем самым, является единственной среди Х-связностей, обладающих кососимметрическим кручением. С другой стороны, как следует из теоремы 2, каноническая связность совместима с почти контактной метрической структурой многообразия Сасаки. Таким образом, доказано следующее предложение.
Предложение 3. Для многообразия Сасаки каноническая связность является единственной связностью с кососимметрическим кручением.
Вернемся к компонентам тензора кривизны К(К,У)2 канонической связности: КЬ = ^оЬс + 4® аЬ^ , кп = Vа\ —дпГdc.
Пусть к (X, У), г (X, У) - тензоры Риччи и Риччи - Схоутена [5] соответственно. В адаптированных координатах получаем
каЬ = ГаЬ + 4о da , кап = кпп = 0, кпа = дпО —Vd \ .
Пусть М - VX-Эйнштейново почти контактное метрическое многообразие: к (X, У ) = ag (X, У). Из равенства кпп = 0 следует, что а = 0. Таким образом,
справедлива следующая теорема:
Теорема 6. Почти контактное метрическое многообразие ^^Эйнштейново тогда и только тогда, когда оно риччи-плоское.
Пример 1. Пусть М - неголономное многообразие Кенмоцу. Покажем, что многообразие М не является ^'-Эйнштейновым многообразием. Действительно, пусть кЬ = гаЬ + 4юа= 0. Или пусть гаЬ = 40^. Однако последнее равенство выполняться не может. В работе [15] было показано, что дпгаЬ = 0, в то время как дп\\Ь, * 0.
Пример 2. Пусть М - многообразие Сасаки. В работе [13] доказывается утверждение, что на сасакиевом многообразии существует единственная связность V с кососимметричным кручением, совместимая со структурой многообразия: Vn = Vф = Vg = 0.
Условие гаЬ = 4®аа \% для многообразия Сасаки перепишется в виде гаЬ = 4®аа . Из свойств многообразия Сасаки следует, что последнее равенство эквивалентно равенству гЬ = —4 gaЬ. Таким образом, многообразие Сасаки является ^-Эйнштейновым многообразием относительно канонической связности тогда и только тогда, когда выполняется равенство гаЬ = —4 gaЬ.
4. Заключение
Из результатов, полученных в работе [3], следует, что на почти контактном метрическом многообразии существуют связности с кососимметрическим кручением, не являющиеся ^связностями. А именно, в цитируемой работе доказывается, что для некоторого класса почти контактных метрических многообразий существует связность с кососимметрическим кручением, сохраняющая почти контактную метрическую структуру. При этом эта связность определена однозначно, если ее кручение Б имеет следующее строение:
£ = ПА% П + % фО + ^ф—пл(и Nф), где d ^^, У, 2 ) = — d □ (фТ, фУ, ф2), Йф = Nф + 2d п®|.
В работе [1] основное внимание уделяется метрическим связностям с косо-симметрическим кручением. В то же время, в одной из версий теории Эйнштейна - Картана требование метричности используемой связности снимается [2, 16, 17]. Последнее замечание подчеркивает актуальность исследования ^-Эйнштей-новых многообразий, связности которых в общем случае не обладают свойством метричности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Agricola I., Ferreira A.C. Einstein manifolds with skew torsion // Quart. J. Math. 2014. V. 65. P. 717-741.
2. Гордеева И.А., Паньженский В.И., Степанов С.Е. Многообразия Римана - Картана // Итоги науки и техники (совр. мат-ка и ее прил-я). 2009. Т. 123. С. 110-141.
3. Friedrich T., Ivanov S. Parallel spinors and connections with skew-symmetric torsion in string theory // Asian J. Math. 2002. V. 6. P. 303-336.
4. Галаев С.В. Плоские кососимметрические связности на многообразиях Сасаки // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию. 2019. № 5. С. 20-23.
5. Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Вестник Волгоградского государственного университета. Сер. 1. Мат. Физ. 2017. № 2 (39). С. 6-17.
6. Bejancu A. Kahler contact distributions // Journal of Geometry and Physics. 2010. V. 60. P.1958-1967.
7. Schouten J., Kampen E. Zur Einbettungs- und Krummungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Ann. 1930. V. 103. P. 752-783.
8. Falbel E., Gorodski C. On contact sub-riemannian symmetric spaces // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. Serie 4. 1995. V. 28. No. 5. P. 571-589.
9. Вагнер В.В. Геометрия (п-1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
10. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. унта, 1941. Вып. 5. С. 301-327
11. Букушева А.В., Галаев С.В. Геометрия почти контактных гиперкэлеровых многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2017. № 48. С. 32-41.
12. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. № 1. С. 25-34.
13. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. Вып. 2. С. 138-147.
14. Galaev S.V. Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. V. 39. No. 1. P. 71-76.
15. Букушева А.В. О тензоре Схоутена - Вагнера неголономного многообразия Кенмоцу // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию. 2019. № 5. С. 15-19.
16. Крым В.Р. Уравнение Якоби для горизонтальных геодезических на неголономном распределении и тензор кривизны Схоутена // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2018. № 3. C. 64-94. http://diffjournal.spbu.ru/RU/numbers/2018.3/article. 1.3.html
17. HamondR.T. Torsion gravity // Rep. Prog. Phys. 2002. V. 65. P. 599-649.
Статья поступила 09.10.2020
Galaev S.V. (2021) V-EINSTEIN ALMOST CONTACT METRIC MANIFOLDS. Vestnik
Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University
Journal of Mathematics and Mechanics]. 70. pp. 5-15
DOI 10.17223/19988621/70/1
Keywords: Almost contact metric manifold; interior connection; semimetric connection with
skew-symmetric torsion; VN-Einstein manifold.
On an almost contact metric manifold M, an N-connection VN defined by the pair (V,N),
where V is the interior metric connection and N: TM ^ TM is an endomorphism of the tangent
bundle of the manifold M such that NE, = 0, N (D)c D , is considered. Special attention is paid
to the case of a skew-symmetric N-connection VN, which means that the torsion of an N-connection considered as a trivalent covariant tensor is skew-symmetric. Such a connection is uniquely defined and corresponds to the endomorphism N = 2y, where the endomorphism y is defined by the equality ro(X ,Y ) = g (\yX ,Y ) and is called in this work the second structure
endomorphism of an almost contact metric manifold. The notion of a VN-Einstein almost contact metric manifold is introduced. For the case N = 2y, conditions under which almost contact manifolds are VN-Einstein manifolds are found.
AMS Mathematics Subject Classification: MSC 53c15
Sergei V. GALAEV (Candidate of Physics and Mathematics, National Research Saratov State University named after G.N. Chernyshevsky, Saratov, Russian Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Agricola I., Ferreira A.C. (2014) Einstein manifolds with skew torsion. Quarterly Journal of Mathematics. 65. pp. 717-741.
2. Gordeeva I.A., Panzhenskiy V.I., Stepanov S.E. (2009) Mnogoobraziya Rimana - Kartana [Riemann-Cartan manifolds]. Itogi nauki i tekhniki. 123. pp. 110-141.
3. Friedrich T., Ivanov S. (2002) Parallel spinors and connections with skew-symmetric torsion in string theory. Asian Journal of Mathematics. 6. pp. 303-336.
4. Galaev S.V. (2019) Ploskiye kososimmetricheskiye svyaznosti na mnogoobraziyakh Sasaki [Flat skew-symmetric connections on Sasaki manifolds]. Trudy seminara po geometrii i matematicheskomu modelirovaniyu. 5. pp. 20-23.
5. Galaev S.V. (2017) O raspredeleniyakh so spetsial'noy kvazi-sasakiyevoy strukturoy [On distributions with special quasi-Sasakian structure]. Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics. 2(39). pp. 6-17.
6. Bejancu A. (2010) Kähler contact distributions. Journal of Geometry and Physics. 60(12). pp. 1958-1967.
7. Schouten J., Kampen E. (1930) Zur Einbettungs- und Krümmungstheorie nichtholonomer Gebilde. Mathematische Annalen. 103. pp. 752-783.
8. Falbel E., Gorodski C. (1995) On contact sub-riemannian symmetric spaces. Annales scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, Serie 4. 28(5). pp. 571-589.
9. Vagner V.V. (1941) Geometriya (n-1)-mernogo negolonomnogo mnogoobraziya v n-mer-nom prostranstve [Geometry of an (n-1 )-dimensional nonholonomic manifold in an n-dimensional space]. Trudy seminara po vektornomu i tenzornomu analizu. Moscow: Moscow Univ. Press. 5. pp. 173-255.
10. Vagner V.V. (1941) Geometricheskaya interpretatsiya dvizheniya negolonomnykh di-namicheskikh sistem [Geometric interpretation of the motion of nonholonomic dynamical systems] Trudy seminara po vektornomu i tenzornomu analizu. Moscow: Moscow Univ. Press. 5. pp. 301-327.
11. Bukusheva A.V., Galaev S.V. (2017) Geometriya pochti kontaktnyh giperkelerovykh mnogoobraziy [Geometry of almost contact hyperkähler manifolds]. Differentsial'naya geometriya mnogoobrazij figur. 48. pp. 32-41.
12. Galaev S.V. (2015) Pochti kontaktnyye metricheskiye struktury, opredelyayemyye N-prodolzhennoy svyaznost'yu [Almost contact metric structures defined by an N-prolonged connection]. Yakutian Mathematical Journal. 22(1). pp. 25-34.
13. Galaev S.V. (2017) Prodolzhennyye struktury na koraspredeleniyakh kontaktnykh met-richeskikh mnogoobraziy [Extended structures on codistributions of contact metric manifolds]. Izvestiya Saratovskogo Universiteta Novaya Seriya - Matematika Mekhanika Infor-matika. 17(2). pp. 138-147. DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-2-138-147.
14. Galaev S.V. (2018) Admissible hyper-complex pseudo-Hermitian structures. Lobachevskii Journal of Mathematics. 39(1). pp. 71-76. DOI: 10.1134/S1995080218010122
15. Bukusheva A.V. (2019) O tenzore Skhoutena - Vagnera negolonomnogo mnogoobraziya Kenmotsu [On the Schouten-Wagner tensor of a nonholonomic Kenmotsu manifold]. Trudy seminara po geometrii i matematicheskomu modelirovaniyu. 5. pp. 15-19.
16. Krym V.R. (2018) Uravnenie Yakobi dlya gorizontal'nykh geodezicheskikh na negolo-nomnom raspredelenii i tenzor krivizny Skhoutena [Jacobi equation for horizontal geodesics on a nonholonomic distribution and Schouten curvature tensor]. Differentsial'nye uravneniya i processy upravleniya. 3. pp. 64-94. http://diffjournal.spbu.ru/RU/numbers/2018.3/article. 1.3.html
17. Hamond R.T. (2002) Torsion gravity. Reports on Progress in Physics. 65. pp. 599-649.
Received: October 9, 2020
