CC BY
8
УДК 514.76
С. В. Галаев1
1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского [email protected] doi: 10.5922/032М796-2020-51-7
Связности с параллельным кососимметрическим кручением на субримановых многообразиях
На субримановом многообразии М контактного ти-
хт ^
па рассматривается М-связность V , определяемая парой (V , М), где V — внутренняя метрическая связность, N : Б ^ Б — эндоморфизм распределения Б. Доказывается, что существует, и причем единственная,
М-связность VN такая, что ее кручение, представленное трехвалентным ковариантным тензором, кососим-метрично. Находится строение соответствующего этой связности эндоморфизма. Приводятся условия, при которых полученная связность является метрической связностью, а ее кручение — параллельным тензорным полем.
Ключевые слова: субриманово многообразие контактного типа, внутренняя связность, плоская полуметрическая связность с кососим-метрическим кручением, тензор Схоутена.
Введение
Субримановым многообразием контактного типа называется гладкое многообразие М, оснащенное субримановой
структурой ^Мgгде г и ^ — 1-форма и единичное векторное поле, порождающие ортогональные между собой
Поступила в редакцию 15.05.2020 г. © Галаев С. В., 2020
распределения В и В^ соответственно. Субриманово многообразие нечетной размерности, оснащенное дополнительно
2 —
эндоморфизмом р: В ^ В таким, что р = —1 + назы-
вается почти контактным метрическим многообразием. Если почти контактное метрическое многообразие представляет собой интерес как обобщение поверхности эрмитова пространства, то мотивация к исследованию субриманова многообразия вызвана необходимостью построения математических моделей в задачах теории управления и неголономной механики. Различие в мотивации исследования почти контактных метрических многообразий и субримановых многообразий проявляется в выборе связностей, задающих параллельный перенос на многообразиях. Для почти контактных метрических многообразий, образующих специальный класс римановых многообразий, естественным является выбор связности Леви-Чивиты. В геометрии субримановых многообразий используются связности, обеспечивающие параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых. В настоящей работе такие связности определяются парой (V , К), где V — внутренняя метрическая связность, а N : В ^ В — эндоморфизм распределения В, называемый в работе структурным эндоморфизмом. Говоря об эндоморфизме распределения Б, мы имеем в виду эндоморфизм N: ТМ ^ ТМ такой, что N<% = О, N(В) с В.
В настоящей работе на субримановом многообразии контактного типа М наряду со связностью Леви-Чивиты V рассматривается К-связность VN с ненулевым кососимметриче-ским кручением 5". Здесь N: ТМ ^ ТМ — эндоморфизм, определяемый равенством NX = 5(%,X). Мотивация к изучению К-связности подкрепляется богатыми приложениями ри-мановых многообразий со связностями с кручением в теоретической физике [1; 5]. Особый интерес представляют связности с кососимметрическим кручением [6; 7; 9—11]. Известно, что метрическая связность с кососимметрическим кручением име-
ет те же геодезические, что и связность Леви-Чивиты. В настоящей работе доказывается, что на субримановом многообразии существует единственная К-связность VN с ненулевым кососимметрическим кручением 5, которая метрическая тогда и только тогда, когда выполняется равенство = О. Доказывается, что эта связность единственна и соответствующий ей эндоморфизм имеет следующее строение: N = 2 ц, где эндоморфизм ц определяется равенством а>(X, У) = g (уХ, У).
Особый интерес для исследователей представляют многообразия со связностями с параллельными полями кручения [11]. В работе [4] автора приведены примеры связностей с кручением, задаваемых на многообразиях с почти контактной (субри-мановой) структурой. Некоторые виды указанных связностей принадлежат классу К-связностей. Однако до настоящего времени не приводились примеры римановых многообразий, оснащенных метрической К-связностью с параллельным косо-симметрическим кручением.
Определение и основные свойства ^связности с кососимметрическим кручением
Пусть М — гладкое многообразие размерности п = 2т +1, т > 1, с заданной на нем субримановой структурой
(М,%,г,g,В), где г и ^ — 1-форма и единичное векторное поле, порождающие ортогональные между собой распределения В и В^ соответственно. Нечетная размерность многообразия выбрана исключительно для удобства перехода к многообразиям с почти контактной метрической структурой без дополнительных рассуждений о размерности.
Известно [8], что на субримановом многообразии существует единственная внутренняя связность V с нулевым кручением такая, что Vxg(У,2) = О, X,У,2 еГ(В). Кручение
внутренней линейной связности по определению полагается равным 5(X,У) = VXY -Р[Х,У], где Р: ТМ^ Б —
проектор, определяемый разложением ТМ = Б Ф Б^.
Пусть К(ха) (а, в, у = 1, ..., п; а, Ь, с = 1, ..., п- 1) — карта многообразия М, адаптированная к распределению Б [12]. Векторные поля Р (8 а) = еа = 8 а -Г а 8 п порождают систему Б: Б = 8рап(еа). Таким образом, мы имеем на многообразии М неголономное поле базисов (еа) = (еа, 8п) и соответствующее ему поле кобазисов (йХа ,г = ©п = dxn + Гаdxа).
Пусть V — связность Леви-Чивиты и Г д^ — ее коэффициенты. В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующего предложения.
Предложение 1. Коэффициенты связности Леви-Чивиты субриманова многообразия в адаптированных координатах имеют вид
Г°аЬ =Г°аЬ, Г ПаЬ =аЬа - СаЬ,
]ГЬ =ГЬ = СЬ +фЬ Гп =Га =0
1 ап 1 па ^а^ га^^па 1 пп и>
где
га 1 ad , - - \ Ь Ьс
ГЬс = 2g (ebgcd + ecgbd - edgbc ), ¥а = g ®ас,
СаЬ = 2 8ngab, Сь = g Сас.
Предложение 2. Пусть N : ТМ ^ ТМ — эндоморфизм касательного расслоения субриманова многообразия М такой, что N1% = 0, N(Б) с Б. Тогда на многообразии М существует
единственная линейная связность VN с кручением 5 (X, У), однозначно определяемая следующими условиями:
1) 5(X,У) = 2а (X,У)| + г(Х)т -г(У)Ш, X,У,г еГ(ТМ);
2) vXУ = V xУ, X ,У еГ( В );
3) vN| = О, X е Г(ТМ).
Определим в адаптированных координатах отличные от нуля коэффициенты связности V ^, положив
°Ьс = 2gad (её + ^Ъй — edgbc), °Ъпа = К\.
Непосредственно проверяется, что определяемая тем самым связность удовлетворяет условиям предложения 1. Из предложения 1 следует, что
VNXg (У, 2) = О, X ,У, 2 еГ( В ).
Последнее замечание подтверждает целесообразность наз-
Y7N
вать связность V полуметрической.
Положим 5 (X, У, 2) = g (5 (X ,У), 2), X, У, 2 еГ(ТМ ). В адаптированных координатах возможно, что ненулевые компоненты тензора 5(X,У,2) будут иметь следующий вид:
5 (еа, еЪ, д п ) = 2ааЪ,
(¿а, 8 п, ёЪ ) = — g (N2а, еъ ),
5 (8 п, еа, ¿Ъ) = g (^а, ¿ъ).
Как видно из полученных равенств, тензор 5(X,У,2) ко-сосимметричен тогда и только тогда, когда 2о>аъ = g(Ша, еъ )
или 2юаЪ = gъcNca. Отсюда получаем ^ = 2gcЪюaъ. Таким образом, в силу равенства У = gЪcюac окончательно получаем: ^ = 2уа. Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 1. Линейная связность V^^, заданная на субри-мановом многообразии, кососимметрична тогда и только тогда, когда N=
В дальнейшем будем полагать, что для связности VN выполняется условие N = 2^.
Теорема 2. Линейная связность V^^, заданная на субри-мановом многообразии, метрическая тогда и только тогда, когда Ь^g = 0.
Доказательство. Из предложения 2 следует, что VNgaЬ = 0.
Вычислим VN gaь. Имеем
vNgaЬ =8ngaЬ - 2¥°^сЬ + 2¥^ас =8ngaЬ + 2gCd®dagcЬ +
+2gCd®dЬgac = 8ngaЬ + 2юаЬ + 2юЬа = 8ngaЬ.
Будем полагать в дальнейшем, что VN — метрическая связность с эндоморфизмом N = 2^.
Пусть К(X,У )г, X, У, г е Г(ТМ), — тензор кривизны
связности VN. Вычислим ненулевые компоненты тензора К (X ,У )г. Имеем
КаЬс = КаЬс + 4 ^, К'апс = VaNd.
Здесь ЯаЬс = 2е[а г[]с + 2Г[а|е|ГЬ]с — компоненты тензора кривизны Схоутена [3], определяемого равенством
я (X, у ) г = Vx VYZ - VY VxZ - Vp[ X ,У ]г -Р [б [ x,Y ], г ], й=1-Р.
Инвариантное представление тензора К(X, У)2 имеет вид
К (X, У) 2 = Я( X, У )2 + г( X XV XN )2 —
—г(x )(VУN) 2 + 4®( X, У )у(2),
X, У, 2 еГ(ТМ ).
После необходимых вычислений в адаптированных координатах убеждаемся в справедливости следующих теорем.
Теорема 3. ^связность с кососимметрическим кручением, заданная на субримановом многообразии контактного типа, является плоской тогда и только тогда, когда
Я^,У)2 = —4®(X,У)у(2), VN = О, X,У,2 еГ(В).
Теорема 4. Кручение кососимметрической линейной связности VN, заданной на субримановом многообразии М, параллельно тогда и только тогда, когда Vа = О, где V — внутренняя метрическая связность.
Пусть субриманово многообразие М является многообразием Сасаки. В этом случае имеет место равенство V® = О, что позволяет в качестве следствия теоремы 4 сформулировать теорему 5.
Теорема 5. Кручение кососимметрической линейной связности VN (N=-2^), заданной на сасакиевом многообразии М, параллельно.
Заключение
В настоящей работе приводится новый пример многообразия Картана — Римана [5] с кососимметрическим параллельным кручением. Таким примером служит субриманово многообразие с заданной на нем К-связностью специального вида. Пока остается нерешенной следующая интересная задача: получить классификацию эндоморфизмов N: В ^ В, основанную на изучении алгебраической структуры тензоров кручения соответствующих К-связностей.
Список литературы
1. Букушева А. В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // ДГМФ. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 58—63.
2. Букушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с ф-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер.: Математика. Физика. 2015. № 17 (214), вып. 40. С. 20—24.
3. Букушева А. В., Галаев С. В. Геометрия почти контактных ги-перкэлеровых многообразий // ДГМФ. Калининград, 2017. Вып. 48. С. 32—41.
4. Галаев С. В. О геометрии субримановых n-Эйнштейновых многообразий // ДГМФ. Калининград, 2019. Вып. 50. С. 68—81.
5. Гордеева И. А., Паньженский В. И., Степанов С. Е. Многообразия Римана — Картана // Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. 2009. Т. 123. С. 110—141.
6. Agricola I., Ferreira A. C., Friedrich Th. The classification of naturally reductive homogeneous spaces in dimensions n < 6 // Differ. Geom. Appl., 2015. Vol. 39. P. 59—92.
7. Alexandrov B. Sp(n)U(1)-connections with parallel totally skew-symmetric torsion // J. Geom. Phys. 2006. Vol. 57. P. 323—337.
8. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov, Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Vol. 4 (53), № 2. Р. 13—22.
9. Cleyton R., Swann A. Einstein metrics via intrinsic or parallel torsion Mathematische Zeitschrift. 2004. Vol. 247. P. 513—528.
10. Dileo G., Lotta A. A note on Riemannian connections with skew torsion and the de Rham splitting // Manuscripta math. 2018. Vol. 156, № 3-4. P. 299—302.
11. Friedrich Th. G2-manifolds with parallel characteristic torsion // Differ. Geom. Appl. 2007. Vol. 25. P. 632—648.
12. Galaev S. V.Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39, № 1. P. 71—76.
S. Galaev1 1 Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., Saratov, 410012, Russia [email protected] doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-7
Connections with parallel skew-symmetric torsion on sub-Riemannian manifolds
Submitted on May 15, 2020
On a sub-Riemannian manifold M of contact type, is considered an
N-connection VN defined by the pair (V , N), where V is an interior metric connection, N: D ^ D is an endomorphism of the distribution
D. It is proved that there exists a unique N-connection VN such that its torsion is skew-symmetric as a contravariant tensor field. A construction of the endomorphism corresponding to such connection is found. The sufficient conditions for the obtained connection to be a metric connection with parallel torsion are given.
Keywords: sub-Riemannian manifold of contact type, interior connection, flat semi-metric connection with skew-symmetric torsion, Schouten tensor.
References
1. Bukusheva, A.V.: Nonlinear connections and internal semi-pulverization on a distribution with a generalized Lagrangian metric. DGMF. Kaliningrad. 46, 58—62 (2015).
2. Bukusheva, A. V.: The geometry of the contact metric spaces 9-connection. Scientific Bulletin of Belgorod State University. Ser. Mathematics. Physics, 17 (214):40, 20—24 (2015).
3. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Geometry of almost contact hyperkahler manifolds. DGMF. Kaliningrad. 48, 32—41 (2017).
4. Galaev, S. V.: On a sub-Riemannian manifold of contact type a connection. DGMF. Kaliningrad. 50, 68—81 (2019).
5. Gordeeva, I.A., Panzhensky, V.I., Stepanov, S.E.: Riemann — Cartan manifolds. Itogi nauki i tekhn. Sovrem. math. and its app. Theme reviews, 123, 110—141 (2009).
6. Agricola, I., Ferreira, A.C., Friedrich, Th.: The classification of naturally reductive homogeneous spaces in dimensions n < 6. Diff. Ge-om. Appl., 39, 59—92 (2015).
7. Alexandrov, B.: Sp(n)U(1)-connections with parallel totally skew-symmetric torsion. J. Geom. Phys., 57, 323—337 (2006).
8. Bukusheva, A. V., Galaev, S. V.: Almost contact metric structures defined by connection over distribution. Bull. of the Transilvania University of Brasov, Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics, 4 (53):2, 13—22 (2011).
9. Cleyton, R., Swann, A.: Einstein metrics via intrinsic or parallel torsion. Math. Z., 247, 513—528 (2004).
10. Dileo, G., Lotta, A.: A note on Riemannian connections with skew torsion and the de Rham splitting. Manuscripta Math. 156:3-4, 299—302 (2018).
11. Friedrich, Th.: G2-manifolds with parallel characteristic torsion. Diff. Geom. Appl., 25, 632—648 (2007).
12. Galaev, S. V.: Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures. Lobachevskii J. of Math., 39:1, 71—76 (2018).
