CC BY
10
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2020. № 4
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
УДК 514.76
doi 10.18522/1026-2237-2020-4-10-16
МНОГООБРАЗИЯ КЕНМОЦУ С НУЛЕВЫМ ТЕНЗОРОМ РИЧЧИ - СХОУТЕНА
© 2020 г. А.В. Букушева1
1Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, Россия
KENMOTSU MANIFOLDS WITH ZERO RICCI-SCHOUTEN TENSOR
A.V. Bukusheva1
1Chernyshevsky Saratov National Research State University, Saratov, Russia
Букушева Алия Владимировна - кандидат педагогических Aliya V. Bukusheva - Candidate of Pedagogics, Associate
наук, доцент, кафедра геометрии, механико-математи- Professor, Department of Geometry, Faculty of Mathematics
ческий факультет, Саратовский национальный исследо- and Mechanics, Chernyshevsky Saratov National Research
вательский государственный университет имени State University, Astrakhanskaya St., 83, Saratov, 410012,
Н.Г. Чернышевского, ул. Астраханская, 83, г. Саратов, Russia, e-mail: bukusheva@list.ru 410012, Россия, e-mail: bukusheva@list.ru
Исследуются инварианты внутренней геометрии многообразий Кенмоцу M. Под внутренней геометрией многообразия M понимается совокупность тех свойств многообразия, которые зависят только от оснащения D1 распределения D многообразия Кенмоцу, а также от параллельного перенесения векторов, принадлежащих распределению D, вдоль произвольных кривых многообразия. Инвариантами внутренней геометрии многообразия Кенмоцу являются тензор кривизны Схоутена; 1-форма ц, порождающая распределение D; производная Ли L^g метрического тензора g вдоль структурного векторного поля \ ; допустимое тензорное поле Схоутена - Вагнера, компоненты
которого в адаптированных координатах выражаются с помощью равенств P= д„Гас; структурный эндоморфизм ф; эндоморфизм N, с помощью которого внутренняя связность продолжается до связности в векторном расслоении. Особое внимание уделяется тензору Риччи - Схоутена. В частности, утверждается, что многообразие Кенмоцу с нулевым тензором Риччи - Схоутена является многообразием Эйнштейна. Справедливо и обратное, если M - п-эйнштейново многообразие Кенмоцу и b е R, r = ag + то M является многообразием Эйнштейна с
нулевым тензором Риччи - Схоутена. Доказывается, что тензор Риччи - Схоутена обращается в нуль тогда и только тогда, когда многообразие Кенмоцу M локально Риччи симметрично. Следствием этого результата является хорошо известный факт: многообразие Кенмоцу является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно локально Риччи симметрично. Вводится в рассмотрение N-связность VN с кручением, которая является Риччи плоской тогда и только тогда, когда M - многообразие Эйнштейна.
Ключевые слова: многообразие Кенмоцу, внутренняя связность, тензор Риччи - Схоутена, ц-эйнштейново многообразие.
The paper is dedicated to the investigation of the interior geometry of the Kenmotsu manifolds M. By the interior geometry
of the manifold M we mean the aggregate of the properties of the manifold that depend only on the closing D1 of the distribution D of the Kenmotsu manifold as well as on the parallel transport of the vectors from the distribution D along arbitrary curves of the manifold. The invariants of the interior geometry of a Kenmotsu manifold are the following: the Schouten curvature tensor; the 1-form n generating the distribution D; the Lie derivative L^ g of the metric tensor g along the structure vector field ^ ; the Schouten-Wagner admissible tensor fields with the components P£c = d„Tac with respect to adapted coordinates; the structural endomorphism (p; the endomorphism N that allows to prolong the interior connection to a connection in a vector bundle. A special attention is payed to the Ricci-Schouten tensor. In particular, it is stated that a Kenmotsu manifold with zero Ricci-Schouten tensor is an Einstein manifold. Conversely, if M is an n-Einstein Kenmotsu manifold and b e R, ~ = ag + then M is an Einstein manifold with zero Ricci-Schouten tensor. It is proved that the Ricci-Schouten tensor
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
is zero if and only if the Kenmotsu manifold M is locally Ricci-symmetric. This implies the following well-known result: a
Kenmotsu manifold is an Einstein manifold if and only if it is locally Ricci-symmetric. An N-connection VN with torsion, is introduced; this connection is Ricci-flat if and only if M is an Einstein manifold.
Keywords: Kenmotsu manifold, interior connection, Ricci-Schouten tensor, q-Einstein manifold.
Введение
Внутренняя геометрия почти контактных метрических многообразий исследовалась в работах [1—9]. Понятие внутренней геометрии неголоном-ных многообразий введено в научный обиход Схо-утеном, а затем получило более широкое толкование в фундаментальной работе Вагнера [10]. Если Схоутен использовал при построении моделей динамических систем с ограничением внутреннюю связность, реализующую параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых, то Вагнеру для решения подобных задач понадобилась связность, осуществляющая параллельный перенос допустимых векторов вдоль произвольных кривых неголономного многообразия. Обращение в нуль тензора кривизны связности Вагнера позволяет упрощать уравнения механических систем с линейными связями. Для построения своей связности Вагнер использовал имеющее специальное строение тензорное поле типа (1,1). Конструкция Вагнера использовалась затем в работах, посвященных исследованию геометрии почти контактных метрических многообразий и их обобщений [3, 5, 6, 9, 11]. Опираясь на идеи Вагнера, авторы указанных работ разработали алгоритм перехода от внутренней связности V к продолженной ^-связности
VМ. ^-связность определяется на почти контактном метрическом многообразии, наделенном внутренней связностью V и эндоморфизмом N: ТМ ^ ТМ касательного расслоения ТМ таким, что N = 0, N(О) с О. ^-связность - это единственная связность, удовлетворяющая следующим условиям [4]:
1) VXY еГ(о);
2) = 0;
3) VNXY = [$,¥] + N1;
4) VNZ = VYZ, X е Г(ТМ), Y, г е Г(о).
Выбирая класс почти контактного метрического многообразия или конкретный эндоморфизм N: ТМ ^ ТМ, можно привести ^-связность к одному из хорошо известных типов связности: полусимметрической, четвертьсимметрической, связности Танака - Вебстера и т.д. [4, 12-16]. В предла-
гаемой работе приводится оригинальный метод построения ^-связности. Доказывается, что независимо от выбора эндоморфизма N: TM ^ TM,
тензор Риччи ^-связности VN обращается в нуль тогда и только тогда, когда M - многообразие Эйнштейна.
Данная работа является продолжением работ [1, 2], где начато изучение внутренней геометрии многообразий Кенмоцу. В частности, было доказано, что многообразие Кенмоцу с нулевым тензором Схоутена является многообразием Эйнштейна. В настоящей работе доказывается, что многообразие Кенмоцу с нулевым тензором Риччи - Схоутена является многообразием Эйнштейна. Справедливо и обратное. Если M - ^-эйнштейново многообразие Кенмоцу и b е R, то M является многообразием Эйнштейна с нулевым тензором Риччи - Схоутена.
Основные сведения из геометрии многообразий Кенмоцу
Почти контактным метрическим многообразием называется гладкое многообразие M нечетной размерности n=2m + 1, m > 1, с заданной на нём почти контактной метрической структурой (M, ^,г,р, g) [1, 4]. Здесь, в частности, п - 1-форма, порождающая распределение D: = ker(^), \ - векторное
поле, порождающее оснащение DL распределения D: Dl = span(^). Гладкое распределение D будем называть распределением почти контактного метрического многообразия. Имеет место разложение
TM = D Ф D . Почти контактное метрическое многообразие называется нормальным, если выполняется условие Nф + 2d] ® \ = 0, где
NV(X,Y) = [pX,pY]+p2[X,Y]- p[pX,Y]-p[X,pY] -
тензор Нейенхейса эндоморфизма ф. Нормальное почти контактное метрическое многообразие называется многообразием Кенмоцу, если dг = 0, dQ = 2] aQ [16-18]. Здесь Q(X,Y) = g(X,pY) -фундаментальная форма почти контактной метрической структуры.
Имеет место
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
Теорема 1 [16]. Почти контактное метрическое многообразие M является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда
(VXP)Y = г)pX - g(X,pY)£.
Для многообразий Кенмоцу выполняются следующие условия [16]:
(Vxv)y = g (X, y ) - г( X )V(Y), L^g = 2( g -г® г).
Большой вклад в изучение многообразий Кенмоцу внес В.Ф. Кириченко [17].
Определяемые далее адаптированные координаты эффективно применяются для исследования геометрии многообразий, оснащенных гладким распределением. По-видимому, адаптированные координаты впервые использовались в работе [10].
Карту K(xa) (а, в, Y = 1,..., n; a, b, c = 1,..., n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если дп = £ [7]. Пусть P: TM ^ ^D - проектор, определяемый разложением TM = D © D^, и K(xa) - адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = ea = да - ТПдп порождают распределение D: D = span (ea). Мы будем активно использовать неголономное поле базисов (ea) = (ea, д п ). Непосредственно проверяется, что
спра-
л a
где А,. =
cxa
cxa
Предложение 1 [7]. Коэффициенты связности Леви - Чивита почти контактного метрического многообразия в адаптированных координатах име-
ют вид
Yb = 1 §cd i^bëcd + ecSbd - edSba )
Tn — /~i — с ~ь _ ~b _ (~<b b
1 ab =шЬа Cab, 1 an = Yna = Ca +ra,
Yn = Ya = 0
na nn '
где Cab =1 dngab, Cab = gaaCdb, W = gb%ab.
Для многообразия Кенмоцу в адаптированных
координатах Cab = gab Cb =sba , ®ba = 0 wI = 0. Таким образом, получаем
Предложение 2 [1]. Коэффициенты связности Леви - Чивита многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах имеют вид
Yab = 1 {ebScd + ecSbd - edSba ).
[ea, eb ] = 2abadn. Условие % e ker a влечет
ведливость равенства дпТ'П = 0. Пусть K(xa) и
K'(xa ) - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат: xa = xa(xd), xn = xn + xn(xa).
Преобразование компонент допустимого тензорного поля t в адаптированных координатах подчиняется следующему закону [7]: t£ = ЛуА tу ,
2
~n __ ~b _ ~b _ ob ~n _ ~a
* ab = gab, * an = *na = °a, *na = * nn = 0.
Непосредственным следствием предложения 2 является
Предложение 3. Ненулевые компоненты тензора кривизны R(X, Y )Z связности Леви - Чивита многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах принимают вид
Rabc Rabc + ^b Sac ^а Sbc, Ranc St
dr
anc oac->
Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные
дг^'ь являются компонентами допустимого тензорного поля. Заметим, что обращение в нуль производных дп1ь не зависит от выбора адаптированных координат.
Пусть у: 7М ^ TM - эндоморфизм, определяемый равенством со(х, Y ) = g(yX, Y).
Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви -
Чивита тензора g: V, Гру. Имеет место следующее
xabc Rabc + ubSac ua
Rc = ?c Rnan ua■
Здесь - компоненты тензора Схоутена в
адаптированных координатах [7]:
аЬс = 2е[аГ6]с + ^[а^Щс . Тензор Схоутена является допустимым тензорным полем, определяемым равенством
я(х ^ =
= Vх VYZ - VYVхг - VР[х^г - рШх, ^], г], где х^,г еГ(о); Q=I-P; V - внутренняя связность, определяемая ниже.
Тензор К(х ^ )г б^1л назван тензором кривизны Схоутена В.В. Вагнером в работе [10]. В той же работе В.В. Вагнером был введен допустимый тензор, определяемый в адаптированных координатах
следующим образом: Р^ = дпГ'СВ нашей работе этот тензор мы называем тензором Схоутена - Вагнера. Заметим, что иногда тензором Схоутена называют также тензор одномерной кривизны, не имеющий непосредственного отношения к настоя-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
щей работе. Тензор Схоутена используется, в частности, в теоретической физике [19].
Распределение Б назовем распределением нулевой кривизны, если тензор Схоутена равен нулю.
Теорема 2 [1]. Многообразие Кенмоцу с нулевым тензором Схоутена является многообразием Эйнштейна.
Доказательство теоремы сводится к вычислению тензора Риччи ~ многообразия М в адаптированных координатах. Из равенств
Гё ____Гп __Гс _ ос
ГаЬс ~°Ьоас 0аоЪе Гапс = оас> "пап = °а
следует что Гас = 2ш%ас, = 2т-
Почти контактное метрическое многообразие называется ц-эйнштейновым, если выполняется условие ~ = ag + где а и Ъ - гладкие функ-
ции. Хорошо известно, что если Ъ=еожХ, то ц-эйнштейново многообразие является многообразием Эйнштейна. В нашем случае а=2т, Ъ=0, что и доказывает теорему.
Внутренней линейной связностью V на многообразии с почти контактной метрической структурой [7] называется отображение V: Г(о)хГ(о) ^■Г(о), удовлетворяющее следующим условиям:
1) V/х+/2г = + ;
2) VxfY = (Xf )¥ + ^х¥ ;
3) Vх (Y + 2 хY + V х2,
где Г(о) - модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения Ve еь =Г<сьес. Из равенства
, дха'
еа = А". еа', где АО, =-, следует формула пре-
дха
образования для коэффициентов связности:
ГаЬ = Аа АЪ А1'ГасЬ' + 4еаАЪ . Кручение 5 внутренней линейной связности по определению полагается равным £ (X,Y ) = VXY -^х - Р[ X,Y ]. Таким образом, в адаптированных координатах
пС _т^С т^С
ЛаЬ =ГаЬ-ГЬа.
Заметим, что из формулы преобразования для
коэффициентов связности Г^ следует корректность определения тензора Схоутена - Вагнера.
На почти контактном метрическом многообразии существует единственная связность V с нулевым кручением, такая что Vхg (х ^) = 0.
Назовем связность V внутренней метрической связностью. Коэффициенты внутренней метрической связности находятся по формулам
Га 1 ad i , \
bc =- S KebScd + gbd - edSbc )
2
Заметим [7], что для нормального почти контактного метрического многообразия выполняется условие Vф = 0.
Под внутренней геометрией [1-3, 11] почти контактного метрического многообразия М будем понимать геометрические свойства М, которые зависят только от параллельного перенесения, определяемого внутренней связностью, и от оснащения
. К основным инвариантам внутренней геометрии относим тензор кривизны Схоутена Я, тензор Схоутена - Вагнера, дифференциальную форму
со = ёц, производную Ли С = 1Ь g метрического
тензора g вдоль векторного поля \ .
Теорема 3 [1]. Тензор Схоутена - Вагнера внутренней связности многообразия Кенмоцу равен нулю.
Пусть ~ (х, Y), г(х, Y) - соответствующие тензорам г(х, Y )2, я(х, Y тензоры Риччи. Многообразие Кенмоцу называется ц-эйнштейновым многообразием, если выполняется равенство г = ag + а,Ь е ^(М).
Теорема 4.
1. Пусть М - ц-эйнштейново многообразие Кен-моцу. Тогда если Ь е Г, то М является многообразием Эйнштейна с нулевым тензором Риччи - Схоутена г(х ^ ).
2. Пусть М - многообразие Кенмоцу с нулевым тензором Риччи - Схоутена, тогда М - многообразие Эйнштейна.
Доказательство.
1. Ненулевые компоненты тензора кривизны связности Леви - Чивита многообразия Кенмоцу в адаптированных координатах принимают вид ГаЬс = Г^Ьс + gас -Sagьc, Кпс = gac, Гс = дс
Гпап иа.
Используя координатное представление тензора кривизны
связности Леви - Чивита многообразия Кенмоцу, получаем ненулевые компоненты тензора Риччи ~(х, Y): гас = гас + 2mgac,
Гпп = 2т.
Пусть М - ц-эйнштейново многообразие Кенмоцу. Тогда получаем соотношения гас + 2mgac = agac, 2т=а+Ъ, или гас + 2mgac = (2т-Ь)gac. После очевидных преобразований получаем гас = —Ьgac.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
Если b e R, то левая часть последнего равенства не зависит от координаты x", а правая часть - зависит. Отсюда следует, что b =0 и, следовательно, rac = 0.
2. Пусть M - многообразие Кенмоцу с нулевым тензором Риччи - Схоутена. В этом случае из равенств rac = rac + ^ga^ rnn = 2m следуЮт равенства Гас = 2mgac, Гпп = 2m.
Таким образом, M является многообразием Эйнштейна: rac = ag, где a=2m. Теорема доказана.
Теорема 5. Тензор Риччи - Схоутена многообразия Кенмоцу M обращается в нуль тогда и только тогда, когда многообразие M локально Рич-чи симметрично.
Доказательство. В результате непосредственных
вычислений получаем VaГ^ = У arbc, Varnb = ~rab,
Vn~bc = —2rbc , что и доказывает теорему.
Следствием этого результата является хорошо известный факт: многообразие Кенмоцу является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно локально Риччи симметрично.
Многообразие Кенмоцу с ^-связностью
Определим на многообразии M ^-связность
V
N
полагая
V nxY = V X Y + v(X )(N -1 )Y - rj(Y) X + g (X, Y %
Тензор I определяется следующим образом: Iea = ea, Ъ = 0.
Предложение 4. Ненулевые коэффициенты
гс
Gr
Iру связности V , заданной на почти контактном метрическом многообразии М, имеют вид
~ -<с лтс
N
G!C = Г0лЬ,
Gcnc = N1
Используя предложение 2 и формулу Ьg = 2(g получаем
Предложение 5. Пусть М - многообразие Кенмоцу с нулевым тензором Схоутена, тогда тензор
кривизны К (х ,Y 2 связности V равен нулю тогда и только тогда, когда эндоморфизм N ковари-антно постоянен относительно внутренней связности.
Доказательство предложения основано на том, что ненулевые компоненты тензора кривизны
к (х ^ 2 связности V в адаптированных коор-
динатах
принимают
вид
Kd _ nd
Kabc = Rabc,
Из обращения в нуль тензора Схоутена - Вагнера и условия ^ = 0 следует, что тензор Схоутена многообразия Кенмоцу наделен теми же свойствами, что и тензор кривизны кэлерова многообразия. В частности, имеет место
Предложение 6 [1]. Тензор Схоутена многообразия Кенмоцу обладает следующими свойствами:
Я(х^) о р = сро Я(х^), Я(рр) = Я(х,Y).
Найдем условия, при которых связность VN является метрической. В адаптированных координатах равенство VNg = 0 переписывается в виде
(г — <» (г — Т^ (у _ т^ „ _ п
^ с gaЬ = ecgaЬ Г саЪйЬ Г cЬgad = 0,
V^lgaЬ = дngаЬ - сЬ - NЪgac =
Учитывая, что для многообразия Кенмоцу д^аЬ = 2gaь, из последнего равенства получаем
^аЬ = М^сЬ + 1^ас.
Тем самым убеждаемся, что справедливо
Предложение 7 [1]. N-связность V1 является метрической тогда и только тогда, когда выполняется следуЮщее равенство: ^аЬ = ^сЬ + Nbgac.
Найдем ограничение на эндоморфизм N, при котором связность V сохраняет структурный эндоморфизм многообразия Кенмоцу.
Рассмотрим равенство
vNnрьa=д р+- мр=0.
Учитывая, что многообразие Кенмоцу является нормальным почти контактным метрическим многообразием, убеждаемся, что справедливо
Предложение 8 [1]. ^связность сохраняет Vм структурный эндоморфизм ф многообразия Кенмоцу тогда и только тогда, когда эндоморфизмы N и ф
коммутируют: Мр" - М^рр. = 0.
Последнее равенство выполняется, в частности, если N=ф.
Следующая теорема является обобщением известного результата из геометрии многообразий Кенмоцу [16].
Теорема 6. Тензор Риччи ^связности V1, заданной на многообразии Кенмоцу М, обращается в нуль тогда и только тогда, когда М - многообразие Эйнштейна.
Доказательство. Из равенства КёЬс = Г^Ьс следует каь=ГаЪ, что и доказывает теорему.
Kbnc = VbNc
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
Литература
1. Букушева А.В. Многообразия Кенмоцу с распределением нулевой кривизны // Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 64. С. 5-14.
2. Букушева А.В. О тензоре Схоутена - Вагнера неголономного многообразия Кенмоцу // Тр. семинара по геометрии и математическому моделированию. 2019. № 5. С. 15-19.
3. Букушева А.В., Галаев С.В. Геометрия почти контактных гиперкэлеровых многообразий // Диф. геометрия многообразий фигур. 2017. № 48. С. 32-41.
4. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Мат. зам. СВФУ. 2015. Т. 22, № 1. С. 25-34.
5. Галаев С.В. Продолженные структуры на корас-пределениях контактных метрических многообразий // Изв. Саратовского ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 138-147. DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-2-138-147.
6. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Изв. Саратовского унта. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3. С. 258-263. Doi: 10.18500/1816-9791-2015-153-258-264.
7. Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Vol. 4 (53), № 2. Р. 13-22.
8. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31, № 1. P. 35-46.
9. Galaev S.V. Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures // Lobachevskii J. of Mathematics. 2018. Vol. 39, № 1. P. 71-76.
10. Вагнер В.В. Геометрия (n-1)-мерного неголо-номного многообразия в n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
11. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Саратовского ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 17-22. Doi: 10.18500/1816-9791-2012-12-3-17-22.
12. Гордеева И.А., Паньженский В.И., Степанов С.Е. Многообразия Римана - Картана // Итоги науки и техники (совр. математика и ее приложения). 2009. Т. 123. С. 110-141.
13. Родионов Е.Д., Славский В.В., Хромова О.П. О секционной кривизне метрических связностей с векторным кручением // Изв. АлтГУ. Математика и механика. 2020. № 1 (111). С. 124-127.
14. Agrícola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Differential Geometry and its Applications. 2016. Vol. 46. P. 130-146.
15. Golab S. On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections // Tensor. N.S. 1975. Vol. 29. P. 293-301.
16. Pitis G. Geometry of Kenmotsu manifolds. Brasov: Publishing House of Transilvania University of Brasov, 2007. 160 p.
17. Кириченко В.Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу // Докл. РАН. 2001. Т. 380, № 5. С. 585-587.
18. Kenmotsu K. A class of almost contact Riemanni-an manifolds // Tohoku Math. J. 1972. Vol. 24. P. 93103.
19. Крым В.Р. Уравнение Якоби для горизонтальных геодезических на неголономном распределении и тензор кривизны Схоутена // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2018. № 3. С. 6494. URL: https://diffjournal.spbu.ru/RU/numbers/2018.3 /article.1.3.html (дата обращения: 10.07.2020).
References
1. Bukusheva A.V. (2020). Kenmotsu manifolds with a zero curvature distribution. Vestn. Tomskogo gos. un-ta. Matematika i mekhanika, No. 64, pp. 5-14. (in Russian).
2. Bukusheva A.V. (2019). On the Schouten-Wagner tensor of a nonholonomic Kenmotsu manifold. Tr. seminara po geometrii i matematicheskomu modelirovaniyu, No. 5, pp. 15-19. (in Russian).
3. Bukusheva A.V., Galaev S.V. (2017). Geometry of almost contact hyperkâhler manifolds. Dif. geometriya mnogoobrazii figur, No. 48, pp. 32-41. (in Russian).
4. Galaev S.V. (2015). Almost contact metric structures defined by N-prolonged connection. Mat. zam. SVFU, vol. 22, No. 1, pp. 25-34. (in Russian).
5. Galaev S.V. (2017). Extended Structures on Codis-tributions of Contact Metric Manifolds. Izv. Saratovskogo un-ta. Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 17, iss. 2, pp. 138-147, doi: 10.18500/1816-9791-2017-17-2138-147. (in Russian).
6. Galaev S.V. (2015) Almost contact metric spaces with N-connection. Izv. Saratovskogo un-ta. Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 15, iss. 3, pp. 258-263, doi: 10.18500/1816-9791-2015-15-3-258-264. (in Russian).
7. Bukusheva A.V., Galaev S.V. (2011). Almost contact metric structures defined by connection over distribution. Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics, vol. 4 (53), No. 2, pp. 13-22.
8. Galaev S.V. (2015). Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds. Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis, vol. 31, No. 1, pp. 35-46.
9. Galaev S.V. (2018). Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures. Lobachevskii J. of Mathematics, vol. 39, No. 1, pp. 71-76.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
10. Vagner V.V. (1941). Geometry of the (n-1)-dimensional manifold in the n-dimensional space. Trudy seminara po vektornomu i tenzornomu analizu. Moscow, Moscow State University Press, iss. 5, pp. 173-255. (in Russian).
11. Bukusheva A.V., Galaev S.V. (2012). Almost contact metric structures defined by connection over distribution with admissible Finslerian metric. Izv. Saratovskogo un-ta. Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 12, iss. 3, pp. 17-22, doi: 10.18500/1816-9791-2012-12-3-1722. (in Russian).
12. Gordeeva I.A., Panzhensky V.I., Stepanov S.E. (2009). Riemann-Cartan manifolds. Itogi nauki i tekhniki (sovr. matematika i ee prilozheniya), vol. 123, pp. 110141. (in Russian).
13. Rodioniv E.D., Slavsky V.V., Khromova O.P. (2020). On sectional curvature of metric connection with vectorial torsion. Izv. AltGU. Matematika i mekhanika, No. 1 (111), pp. 124-127. (in Russian).
14. Agricola I., Kraus M. (2016). Manifolds with vectorial torsion. Differential Geometry and its Applications, vol. 46, pp. 130-146.
15. Golab S. (1975). On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections. Tensor. N.S., vol. 29, pp. 293-301.
16. Pitis G. (2007). Geometry of Kenmotsu manifolds. Brasov, Publishing House of Transilvania University of Brasov, 160 p.
17. Kirichenko V.F. (2001). On the geometry of Kenmotsu manifolds. Dokl. RAS., vol. 380, No. 5, pp. 585-587. (in Russian).
18. Kenmotsu K. (1972). A class of almost contact Rie-mannian manifolds. TohokuMath. J., vol. 24, pp. 93-103.
19. Krym V.R. (2018). Jacobi equation for horizontal geodesics on a nonholonomic distribution and the Schouten curvature tensor. Differential equations and control processes, No. 3, pp. 64-94. Available at: https://diffjournal. spbu.ru/RU/numbers/2018.3/article.1.3.html (accessed July 10, 2020).
Поступила в редакцию /Received_13 июля 2020 г. / July 13, 2020
