МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЕ СВОЙСТВО РЯДОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ЗАДАЧЕ НЕВАНЛИННЫ - ПИКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.521 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2022. Т. 9 (67). Вып. 1 МБС 30В10

Мультипликативное свойство рядов, используемых в задаче Неванлинны — Пика

А. В. Железняк

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И.Ульянова (Ленина),

Российская Федерация, 197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5

Для цитирования: Железняк А. В. Мультипликативное свойство рядов, используемых в задаче Неванлинны — Пика // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2022. Т. 9 (67). Вып. 1. С. 37-45. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.104

В статье получено принципиально новое достаточное условие отрицательности коэффициентов степенного ряда, обратного ряду с положительными коэффициентами. А именно, доказывается, что поэлементное произведение степенных рядов сохраняет это свойство. В частности, это дает обобщение классической теоремы Харди — Калуцо о степенных рядах. Эти результаты обобщены на случай рядов нескольких переменных. Такого рода результаты находят применение в теории Неванлинны — Пика. Ключевые слова: степенной ряд, ядра Неванлинны — Пика, логарифмическая выпуклость.

1. Введение. Хорошо известно, что у формального степенного ряда одной переменной с первым положительным коэффициентом и остальными отрицательными ряд, обратный исходному, будет иметь строго положительные коэффициенты (см. [1]). Однако обратное утверждение неверно, и в случае ряда одной переменной 2^=о «пхп Харди показал, что логарифмической выпуклости коэффициентов, т. е. выполнения условия

О-п+2 ^ О-п+1 ^

ап+1 ап

достаточно для того, чтобы ряд, обратный формальному степенному ряду с положительными коэффициентами, имел все отрицательные коэффициенты кроме самого первого (см. [2]). Этот результат имеет приложение в интерполяционной задаче Неванлинны — Пика (см. [3]). Отметим, что условие Харди (1) не сохраняется ни при сложении, ни при умножении формальных степенных рядов. С другой стороны, условие Харди (1) сохраняется при поэлементном умножении степенных рядов:

( то

уу.хп

п=о п=о п=о

апх I * I ^ ^ спх I ^ ^ «пСпЗ

Мы покажем, что операция * сохраняет не только условие Харди, но и неотрицательность коэффициентов обратного ряда.

^ то

Теорема 1. Пусть /1(х) = а0 + ^ апхп и /2(х) = с0 спхп — два фор-

п=1 п=1

мальных степенных ряда с положительными коэффициентами, и пусть д1(х) =

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2022 https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.104 37

то то

Ь0 — ^ Ь„ж" и д2(ж) = ¿0 — ¿„ж" — ряды, обратные / и /2 соответственно, при-„=1 „=1 чем коэффициенты Ь„ и ¿„ неотрицательны при всех п. Пусть ^(ж) = /1(ж)*/2 (ж),

то

О(ж) = 10 — ^ 1„ж" — ряд, обратный ^. Тогда все коэффициенты 1„ ряда О будут

„=1

неотрицательны.

Аналогичный результат получен для формальных степенных рядов от нескольких переменных (см. теорему 3 ниже).

2. Связь с интерполяционной задачей Неванлинны — Пика. Условие отрицательности коэффициентов обратного степенного ряда естественным образом возникает в интерполяционной задаче Неванлинны — Пика. Пусть Ю = [г € С, |г| < 1}, а Н2(Ю) — пространство Харди в Ю. Для данных точек ж1, Ж2,..., ж„ € Ю и значений и>1, -Ш2,..., ш„ € Ю мы хотим найти функцию у € Нто(Ю) такую, что у(жк) = ш при всех к = 1,..., п. Известно, что задача Неванлинны — Пика разрешима тогда и только тогда, когда матрица А = Кп положительно определена, то есть

матрица А = ((1 — гукг«7)£;(жк, ж;))1<к1;<„ положительно определена, (2)

где к(ж, у) = 1_1 _ — воспроизводящее ядро пространства Харди #2(Ю). Это условие 1 Ху

впервые было получено Пиком в 1916 г. Более того, он доказал, что такое решение единственно и представимо в виде произведения Бляшке, а в 1919 г. Р. Неванлинна рассмотрел эту задачу независимо от Пика.

Рассмотрим общую задачу Неванлинны — Пика. Пусть Н — гильбертово пространство аналитических функций в Ю такое, что функционал вычисления значения в точке непрерывен, то есть Н — пространство с воспроизводящим ядром к(ш, г), (/(^),к(ш, г))н = / (ш). Для данных ж1, ж2,..., ж„, ш ,Ш2,...,Ш„ € Ю мы ищем мультипликатор у пространства Н такой, что у(жк) = Шк, к = 1, 2,..., п, и ||у|| < 1. Известно (см. [1]), что условие положительной определенности матрицы А = ((1 — ^ЛкЩ)к(хк, х{))1<к,1<п будет необходимым для существования мультипликатора у. Это условие будет достаточным, если

матрица К = (к(жк,ж;))1<к,;<„ положительно определена, (3)

где к(х,у) = , причем

матрица В = (Ь(жк, ж;))1<к,;<„ положительно определена. (4)

Ядра к(ж, у) называются ядрами Неванлинны — Пика. Рассмотрим ядра следующего вида: к(х,у) = ап(ху)п (воспроизводящее ядро пространства Н2(Ю)). Для выполнения условия (3) достаточно неотрицательности чисел а„, а для выполнения условия (4) достаточно, чтобы у степенного ряда 1/к(х,у) = Ьп{ху)п все коэффициенты, кроме нулевого, были неположительны.

3. Доказательство основных результатов. В этом параграфе будет доказана теорема 1 и сформулирован и доказан аналогичный результат для формальных степенных рядов от нескольких переменных (теорема 2).

Доказательство теоремы 1. Не умаляя общности можем считать, что а0 = Ьо = со = ¿о = 1. Поскольку для рядов ^(ж) и О(ж), Д(ж) и д1(ж), /2(ж) и д2(ж) выполнены соотношения

^ (ж)О(ж) = 1, /1(ж)д1 (ж) = 1, /2(ж)д2(ж) = 1,

то, приравнивая коэффициенты при хп, получим

апсп|о — ап-1 сп-1 ¿1 + а„-2С„-2/2 + • • • + яоСо/п,

а„6о — ап-1&1 + ап-2&2 +----+ ао6„,

С„^о — С„-1^1 + С„-2^2 +-----+ со^„.

Учитывая, что 6о — ¿о — ¿о — 1, имеем

¿1 + а„-2С„-2/2 +-----+ аоео/„, (5)

а„ — ап-1&1 + ап-2&2 +-----+ ао6„,

Сп — С„-1^1 + С„-2^2 +-----+ со^„.

Перемножая два последних тождества, получим

а„с„ — (а„-1б1 + а„-2&2 +-----+ ао6„)(с„-1 ¿1 + с„-2^2 +----+ Со^„) —

о<к,т<п-1

Будем преобразовывать полученное выражение по следующему принципу. Если к — т, то слагаемое, содержащее акСк, оставляем без изменений. В случае, если к > т, коэффициент ст оставляем без изменений, а коэффициент ак заменяем на равное ему выражение ак-161 +ак-262 + • • •+ат6к-т + • • • + ао6к — ак. В случае т > к коэффициент ак оставляем без изменений, а коэффициент ст заменяем на равное ему выражение ст-1й1 + ст-2й2 + • • • + ск¿т-к + • • • + сойк — ст. После данной замены оставляем слагаемое, содержащее а;с;, I — т или I — к, а к остальным применяем аналогичную операцию. Продолжаем применять такую замену до тех пор, пока остаются слагаемые вида а^ст при к — т. Тем самым мы сможем выразить коэффициент апсп через коэффициенты а^с^, к < п. Приведя подобные и обозначив через „ коэффициент, стоящий при а^с^, получим равенство

апсп — ^^ ^„-^„айСд;. (6)

о<к<п-1

Очевидно, что каждый из коэффициентов Л.п-к,п будет неотрицательным, так как представляет собой сумму неотрицательных коэффициентов.

Лемма 1. Коэффициент Л.к,п не зависит от выбора числа п, то есть Л.к,п — при всех натуральных числах п, т > к.

Доказательство леммы 1. Поскольку Л.к,п и Л.к,т — это коэффициенты при

ап-к сп-к и ат— к ст— к в

(6) соответственно, то в их формировании не участвуют слагаемые вида аяс4 при в < п — к или £ < п — к в первом случае и в < т — к или £ < т — к во втором случае. Поэтому достаточно рассмотреть произведения вида

#п. — (а„-1&1 + а„-2&2 +-----+ а„-к Ьк)(с„-1^1 + с„-2^2 +-----+ с„-к^к), (7)

£т — (ат_161 + ат_2&2 + • • • + ат_к6к)(ст_1Й1 + ст_2^2 + • • • + Ст_дА), (8)

поскольку слагаемые, содержащие аяе4 при в < п — к или £ < п — к в первом случае и в < т—к или £ < т—к во втором случае, можно отбросить. По тем же причинам, для удобства, будем считать, что .Хт,< — (ат_<_161 + ат_<_262 + • • • + ат_&6&_<) и Ут,< — — (ет_^_1^1 + ет_^_2^2 +-----+ ), откуда получаем соотношения

61 + 62 + • • • + (9)

ст_3 ст_3_1^1 + ст_3_2 ¿2 + • • • + ст_А;^_3 + (10)

Аналогично будем иметь

ап_< — а„_г_1б1 + а„_4_2б2 + • • • + а„_д:6д;_< + Х„,<, (11)

сп_3 — С„_-_1 ¿1 + С„_^_2^2 + • • • + С„_дА_3 + УП,<. (12)

Заметим, что числа Хт,<, 1т,<, 1П,< не содержат слагаемых вида при в < т — к или £ < т — к в первом случае и в < п — к или £ < п — к во втором. Положим, что на начальном этапе имеем равенства

М<,3 (0) — N<,3- (0) — М3,

и (0) — V (0) —0.

Раскрывая скобки в выражениях (7) и (8), получим

#п — а„_<е„_з — ^ а„_<е„_з N<,3 (0) + и (0),

1<<,3<А; 0<<,3<&

^т ^ ^ ат_<ст_36<^ ^ ат_<ст_3^^<,3 (0) + V(0).

Будем преобразовывать полученные выражения для £п и £т к виду (6) по вышеописанному алгоритму для построения чисел . Оставляя без изменений слагаемые вида ап_<Сп_< и ат_<ст_<, будем последовательно на каждом шаге заменять слагаемые вида ап_<сп_з и ат_<ст_3- при г — используя формулы (9)-(12). Обозначим через N<,3 (р) и М<,3-(р) соответственно коэффициенты при а„_<с„_3 и ат_<ст_3- в £п и £т на р-м шаге замен. Обозначим также

и (р) — — ^ а„_<с„_3 N<,3 (р) и V (р) — 5т — ^ ат_<ст_3 М<,3 (р). 1<<,3<& 1<<,3<&

Заметим, что выражение и(р) содержит только слагаемые вида аяе4, где хотя бы одно из чисел в, £ удовлетворяет соотношению в < п — к или £ < п — к. Аналогично, выражение V(р) содержит только слагаемые вида аяе4, где хотя бы одно из чисел удовлетворяет соотношению в < т — к или £ < т — к. Кроме того, введенные таким образом числа и (р), V(р), М<,3- (р) и N<,3 (р) совпадают со введенными ранее и(0), V(0), М<,3(0) и N<,3(0) при р — 0.

Докажем, что на каждом шаге с номером р будет верно М<,3- (р) — N<,3 (р). Будем проводить доказательство по индукции.

База р — 0. Верно по построению чисел М<,3- (0) — N<,3 (0) — 6<^3-.

Переход. Пусть М^- (р) = Ж^- (р). Зафиксируем числа I и J. Пусть для простоты I < J. Заменим в первой сумме а„_/с„_/Ж/,/(р) на (а„_/_1Ь1 + а„_/_2Ь2 + • • • + а„-кЬк-/ + Х„,/)с„-/Ж/,/(р), а во второй сумме — ат_/ст_/М/,/(р) на (ат_/ = ат-/-1Ь1 + ат_/_2Ь2 +-----+ ат_кЬк_/ + Хт,/)ст_/М/,/(р). Получим соответственно

= / у а„-гс„-^ (р +1) + и (р +1)

1<г,^<к

и

^т / ^ ат-гст-М^- (р +1)+ V (р +1).

1<г,^<к

Посмотрим, что произойдет с коэффициентами Ж^- (р + 1) и М^- (р + 1):

1) М/,/(р + 1)= Ж/,/(р + 1) = 0;

2) при 1 < 5 < (к — I) Ж/+8,/(р + 1) = Ж/+8,/(р) + Ж/,/(р)Ь8 и М/+8,/(р + 1) = М/+8,/(р) + М/,/(р)Ь8, следовательно, М/+8,/(р + 1) = Ж/+8,/(р + 1);

3) в остальных случаях Ж^- (р) = Ж^- (р +1) и М^- (р) = М^- (р + 1).

Тем самым после проведения такой замены получаем М^- (р + 1) = Ж^- (р +1). Заметим, что по построению коэффициентов Л-к,„ на последнем шаге с номером р будут верны равенства М^- (р) = Ж^- (р) = 0 при г = ] и М^(р) = Ж^(р) при всех г : 1 < г < к. Кроме того, по определению коэффициентов Л-к,„ и ^к,т имеем = Жк,к (р) и Л.к,т = Мк,к (р) на последнем шаге р. Следовательно, Л.к,„ = Л.к,т. Лемма 1 доказана. □

Используя лемму 1, можно считать, что ^к,„ = Л-к. Перепишем выражение (6) в более удобной форме:

а„с„ = ^„-как Ск = а„-1 с„-1^1 + а„-2С„-2^2 +-----+ аосо Л,„. (13)

0<к<„-1

Докажем, что Л.„ = ¿„. Индукция по п. База п = 1. Заметим, что

а1 = Ь1ао, С1 = ¿1Со, а1С1 = аосоЬ1^1 = аосо^1 = аосоЛ-1.

Переход от (п — 1) к п. Приравнивая выражения (5) и (13) и учитывая, что по предположению индукции Л-1 = ¿1,^2 = ¿2,..., ^„-1 = 1п-1, получим требуемое равенство Л.„ = ¿„. Тем самым, поскольку коэффициент Л.„ положителен, получим, что коэффициент ¿„ тоже положителен. Что и требовалось доказать.

Замечание 1. При построении коэффициентов получается, что коэффициент есть симметрический многочлен с целыми неотрицательными коэффицентами, зависящий от Ь1, Ь2,..., Ь„, ¿1, ¿2,..., ¿„, тем самым Л.„ = й„(Ьь Ь2,..., Ь„, ¿1, ¿2,..., ¿„) = ^„(¿1, ¿2,..., ¿„, Ь1, Ь2,..., Ь„). Более того, верно соотношение ^„(1,1,..., 1) = 3„-1.

Приведем примеры нескольких первых коэффициентов Л.„:

= Ь1^1,

^2 = Ь^2 + Ь2^1 + Ь2^2, = Ь^ + 2Ь1Ь2^2 + 2Ь1Ь2^3 + Ьз^ + 2Ьз^2 + Ьз4,

Л-4 = 6^4 + 2б1ь2^1^з + 6^6^ + 36^62^4 + 26163^2 + 26163^1^3 + 26163^2 +

0 0 0 0 /10 о

+26163^4 + 62^2 ¿2 + 262^1^3 + 6^4 + 64^ + 364^-^2 + 264^1^3 + 64^2 + 64^4.

Замечание 2. Используя процесс построения коэффициентов в доказательстве теоремы 2, можно получить оценку для коэффициентов 1п, а именно:

1П > 6П ¿П .

Действительно, поскольку верно соотношение = 1п, то достаточно проверить, что верно неравенство > 6„^„, а это является верным, поскольку слагаемое 6„^„ входит в разложение коэффициента а остальные слагаемые, входящие в него, положительны.

4. Многомерный случай. Теорему 1 можно расширить на случай формальных степенных рядов нескольких переменных. Для этого в дальнейшем нам потребуются следующие вспомогательные обозначения. Пусть в = (в1,..., вп) — мульти-индекс. Обозначим через е^ = (0,..., 0,1,0,..., 0) мультииндекс, состоящий из нулей и одной единицы на г-м месте, а через О = (0,..., 0) и Е = (1,..., 1) — мультииндек-сы, состоящие из нулей и единиц соответственно. Для удобства и краткости будем использовать обозначения жя = ж^1 ж22 .. . ж^1 и ая = а81 . Также будем писать,

что в > £ и в > если при всех г = 1, 2,..., п выполнено в^ > ^ и в^ > ^ соответственно. Обозначим через ||в|| = ^в^ порядок мультииндекса в. Будем говорить, что в ^ если выполнены два условия: в > £ и в = Кроме того, в >< если коэффициенты в и £ несравнимы.

то то

Теорема 2. Пусть /1(ж) = а© а8ж8 и /2(ж) = с© + с«жя — два фор-

я>>© я>>©

мальных степенных ряда от п переменных с положительными коэффициентами,

тото

и пусть д1(ж) = 6© — ^ 6яжя и д2(ж) = ¿© — ^ — ряды, обратные /1 и /2 со-

я>>© я>>©

ответственно, причем коэффициенты 6я и неотрицательны при всех в. Пусть

то

а© = 6© = с© = ¿© = 1. Пусть ряд ^(ж) = /1(ж) */2(ж), С(ж) = I© — ^ /яжя — ряд,

я>>©

обратный ^. Тогда все коэффициенты /8 ряда С будут неотрицательны.

Доказательство теоремы 2. Поскольку для рядов ^(ж) и С(ж), /1(ж) и д1(ж), /2 (ж) и д2(ж) выполнены соотношения

^ (ж)С(ж) = 1, /1(ж)д1 (ж) = 1, /2(ж)д2(ж) = 1,

то, приравнивая коэффициенты при жя, получим

Е

©<и<<я

ая6© = ^^ аи6я_и,

©<и<<я

ся^© ^^ с-и¿я—V .

©<-и<<я

Учитывая, что Ьо = ¿0 = 1о = 1, имеем

^ ^ «и^^в —и? (14)

0<и<<я

«в ^ ^ аиЬв—и?

0<и<<я

^ ^ С-и¿в— v•

0<«<<я

Перемножая два последних тождества, получим

Е «Л—„) | Е * ¿в—V ) = Е «и Си Ьв—V.

,0<и<<я I y0<v<<s I 0<и^<<я

Будем преобразовывать полученное выражение по следующему алгоритму. Если и = V, то слагаемое, содержащее а„с„, оставляем без изменений. В случае, если и ^ V, Су оставляем без изменений, а аи заменяем на равное ему выражение аи = ^ а4Ь„_При V ^ и действуем аналогично. В случае, если и >< V, Су

0<4<И

заменяем на равное ему выражение Су = ^ с^-а аи заменяем на равное ему

0<4<и

выражение аи = ^ а4Ьи—После данной замены и раскрытия скобок оставляем

0<4<и

слагаемые вида ^Су, а к остальным применяем аналогичную операцию. Продолжаем применять такую замену до тех пор, пока остаются слагаемые вида аиСу при и = V. Тем самым выразим коэффициент аяся через коэффициенты «и Си ? и ^ в; приведя подобные и обозначив через и я коэффициент, стоящий при аиси, получим равенство

^ ^ ^в—и,й«иСи- (15)

0<и<я

Очевидно, как и в случае для одной переменной, что коэффициент и я будет неотрицательным, так как он есть сумма неотрицательных коэффициентов.

Лемма 2. Коэффициент не зависит от в, то есть = = при всех в, £ ^ и.

Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 1. Учитывая лемму 2, можно считать, что я = Л.и. Поэтому перепишем выражение (15) в более удобной форме:

ОдСд = Е а„с„^я—„. (16)

0<и<<я

Докажем, что = /8. Индукция по порядку мультииндекса в. База ||в|| = 1. В этом случае все сводится к случаю одной переменной. Переход от ||в|| = (к — 1) к ||в|| = к. Приравнивая выражения (14) и (16) и учитывая, что по предположению индукции имеем = 1и для всех и, чей порядок ||и|| не превосходит (к — 1), получим требуемое ^ = /8. Тем самым, поскольку коэффициент положителен, получим, что коэффициент /8 положителен. Лемма 2 доказана. □

Замечание 3. Используя процесс построения коэффициентов в доказательстве теоремы 3, можно получить оценку для коэффициентов /8, а именно:

5. Приложения. Теорема 1 имеет важное приложение в теории гильбертовых пространств функций с воспроизводящими ядрами Неванлинны — Пика. Одним из важных примеров является пространство /2(и>„) функций / (г), аналитических в

единичном круге, т.е. функций /(г) = ^ /„г" с нормой

„>0

£w„||/„||2 < го.

г>0

При этом числа и>„ строго положительны и для формального степенного ряда (^„)(—1)ж" справедливы соотношения

n>0

(-1)

1) xn

wo

>0

n>0

bn > 0, n > 0.

В обозначениях теоремы 2 можем записать и>„ = а" 1). Из теоремы 2 следует полугрупповое свойство пространств: если пространства /2(ад„) и /2(«„) обладают ядрами Неванлинны — Пика, то и пространство /2(ад„«„) обладает тем же свойством.

n

X

Литература

1. Agler J., McCarthy John E. Pick interpolation and Hilbert function spaces. In: Graduate Studies in Mathematics, vol.44. Providence, American Mathematician Society (2002).

2. Hardy G.H. Divergent Series. Oxford, Clarendon Press (1949).

3. Полиа З.Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа, пер. с нем. Москва, Наука (1978).

Статья поступила в редакцию 24 марта 2021 г.;

доработана 18 мая 2021 г.; рекомендована к печати 2 сентября 2021 г.

Контактная информация:

Железняк Александр Владимирович — ст. преп.; ferrum2001@mail.ru

Multiplicative property of series used in the Nevanlinna — Pick problem

A. V. Zheleznyak

St Petersburg Electrotechnical University LETI,

5, ul. Professora Popova, St Petersburg, 197376, Russian Federation

For citation: Zheleznyak А. V. Multiplicative property of series used in the Nevanlinna — Pick problem. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2022, vol. 9(67), issue 1, pp. 37-45. https://doi.org/10.21638/spbu01.2022.104 (In Russian)

In the paper we obtained substantially new sufficient condition for negativity of coefficients of power series inverse to series with positive ones. It has been proved that element-wise

product of power series retains this property. In particular, it gives rise to generalization of the classical Hardy theorem about power series. These results are generalized for cases of series with multiple variables. Such results are useful in Nevanlinna — Pick theory. For example, if function k(x,y) can be represented as power series n>0 an(xy)n, an > 0, and reciprocal function l/k(x,y) can be represented as power series n>0 bn(xy)n such that bn < 0, n > 0, then k(x,y) is a reproducing kernel function for some Hilbert space of analytic functions in the unit disc D with Nevanlinna — Pick property. The reproducing kernel 1/(1 — xy) of the classical Hardy space H 2(D) is a prime example for our theorems. Keywords: power series, Nevanlinna — Pick kernels, logarithmical convexity.

References

1. Agler J., McCarthy John E. Pick interpolation and Hilbert function spaces. In: Graduate Studies in Mathematics, vol.44. Providence, American Mathematician Society (2002).

2. Hardy G.H. Divergent Series. Oxford, Clarendon Press (1949).

3. Polya Z.G., Szego G. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. Berlin, Springer-Verlag (1964). [Rus. ed.: Polya Z. G., Szego G. Zadachi i teoremy iz analiza. Moscow, Nauka Publ. (1978)].

Received: March 24, 2021 Revised: May 18, 2021 Accepted: September 2, 2021

Author's information:

Аlexander V. Zheleznyak — ferrum2001@mail.ru