CC BY
83
Мониторинг валютного рынка Forex с помощью различных типов
скользящих средних Monitoring the FOREX market with different kinds of moving averages
Колодко Дмитрий Владимирович аспирант кафедры «Экономической Кибернетики» Санкт-Петербургский государственный университет
e-mail: [email protected]
Аннотация
Скользящие средние - это наиболее распространенные инструменты, применяемые для мониторинга финансовых рынков. Обычно используются средние арифметические, что связано с простотой их расчета. Однако другие типы средних также могут быть полезны при исследованиях. В данной статье рассматриваются различные типы средних и связанные с ними показатели разброса.
Abstract
Moving averages are the most common tools used for the monitoring of the financial markets. Arithmetic averages are the most common, which is due to the simplicity of their calculation. However, other types of moving averages may also be useful in research. This article discusses the various types of averages and related with them indicators of variation.
Ключевые слова: мировой валютный рынок, финансовые рынки, динамика, статистика, эконометрика
Keywords: world currency market, financial markets, the dynamics, statistics, econometrics
Введение
При изучении динамики финансовых показателей методами технического анализа часто используют скользящие средние и показатели разброса для
установления тренда и оценки текущей ситуации на рынке. При этом, как правило, используют средние арифметические, а в качестве показателей разброса применяют стандартные отклонения. Такая традиция связана в основном с простотой расчета этих величин. Однако использование других типов средних и соответствующих им показателей разброса также может помочь в изучении динамики рынка. В данной статье рассматриваются различные виды средних, описываются их свойства, а также предпринимается попытка их использования для мониторинга валютного рынка Forex.
1. Различные средние и показатели разброса
Общее понятие средней величины было введено О. Коши в XIX веке. Согласно Коши, средней величиной является любая функция f(x,,x2,---, xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из x,,x2,---,x , и не больше, чем максимальное из
1 2 n
них [6]. К примеру, средними по Коши являются среднее арифметическое, среднее геометрическое, медиана. Достаточно подробно средние величины описаны в [5]. Рассмотрим их свойства.
Пусть X - дискретная случайная величина, принимающая значения x, с вероятностями pi. Средним арифметическим (математическим ожиданием)
случайной дискретной величины Х называется величина E (X) = Z pixi.
i
Утверждение 1. Величина Z pt (xt - c)2 при C = E(X)= E принимает свое
i
минимальное значение, равное дисперсии d(x)= Z pt (xt - E)2.
i
Доказательство.
Z Рг (xi - C)2 = Z Pi (xi - C + E - E)2
ii
= Z Рi (x2 - 2xiC + C2 + 2(xi - C)(E - E) + E2 - 2EE + E2) =
i
= ZP,(*,! - 2x,E(X) + E2 + 2x,(E - C)+ C2 - E2) =
= £ Рг (х - Е)2 + £ Рг (2Х- (Е - С)+ С2 - Е 2 ) = В(Х) + 2(Е - С) £ РгХг + (С2 -
i г г
Е2) £ рг = =О(Х) + 2(Е - С)Е + С2 - Е2 = Б(Х) + Е2 - 2СЕ2 + С2 =
г
=Б(Х + (Е - С)2 > Б(Х), что и требовалось доказать.
Средним геометрическим дискретной случайной величины X называется величина G(X) = ^ хР
Г ^2 ' х.
Утверждение 2. Величина £ рг 1п-^ I при С = О(Х) = G принимает свое
г V
* _
минимальное значение, равное О = £ pi
г
\п Х1-12
G )
Доказательство.
Прологарифмируем выражение для средней геометрической:
1п G = 1п ^ хрг = 1п хр + 1п Хр2 +... = р11п х1 + р 21п х2 + ... = £ Рг 1п х{ ,
гг
то есть 1п G - среднее значение случайной величины 1пХ. Тогда из утверждения 1 следует, что минимальное значение величины (константа С взята как 1пС)
£ Рг (1п х - 1п С) = £ Рг
СI2
равно о(1п X) = £рг (1п хг - 1п G)2 = £рг 1пI , что и требовалось доказать.
г
2
' х,. п
г г V
Важной особенностью этой «логарифмической дисперсии» является то, что она не измеряется в каких-либо единицах. В связи с этим, ее можно применять, например, для сравнения изменчивости рынков разных валют.
Медианой ^(Х) дискретной случайной величины X называется любой корень уравнения F(x) = 0,5, где F(x) - функция распределения случайной величины X. Дискретная случайная величина Х может иметь одну или несколько медиан. В любом из этих случаев справедливо следующее:
Утверждение 3. Величина £ рг|хг - С| при С = ^(Х) = ^ принимает свое
1
** -у? ■> I I
минимальное значение, равное D = £рг |хг. - /и\ - абсолютное отклонение.
1
Доказательство.
Возможны 2 случая:
1) Определенный случай. Существует единственная медиана ц = хк,
к 1 п 1
причем рк ф 0. В этом случае £ рг > — и £ рг > —. Тогда
1 2 к 2
п к-1 п к-1 к-1 п п
£ Рг|хг - ^ = £ Рг ^ - ^ ) + £ Рг (хг ~ ^) = £ Рг V - £ Р^ + £ Р^ - £
1 1 к 11 к к
п к-1 ^ к-1 п 1 ^ к-1 п 1
= £ Ргхг -£ Ргхг + М\ £ Рг -£ Рг , причем 0 > I £ Рг -£ Рг > -1.
к 1 V 1 к у V 1 к у
Пусть С > V, г = да, да >к - номер, начиная с которого хг >С . Тогда
п т-1 п к-1 да-1
£ Рг|хг - С = £ Рг (С - хг )+£ Рг (хг - С) = £ Рг (С - хг ) + £ Рг (С - хг ) +
11 да 1 к
п п к-1 да-1 к-1 да-1 п т-1 да-1
£ Рг (хг - С) = = £ Ргхг -£ Ргхг -£ Ргхг +£ РгС + £ РгС-£ РгС + £ Ргхг - £ Рг
да да 1 к 1 к да к к
да -1 да -1 п к -1 да -1 к -1 п
£ РгС + £ РгС = = £ Ргхг -£ Ргхг + 2£ Рг (С - хг )+ С (£ Рг -£ Рг )
к к к 1 к 1 к
Находим разность:
п п да-1 к-1 п 1
£ Рг|хг - С - £ Рг|хг - = 2£ Рг (С - хг )+(С - V} £ Рг -£ Рг =
1 1 к V 1 к У
да-1 ^ к-1 п 1
= 2£ Рг (С - хг ) + 2(С - хк )Рк +(С - V} £ Рг -£ Рг ,
к+1 V 1 к У
Поскольку при i < т по условию X! < С, то каждое слагаемое и вся сумма
2£ pi (С - х{) положительны. Поскольку по условию хк = V, то, производя такую
к+1
подстановку, получим:
да-1 ^ к-1 п 1
£ Рг (С - хг ) + 2(С - хк )Рк +(С - V} £ Рг -£ Рг
к+1 V 1 к У
m-1 i k-1 n \
= 2Z Pi (C - Xi ) + (C - 2Pk + Z Рг -Z Рг =
k+i v i k )
m-1 i k n \
= 2Z Рг (C - Хг ) + (C - Н) Z Рг -Z Pi .
k+i v 1 k+i )
k i n i m-1
Так как Z Рг >t , а Z pt < —, то каждое из слагаемых суммы 2Z Р.(С - Хг)
1 2 k+1 2 k+1
kn
+ (C - ц) Z Рг - Z Рг положительно. Значит, Z Рг\x - C > Z Рг\хг - M .
v 1 k+i ) 1 1
Случай С < ^ рассматривается аналогично.
2) Неопределенный случай. Медианы заполняют интервал от хк-1 до хк.
k-1 1 п 1
В этом случае Z Рг = _ и Z Рг = _. Тогда, повторяя действия, приведенные
1 2 k 2
выше, получим:
k-1 k-1 n n k-1
Z Рг|хг - Н| = Z Ргхг -Z РгХг + Ml Z Рг -Z Рг = Z РгХг -Z РгХ 1 k 1 v 1 k ) k 1
Пусть C > m , г = m, m > k - номер, начиная с которого хг. > C . Тогда
n n k-1 m-1 k-1 n
Z Рг|Хг - C = Z РгХг -Z РгХг + 2Z Рг (С - Хг )+ C (Z Рг -Z Рг ) =
1 k 1 k 1 k
= Z РгХг - Z РгХг + 2Z Рг (C - Хг ) .
k 1 k
m -1
Поскольку при i < m по условию Xi < С, то сумма 2Z Рг (C - Хг ) > 0. Из этого
k
nn
следует, что Z Рг|Хг - C > Z Рг|Хг - Н\ .
11
Случай С < ^ рассматривается аналогично.
Утверждение 3 доказано полностью.
2. Мониторинг валютного рынка Forex с помощью различных средних
Динамика валютных курсов представляет собой нестационарный временной ряд [2, 4]. Для мониторинга рынка рассчитываются скользящие средние - средние значения данного финансового инструмента за последние N
интервалов времени, а также соответствующие им показатели разброса. Вообще говоря, значения скользящих средних должны относится к промежуточным точкам временного интервала, для которого они вычислены (например, среднее арифметическое следует относить к центральной точке интервала). Подробно об этом можно прочесть в [8]. Однако в техническом анализе существует традиция относить значения скользящих средних, как, впрочем, и любых других индикаторов (см. [3]), к последней точке наблюдения. В частности, этот подход реализован в большинстве современных программных средств [7]. При наличии трендов на рынке это приводит к некоторой смещенности графика скользящей средней относительно графика валютного курса, что можно будет увидеть ниже. Смысл такого подхода заключается в том, чтобы отразить информацию, доступную нам именно в данный момент времени. Так, если бы мы пользовались первым подходом, то у нас возникала бы иллюзия, что в прошлом скользящее среднее всегда адекватно отражало ситуацию на рынке, тогда как на самом деле оно работает с запаздыванием.
В статье исследовалась динамика валютных пар EUR/USD и USD/JPY в ноябре 2011 года. Графики скользящих средних для ряда котировок валютной пары EUR/USD с 7 по 11 ноября 2011 года по 5-минутным данным представлены на рисунках 1 - 3. Во всех случаях ширина окна сглаживания выбиралась равной 36 (3 часа).
Рисунок 1. Графики котировки EUR/USD и среднего арифметического
валютного курса
Рисунок 2. Графики котировки EUR/USD и медианы валютного курса
Рисунок 3. Графики котировки EUR/USD и среднего геометрического
валютного курса
Как можно заметить, все типы средних дают похожую картину. Различия между ними незначительны, составить представление о них можно по рисунку
4, где в крупном масштабе сопоставлены различные средние для 8 ноября 2011 года.
Рисунок 4. Сопоставление различных типов средних
При этом среднее арифметическое и среднее геометрическое на данном временном интервале практически совпадают. Разница между ними возникает лишь начиная с 5-го знака после запятой. При этом легко заметить, что все типы средних являются запаздывающими индикаторами, позволяющими лишь устанавливать наличие тренда в прошлом, но не позволяющими предсказать его разворот.
3. Мониторинг валютного рынка Forex с помощью различных показателей разброса
Скользящее стандартное отклонение довольно широко применяется в техническом анализе. Промежутки с малыми значениями стандартного отклонения указывают нам на периоды консолидации, тогда как высокие значения стандартного отклонения являются признаком быстро меняющегося рынка [9]. В данной статье, наряду со стандартным отклонением, используются такие мало распространенные показатели, как абсолютное отклонение и «логарифмическая дисперсия» (точнее, корень из нее). Графики представлены на рисунках 5-7. Как и прежде, рассматриваются 5-минутные значения котировки EUR/USD на интервале с 7 по 11 ноября 2011, ширина окна равна 36 (3 часам).
Рисунок 5. Скользящее стандартное отклонение
Рисунок 6. Скользящее абсолютное отклонение
Рисунок 7. Скользящий корень из «логарифмической дисперсии»
В целом картины получаются схожими: высокие значения показателей разброса в середине торгового дня и низкие в ночное время.
Особо отметим, что стандартное и абсолютное отклонение полностью зависят от значений валютного курса. Однако корень из «логарифмической дисперсии» инвариантен относительно операции умножения всех значений валютного курса на любое число Л е R \ 0 . Это свойство позволяет использовать корень из «логарифмической дисперсии» в качестве объективного показателя изменчивости валютного курса при сравнении различных рынков.
Так, на рассматриваемом интервале времени скользящие дисперсии и стандартные отклонения курса USD/JPY многократно (в сотни и десятки раз) превосходят аналогичные показатели для курса EUR/USD, сравнить изменчивость этих валютных пар затруднительно (связано это с тем, что для курса EUR/USD характерны значения, близкие к 1, а для курса USD/JPY -близкие к 100). Поэтому были рассчитаны скользящие корни из «логарифмических дисперсий» для данных валютных пар, представленные на рисунке 8.
EUR/USD-----USD/JPY
Рисунок 8. Сопоставление скользящих корней из «логарифмической дисперсии» для курсов EUR/USD и USD/JPY
Как можно заметить, курс USD/JPY имеет более низкие значения корня из «логарифмической дисперсии», чем курс EUR/USD. На основании этого можно сделать обоснованный вывод, что с 7 по 11 ноября 2011 года динамика курса USD/JPY была намного спокойнее динамики курса EUR/USD.
Заключение
В статье были рассмотрено использование различных видов средних и показателей разброса для мониторинга валютного рынка Forex. Установлено, что на рассматриваемом временном промежутке все типы средних величин дают похожие картины. Аналогично все типы показателей разброса позволяют установить одни и те же участки высокой и низкой волатильности рынка. Таким образом, при изучении динамики отдельного валютного курса не имеет особого значения, каким типом скользящих средней и показателя разброса пользоваться. Однако при сравнении динамики разных валютных курсов имеются причины пользоваться скользящим корнем из «логарифмической дисперсии» и необходимым для его вычисления скользящим средним
геометрическим. Именно, с его помощью можно объективно сравнивать волатильности различных валютных курсов.
Список литературы
1. Белова Е.В. Технический анализ финансовых рынков. М.: ИНФРА-М, 2006. С. 102 - 137.
2. Елисеева И.И. Эконометрика. М.: Финансы и статистика, 2007. С. 335 - 339.
3. Колби Р. Энциклопедия технических индикаторов рынка. М.: «Альпина Бизнес Букс», 2004.
4. Колодко Д.В. Нестационарность и самоподобие валютного рынка Forex // Электронный журнал «Управление экономическими системами» №3, 2012. http://www.uecs.ru/uecs-39-392012/item/1144--forex
5. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. С. 188 - 216.
6. Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Изд-во «Экзамен», 2006. С. 227 - 279.
7. Романов В.П., Бадарина М.В. Информационные технологии моделирования финансовых рынков. М.: Финансы и статистика, 2010.
8. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М. Эконометрия. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. С. 391 - 405.
9. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. C. 414 - 439.
