CC BY
0УДК 539.3
МОМЕНТНО-МЕМБРАННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК БОЛЬШОГО ПРОГИБА КАК КОНТИНУАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИОННОГО ПОВЕДЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ НАНОМАТЕРИАЛОВ
С. О. Саркисян1
В работе в предположении малости деформаций, изгибно-крутильных характеристик и углов поворота элементов оболочки, а также пологости последней на основе трехмерной геометрически нелинейной моментной теории упругости с сохранением лишь тех нелинейных членов, которые возникают от нормального перемещения (прогиба) и его производных. построена геометрически нелинейная моментно-мембранная теория упругих оболочек. которая трактуется как континуальная теория деформационного поведения гибких двумерных ианоматериалов (в частности, углеродной нанотрубки и графена).
Ключевые слова: гибкая оболочка, моментно-мембранная теория, двумерные нанома-териалы. континуальная теория.
In this paper, based on the assumption on the smallness of deformations, flexnral-torsional characteristics and angles of rotation of the shell elements as well as on the assumption on shell's shallowness, with the help of the three-dimensional geometrically nonlinear moment theory of elasticity and by preserving only those nonlinear terms that come from normal displacement (deflection) and its derivatives, a geometrically nonlinear moment-membrane theory of elastic shells is constructed, which is interpreted as a continuum theory of the deformation behavior of flexible two-dimensional nanomaterials (in particular, for carbon nanotnbes and graphene).
Key words: flexible shell, moment membrane theory, two-dimensional nanomaterials. continuum theory.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-7
Введение. Углеродные двумерные наноматерналы (нанотрубка, графен) обладают уникальными механическими свойствами [1| но сравнению с традиционными материалами. С этой точки зрения в настоящее время актуально моделирование деформационного поведения этих материалов и изучение на основе соответствующих моделей различных прикладных задач, посвященных статике, динамике и устойчивости двумерных наноматериалов.
При исследовании механических свойств двумерных наноматериалов широко применяются методы молекулярной динамики [2, 3] и молекулярной механики [4 7], а также так называемые дискретно-континуальные методы [8 11].
Следует отметить, что при изучении деформационного поведения углеродной нанотрубки и графена, при непосредственном рассмотрении их атомной природы, главным образом предполагают, что между атомами имеет место силовое центральное взаимодействие. На основе этого предположения можно сделать вывод о том [12], что углеродная нанотрубка (а также графен) не обладает изгибной жесткостью и является неустойчивой структурой. А это, естественно, означает [12 15], что само существование углеродной нанотрубки (или графена) свидетельствует о необходимости учета моментного взаимодействия между атомами этих материалов, а также предположения о том, что силовое взаимодействие при этом будет нецентрального характера [15].
Цель работы [16] заключается в построении континуальной модели деформационного поведения однослойного листа графена с использованием структурного (стержневого) подхода. Для реализации данной идеи применяются методы структурного моделирования, изложенные в работах [17 20]. С учетом того, что между атомами цепочки силовое взаимодействие нецентрально и имеет место мо-ментное взаимодействие (отметим, что потенциалу межатомного взаимодействия в данном случае соответствует гармонический потенциал), в [16] построена соответствующая стержневая модель. Кристаллическая решетка графена рассматривается в ячейке его периодичности, взаимодействие между атомами заменяется этой стержневой моделью и в итоге строится дискретно-континуальная
1 Саркисян Симоел Огаш'.сович доктор физ.-мат. паук. проф. Ширак, гос. уп.-та, члеп-корр. НАН Армении, e-mail: S-sargsyanQyahoo.com.
Sarysyan Samvel Huvhannes Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Sliirak State University, Corresponding member of NAS RA.
© Саркисян С. О., '2024 лт^чр^^м!
© Sarfisvan S.H., 2024
модель графена, а также с помощью предельного перехода его континуальная модель. В [16] обосновывается то, что построенная континуальная модель деформационного поведения графена полностью идентична так называемой моментно-мембранной линейной теории упругих пластин [21, 22]. В результате сравнения значений интенсивности потенциальной энергии деформации в этих двух теориях через физические параметры гармонического потенциала для углерода определяются жесткостные характеристики моментно-мембранной теории упругих пластин. А это означает, что в моментно-мембранной теории упругих пластин как континуальной модели деформационного поведения графена не используется понятие толщины пластинки.
В работе [23] построена моментно-мембранная линейная теория упругих цилиндрических оболочек как континуальная модель деформационного поведения углеродной нанотрубки.
В [24] в предположении малости удлинений и сдвигов, а также углов поворота элементов пластинки с сохранением лишь тех нелинейных членов, которые возникают от нормального перемещения (прогиба) и его производных, построена геометрически нелинейная моментно-мембранная двумерная теория упругих пластин, которая трактуется как континуальная нелинейная модель деформационного поведения гибкого графена.
В настоящей работе, развивая идеи и подходы работы [24], считая достаточным для многих прикладных задач применение теории пологих оболочек, мы получаем основные уравнения, граничные условия и вариационный принцип возможных перемещений, относящиеся к моментно-мембранной теории упругих оболочек большого прогиба, которая трактуется как модель деформационного поведения двумерных гибких наноматериалов, в частности углеродной нанотрубки.
1. Геометрия деформаций моментно-мембранной теории оболочек большого прогиба. Пусть вектор М* определяет величину и направление бесконечно малого линейного элемента рассматриваемого тела (оболочки толщиной 2Н), величина и направление которого до деформации были заданы вектором МИ. Каждая составляющая вектора М*И* связана как с вектором перемещения V, так и с вектором независимого поворота ш [24]:
(Ш = (кг + (IV + (1г х ш.
(1)
Здесь г — радиус-вектор материальной точки М в конфигурации тела до деформации относительно некоторой точки О; К — радиус-вектор той же материальной точки М тела в актуальной конфигурации относительно той же точки О; скг х ш — это свободный поворот бесконечно малого вектора МИ = с!г (следует иметь в виду, что в моментной теории упругости каждая точка или бесконечно малый элемент рассматривается как тело-точка [25]). Отметим, что эта же задача при классической постановке (когда Ш = 0) глубоко изучена в монографии [26].
Для описания геометрии деформирования тела-оболочки будем использовать лагранжев под-
М
координаты 9п (п = 1,2,3) с базисными ковариантными ~дп и контравариантными ~дп векторами и метрическим тензором д. Отметим, что криволинейные координаты в1, в2 будем размещать в срединной поверхности оболочки. Будем считать, что в процессе деформирования для материальных частиц тела-оболочки координаты вп не изменяются.
На основе векторного дифференциального соотношения (1), применяя выкладки тензорного анализа (далее с переходом к криволинейной ортогональной системе координат, для которой Нк (к = 1, 2, 3) — коэффициенты Ламе, а также с переходом к физическим компонентам векторов и тензоров), определим в данной точке тела-оболочки относительные удлинения элементов, находящихся первоначально на координатных линиях, и сдвиговые деформации на координатных поверхностях.
Далее геометрически нелинейную модель моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений будем строить в предположении, что по сравнению с единицей малы не только деформации, т.е. удлинения и сдвиги, но и углы поворота элементов тела-оболочки; кроме того, в получаемых нелинейных соотношениях будем сохранять лишь те нелинейные члены, которые возникают от нормального перемещения Уз и его производных.
Таким образом, будем иметь
¿в** = */(! + ей)2 +
1 дУ(
(2)
Н дв1
1 дНг
з)
+
1 дУ(
(3)
1 дН1
йв
10
1
1
1 +611 + -^! + -
1 дУ(
(2)
1 дН1
#1 дв1 #1#2 дв2 (1)
У(1) -
ш(3)
+
2
2
+
1 дУ(
1 дНг Их дв1 П\ПЛ дв3
(3)
У(1) + Ш(3)
йз10 (1 о 2),
где
Обозначение (1 о 2) указывает на то, что имеет место второе соотношение, которое получается из приведенного заменой 1 на 2 и наоборот.
Продольные деформации Е^*, г = 1, 2, и #3* будут выражаться так:
#1* = 711 = 1
— й810
1
1
+
2
¿810 1 дУ(з)
= еи + -е11 + -
1 дН1
1 дУ(
(2)
1 дН1
Н1 дв1 Н1Н2 дв2
У(1) — ш(з)
+
Н1 дв1 Н1Н3 дв3
У(1) + Ш(2)
ец +
1/1 дУ(
(з)
2 V Н1 дв1
(1 о 2);
Ез* = 7зз =
йяЗ — ¿в
30
30
= У (1 + езз)2 +
1 дУ(1) 1 дНз
+
1 дЩ
е33 +
1(1 дУ(
(з)
2 VНз дв3
где
Далее,
сов (¿1, г2) =
1 дУ(3) , 1 дНч 1 дН3
633 " Яз^ + ад (1) +
( 1 дУ(3) 1 дНг л г , , , \ / 1 дУ(3) 1 дН2 лт , , \
- жщ\~m~dw -яжж^)
(1 + Еи) (1 + Е2*)
+
1 дУ(
(1)
Н2 дв2 Н1Н2
(1 + #1*)(1+ #2*) 1 дН*У + „ ^ 1 ^
(1+ #1*)(1 + #2*)
1 дН1
Н1 дв1 Н1Н2 дв2
У(1) — ш(3)^ +
1 дУ(3) 1 дУ(
(3)
Н1 дв1 Н2 дв2
в1в2
7 (¿ъ ¿2) = 721 + 712 (7 = = сов (90° - (п, г2
где
721 = е21 + -
1 1 дУ(
(3)
1 дУ(
(3)
2Н1 дв1 Н2 дв2
1 дУ(
е21 =
1 дН2 Н2 дв2 Н2Нз 001
(1)
Аналогично
712 = в!2 + -
1 1 дУ(
(3)
1 дУ(
(3)
2Н1 дв1 Н2 дв2
У(2) + ш(3)> е12 =
1 дУ(
1 дН 1 Нг дв1 ИхН2~д¥
(2)
У(1) — ш(3) •
сов
( 1 Щ2) 1 ая! т/ ,, \ ( 1 ду(2) 1 б>я3 т/ , ,. А ~ И■ЩГЧ!) -^(з)^ +ш(1))
(1 + #1*)(1 + Е3*)
+
(1 + #1*)(1+ #3*)
(1+ #1*)(1 + #3*)
2
2
2
2
2
1 дИ
(1)
1 дН3
жт^ {з)~Ш{2)
+
1 дИ
(3)
1
VЯз д03 Я1Я3 д^1 (3) (27 д^1 Я1Я3
Сдвиговая деформация на поверхности 0103 имеет вид
731 + 713,
дЯт \ 1
дУ
(3)
1 дИ
(3)
дб11 Яз д03
где
ез1 =
731 = ез1 +
1 дУ(1)
1 1 дУ
(3)
2 Я1 д^1 1
1 ЭУ(3)
Яз ;
713 = в1з +
1 1 дУ(з) 1 дУ(
(3)
2
Яз д03 Таким же образом
Я1Я3 д^1
дЯч 1 дУ(з)
Я1 дб11 1
Яз д03
дб11 Я1Я3
о.
сов (¡2, к) =
дУ/
(1)
я2 "Ж2" Я1Я2
дН2 Шг
Т/ I , , ^ Г 1 ЭУ(1) 1 дн3 т/
(1 + £2*) (1 + £3*)
+
+
(1 + е22) (А^ - + -(!)) (1 + езз) - я^И^) - -(!))
1 дУ
(2)
(1 + £2*) (1 + Ез*) 1 дН3
+
+
1 дУз
(1 + £2*) (1 + £3*)
1 дЯ2
чЯз ш3 я2я3 дв2 (3) (1)у ' н2н3дв3
Сдвиговая деформация на поверхности 0203 имеет вид
^(2) - ш(1) ) +
1 дУ(3) 1 дУ(
(3)
Я2 д02 Я3 д03
где
в32
732 = е32 +
1 ЭУ(2) Я3 дв3
1 1 дУ(
(3)
= ^32 + 723,
1 дУ(3)
2 Я2 д02 Я3 д03
1 9Яз
Я2Я3 (3) (1)'
723 = е23 +
1 1 дУ(3) 1 дУ(
(3)
в23
1
Н~2
дУ(
(3)
Я2 д02 1
Я3 д03 дЯ2
д02 Я2Я3
Отметим, что е11,е22,е33,е12,е21 ,е13,е31 ,е23,е32 представляют собой компоненты тензора деформации в линейной моментной теории упругости [27].
Что касается компонентов тензора изгибов-кручений, то на основе принятых предположений они будут выражаться так, как в линейной моментной теории упругости [27]:
1 дш
Х11
Х22
Х33
(1)
Я1 д^1
1 ди)^) ~Н~2 дв2 1 дш(3)
+
+
Я3 дв3 + Я1Я3 дв1 Ш{1) ^ Я2Я3 дв2
1
дЯ1 1 дЯ1
1
дЯ2 1 дЯ2
1 дЯ3
+
1 дЯ3
Х12 =
Х13
Х23 =
1 <%2) 1 дЯ1 Х21 = 1 1 9Я2
Я1 ш1 НгН2дв2 Я2 ш2 Я1Я2 Ш1
1 дщз) 1 дЯ1 Х31 = 1 1 9Я3
Я1 дв1 НгЩ дв3 Я3 ш3 Я1Я3 дв1
1 дш(3) д 2 (О Х32 = 1 дш(2) 1 9Я3
Я2 дв2 я2я3 дв3 Я3 дв3 Я2Я3 Ш2
Ш(2),
Ш(3),
ш(3) •
Принятые ортогональные криволинейные координаты на срединой поверхности оболочки 01 и 02 теперь обозначим а1 и «2- Положение произвольной точки тела-оболочки вне срединной поверхности (координата 03) определим расстоянием г по перпендикуляру от срединной поверхности. Параметры
1
1
Ламе такой ортогональной криволинейной системы координат (01, 02, г) будут выражаться так [28]: Нг = Аг + ,¿ = 1,2, Нз = 1, где Аг = Аг(а\, а2) — коэффициенты первой квадратичной формы
срединной поверхности. Будем рассматривать тонкие оболочки (когда ^ < 1, где В,о — наименьший из двух главных радиусов кривизны срединной поверхности). Это означает, что можно считать И ~ А^, г = 1, 2, Из = 1. Кроме того, будем рассматривать тонкую пологую оболочку [28], следовательно, для коэффициентов первой квадратичной формы срединной поверхности приближенно полагаем А1 ~ 1, Л2 ~ 1. Что касается начальных кривизн срединной поверхности к1 = к1 (01,02), к2 = ^2(01,02), то будем считать [28], что они при дифференцировании ведут себя как постоянные.
С учетом сказанного выше, а также обобщенных на моментную теорию упругости допущений в случае пологих оболочек [23] для компонент тензоров деформаций и изгибов-кручений получим
да1
К
1
ду
(з)
да1
ГЩ 2) У(3) 1
722 = —--Ь —--г -
ду
721 =
(1)
731
да2
дх
1 дУ<
(з)
да2
ду(з)
дУ,
732 -дш
(2)
д01 д02
1 ду(3) Щз)
2 дх
1 Щя)
К2 712 =
ду
(з)
2 V да2 дУ{ 2)
да1
ш(з) + о
дУ(3) 1 = ~~дг 2
1 дУ(з) дУ(
(з)
2 да1 да2
да 2
Х11
■41)
дш
да1 Х13 =
Х22 =
ди>(3) да1
(2)
да2 Хз1 =
дх '
Хзз = дг
713 = ^Г+^(2) + 2'
дУ,
(з)
дУ,
72з =
дУ,
дал
(3)
(з)
1 дУ(з)
2 да2
дш
(з)
дг
Х2з =
д«2 Х12
да2
дУ,
(3)
дш
(2)
дш
да1 Хз2 =
Х21
дг
(1)
да2
ду
(з)
дг
(2)
В силу основной (кинематической) гипотезы моментно-мембранной теории упругих тонких оболочек [21, 22] полагаем (компоненты векторов перемещения и независимого поворота распределены по толщине оболочки равномерно):
У(г) = и (01,02), у(з) = ш (01,02), (г = 1,2), Ш(к) = П (01,02), к = 1,2,3.
(3)
Подставляя значения У(г), у(з), ш(^) из (3) в (2), получим для компонент деформаций и изгибов-кручений срединной поверхности (а также во всем объеме оболочки) следующие формулы:
^ , . ди1 ш 1 (дш
^ . . д«1 ^ 1 дш
721 = Гц (оь о2) = ---Ь Пз + ттт;—
д02 2 д01
ди2 1 ш 1 / дш V
722 = Г22 (Оь 02) = ---Ь — + -
д02 К2
дш д02 ,
712 = Г12 (0102) =
ди2 д01
-Пз +
2 у 9о2 у
1 дш дш
, 7зз = 0,
2 да\ да2'
дш дш 713 = Г13 (01,02) = ---723 = Г2з (оьо2) = ---Пь 7з1 = 732 = ^1,
Х11 = кц (01,02) =
д01 д П1
д02
(4)
д01
Х22 = к22 (01,02) =
Ш2 д02
Хзз = 0, Хз1 = 0, Хз2 = 0, дПз
Х12 = к\2 (оь о2) = Х21 = ^21 (оь о2) = Х13 = &13 (оь о2) = Х23 = к23 (оь о2) =
Таким образом, геометрические соотношения в моментно-мембранной теории пологих оболочек большого прогиба будут выражаться так:
ди1 ш 1 Т11 = д^ + К[ + 2
дш
д01
^ дь,\ ^ 1 <9ш 21 9о2 3 2 <9о1 дш
Г
1з
д01
<9ш <Эо2:
+ ^2.
Г22 =
Г12 = Г2з =
9^2 ш 1 / <9ш \ 2 <9О2 И2 2 \ <9о2 )
ди2
д01 дш
д02
1 дш дш
2 д01 д02
- П
(5)
«11 = Т;-, к22 = т;-, «12 = Т;-, «21 = Т;-,
да1 да2 да1 да2
«13 = т;—, к23 = т;—• да1 да2
Уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности получим на основании геометрических соотношений (5) путем исключения перемещений у,1, щ и независимого поворота 0,3:
1 д'ш 1 д2,ш д'ш 1 д'ш д2,ш
дТп dV2i
да2 да1
дТ22 дТ12
да1 да2
Ri да2 2 да\ да2 2 да1 да1да2 (6)
^ 1 dw ^ 1 d2w dw 1 dw d2w ^ '
R2 да1 2 да1да2 да2 2 да1 да2,'
Выражения для перемещений и свободных поворотов (3), геометрические соотношения (5) и уравнения неразрывности срединной поверхности (6) определяют геометрическую модель деформации моментно-мембранной теории упругих оболочек большого прогиба.
2. Физические соотношения упругости и уравнения равновесия моментно-мембранной теории оболочек большого прогиба. В моментно-мембранной теории упругих пологих оболочек большого прогиба рассуждения будем вести в рамках физически линейных соотношений [27], которые на основе статических гипотез (пренебрегаем о33 относительно oii, o3i—oi3,i33—iii, i3i—li3, i = 1, 2) моментно-мембранной теории упругих оболочек [21-23] и в связи с тем, что согласно формулам (4) y33 = 0, Х33 = Х31 = Х32 = 0) примут вид
E
<7íí = l_v2 (Tü + v • lúú) > L4i = (7 + [(! + 2í?2) kíí + V2Kjj] ,
ii — а
Oij = (i + а) (Tij + ni • гji) , ni =
7 ¡ + а (7)
= (7 + е) (кц + гцкц), П2 = —— (г, ] = 1,2, %ф Ц)
I + с
Сг3 = < ■ Ггз, Цг3 = В ■ кг3 (г = 1, 2).
Имея в виду выражения (4), (5), (3), получим, что указанные в формулах (7) напряжения ац,ац, а%3 и моментные напряжения , ¡г3 не зависят от координаты г, т.е. все они распреде-
лены по толщине оболочки равномерно.
В теории оболочек вместо напряжений и моментных напряжений удобно оперировать статически эквивалентными им внутренними усилиями и моментами, отнесенными к единице длины соответствующей координатной линии аг (г = 1, 2) срединной поверхности. Тогда будем иметь
T- = Г
Tii — i
J-h
Sij = I VijU* — ^Wij
ацйг = 2ацН, Ьы = ¡л,цйг = Н (г = 1,2), З-ь
ац йг = 2а ц Н, Ьц = / ¡ц йг = 2лц Н (%,] = 1,2, г = ]), (8)
-ь
/ь г ь
аг3йг = 2аг3Н, Ьг3 = ^йг = 2^Н (г = 1,2). ь -ь
Подставляя в (8) формулы (7), получим соотношения упругости моментно-мембранной теории оболочек:
Тгг = Е* (Ггг + V ■ ГЦЦ) , Ьгг = В' [(1 + 2П2) кгг + П2кЦ] ,
= С* (Гц + щГцг), Ьц = В' (кц + щ ■ кцг), (9)
N3 = В1 Гг3, Ьг33 = В*кг3,
где
Е
Е* =-Ц, Е* = 2ЕН, С* =2(а + а) - к, В*=2ВН, А = 2С ■ к, ТУ = 2(7 + е) ■ к (10)
1 — V2
представляют собой параметры тангенциальных, сдвиговых и изгибных жесткостей моментно-мем-бранной теории упругих оболочек, которые именно в таком виде определены в [16] — через физические константы гармонического потенциала взаимодействий атомов в случае углерода. Следует особо отметить, что так как в работе [16] прямо определяются параметры жесткостей оболочки (10), то в моментно-мембранной теории упругих оболочек как континуальной модели деформационного поведения двумерных наноматериалов не используется понятие толщины оболочки. Такое свойство модели играет существенную роль в случае ее применения для двумерных наноматериалов.
В моментно-мембранной теории пологих упругих оболочек большого прогиба, в отличие от случая сильного изгиба [29, 30], уравнения равновесия дифференциального элемента оболочки ^01^02^г после деформирования составляются несколько своеобразно. Требование равенства нулю суммы
01 02
ние равенства нулю суммы моментов всех сил относительно осей 01, 02, г накладываются, как и в линейной теории [27], без учета геометрических изменений при переходе оболочки из начального напряженного состояния. Вместе с тем условие равенства нулю суммы действующих на элемент сил г
вания оболочки. Принятая система упрощений приводит к следующим уравнениям равновесия:
дап <Эо-21 <9о-31 _ <9(712 да22 да32 _ д01 д02 дг д01 д02 дг
дст1з дст2з дстзз (д2ш , \ (д2ш , \ д2ш д2ш
+ "Г;--I" --Ь ТГТ -К1К11+ ТГТ - к2 (722 + -~-(712 + 7Г-~-0"21 = 0
п I п 1 о 1 о 2 ,Ь1 I "11 1 о 2 '"2 1 "22 I п п "12 I п п "21 —
д01 д02 дг \д0| / \д02 / д01д02 д01д02 (11)
, д^21 , д^з1 д^12 , д^22 , д^з^ ( ) т;--Ь -т;--Ь --Ь (72з = 0, —--Ь -т;--Ь --(713 = О,
д01 д02 дг д01 д02 дг
д^1з , д^2з , д^зз --Ь ^--Ь --Ь (712 - (721 = 0,
д01 д02 дг
где кг = ±,к2 =
г
г
равновесия моментно-мембранной теории пологих оболочек большого прогиба:
дТп+д321= +_ _ д312 + дТ22= +_ _
да\ да2 ^1 ^ ' да\ да2 '
дМ13 дК23 (д2ъи \ (д2ъи \ , 92ш с , д2ы с (+
— + — + - М ТП + - ^ Т22 + -—— 6*12 + -—— 5*21 = - (9з - 9з ) ,
д01 д02 д012 д022 д01 д02 д01 д02 з з
д01 д02 1 1
д^12 . д^22 лт + -~ =т2-т2,
-т;--I- --Ь 512 - >521 = гщ -т3.
д01 д02 з з
г
также значения напряжений стзз, стз^ и моментных напряжений ^зз, ^ (которыми мы пренебрегали на основе отмеченных выше статических гипотез).
Таким образом, геометрические соотношения (5), уравнения неразрывности (6), физические соотношения упругости (9) и уравнения равновесия (12) составляют систему основных уравнений моментно-мембранной теории пологих упругих оболочек большого прогиба.
3. Вариационное уравнение принципа возможных перемещений в моментно-мембранной теории пологих упругих оболочек большого прогиба. Будем использовать один из наиболее общих энергетических принципов: начало возможных перемещений для упругих систем формируется так: для того чтобы данная упругая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы виртуальная работа внешних сил и моментов была равна вариации потенциальной энергии упругой деформации, т.е.
¿А = ¿и, (13)
где A — работа внешних сил и моментов на соответствующих обобщенных перемещениях, U — потенциальная энергия деформации упругого тела.
В моментной теории упругости [27] для вариации потенциальной энергии деформации упругого тела (в данном случае тела-оболочки) имеем
(ац ¿711 + а 22^722 + ^зз^7зэ + ^12 ¿712 + ^21^721 + ^13^713 + ^31^731 +
(V)
+§2з572з + а32£732 + MniXn + /225X22 + /зз5хзз + /^125X12 + /¿2^X21 + +/X13ÖX13 + /¿310X31 + /¿23^X23 + /¿32^X32)^1^2 + + j^J daida2dz.
С учетом гипотез построения моментно-мембранной теории упругих тонких оболочек, предположения о пологости оболочки, а также выражений (3), (4), (8), (7) рассматриваемая величина принимает вид
(ЗДГц + Т225Г22 + <^12 + <21 ¿Г21 + N13 ¿Г 13 + N23 ¿Г 23 + Ln5fc11 +
(S)
+¿225^22 + ¿125^12 + L21 ¿&21 + + ¿235^23) ^«2- (14)
Имея в виду физические соотношения упругости (9) моментно-мембранной теории оболочек, выражение (14) можем представить так:
5и = 5 ВДа^, (15)
] )
где — поверхностная плотность потенциальной энергии деформации:
^0 = 2 {Е* (Г?! + Г22 + 2г/Г 11Г22) + (Г12 + г21 + 2П1Г12Г2О + А (г2з + г2з) +
+А' [(1 + 2^2) (к?1 + к|,) + 2^2^11^22] + А' (к^ + ^ + 2^2Л12Л21) + В* (к2з + ^2з)} •
Вычислим далее работу внешних сил и моментов 5А на возможных перемещениях оболочки. Работы внешних сил (¿гц2Л., <712 2^), приложенных на гранях ж = а, ж = 0, на возможных перемещениях 5«1, 5^2 вычислены в работе [31]. Что касается работы внешних моментов (Д^2^, к = 1, 2, 3), на указанных гранях в силу предположения о малости углов поворота (в том числе и углов свободного поворота) элементов тела-оболочки она будет вычислена, как в линейной теории [23]. Таким образом, для работы внешних усилий и моментов по граням ж = а, ж = 0 найдем
rb
/ (Tn5u1 + S125U2 + L+ ¿125^2 + L13¿Пз) dy Jo
, (16)
ж=0
где
/Ь г Ь рЬ,
<11^, ¿?12 = / <12^, 1= / Д,1к ^г, к = 1,2,3. Ь J—Ь ■)—Ь
Аналогично на двух остальных гранях для работы внешних усилий и моментов на возможных обобщенных перемещениях 5^, г = 1,2, и 50^ к = 1,2,3, будем иметь
f (<§215^1 + T225U2 + L215П1 + L225^2 + L2з5Пз) dx 0
y=b
, (17)
y=0
где
/Ь гЬ гЬ
021^, Т<22 = 12к = Д2к¿г, к = 1,2,3.
Ь -Ь -Ь
Для работы внешнего усилия <1з2^, действующего на гранях ж = а и ж = 0, на возможном перемещении 5-ш будем иметь
/ N13 ■ ¿wdy 0
x=a ,-h
, NV13 = / §13 dz (18)
ж=0 J—h
и аналогично для работы внешнего усилия а2г32Н, действующего на гранях у = Ь и у = 0, на возможном перемещении 5и
]Ч235,шйх
у=ь п ь
, N23 = ст23йг. у=0 ¿-Ь
(19)
Что касается работы усилий в срединной поверхности на возможных перемещениях 5и (следует считать исходное равновесное положение оболочки изогнутым с учетом больших прогибов), то она вычислена в [31]. Тогда для граней х = их = 0 получим [31]
(20)
у=Ь у=0
га ' - дw - дw . , , ¿>21ТГ--Ь -122 • тг- I аиоах
дх
ду
х=0
у=Ь у=0
(21)
Наконец, работа внешних усилий и моментов, приложенных на лицевых поверхностях оболочки, будет равна
I \Ч1 - 41 ! ""1 т-
!(Я)
+ (т+ — ш-) 501 + (т+ — ш-) 502 + (т+ — т-) 503]йа1йа2. (22)
Суммируя выражения (16), (17), (18)—(22), находим элементарную работу внешних сил и моментов:
/ / 0.9+ — 91 ) 5и1 + {я2+ — ) 5и2 + (4 — 9з ) 5и+ JJ(S)
5А = [(9+ — ) 5щ + (д+ — ) 5и2 + (д+ — ^ ) 5и + (т+ — т-) 50,1 + (т+ — т- )502+
1^)
+ (т+ — т-
(Ь
50^ йа1йа2 + {Тп5щ + + М*35и + Ьп501 + Ь^Ь + Ь Jo
+ [ (Б215Щ + Т225и2 + + Ь21501 + Ь22 5 02 + Ь 23503) Jo
йа2+
х=0
где
у=ь
с
у=0
дw
(23)
- ди] - ди! ди]
М*13 = м13+Тп— + 312 — , ЛГ*З = ЛГ2З + 521— +Т22- .
дх ду дх ду
Подставляя выражения (15) и (23) в (13), получим вариационный принцип возможных перемещений в моментно-мембранной теории упругих пологих оболочек большого прогиба. С учетом геометрических соотношений (5) указанное вариационное уравнение в итоге примет вид
[Ь
/ [(Т11 — Гц) 5и1 + (Б12 — Б12) 5и2 + {N13 — Щ3) 5и + (Ьп — Ь11) 501+ (Ьи — Ьи) 502+ Jo
+ {Ь13 — Ь13) 503] ^ йа2 + [а [(Б21 — Б21) 5и1 + (Т22 — Т22) 5и2 + (N^3 — N¡3) 5и+
Jo
+ (Ь21 — ]-21) 501 + (.Ь22 — Ь22) 502 + (Ь23 — Ь23) 50^ ^==0 йа1 —
- [[ I (^к + ^Л (6и1 + — ¿«А + + (ьи2 + —ь™
■1.1(8) \ V да1 да2 ) \ 1 даг ) \ дах да2 ) \ 2 да2
+
сЖ13 гЖ23
да\ + да2 ^^'п ^ да\ ) + ±22 \ к2 + да\)
1 д 2и\
+ Т22\— +
1 д2
+ Б12
д2и
+ в2Г
д2и
да1 да2 21 да1 да2
5и+
+ [^ + ^ + м23)бо1 + (^ + ^-м13)бо2+(^ + ^ + з12-з21)бо3-
да1 да2
да1 да2
да1 да3
х=а
- [- 01 ) ¿W + - q- ) ¿W2 + (q+ - q- ) ¿w + (m+ - m-) ¿П1 +
+ (m+ - m-) ¿П2 + (m+ - m-) ¿П3} da1da2 = 0. (24)
В силу независимости вариаций ¿щ, ¿w, ¿П&, i = 1, 2 k = 1, 2, 3, из вариационного уравнения (24) следуют уравнения равновесия моментно-мембранной теории упругих пологих оболочек большого прогиба (12), а также граничные условия этой теории:
Tii = Tii, S12 = Si2, N3 = N3, Lii = Lii, L12 = L12, L13 = L13 та гранях x = 0, a, (25) S21 = S21, T22 = T22, N2*3 = NV2*3, L21 = L21, L22 = L22, L23 = L23 на гранях y = 0, b. ( )
Таким образом, моментно-мембранная теория пологих упругих оболочек большого прогиба построена (уравнения равновесия (12), геометрические соотношения (5), уравнения неразрывности (6), физические соотношения упругости (9) и граничные условия (25), а также вариационный принцип возможных перемещений (13), (15), (23)).
Замечания. 1. Если в указанных выше уравнениях принять -щ = 0, -щ = j^, получим модель моментно-мембранной теории цилиндрических оболочек большого прогиба (в данном случае континуальную модель деформационного поведения углеродной нанотрубки при больших прогибах). 2. В предельном случае, когда -щ —> 0, -щ —> 0, из указанной системы находим соответствующие нелинейные уравнения и граничные условия моментно-мембранной теории упругих пластин большого прогиба [24], т.е. модель деформационного поведения листа графена при больших прогибах.
4. Заключение. В работе построена геометрически нелинейная моментно-мембранная теория упругих пологих оболочек как континуальная теория деформационного поведения гибких двумерных наноматериалов (в частности, углеродной нанотрубки и графена).
Для геометрически нелинейной моментно-мембранной теории оболочек установлена модель геометрии деформаций, выведены уравнения неразрывности деформаций, уравнения равновесия и физические соотношения упругости, а также вариационный принцип возможных перемещений типа Лагранжа.
Работа выполнена при финансовой поддержке Комитета по высшему образованию и науке РА в рамках научного проекта № 21Т-2С093.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баимова Ю.А., Мулюков P.P. Графен, нанотрубки и другие углеродные наноструктуры. М.: Изд-во РАН, 2018.
2. Kang J.W., Kim H. W., Kim K.S. et al. Molecular dynamics modelling and simulation of a graphene-based nanoelectro-mechanical resonator // Curr. Appl. Phys. 2013. 13, N 4. 789-794.
3. Wang J., Li T.T. Molecular dynamics simulation of the resonant frequency of graphene nanoribbons //Ferro-electrics. 2019. 549, N 1. 87-95.
4. Korobeynikov S.N., Alyokhin V. V., Babichev A. V. Simulation of mechanical parameters of graphene using the DREIDING force field // Acta Mech. 2018. 229, N 6. 2343-2378.
5. Korobeynikov S.N., Alyokhin V. V., Babichev A. V. On the molecular mechanics of single layer graphene sheets // Int. J. Eng. Sci. 2018. 133. 109-131.
6. Korobeynikov S.N., Alyokhin V. V., Babichev A. V. Advanced nonlinear buckling analysis of a compressed single layer graphene sheet using the molecular mechanics method // Int. J. Mech. Sci. 2021. 209. 106703.
7. Korobeynikov S.N. Discussion on "Nonlinear buckling analysis of double-layered graphene nanoribbons based on molecular mechanics" by M. Namnabat, A. Barzegar, E. Barchiesi et al // Carbon Letters. 2021. 31, N 6. 1365-1366.
8. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent Continuum Modeling of Nano-structured Materials // NASA Langley Research Center. Technical Memorandum NASA/TM-2001-210863-2001.
9. Li C.A., Chou T.W. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes // Int. J. Solids and Struct. 2003. 40. 2487-2499.
10. Голъдштейн P.В., Чепцов А.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2005. № 4. 57-74.
11. Wan Н., Delale F. A structural mechanics approach for predicting the mechanical properties of carbon nanotubes 11 Mechanica. 2010. 45. 43-51.
12. Иванова E.A., Морозов Н.Ф., Семенов B.H., Фирсова А.Д. Об определении упругих модулей наноструктур, теоретический расчет и методика экспериментов // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2005. № 4. 75-84.
13. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток при учете момептпых взаимодействий па микроуровне // Прикл. матем. и механ. 2007. 71, № 4. 595 615.
14. Беринский И.Е., Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита /'/' Изв. РАН. Мсхан. твердого тела. 2007. № 5. 6 16.
15. Беринский И.Е., Кривцов A.M., Кударова A.M. и др. Современные проблемы механики. Механические свойства ковалентных кристаллов: учеб. пособие / Под общ. ред. A.M. Кривцова. O.G. Лободы. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. 2014.
16. Саркисян С. О. Стержневая и континуалыго-моментная модели деформаций двумерных наноматериа-лов // Физ. мезомехан. 2022. 25, № 2. 109 121.
17. Ильюшин A.A. Загадки механики деформируемых тел // Нерешенные задачи механики и прикладной механики. М.: Изд-во МГУ. 1977. 68 73.
18. Бровка Г.Л., Ильюшин A.A. Об одной плоской модели перфорированных плит // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 2. 83 91.
19. Бровка Г.Л. Моделирование неоднородных сред сложной структуры и континуум Коссера /'/' Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 5. 55 63.
20. Бровка Г.Л., Иванова O.A. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера /'/' Изв. РАН. Мсхан. твердого тела. 2008. № 1. 22 36.
21. Саркисян С. О. Модель топких оболочек в момептпой теории упругости с деформационной концепцией ''сдвиг плюс поворот" // Физ. мезомехан. 2020. 23. № 4. 13 19.
22. Саркисян С. О. Вариационные принципы моментно-мембранпой теории оболочек // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2022. № 1. 38 47.
23. Саркисян С. О. Моментно-мембранная теория упругих цилиндрических оболочек как континуальная модель деформаций однослойной углеродной нанотрубки /'/' XIII Всесоюз. съезд по теоретической и прикладной механике. 21 25 августа 2023 г. СПб.: Изд-во СПбГПУ. 2023.
24. Саркисян С. О. Моментно-мембранная теория упругих гибких пластин как континуальная геометрически нелинейная теория листа графена /'/' Докл. РАН. Физика. Технические науки. 2023. 509. № 1. 39 45.
25. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. СПб.: Изд-во СПбГПУ. 2003.
26. Новожилов В.В. Современные проблемы механики. Основы нелинейной теории упругости. Л.: М.: ГИТТЛ. 1948.
27. Nowacki W., Olszak W. Micropolar Elasticity. Wien: Springer-Verlag. 1974.
28. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Л.: ГИТТЛ. 1949.
29. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука. 2008.
30. Altenbach J., Altenbach Н., Eremeyev V.A. On generalized Cosserat-type theories of plates and shells: a short review and bibliography // Arch. Appl. Mech. 2010. 80. N 1. 73 92.
31. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: ГИТТЛ. 1956.
Поступила в редакцию 21.11.2023
УДК 539.3
ЗАДАЧА ОДНОСТОРОННЕГО ДИСКРЕТНОГО КОНТАКТА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ
А. А. Бобылев1
Рассмотрена задача о вдавливании жесткого штампа конечных размеров с поверхностным микрорельефом в функционально-градиентную полосу. Приведены граничные вариационные формулировки задачи с использованием оператора Пуанкаре Стеклова. отображающего контактные напряжения в перемещения. При аппроксимации этого оператора применялось дискретное преобразование Фурье. Для вычисления передаточной
1 Бобылев Александр Александрович канд. физ.-мат. паук, доцент каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ: ст. пауч. сотр. Моск. центра фупд. и прикл. матем.. e-mail: abobylovOgmail.com.
Bubylev Aleksandr Aleksandrovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Elasticity: Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.
© Бобылов Л.Л., 2024 © Bobvlov Л.Л., 2024
(cc)
