Модель тонких оболочек в моментной теории упругости с деформационной концепцией «сдвиг плюс поворот» Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Модель тонких оболочек в моментной теории упругости с деформационной концепцией «сдвиг плюс поворот»

С.О. Саркисян

Ширакский государственный университет, Гюмри, 377501, Армения

В работе построена модель оболочек в моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений, в основу которой положены гипотезы о тонкостенности оболочек и о постоянстве по их толщине всех компонент векторов перемещения и поворота. Для построенной модели оболочек основные компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений оказываются равномерно распределенными по их толщине, определяя естественные (мембранные) внутренние усилия и моменты. Построенная моментная модель оболочек также отличается тем, что деформация оболочки происходит по деформационной схеме «сдвиг плюс поворот». Предложенная модель тонких оболочек не имеет аналогии в классической теории упругости и может быть применена как в задачах мезомеханики деформируемого твердого тела, так и в задачах наномеханики. Для построенной мо-ментной модели оболочек доказываются основные энергетические теоремы и устанавливаются соответствующие вариационные принципы.

Ключевые слова: моментная теория упругости, оболочка, модель, деформационная схема «сдвиг плюс поворот», энергетические теоремы, вариационные принципы

DOI 10.24411/1683-805X-2020-14002

A thin shell model within the moment theory of elasticity with the concept of deformation by shear plus rotation

S.H. Sargsyan

Shirak State University, Gyumri, 377501, Armenia

A thin shell model was constructed within the moment theory of elasticity with independent displacement and rotation fields, which is based on hypotheses that the shell walls are thin and all components of the displacement and rotation vectors are constant through the shell thickness. In the model, the main components of the stress and couple stress tensors are uniformly distributed over the shell thickness and determine the natural (membrane) internal forces and moments. Another feature of the moment model of shells is that its deformation occurs by the shear plus rotation mechanism. The model has no analogy in the classical theory of elasticity and, in fact, makes possible its application for problem solving in the mesomechanics of a deformable solid and nanomechanics. The main energy theorems are proved and the corresponding variational principles are established for the developed moment model of shells.

Keywords: moment theory of elasticity, shell, model, concept of deformation by shear plus rotation, energy theorems, variational principles

1. Введение

В работах [1, 2] представлены основные положения физической мезомеханики деформируемого твердого тела, в которых устанавливается, что элементарными носителями деформаций на мезо-уровне являются трехмерные структурные элементы (зерна, конгломераты зерен и др.), движение которых характеризуется схемой «сдвиг плюс по-

ворот». Эта теория развивается также в работах [3, 4]. Если с учетом такого характера деформаций в теле использовать подход механики сплошной среды, тогда каждая точка тела рассматривается не как материальная точка, а как тело-точка [5], движение которой описывается не только вектором перемещения V, но и вектором независимого поворота ш. Это означает, что для изучения де-

© Саркисян С.О., 2020

формаций тела на мезоуровне следует использовать аппарат трехмерной моментной теории упругости [6].

В работах [7, 8], изучая особенности деформирования наноматериалов (нанотрубок, графена и др.), устанавливается применение аппарата трехмерной моментной теории упругости как континуальной модели наноматериалов. Очевидно, что на-нотрубкам или графеновым слоям необходимо ставить в соответствие не трехмерную теорию, а модель тонкой оболочки или пластины. Оболочки и пластины как прикладные модели применяются и в мезомеханике деформируемого твердого тела, а это означает, что как для задач мезомеханики, так и для задач наномеханики актуально построение на основе моментной теории упругости такой модели тонких оболочек (в частности пластин), деформация которых подчинялась бы схеме «сдвиг плюс поворот». В рамках такой моментной модели оболочек актуально доказательство основных энергетических теорем и установление соответствующих вариационных принципов.

2. Постановка задачи

Будем рассматривать трехмерные уравнения линейной моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [9] в области оболочки толщиной уравнения равновесия (движения)

V-« = 0(рУ), У-ц + ох = 0(1Ю), (1) геометрические уравнения

у = УУ + Е хю, х = Ую, физические соотношения упругости

о = ЯЕ - - у + 2цу00 +2ау(а),

ц = РЕ-- х + 2ух(8) +2вх(а). Здесь о и ц — тензоры напряжений и моментных напряжений; у и х — тензоры деформаций и из-гиба-кручений; У и ю — векторы перемещений и поворота; Я, ц — постоянные Ламе; а, р, у, в — упругие постоянные в рамках моментной теории упругости; V — дифференциальный оператор Гамильтона; Е — единичный тензор; оx — векторный инвариант тензора напряжений; Е - - у и Е - - х — двойное скалярное произведение указанных тензоров; индексом (8) отмечены симметричные составляющие, а индексом (а) — антисимметричные составляющие соответствующих тензоров; р — плотность; I — мера инерции при вращении.

Приведенную в инвариантной форме полную систему уравнений моментной теории упругости в

(2)

(3)

дальнейшем будем рассматривать в системе координат а1, а2, г, где а1, а2 представляют собой линии главных кривизн срединной поверхности оболочки (г = 0), а прямолинейная ось г направлена по нормали к этой поверхности. Коэффициенты Ламе такой триортогональной системы координат имеют вид [10]

г

И, = А,\ 1

Я

1 = 1,2, И3 = 1,

(4)

где А,, Я, — коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки.

К системе уравнений в координатной системе а1, а2, г необходимо присоединить граничные условия, а в случае динамической задачи также начальные условия.

Будем считать, что на лицевых поверхностях оболочки (г = ±И) заданы соответствующие компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений:

С3к|2=±И = Р± , Цзк1г=±й = т±к , к = 1,2,3 (5)

а на поверхности края оболочки Е = Е' + Е" заданы соответствующие компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений на Е' и компоненты векторов перемещения и поворота на Е".

С помощью начальных условий при 1=10 задаются компоненты векторов перемещения и поворота и компоненты векторов линейной и угловой скорости.

3. Основные гипотезы. Компоненты тензоров деформаций и изгиба-кручения, напряжений и моментных напряжений

Для построения моментной модели оболочек примем два общих допущения:

1. Оболочки будем считать тонкими, т.е. ЩЯ << 1, где Я — наименьший радиус кривизны срединной поверхности оболочки, а это порождает следующее приближенное равенство:

1 + — « 1, 1 = 1,2.

Я,

(6)

2. Будем считать, что компоненты векторов перемещения и поворота не зависят от координаты г, т. е.

V] = и,(аь а2), V = ^(ах, а2), 1 = 1,2,

= Цк(ах, а2), к = 1,2,3.

В случае динамики функции (7) будут зависеть также и от времени 1.

(7)

Введем формулы (7) для V, У3, шк ( = 1, 2, к = 1, 2, 3) в приведенные выше деформационные выражения (2) и, пользуясь допущением (6) о тонко-стенности оболочки, получим следующие формулы для компонент тензоров деформаций и изгиба-кручения:

У и = Г, (аь а 2Х у,- = Ту а 2), У ,з = ^3^ а2), Узг = (-1У О у ,

Узз = 0, Х,, = к„(аl, а2), (8)

Х,у = ку (а1, а2), Хг3 = а2), Хз , = 0 Х33 = 0, 1 * У =1 2,

где

„ 1 ды, 1 дЛ — Г,, =--— +----ы

Л да, ЛЛу дау 1 '

Г ,з =

1 д- ы

Л да, Я,

+ (-1)1О у,

1 ды,- 1 дЛ-Г у = --— -д^ыг + (-1)г О3,

1 Л да, ЛЛу дау

(9)

а,, =

1 -V21 " ■

а= (ц + а)Г у + (ц-а)Г „,

а ,3 = ^ Г /3,

^гг =

2у

где

р + 2у ^

=( У + ^)к у +(У-S)kl■г■, ц ,3 = 5кз, у = 1,2,

= 4ца в = 4ув

(10)

пряжений и моментных напряжений а3 ,., а33, Ц3 Цзз (, = 1, 2) определим при помощи уравнений равновесия (движения) с использованием условий (6) о тонкостенности оболочки и зависимостей (7) в случае динамики (т.к. а ,, а,3, ц ,,, ц,у, ц,з ( * у = 1, 2) не зависят от г). Таким образом, получим

а, = г

1 д( Л1. а,,) 1 д( Л,а ,,)

ЛЛу да,

1 дЛ

1 дЛ,

ЛЛ дау

д 2ы

-а,, --

~ ,, ■ -а уу +Р—т-

Л,Л,. да,. у Я ЛЛ, да,, . д^2

, 1 1

азз = г

, 1 ,

0

-аз;

1 д( Л2а1з)

Я1 Я2 ) Л1Л2 да1

1 д (Да93) д2---+ р

д^2

0

-аз,,

(11)

Цз, = г 1 дЛ,

Л1Л2 да 2

1 д( Л. ц,,) 1 д( Л,ц,)

к = 1 дОз

,3 Лг да, Я, '

1 дО , 1 дЛ ^ 03

к,, =--+---О, +

гг Л да, Л,Л. да. 1 Я,

1 дО, 1 дЛ

к.,, = ---1--——О,, ,, * у = 1, 2.

7 Л да,, ЛЛ,. дау

Используя физические соотношения (3) и формулы (8), для напряжений а ,,, а ,, а 3 и моментных напряжений ц ,,, ц ,, ц 3 (/ * у = 1, 2) получим:

Е

Л1Л] да

ц,1 -цз- -

ЛЛ1 да1

1 дЛ

Л,Л1 да ] ] Я, Л,Л1 да { 1

■ ц,, - (-1)1 а уз

& 2 цзз = г

+ (-1)1 |азуаг + цз, (/ * у = 1,2),

цп + ц 22 1 1 д( Л2ц13)

Я1 Я2 ) Л1Л2 да1

1 д( Л1ц 23)

Л_1 да 2

- (а12 -а21) +1

д 2О3

д^2

0

" ц33,

ц + а у + в Как видно из формул (10), напряжения а,-,-, а,., а,3 и моментные напряжения ц,,,, ц,., ц,3 (/ *у = 1, 2) представляют собой функции только от а1, а2, т.е. они равномерно распределены по толщине оболочки. Остальные компоненты тензоров на-

0 0 0 0 где аз1, азз, ц3,-, ц33 не зависят от г.

4. Интегральные характеристики — усилия и моменты. Уравнения равновесия (движения) оболочки. Физические соотношения упругости

Введем вместо напряжений и моментных напряжений интегральные характеристики по толщине тонкой (т.е. с учетом условий (6)) оболочки — усилия и моменты, отнесенные к единице длины координатных линий и приложенные к срединной поверхности оболочки: к к

Т„ = | = 2а 8 у = | ау & = ^Д - к - к к к

Ц, = | = 2ц,А Nг3 = | а = 2а i3к, (12)

- к

к

-к

к

Цу = | ц = 2цуК Ц,з = | ц = 2цi3к,

-к

-к

где 1 Ф - = 1, 2; Т, — нормальные усилия; Б- — касательные усилия; N ,3 — перерезывающие усилия; Ь- — изгибающие моменты; Ь , и Ьв — крутящие моменты.

Из соотношений (12) для напряжений и мо-ментных напряжений имеем

Т,

N3

с,, , с- = , с,. =

ц =

(13)

ца =—, ц,3 = ——, , Ф У = 1, 2. - 2^ ,32h

Используя выражения (11) и граничные условия (5), с учетом (13) приходим к дифференциальным уравнениям равновесия (движения) оболочки: 1 д(АуТ,,) + д(АБЛ-) + ААа да. ААа да . ААа да . а

1 дА Ы,3 „ , д2и, , + _ч ----Т,, +— = 2рh —2- _ (р+ _ рг ),

А,Аа да, - Я Р д12 ^ ^ >11 , Т221 1 д(А2N13)

Я1 Я2 ) А1А2 да1

1 д(А1 N23) _ . д^ + ( + _)

--1 23 =_2рh—^ + (р3 _ р3),

А1А2 да 2 Р д12

1 д( А,Ьи) 1 д(АЬ-)

Аг-А- да, АА да -

+_1_ ац __±_-

АА да ^ А,А, да, ^

(14)

, а а

, а ,

д 2а

Р + 2у

Ь- = 2А[( у + в)к- +(у_в)к- ],

Ь,3 = 2Bhk в, , Ф - = 1,2.

Уравнения равновесия (движения) (14), физические соотношения упругости (15) и геометрические соотношения (9) представляют собой систему основных уравнений тонких оболочек в момент-ной теории упругости. К этой системе уравнений следует присоединить граничные условия, которые в дальнейшем будут выведены из соответствующего вариационного принципа.

На части границы Г' области срединной поверхности оболочки Б, где заданы усилия и моменты, граничные условия имеют вид (например, для края, совпадающего с координатной линией а2):

Т11 = Т11, Б12 = Б12, ^13 = ^13,

* * * (16)

А1 = А1, А2 = А2, А3 = А3.

На части границы Г" области срединной поверхности оболочки, где заданы перемещения и независимые от перемещений повороты, граничные условия будут выражаться следующим образом:

и1 = и1, и2 = и2, w = w

2

— , ^2 — ^2, О3 — О3.

(17)

+ Я + (_1) 'N-3 = 2 Ш-^- _ (т+ _ т_)

Я, -1 дГ

+ (_1)р+ + р_), , ф -=1,2,

-л + -22__1_ д(А2-13)__1_ д(АЬэ)

Я1 Я2 А1А2 да1 А1А2 да 2

д20, + _ _ (^12 _ ^21) = _2+ (т3 _ т3). д1

Подставив выражения для напряжений и мо-ментных напряжений (13) в формулы (10), приходим к соотношениям упругости тонких оболочек: Т 2Еh (Г Г ) Т„ = 17^2(Г „+УГ- ),

Б- = 2^(ц + а)Г - + (ц_а)Г - ], N,3 = 2G*hГ ,3,

2у (15)

Ь,, = 2^- - [2(р + у )к,,+рк-. ],

В случае динамической задачи необходимо задать и начальные условия. При 1 = 10 задаются значения и,, w, ди,/д1, д^/д1, 0.к, дО,к/д1, , = 1,2, к= 1, 2, 3.

Таким образом, модель тонких оболочек на основе моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений с деформационной концепцией «сдвиг плюс свободный поворот» построена.

В случае задачи статики система уравнений (14), (15), (9) представляет собой систему дифференциальных уравнений 12-го порядка, при этом на каждом из торцов оболочки имеются по шесть граничных условий (16) или (17). В случае динамической задачи указанная система уравнений является системой дифференциальных уравнений гиперболического типа.

Отметим, что из общих уравнений и граничных условий для оболочек можно получить все зависимости для пластин (отдельно для плоского напряженного состояния в срединной плоскости пластины и изгибной деформации пластины от этой плоскости).

В работах [11, 12] показано, что эти модели пластины представляют континуальную модель

деформаций графена в своей плоскости и модель изгибной деформации графена от своей плоскости.

Понятно, что моментная модель оболочки (14), (15), (9), (16) или (17) в цилиндрической системе координат будет континуальной моделью деформаций однослойных нанотрубок.

5. Энергетические теоремы и вариационные принципы

Если уравнения равновесия (14) умножить соответственно на ы1, ы2, О1, О2, О3, сложить их и интегрировать по области 8 срединной поверхности оболочки, после некоторых преобразований приходим к закону сохранения энергии для построенной модели оболочек:

и0 =1 Л. 0 2

Здесь

и0 = Ц % Л1 Л2dаldа2,

( 8 )

Л = Я{(Р+- Р- )ы1+( Р+ - Р- )ы2

( 8 )

+ (Рз+ - Рз-)— + [(т+ - т ) - к(Р+ + Р- )]О + [(т+ - т-) + к( р+ + р1 )]О 2 + (т+ - т- )О3}Л1 Л2аа1аа2 + (Т11ы1 + 812ы2 + + Ц11О1 + Ц12О2

Г

+ Аз^з ) Л2аа2 - (821ы1 + Т22ы2 + N23W + ^21^1 + ^22^2 + ^23 О з ) -Л_1аа1,

(18) (19)

(20)

%0 =

2Ек

1 -V

2(Г?1 +Г22 + 2vГllГ22)

+ 2к(ц + а)(Г22 + Г 21) + 4к(ц - а)Г12Г 21

+ 2кО" (Г2 + Г2) + 2к

4у (Р + У) Р + 2у

(к11 + к'22)

+ 2к 4уР к11к22 + 2к(У + в)(к122 + к^) р + 2У

+ 4к(У - в)к12к21 + 2кВ(к2 + к22з)], (21) % — поверхностная плотность потенциальной энергии деформации оболочки, которая представляет собой положительно определенную квадратичную форму; и0 — ее полная потенциальная энергия деформации; 1/2 Л — работа внешних усилий и моментов, приложенных к оболочке.

Уравнения сохранения энергии (18) можно использовать для доказательства теоремы единствен-

ности для краевой задачи ((14), (15), (9), (16) или (17)) статики оболочек.

Отметим, что поверхностную плотность потенциальной энергии деформации оболочки % можно выразить и через усилия-моменты (%* = %0), тогда легко убедиться, что имеют место как формулы типа Грина (Т11 = д%0/дГ11, 812 = д%0/дГ^, ...), так и формулы типа Кастилиано (Г11 = д%0*/дТ11, Г12 = д</г»12,...).

Используя ход преобразований при получении уравнения сохранения энергии, аналогичным подходом для построенной модели оболочек можно прийти к теореме о взаимности работ Бетти (Л 12 = Л21).

Для построенной модели оболочек принцип возможных перемещений Лагранжа имеет вид

Ц {(Р+ - Р- )5ы1 + (Р+ - Р- )5ы2 + (Рз+ - Рз- )5—

(8 )

+ [(т+ - т-) - к( р+ + р- )]5Ц + [(т+ - т2) + к( р+ + р- )]5Й2 + (т+ - т-)5О3}Л1 Л^а^а2 + | (Т115ы1 + 8125ы2 + N^5— + Ц115О1

Г

+ Ц125О2 + Ц135О3)Л2аа2 - (8215ы1 + Т225ы2 + N235— + Ц215О1 + Ц225О 2

+Ц235О3)Л1аа1 = 5 Ц Ж0ЛЛ2аа1аа2, (22)

( 8 )

где 5ы1,5ы2,...,5О3 — бесконечно малые перемещения и повороты, которые допускаются геометрическими связями.

Принцип возможных перемещений Лагранжа (22) гласит: для того чтобы оболочка находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы возможная работа внешних поверхностных и контурных сил и моментов была равна вариации потенциальной энергии упругой оболочки.

Отметим, что в случае смешанных граничных условий (когда на Г' заданы усилия и моменты, а на Г" — перемещения и повороты) контурный интеграл, входящий в уравнение (22), берется только по контуру Г'.

Вариационное уравнение Лагранжа (22) содержит в себе уравнения равновесия оболочки (14) и граничные условия в усилиях и моментах (16).

Поскольку поверхностные и контурные силы и моменты заданы и, следовательно, не варьируются, то уравнение (22) можно переписать в форме

5Э0 = 0,

(23)

где Э0 — потенциальная энергия всей системы:

Э0 = Ц W0A1 A2da1da2 - Я {(Р+ - Р- )u1

(S) (S)

+ (Р+ - P2 )u2 + (Рз - Р- )W + [(Ч" - С )

- h( p+ + Р- )]Q + [(m+ - m~) + h( p+ + Р- )]Q

+ (m+ -m-)Q3}A1 A2da1da2 -çÇ (Г11м1 + S12u2

г

+ N13w + L11Q1 + L12Q2 + L[3Q3)A2da2 - (S21u1

+ T22U2 + N23W + L2A + L22Q2 + L23Q3)A1da1 (24)

Из уравнения (23) следует, что из всех возможных перемещений и поворотов, удовлетворяющих связям, наложенным на упругую оболочку, в действительности могут иметь место только те, при которых потенциальная энергия системы Э0 имеет стационарное значение. Взяв вторую вариацию Э0, можно показать, что при равновесии оболочки потенциальная энергия системы имеет минимальное значение.

Допустим теперь, что функции, определяющие напряженное состояние оболочки, связаны уравнениями равновесия (14) и выполнены граничные условия в усилиях и моментах (16), т.е. на Г'.

Тогда для следующего функционала

Э0* = Ц W0*A1A2da1da2 - J I T11 m+S12 U2

( s )

Г''

JJ

( S )

7 + - 2 * ô2U1 ^ P1 - P1 - 2Ph~Г ôt

ÔU1 +1 P2 - P2

- 2ph

ô 2u2 1 ôt2

(

ôu2

P3+ - P3 - 2Ph

ô 2 w 1 ôt2

ôw

m+ - m1 - h(p++ p2) - 2ph ^ô^1

ôQ1

+

+

m+ - m2 + h( p+ + p1 ) - 2Ih

ô 2Q "ôt2"

ôQ2

m+ - m3 - 2Ih

ô 2Q3 "ôt2"

ôQ3

A1 A2da1da 2

+ | (Т115и1 + S125u2 + ЫпЬм> + !11501 г

+ Х12502 + Х13503)А^а2 -(^215и1 + Т225и2

+ N^5^ + Х21501 + Ь2250. 2 + £23503)

= 5 Ц 4 А^а^а2. (27)

( ^ )

Уравнение (27) представляет собой принцип возможных перемещений динамики для построенной модели оболочек, из которого вытекают уравнения движения (14) и граничные условия на Г'.

Из принципа возможных перемещений Лагран-жа для динамического случая можно прийти к основному энергетическому уравнению динамики оболочек:

А (</о + ад=Д {(й+-й-) £

ôu

ôw

(Р2 - Р2) + (Р3 -Р3

ôt

ôt

+ [m+ -m1 -h(p+ + P2)] ^

ôt

ôQ1

00 0 \ I 00

+ N13 w + L12 Q2 + L13 Q3 I A2da2 -I S21 u1 + T22 u 2

0 0 0 0

+ N23 w + L21Q1 + L22 Q2+L23 Q3 IA1da1 (25)

имеет место уравнение

5Э0 = 0, (26)

которое называется вариационным уравнением Кас-тилиано.

Вариационный принцип Кастилиано, выражаемый уравнением (26), для построенной модели оболочек является экстремальным принципом.

Перейдем к динамике оболочек. На основании начала Даламбера, уравнение (22) дает

+ [m+ - m2 + h( p+ + P1 )]

ôt

ôt j 1

+ (m+ -m3 ) ""3 5A1 A2da1da2

+jf Гц ^rn.+S12 ^+N13ôw

Г1 11 ôt 12 ôt 13 ôt

+ A, ^

M1 ôt 1

-IS

ôu

21

ôt + L

22

+ L12 ôQ2 ; ôt +L13 ^^ 1 A2da-ôt J

+ Г22 ôu2 —2 + ôt ■N23 ôw ôQ — + L2-^ ôt 21 ôt

ôQ2 ; ôt + L23 ôp3 ôt 1 A1da1,

(28)

где К0 — полная кинематическая энергия движения оболочки:

\2 / ^ \2 \2

^=2 jj

2( S )

2Ph l£

2р*

2Ph|f

■ 2Ih lf. T + 2Ih fôPi^

ôt

x A1 A2da1da 2.

-2 Ihl

ôt

(29)

Уравнение баланса энергии (28) можно использовать для доказательства теоремы единственности для начально-граничной задачи динамики оболочек.

Для динамики оболочек по построенной модели имеет место также принцип Гамильтона:

Ь ( 0 0 1 Ь 5|1 и - к] аг =|5Ла^, (30)

где 5Л представляет собой левую часть уравнения (22).

Из принципа Гамильтона вытекают уравнения движения (14) и граничные условия в усилиях и моментах (16).

Для построенной модели оболочек как в случае статики, так и в случае динамики устанавливается также общий вариационный принцип Ху-Вашицу.

Установленные вариационные принципы для построенной модели тонких оболочек в момент-ной теории упругости дают возможность, во-первых, для решения конкретных прикладных задач применять вариационные методы (Ритца, Галерки-на и др.) и, во-вторых, для решения тех же задач разрабатывать вариант метода конечных элементов.

Литература

1. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.

2. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е. Основы физической мезомеханики структурно-неоднородных сред // Изв. РАН. МТТ. - 2010. - № 4. - С. 829.

3. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Шилько Е.В., Чертов М.А., Евтушенко Е.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. -№ 6. - C. 11-21.

4. Смолин А.Ю., Макаров П.В., Бакеев Р.А. Обобщенная модель упругопластической среды с независимыми пластическими поворотами // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. вып. - Ч. 1. - С. 89-92.

5. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. - 340 с.

6. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995.

7. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф., Фирсо-ва А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Докл. АН России. - 2003. - Т. 391. - № 6. - С. 764-768.

8. Кривцов А.М. Теоретическая механика. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2009.

9. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. - Oxford: Pergamon, 1986.

10. Гольденвейзор А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: Наука, 1976.

11. Sargsyan S.H. Discrete-continuous and continuous-moment models of graphene under in-plane deformation // Phys. Mesomech. - 2020. - V. 23. - No. 4. -P. 309-315. - doi 10.1134/S1029959920040049

12. Саркисян С.О. Дискретно-континуальная и конти-нуально-моментная модели графена для общего случая его деформирования // Докл. НАН Армении. - 2020. - Т. 120. - № 2. - С. 124-135.

Поступила в редакцию 13.08.2020 г., после доработки 13.08.2020 г., принята к публикации 14.08.2020 г.

Сведения об авторе

Саркисян Самвел Оганесович, д.ф.-м.н., чл.-корр. НАН Армении, проф. Ширакского гос. ун-та, Армения, s_sargsyan@yahoo.com