ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МОМЕНТНО-МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 539.3

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МОМЕНТНО-МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

С. О. Саркисян1

В работе формулируются предположения и на основе моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений устанавливается общий вариационный принцип типа Ху—Вашицу, а также излагаются основные уравнения и граничные условия моментно-мембранной теории оболочек. Для моментно-мембранной теории оболочек доказываются частные вариационные принципы типа Лагранжа и Кастилиано, выводятся уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности оболочки.

Ключевые слова: моментно-мембранная теория; оболочка; вариационные принципы типа Ху-Вашицу, Лагранжа, Кастилиано; уравнения неразрывности.

In the present paper assumptions are formulated and on the basis of the moment theory of elasticity with independent fields of displacements and rotations general variation principle of Hu-Washizu type is established and basic equations with boundary conditions of the momentmembrane theory of shells are set out. For the moment-membrane theory of shells particular variation principles of Lagrange and Castigliano type are proved, equations of continuity of deformations of the middle surface of the shell are derived.

Key words: moment-membrane theory; shell; variation principles of Hu-Washizu, Lagrange, Castigliano; continuity equations.

Новые аспекты исследования в моментной теории упругости, в частности в построении моделей тонких пластин и оболочек на основе этой теории, открывались работами А.А. Ильюшина, его учеников и последователей [1-6].

В настоящее время стало актуальным построение математических моделей наноматериалов для изучения их деформаций [7].

В работах [8, 9] устанавливается, что при построении моделей деформаций наноматериалов (графена, углеродной нанотрубки) необходимо использование моментной теории упругости. Если при изучении графена или однослойной нанотрубки требуется применение моментной теории упругости, то естественно полагать (так как указанные наноматериалы состоят из одного атомного слоя, т.е. являются двумерными материалами), что модели представляют собой модели тонких пластин и оболочек, построенные на основе моментной теории упругости.

С другой стороны, в работе [10] в результате экспериментальных исследований устанавливается, что в процессе деформаций кристаллов (указанные наноматериалы являются именно кристаллическими материалами) главную роль играют сдвиги и повороты, поэтому соответствующие им континуальные модели должны подчиняться деформационной концепции "сдвиг плюс поворот".

В работе [11] на основе моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений построена модель тонких оболочек, подчиняющаяся концепции "сдвиг плюс поворот". Отметим, что эту модель тонких оболочек иначе можем называть моментно-мембранной теорией оболочек, имея в виду, что в этом случае напряжения и моментные напряжения распределены по толщине оболочки равномерным образом.

В настоящей работе для моментно-мембранной теории оболочек [11] устанавливаются общий вариационный принцип типа Xv-Вашицу и частные вариационные принципы типа Лагранжа и Кастилиано. Кроме того, на основе вариационного принципа типа Кастилиано для указанной моментно-мембранной теории оболочек выписываются уравнения неразрывности (сплошности и гладкости) срединной поверхности оболочки.

1. Основные уравнения и граничные условия трехмерной моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений. Как основу будем рассматривать

1 Саркисян Самвел Оганесович — доктор физ.-мат. наук, проф. Ширак, гос. ун-та, член-корр. НАН Армении, e-mail: s_sargsyanQyahoo.com.

Sargsyan Samvel Hovhannes — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Shirak State University, Corresponding member of NAS RA.

трехмерные уравнения линеинои моментнои теории упругости с независимыми полями перемещении и вращений [12] в области оболочки толщиной 2Н: уравнения равновесия

V •£ = (), + = (1)

геометрические уравнения

2 = УУ+Ехи, х = (2)

физические соотношения упругости

£ = \R-.g + + , ^ = + 2+ 2е^а), (3)

где а и ¡л — тензоры напряжений и моментных напряжений; 7 и % — тензоры деформаций и изгибов-кручений; V и си — векторы перемещений и свободного поворота; ¡л — упругие постоянные Ламе, а, в, 7, £ — упругие постоянные в рамках моментной теории упругости; V — дифференциальный оператор Гамильтона; Е_ — единичный тензор второго ранга; -7 и Е_..% — скалярное произведение указанных тензоров; ах — векторный инвариант тензора напряжений; индексом (в) отмечены симметричные составляющие, а индексом (а) — антисимметричные составляющие соответствующих тензоров.

Приведенную в инвариантной форме полную систему уравнений трехмерной моментной теории упругости в дальнейшем будем рассматривать в системе координат а1, а2, г, где а1 и а2 представляют собой линии главных кривизн срединной поверхности оболочки (г = 0), а прямолинейная ось г направлена по нормали к этой поверхности. Коэффициенты Ламе такой триортогональной системы координат имеют следующий вид [13]:

Нг = Аг(\ + ^ {г = 1,2), #з = 1, (4)

где Л^ж Кг — коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки соответственно.

а1, а2, г

условия.

Будем считать, что на лицевых поверхностях оболочки (5+), (5-), г = ±Н заданы соответствующие компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений

\г=±н = д±, \г=±н = ш± (к = 1,2,3), (5)

а на поверхности края оболочки £ = £' + £'' заданы: на £' — компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений и на £'' — компоненты векторов перемещения и свободного поворота. Отметим, что в трехмерной моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [12] имеет место вариационный принцип типа Ху-Вашицу, функционал которого выражается так:

1 — II I {э О'тп [7тп (Vmvn £ктп^к)] №тп (Хтп Vmvn)}

7 7(й) 7-н

- (о+ип + т+^п) + (д-Уп + ш-^п) ds- +

7 J(s+) 7 J(s-)

+ / / (а2пУп + Щпшп) ¿£'1 + / / [сГ2п(Уп - ип) + Ц2п{Шп ~ Шп)} йТ!{ -

7 .](^'1) 7 J(s'{)

~ (ёыУп + Щпшп) йТ!2 - / / [а1п(уп -Ип) + Ц1п{шп ~йп)} йТ!^. (6)

7 7(Е'2) 7 7(Е'2')

Здесь (5) — область срединной поверхности оболочки; ш, п и к принимают значения 1, 2, 3; £ктп — компоненты тензора Леви-Чивиты; Э — объемная плотность потенциальной энергии деформации:

Э /^ТтгаТтга ^^тп'Утп ^УХтпХтп £ХтпХтп 7ккПпп ~Ь ^ ХккХпп■

В работе [14] устанавливается условие положительной определенности плотности потенциальной энергии деформации:

0, ЗА + 0, а > 0, 7 > 0, £> 0.

Функционал (6) естественно назвать полным функционалом моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений, с его помощью можно получить вариационное уравнение, из которого следуют все уравнения и граничные условия указанной теории.

2. Основные гипотезы. Перемещения и повороты. Деформации и изгибы-кручения, напряжения и моментные напряжения. Принимаемые ниже гипотезы по содержанию можно рассматривать как кинематические и статические.

1. Суть основной кинематической гипотезы — это предположение о постоянстве всех компонент вектора перемещения и свободного поворота по координате г:

У = щ(аьа2), = -ш(а1,а2), шк = (аьа2), г = 1,2, к = 1,2,3.

(7)

2. Наряду с кинематической гипотезой (7) имеют место статические допущения в соответствующих физических соотношениях о малости нормального напряжения 033 по сравнению с напряжением о,,, моментного напряжения ^33 относительно напряжения 03, относительно 0,3, моментного напряжения относител ьно ^¿3 (г = 1, 2).

3. Будем принимать, что оболочка тонкая << 1, где К — наименьший из радиусов кривизны срединной поверхности оболочки).

Отметим [15, 16], что принятые гипотезы 1-3 соответствуют исходному приближению асимптотического метода интегрирования граничной задачи (1)-(5).

С учетом принятых гипотез из уравнений моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений (1)-(3) для деформаций, изгибов-кручений, напряжений и моментных напряжений получим следующие соотношения.

Для деформаций и изгибов-кручений

7« = Г и (а1, а2), 7? = Г? (а1, а2), 7,3 = Гй(аь а2), 73г = Г3г(а1, а2), 733 = 0, = к« (аь а2), X] = к? (аь а2), Хг3 = к^(а1, а2), Х3, = 0, Х33 = 0 (г = ] = 1,2),

(8)

где

Г

1 дщ 1 дАг ад _ ди)_ 0

+ А, А, да,Щ + Пг' г3~ Аг даг Пг + ^ 3'

А,- да,-

Г

1 дщ А,- д(ц

1 дАг А, А? да?

+ ejгО3, Г3, —

А,; 9а;,; А^А] <)< 1 , ^ /ь ' 4 А,; 9а,;

1 дАг А, А? да?

О,,

а е? — символы Леви-Чивиты.

Для напряжений и моментных напряжений

1

Г« — 1,(7 33)1

// + а

4^а

0? -

^ — а 4^а

ка —

27(3в + 27)

7 + £ Т — £

[2(/3 + 7)^ - /З/^], кгу = —-Цгу----

47^

47^

1

либо в обратной форме Е

Огг =

У

1 - V2<

27

/? + 27

(Гц + vГjj), оЦ = (у + а)Г^ + (у - а)Г^, Огз = С*Г

г3,

С* =

4уа

и + а

[2(в + 7)кц + вкц], угу = (7 + е)к^ + (7 - еЩг, угз = Вкгз, В

А^е 7 + в'

(9)

В теории оболочек вместо напряжений и моментных напряжений удобно оперировать статически эквивалентными им внутренними усилиями и моментами, отнесенными к единице дли-

аг

оц,о^, ог3, угг, уу и угз те зависят от г, будем иметь

Т- =

Т гг —

(■Ь гЬ гЬ

Огг йг = 2оиН, Бц = Огу йг = 2оцН, Ьи = / угг йг = 2уггН,

1-Ь

гЬ

'-Ь гЬ

-Ь Ь

/Ь ГЬ ГЬ

огз йг = 2огзН, Ьц = / угу йг = 2угуН, Ьгз = / угз йг = 2угзН.

ь J-Ь ■)-Ь

3. Общий вариационный принцип типа Ху-Вашицу. Основные уравнения и граничные условия моментно-мембранной теории оболочек. Если принимать за основу функционал общего вариационного принципа Ху-Вашицу для трехмерной моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений (6), подставляя в него перемещения и повороты (7), деформации и изгибы-кручения (8), напряжения и моментные напряжения (9), после выполнения г -Н +Н

теории оболочек:

1

о =

(й)

<Эо -{Тц

Г11 -

1 ди1 1 дЛ1 ад А\ да\ А1А2 да2

+Т22

Г22 -

1 ди2 1 дЛ2 ад А2 да2 А1А2 да\У'1 Ег

+ Б12

Г12

+

1 дА^ Л1 да1 Л1Л2 да2

1 ди2

и1 - Пз

+Б21

Г21 -

1 дщ 1 дА2

Л2 да2 Л1Л2 да1

и2 + Пз

+

+^1з

Г1з -

1 дw и1

+Ьи

к11 -

+Ь12

1 Ш1 Л1 да1

Л1 да1 К1

1

+ П

^ А1А2да2 Кг

к12

1 дП2

1 дЛ1

+Ь1з

к1з -

{[(д+ - 91 )и1 + (д+ - д2 )и2 + (д+ - д- )w + [(ш+ - ш- ) - Н(д+ + д2 )]П1+

Л1 да1 Л1Л2 да2

1 Ш3 П1 Л1 да1 К1

+ Ь2з

+ ^з

+ Ь22

+ Ь21

к2з -

+

Г23 — ( -1--7Г---ТГ ~~

Л2 да2 К2

+

к22 -

1 дП2 А2 да2

+

1

_дМ Ш

АгА2 даг 1 П2

к21 -

1 дП

1 дА2 Л2 да2 Л1Л2 да1

1 дПз П2

П2

+

Л2 да2 К2

})Л1 Л2 йа1йа2 -

(й)

+

+

+ [(ш+ - ш - ) - Н(д+ + д - )]П2 + (ш+ - ш - )Пз]}Л1Л2йа1йа2+ + / (^21«! + т22и2 +Ж23ад + ¿21^1 + ¿22^2 +12з^з)]^1Йа1 +

+ / [Б21{и1-Щ)+Т22{и2-й2)+М2^-Ь])+Ь21{^1-^1)+Ь22{^2-Щ +

+

+

+¿23(^3 " - / (Гц«! + Б12112 + Л^13ад + + Ь12П2 + Ь13П3)]А2<1а2-

г

1

- / [Гц(гл-Й1)+^(иг-й2) + ЛГ1з(ги-гй)+¿11(^1-П1) +^12(^2-^2)+ ./г»

+¿13(^3-^)^2^2, (Ю)

где Эо — поверхностная плотность потенциальной энергии деформации:

Эо = ^ СА1Г11 + Т22Г22 + 5*12Г12 + 5*21Г21 + ЛГ13Г13 + Л^зГгз + Ьцкц +

+¿22 к22 + ¿12к12 + ¿21к21 + ¿13^3 + ¿23к23)-

Функционал (10) естественно назвать полным функционалом моментно-мембранной или микрополярной мембранной теории тонких оболочек. С его помощью можно получить вариационное уравнение (¿/о = 0), из которого следуют все уравнения (уравнения равновесия, соотношения упругости, геометрические соотношения) и граничные условия моментно-мембранной теории оболочек: уравнения равновесия

1 9(А/Г,,) 1 9(А,%) , 1 дА 1 дА , .

+ 1—л--~- + -Г-ГТГ-^Ч? - + — - - 4%

А, А? да, А, А? да? А, А? да? А, А? да, ^ Д

Гц Т22 1 9(А2Ж1з) 1 д(АгМ2 3) = + _ К2 А1А2 А1А2 9а2 193 9з

1 9(А,£,,) 1 9(А,£,,) 1 9А,£ А,; А о .1.1, 9а,- .1..1,9а,- А,-А,- 9а,- " Д

_ .а ^ +

= —(т+ — т ) + ^%+ + ),

Ьп Ь22 1 9(А2Ь1з) 1 9(А1Ь2З) „ , , + . , . 1 0

Д7 + Ж"А1А2 9а1 -А1А2 9а2 ~ ^12-Б21) = ^-т3), = 1,2;

соотношения упругости

Ьгг = + Фи + РЫ, (12)

¿г? = 2Л, [(7 + е)кг, + (7 — е)к,г], ¿,3 = 2ВМ,3, г = ; = 1, 2; либо в обратной форме

1Л + ад _ Аца %3 Аца 3%

Гг3 -

1

2Н 27(3/3 + 27)' '"%3 ~ 2П

ка = ТТГО-уоо , о-л!2^ + - /ЗЬ^], кгу = —

47е 13 47е 31

(13)

= г/ з = 1,2;

геометрические соотношения

_ 1 дщ , 1 дАг ад_ _ 1 9-и,- 1 дАг гг А, 9а, + А, А, 9а,- + Д' ~ А, да, А, А, 9а,- ^ + &зг 3'

1 90, | 1 9А,0 Оз г3~А,9а, Д +Сгз 3' Кгг А, 9а, + А, А, 9а,- + Д' 1 ;

А, да, А,А? да? г А, да, Д' ' '

граничные условия (например, для края, совпадающего с координатной линией

Тп=Тп, 5*12 = 5*12, = Ьп = Ьп, Ьи = = Ьц на Г2 (15)

и

Щ=Щ, У,2=У,2, IV =Ш, 01=^1, 02 = 02, = Пз на Г2. (16)

Вариационное уравнение ¿/о = 0 является достаточно полным, но не экстремальным и выражает лишь условие стационарности функционала (10). Это означает, что из всех возможных состояний изотропной моментно-мембранной оболочки истинным является то, при котором функционал (10) принимает стационарное значение.

Используя соотношения упругости в форме (12) либо в форме (13), для поверхностной плотности потенциальной энергии деформации получим выражения:

Э° = (Г?1 + Г22 + 2^ГцГ22) + 2/г(/х + а)(Г?2 + +

- а)Г12Г21 + 2С*НТ213 + Г23) + 2+ к222) + 2к^_к11к22 + +2^(7 + е)(Л22 + к2 1) + 4^7 - 1 2^2 1 + 2з + )};

= Эо= + ^ ~ IТпТ22 + ^^ + ^ ~ +

+ Л?з) + +727)^ + ^ " 27(зГ+27)ЬиЬ22+

+ (^11 + ^22)--^ ^ ]^ПЬ22 + -^(¿13 + ¿2з)}-

Сформулированная выше вариационная теорема, как мы отметили, соответствует наиболее общему вариационному принципу моментно-мембранной теории изотропных оболочек. Из него как частные случаи должны следовать вариационные принципы типа Лагранжа или Кастилиано. Каждое из частных вариационных уравнений может быть получено из общего ¿/о = 0 путем присоединения к последнему в качестве предварительных некоторых из уравнений (11)-(14) и граничных условий (15) или (16), т.е. считать эти присоединенные условия заранее выполненными.

4. Вариационные принципы типа Лагранжа и Кастилиано. 1. Вариационный принцип типа, Лагранжа,. Присоединим к вариационному уравнению ¿/о = 0 в качестве предварительных геометрические соотношения (14), соотношения упругости (12) и геометрические граничные условия на частях контура Г'/ и Г^. Тогда из вариационного уравнения ¿/о = 0 будем иметь уравнение

¿/о = / ^ Эо -[(9+ - + (9+ - ^2 + (9+ - Зз J J(S)

+((т+ - т-) - %+ - + ((т+ - т-) + %+ - 93)^2+

— тЗ^^зМ^г^с^аг — / (Тп<5«1 + ¿>12^2 + Л^з^ + Ьц<Ш1 +

+Ь1250,2 + Ь135П3)А2с1а2 + / + Т22^2 + ТУ2з<*го + Ь215Пг +

+122<т2 +123^3)^1^1} = 0. (17)

Если ввести обозначения

ио = Эо А1А2^а1^а2,

Ао = {[(9+ - 93)и1 + (9+ - 93)и2 + (9+ -

J J(S)

+ [(т+ - т-) - %+ + 92)1^1 + [(т+ - т-) + + 93)]^2+

- т3 )Q3}AiA2daida2 + / (S21U1 + T22U2 + N23w + L21O1+

H

+I22Q2 + I23O3)Aidai - / (Tnui + ~S\2U2 + N13w + I11Q1 +

7r'2

+Li2Q2 + Li3Q3)A2da2,

где Uo — полная потенциальная энергия деформации оболочки, Ao — работа внешних усилий и моментов, приложенных к оболочке, то

По = Uo - Ao (18)

будет представлять полную энергию системы.

При этих обозначениях вариационное уравнение (17) можем представить в виде

¿По = 0 (19)

либо в виде

¿Цо = ¿Ао. (20)

Вариационный принцип (17) (или в виде (19), или (20)) по аналогии с классической теорией упругости будем называть вариационным принципом типа Лагранжа в моментно-мембранной теории тонких оболочек. Легко заметить, что из вариационного принципа Лагранжа будут следовать уравнения равновесия (11) и граничные условия в усилиях и моментах на граничных контурах Г и Г2.

Принцип Лагранжа гласит, что среди всех геометрически возможных перемещений и независимых поворотов (т.е. удовлетворяющих геометрическим соотношениям (14) и геометрическим граничным условиям на граничных контурах Г'/ и Г^) истинные (действительно имеющие место в нагруженной оболочке) перемещения и свободные повороты дают полной энергии системы стационарное значение.

Для определения экстремальных свойств функционала (18), как и в случае классической теории упругости, наряду с действительно существующим в упругой оболочке состоянием рассмотрим варьированное состояние

«1 = и + ¿«1, О2 = и2 + ¿и2, г? = ад + ¿ад,

?' = 0' + ¿ О', ?2 = О2 + ¿ 02, диа^ ?3 = О 3 + ¿ 03.

Соответствующий функционал (18) обозначим через По. Разлагая По в ряд Тейлора, ограничиваясь членами до второго порядка малости включительно и имея в виду вариационное уравнение (19), получим

По-По = ^2По,

По

¿2 По = адгц, ¿Г22 ,...,¿^23),

которая в силу положительной определенности Эо (¿Гц, ¿Г22,..., ¿^23) будет положительной. Следовательно, будем говорить о минимуме энергии системы в положении равновесия оболочки, что позволяет трактовать принцип Лагранжа как принцип минимума для истинных перемещений и свободных поворотов.

2. Вариационный принцип типа Кастилиано. Пусть

гр^д^рл^ (Х^, £¿7, N¿3) и моменты

(¿¿¿, , ¿¿3) получают вариации (¿1^, ¿5,,, ¿N¿3), (¿¿¿,, , ¿£¿3). От усилий (^+¿1^, +¿5,,, N¿3+ ¿N¿3) и моментов (£,, + , + ¿Д,, £¿3 + ¿£¿3) потребуем, чтобы они были статически допустимыми. Это означает, что внутри области (£) вариации (¿Т^^ ,¿£¿.7, ¿N¿3) (¿^, ¿Д,, ¿Д3) должны удовлетворять на этот раз однородным уравнениям равновесия (11) и однородным граничным условиям на Г/ и Г2- Присоединив к функционалу (10) и вариационному уравнению ¿/о = 0 в качестве предварительных соотношения упругости, указанные выше уравнения равновесия (соответственно

неоднородные и однородные для вариаций) и статические граничные условия на Г и Г2 (соответственно неоднородные и однородные для вариаций), получим уравнение

Н Эо AiA2daida2 - / (бТцЩ + ... + 5Ll3tt3)A2 da2+

J J(S) Jy''

+ [ (SS2iÜ! + ... + бЬ^ЩАг den) = 0, (21)

Jv'i

которое и является вариационным уравнением Кастилиано в моментно-мембранной теории оболочек. Введем обозначения (понятие о дополнительной энергии системы):

1*0 = Щ- [ (ТпЩ + ... + L13Ü3)A2 da2 + f (Saiüi + ... + Ь2;Д3)Аг dau (22)

Jy'J, Jr'{

где

U* = Э* AiA2 da1da2

J J(S)

(U"o — дополнительная потенциальная энергия деформации оболочки), тогда можем сформулировать вариационный принцип Кастилиано (21) так:

¿Ю = 0,

т.е. из всех статически допустимых систем функций усилия и моменты, действительно имеющие место в оболочке, сообщают выражению дополнительной энергии системы (22) стационарное значение.

Если допустить, что краевые усилия и моменты на Г" и Г2' не меняются, т.е.

¿Тп = ... = 5Li3 = 0 на Г2' и ¿S21 = ... = ¿¿23 = 0 на Г'/, (23)

то получим

¿U0 = ¿ / / Э* A1A2 daida2 = 0 (24)

J J(S)

и, таким образом, уравнение Кастилиано сводится по существу к условию стационарности потенциальной энергии оболочки (выраженной через усилия и моменты). Как и в случае принципа типа Лагранжа, можно показать, что это стационарное значение является минимумом, т.е. в положении равновесия оболочки, когда имеют место условия (23), дополнительная энергия (24) принимает минимальное значение.

5. Уравнения неразрывности (сплошности и гладкости) срединной поверхности оболочки. Так как при выводе принципа Кастилиано предварительно удовлетворяются уравнения равновесия и силовые-моментные граничные условия, то естественно ожидать (как в классической теории упругости [17]), что уравнения неразрывности срединной поверхности оболочки по моментно-мембранной теории должны следовать из вариационного уравнения Кастилиано (24), которое представим в виде

(ГцЯТц + адТ22 + Г12 ¿S12 + ^¿^21 + Г13 ¿N13 + Г23 ¿N23 + kii5Lii +

(S)

+Ä22¿¿22 + ^¿Li2 + ^¿¿21 + ^¿¿13 + ^¿¿23) Ai A2 daida2 = 0. (25)

В вариационном уравнении (25) вариации ¿Тц ,...,¿¿23 не независимы, они должны удовлетворять однородным уравнениям равновесия (11) и однородным граничным условиям (15).

Способ вывода далее уравнений неразрывности срединной поверхности оболочки по моментно-мембранной теории аналогичен методу, примененному Р. Саутуэллом в классической теории упругости (см. [17]).

Введем новые функции Fi,..., F8 от ai, a2, Ai,..., Аб, через которые выражаются деформации Г11,Г22, Г12,Г21,Г13,Г23 и изгибы-кручения ^11,^22,^12,^21 ,^13,^23:

ru = J_ÖAi+^_öAi А, 1 д\2 | 1 дА2 | Аз

A1 da1 A1A2 da2 R\ A2 da2 A1A2 da1 R2'

Г

12

1 д\2 1 дАг А' да' А'А2 да2

А1 - Аб —

Г

21

1 дА'

1 дА2

А2 да2 А1 А2 да1

А2 + Аб — ^2

Г

13

1 дА3 А2

А2 да2 Е2

— А4 —

кц = ----Ь

^12 =

А1 да1 1 дА5

, Ае

А1А2да2 5 Д'

к22 = — ---Ь

1 дА1

А1 да1 А1 А2 да2

А4

к13 =

1 дАб А4

А1 да1 Е'

— *5, Л21

— ^7, Й23

А2 да2

1 дА4

АгА2да1 4+Е2'

1 дА2

А2 да2 А1 А2 да1

а5 —

1 дАб А5

А2 да2 Е2

—

(26)

После замены (26) вариационное уравнение (25) примет вид

I I (Гll¿Tll + ^¿Т22 + Г^5'2 + ^'¿$21 + ^¿N13 + Г23 ¿N23 + ^'¿£'1 + J J(S)

+^22 ¿¿22 + ^¿¿12 + к2^21 + ^¿£'3 + ^23 ¿^23 )А1 А2^а' ^2 = — / / ¿£12 +

■) J(S)

+^¿^21 + ^¿N13 + ^¿N23 + ^¿^2 + ^¿£21 + ^¿¿13 + ^¿£23)А'А2^а1^а2 = 0. (27)

Если выполняются условия (23) на Г^ и Г'', то можем сказать, что эти условия будут выпол-

Г2 Г1

Пусть теперь С',С2, ...,Сб — произвольные функ ции от а1 ,а2- Умножим первое уравнение из (23), которое имеет место на Г2, на С', второе — на С2,..., шестое — на Сб и полученные урав-

Г1

С', второе — на С2,..., шестое — на Сб и полученные уравнения суммируем, все эти выражения интегрируем соответственно по (Г') и (Г2) и полученный контуртный интеграл (по Г) преобразуем в двумерный интеграл по (5). Далее, так как С',С2,...,Сб до сих пор были произвольными, потребуем, чтобы имели место равенства

1 дСг | 1 дАг^ | С3 _

а' да1 а' А2 да2 Е' '

1 дС\ | 1 дА1с^ | С6

А' да' А' А2 да2 Е' '

1 дС2 + + Сз = 0

А2 да2 А'А2 да' Е2 ' 1 дСь | 1 сМ2^ | С6 А2 да2 А'А2 да' Е2

(28)

Имея в виду (28), окончательно приходим к следующему уравнению:

1 дС2

1 дА1

А1 да1 А1 А2 да2

С1 — Сб

+

+

1 дС3 С\ | ' А' да' Е'

¿N13 +

¿512 +

" 1 дС5

1 дС'

1 дА2

А2 да2 А1 А2 да1 1

С2 + Сб

¿521 +

I - | Сб'

А2 да2 А'А2 да' Е2

1 дС5

1 дА1

+

А1 да1 А1А2 да2 1 дСб С4

С4

¿£'2 +

1 дС4

1 дА2

А' да' Е'

¿£'3 +

А2 да2 А1 А2 да1 1 дСб С5

С5

¿^22 + ¿^21 +

А2 да2 Е2

¿£23 }А'А2^а' ^а2 = 0.

(29)

Сравнивая интегралы (27) и (29), которые распространены на одну и ту же область, получим соотношения (к — постоянная):

= к

1 дС2

1 дА1

А1 да1 А1 А2 да2

С1 — Сб

^2 = к

1 дС1

1 дА2

А2 да2 А1 А2 да1

С2 + Сб

F = k

F3 = k

1 dC5

1 дС3 С\ | ' A1 da1 R1

A1 da1 F7 = k

C4

1 Mi AiA2 da2 1 9C6 _ C4 A1 da1 R1

F4 = k

F = k

F = k

1 ЭСз C2 c A2 da2 R2

1 dCj A2 da2 1 dCe

1 dA2

A1A2 da1

C5

C5

(30)

A2 da2 R2

Исключая из равенств (26), (28), (30) как А1,...,Аб,^1 , ...,¿6, так и С1,...,Сб, приходим к уравнениям неразрывности (условиям сплошности и гладкости) срединной поверхности оболочки:

1 0(ЛГй) 1 d(AjTji) 1 dAj

AiAj

da,-

AiAj

da,-

AiA, dai

Г- • —

1

A,Aj da,

r^j + eijkis — 0, R,

1 9(а2Г2З) A1A2 da1 d(Aikra) 1

1 Э(А1Г1з) Г21 Ti2

71-----^+ +кп+к22 = 0,

A1A2 da2 R1 R2

d(Aj kj»;

1 dA,

1

AiAj

da,

Ai Aj

dai

__tlb..___

AiAi dai 13 AiAj da

dAi kj 3

Ri

(31)

0,

1 d(A2k23) 1 d(A1k13)

k2\ | k\2 R1 R2

= 0, i = j = 1, 2.

A1A2 da1 A1A2 da2

Таким образом, было установлено, что шесть тождественных соотношений неразрывности деформаций срединной поверхности оболочки по моментно-мембранной теории (31) являются следствием вариационного принципа Кастилиано (24).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин A.A. Несимметрия тензоров деформаций и напряжений в механике сплошных сред // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 5. 6-14.

2. Ильюшин A.A., Ломакин В.А. Моментные теории в механике твердых деформируемых тел // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971.

3. Бровко Г.Л. Об одной конструкционной модели среды Коссера // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2002. № 1. 75-91.

4. Бровко Г.Л., Иванова O.A. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной структуры типа Коссера // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 1. 22-36.

5. Победря Б.Е., Омаров С.Е. Определяющие соотношения моментной теории упругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 3. 56-58.

6. Кант,ор М.М., Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Уравнения движения и граничные условия физического содержания микрополярной теории тонких тел с двумя малыми размерами // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2013. № 3. 96-110.

7. Введение в микро- и наномеханику. Математические модели и методы / Под ред. А.И. Потапова. Нижний Новгород: Изд-во ННГТУ, 2010.

8. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов И. Ф., Фирсова А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Докл. РАН. 2003. 391, № 6. 764-768.

9. Беринский И.Е., Кривцов A.M., Кударова A.M. и др. Современные проблемы механики. Механические свойства ковалентных кристаллов. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2014.

10. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомехан. 1998. 1, № 1. 5-22.

11. Саркисян С. О. Модель тонких оболочек в моментной теории упругости с деформационной концепцией "сдвиг плюс поворот" // Физ. мезомехан. 2020. 23, № 4. 13-19.

12. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford: Pergamon, 1986.

13. Гольденвейзор А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: ГИТТЛ, 1953.

14. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.

15. Саркисян С. О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // Прикл. матем. и механ. 2008. 72, № 1. 129-147.

16. Саркисян С.О. Теория микрополярных упругих тонких оболочек // Прикл. матем. и механ. 2012. 76, № 2. 325-343.

17. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947.

Поступила в редакцию 16.02.2021