СТЕРЖНЕВАЯ И КОНТИНУАЛЬНО-МОМЕНТНАЯ МОДЕЛИ ДЕФОРМАЦИЙ ДВУМЕРНЫХ НАНОМАТЕРИАЛОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Стержневая и континуально-моментная модели деформаций двумерных наноматериалов

С. О. Саркисян

Ширакский государственный университет, Гюмри, 377501, Армения

В настоящее время актуальным является построение такой модели тонких пластин и оболочек с использованием моментной теории упругости, на основе которой возможно будет изучение деформаций двумерных наноматериалов (графена, нанотрубок, фуллерена). В работе построена модель упругого стержня на основе изучения деформаций линейной атомной цепочки, когда между ее атомами имеют место нецентральное силовое взаимодействие и одновременно моментное взаимодействие. На примере графена как двумерного наноматериала с использованием построенной модели стержня взаимодействия между его атомами были заменены системой упругих стержней и предельным переходом построены две континуальные модели деформации графена для плоского напряженного состояния и поперечного изгиба. Показано, что эти модели деформации графена идентичны моделям тонких пластин (плоское напряженное состояние и деформация изгиба), построенным на основе моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений, подчиняющихся деформационной концепции «сдвиг плюс поворот». При сравнении соответствующих моделей определены упругие постоянные моментной теории упругости через физические параметры атомной структуры графена. Полученные модели упругой тонкой пластинки рассматриваются как континуальные модели плоского напряженного состояния и деформации поперечного изгиба графена. Приводится пример расчета статического поперечного изгиба листа графена.

Ключевые слова: линейная атомная цепочка, моментные взаимодействия, стержневая модель, упруго-стержневая и континуально-моментная модели графена, тонкая пластинка, моментная теория упругости, упругие постоянные

DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_2_109

Beam and continuous-moment models of deformation of two-dimensional nanomaterials

S.H. Sargsyan

Shirak State University, Gyumri, 377501, Armenia

Development of a model of thin plates and shells within the couple-stress theory of elasticity is now relevant to the study of deformation of two-dimensional nanomaterials (graphene, nanotubes, fullerene). A model of an elastic beam is built, which is based on the study of deformation of a linear atomic chain with regard to the noncentral force interaction and moment interaction between atoms. This elastic beam model is used to represent atomic interactions in a two-dimensional nanomaterial (graphene, in our case) as a system of elastic beams. Two continuous models of graphene are constructed by passing to the limit: plane-stress-state model and bending model. It is stated that these two deformation models of graphene are identical to those of a thin plate developed within the couple-stress theory of elasticity with independent displacement and rotation fields, which corresponds to the concept of deformation by shear plus rotation. Comparison of the respective models allows elastic constants of the couple-stress theory to be determined in terms of physical parameters of the atomic structure of graphene. As a result, these models of an elastic thin plate can be interpreted as continuous models of the plane stress state and bending of graphene. Static bending of a graphene sheet is calculated.

Keywords: linear atomic chain, moment interactions, beam model, discrete-continuous and continuous-moment models of graphene, thin plate, couple-stress theory of elasticity, elastic constants

© Саркисян С.О., 2022

1. Введение

В последнее десятилетие одной из актуальных проблем в области механики является моделирование и изучение деформаций кристаллических наноматериалов, в частности двумерных нанома-териалов (графена, однослойных нанотрубок, фул-лерена).

При моделировании деформаций кристаллических двумерных наноматериалов необходимо опираться на следующую теоретически и экспериментально установленную концепцию: деформация кристалла на мезо- или наноуровне характеризуется схемой «сдвиг плюс поворот» [1-5], согласно которой на структурный элемент материала как целого (если структурным элементом материала является молекула или атом, то на молекулу или атом) действуют одновременно и силы, и моменты.

В работах [6-9] показано, что само существование графена или однослойной нанотрубки уже свидетельствует о необходимости учета момент-ного и силового нецентрального взаимодействий между их атомами, и одновременно обосновывается, что континуальное моделирование деформаций этих наноматериалов необходимо осуществлять в рамках трехмерной моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений.

Континуальное моделирование двумерных на-номатериалов должно осуществляться в рамках моделей упругих тонких пластин или оболочек, построенных в рамках указанной трехмерной мо-ментной теории упругости, подчиняющейся деформационной концепции «сдвиг плюс поворот».

С другой стороны, регулярность атомных структур указанных выше двумерных наноматериалов дает возможность систему взаимодействующих атомов заменить системой упругих стержней [1015]. В качестве моделей отдельных стержней используются классические модели упругих тонких стержней типа Бернулли-Эйлера или Тимошенко.

В первую очередь, актуально построение такой модели отдельного стержня (у стержневой системы, заменяющей атомную), в которой деформация подчиняется основной концепции — «сдвиг плюс поворот» и, во вторую, континуальная модель для каждого двумерного кристаллического наноматериала (или других наноструктур) должна строиться путем предельного перехода от такой стержневой системы к континууму. В работе [16] на основе указанного подхода изучено плоское напряженное состояние графена.

Цель настоящей работы — на основе дискретной (атомной) модели двумерного наноматериа-ла, в которой учтено моментное взаимодействие между атомами, построить двумерную континуальную модель деформации. Для этого выполнены следующие исследования:

- рассмотрение линейной атомной цепочки с учетом силового нецентрального взаимодействия между ее соседними атомами и моментное построение ее континуальной (одномерной) стержневой моментной модели;

- рассмотрение дискретной (атомной) модели двумерного наноматериала, построение его стержневой модели и с помощью предельного перехода построение его континуальной (двумерной) мо-ментной модели;

- построение модели тонкой оболочки или пластинки на основе моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений, которая будет идентичной континуальной двумерной модели двумерного наноматериала, определение упругих постоянных моментной теории упругости;

- рассмотрение модели тонкой оболочки или пластинки, построенной на основе моментной теории упругости (с вычисленными упругими постоянными) как континуальной модели деформации двумерного наноматериала.

2. Дискретно-моментная модель линейной атомной цепочки в общем случае деформирования

Рассмотрим простейшую одномерную модель линейной цепочки одинаковых атомов, располо-женнных на одинаковом расстоянии а. Будем считать, что каждый атом представляет собой тело-точку [17] (в данном случае шар с некоторым радиусом) массой т и собственным осевым мо-ментном инерции I. Предположим, что силы и моменты, действующие на атомы цепочки и обусловленные влиянием других атомов, являются упругими, т. е. пропорциональными линейным или угловым отклонениям расстояний между взаимодействующими атомами от равновесных. Используем предположение о малости поворотов и перемещений частиц (здесь и далее будем придерживаться линейной теории). Примем, что учитываются взаимодействия только между ближайшими соседями. Ось цепочки обозначим через а декартовые оси п и г расположим в перпендикулярной к плоскости. Будем предполагать, что цепочка подвергается растяжению-сжатию вдоль

оси изгибу в плоскостях и а также кручению вокруг оси

Рассмотрим атом с номером к. Действующие на атом усилия предполагаются нецентральными, и кроме усилий на этот атом действуют также независимые от усилий моменты. Указанные усилия будем разлагать по оси координат. Продольные силы, действующие на атом (слева и справа), обозначим через -Мк) и ^(к+1). При изгибе в плоскости действующие на атом перерезывающие

силы обозначим через 02 ) и Q2

(к+1)

а момен-

ты — через ¿2) и Щ+1). При изгибе в плоскости перерезывающие силы обозначим через 03к) и 03(к+1), а моменты — через ) и 1(к+1). Крутящие моменты вокруг оси £ обозначим через ¿1) и +1). Тогда уравнения движения к-го атома цепочки можем записать следующим образом [7]:

н(к+1) _ н(.к) = т ¿М^, п(к+1) _ п(к) =;

г (к+1)

2 , 02к+1) _

т

Н2«( к)

03к+1) _ 03к) = т

а2^2к)

:

&2

¿3к+1) _¿зк) +1 а(о2к+1)+02к))=1^-, (1) 2 сСг

4к+1) _ ¿(2к) + 2 а(о3к+1) + о3(к))=I

2 Л к)

а2ф3

&2

а2ф(к) Т(к+1) _ т(к) = 1 с ф1 к _ ¿1 =1 ^ ■

Уравнения (1) представляют собой исходные уравнения динамики Эйлера в проекциях на оси координат п, г, где и^)— перемещение к-го атома вдоль оси и2к) и и3к) — перемещения по оси п и г; ф(к) — свободный поворот к-го атома вокруг оси ф2к) и ф3к) — свободные повороты к-го атома вокруг осей п и г. Потенциал упругих взаимодействий между атомами применен в виде

V=1X см(к))2 + 2 х С2(<))2 +1 х С3(е3к))2 2 к 2 к 2 к

+1X С2«¥ + 2 X С3(е(2к))2 + -2 X С4(е1к))2, (2) 2 к 2 к 2 к

где

) = ^+1) _ и(к),

< = и2к+1) _ и2к) _ 1 а(ф3к+1)+ф3к)), ©3к) = ф3к+1) _ф3к),

а3(1)=и3к+1) _ и3к) _ 1 а(ф2к+1)+ф2к)),

©2) =

ф(2к+1) _ ф(2к), ©((к) = ф((к+1) _ фТ

С ( = 1, 2, 3) — упругие параметры для соответствующих деформаций цепочки.

Легко заметить, что имеют место следующие формулы:

п( к)

N

(к+1)

_ N (к) = _

03к+1) _ 03к)=_

_д¥_ _д¥_

, 02к+1) _ 02к)=_

к+1) _ ¿к к) =_

_д¥_ дV

дф((

,(к)

Т(2к+1) _т(2к) +1 а^+1) + 03к)) = _

дV

(3)

дф2к)!

т3к+1) _т3к) + 2а(02к+1) + о2к)) = _

дф3к) ■

Следовательно, имеет место следующий закон упругости в атомной цепочке:

N(к) = са^, 02к) = С2ау03к) = С2ау§>,

Тт3 ) = С3а1({к, ¿2' = С3а1({г , ¿1

(к) А к) _ ,

,(к) т(к) _

где

и (к) и (к-1) с к) = и1 _ и1

е^ = .

.(к)

(4)

= С4аХ^^

(к) _

и2к) _ и(к_1)

Пк

(к) _ и3

а

(к) и(к_1)

(ф3к)-

щ _ и

УЕ

ф( к) Х( к) = ф3

а 1

— I

2'

1 2

(ф2к)

■ф3к _1)),

-ф2к _1)),

(5)

ф( к _1) ф(к) ф(к_1) _ф3 Х(к) = ф2 _ ф2

, А Ея - :

^ а

ф(к) ф(к_1) (к ^ ф1 _ф1

=

а

Здесь — продольная деформация вдоль оси у Ек1) и у ЕЯ) — сдвиговые деформации в плоскостях

и хЕк) и Х^г — изгибания цепочки в плоскостях и хЕкЕ) — интенсивность угла кручения вокруг оси К указанной системе уравнений следует присоединить начальные условия.

Кинетическая энергия движения линейной цепочки атомов будет выражаться формулой

к=1X 2 к

т

(сЦ( к) ^

т

(си2к) ^

а

т

( Си3к) ^

(

сфк)

+1

г сфк)

+1

( Сф(к)

(6)

Имея в виду формулу (2) для потенциальной энергии деформации и (6) для кинетической энер-

а

гии движения, лагранжиан для линейной цепочки атомов можно представить в виде

Ь = К - V. (7)

Тогда принцип Гамильтона можем формулировать обычным образом:

ч ч

5| Ьй' = 5| (К - V=0. (8)

Легко заметить, что из принципа Гамильтона (8) будут следовать уравнения движения (1) линейной атомной цепочки.

Это доказывает органическую взаимосвязь между дифференциальными уравнениями движения (1), с одной стороны, и потенциальной (2), кинетической (6) энергиями и лагранжианом (7), с другой стороны, которые в совокупности представляют собой общую теоретическую базу дискретной модели линейной атомной цепочки, когда каждый атом цепочки рассматривается не как материальная точка, а как тело-точка.

3. Стержневая моментная (континуальная) модель линейной цепочки атомов в случае ее общего деформирования

Для построения континуальной модели линейной цепочки атомов [18] представим лагранжиан дискретной модели ((2), (6), (7)) в следующем виде:

( du(k) Л2

m dw! a

v

dt

m a

(dw2k) Л2

dt

m ( dw3k) Л2

dt d9lÄ

( dm(k) Л2 т ( dm(k) Л

av

dt

I ёф!

a V

dt

I ( нФ(k) Л2

dt

( u (k) _ u (k-1) Л2

+ c2a

+ c2a

■ (k) . (k-l) ,

---2(фзк) + Фзк-1))

a 2

u (k) u (k-1) 1

— >2k)+ф2*-1))

a2

( ,,,(k) - ф(k-1) Л2 ( ф(k) ф(k-1) Л

+ c3a

Фз -фз

+ c3a

Ф2 - Ф2

+ c3a

(ф(k) -ф(k-1) Л2

(9)

Специальная форма, в которой записан лагранжиан дискретной модели, выбрана для удобства пре-

дельного перехода к случаю континуальной (непрерывной) модели, т.е. когда а ^ 0. Что касается множителя а, который стоит под знаком суммы перед большими скобками в формуле (9), то его следует заменить на Ах = дх, а суммирование по к заменить интегралом по х (0 < х < I). Далее ясно, что индекс к, характеризующий номер атома, должен при переходе к континуальной модели превратиться в непрерывную координату х. Поэтому вместо переменных и'к('), фк(') (/ = 1, 2, 3) будем теперь иметь переменные и{ (х,'), фг- (х,') (/ = 1, 2, 3). Такой подход позволяет получить уравнения континуальной модели линейной атомной цепочки (стержневую модель) в длинноволновом приближении [19].

В результате предельного перехода (при а ^ 0) формула (9) переходит в лагранжиан континуальной модели, для которого будем иметь

L = - 3

' L

+ I

+ c2 Y^

-тт I - (c*

+ c3ll + c4 4 )}d5- (10)

Здесь

du ,. м e55 = —L = lim —

55 d5 a^o

du2

(k) _„(k-1)

-u

Y5n

d5

Фз

= lim

a^0

( k ) ,,( k-1)

uо u

1 2'

(фГ)

"Фз''-1))

Y5z

du1 d5

Ф2

= lim

a^0

u ( k ) u ( k-1) .

l5n

15z :

X55 =

a

Ä = lim

d5 a^0

dф ~d5

dФl

■ф2'-1))

(11)

фГ )

фз

,(k-1)

2 = lim

a^0

ф2' )-

"Ф?-1)

a

(k) ф( k-1)

d5

= lim

Ф1 - Ф1 a

m I

p = lim —, I = lim—, ci = cta (i = 1, 2, з, 4), (12)

a^0 a a^0 a

где p — линейная плотность массы; I — линейная плотность осевого момента инерции; e^ —

a

a

/

a

относительная продольная деформация; — сдвиговая деформация в плоскости Ъп; — сдвиговая деформация в плоскости Ър; ^ — кривизна в плоскости Ъп; Xz — кривизна в плоскости Ър; хц — относительный угол закручивания вокруг оси Ъ.

Отметим, что при переходе от дискретной модели к непрерывной модели сосредоточенные факторы будем считать непрерывно распределенными вдоль оси цепочки, в данном случае равномерно распределенными. Тогда, например, m/a будет представлять среднюю плотность распределения массы, которая при равномерном распределении будет постоянной:

ma = const = lim(m/a) = p.

На основе принципа Гамильтона (8), когда лагранжиан имеет вид (10), получим уравнения движения стержневой моментной (континуальной) модели линейной цепочки атомов:

дN = Р д \

dQ2 = p дU dL3 , Q = г д2Ф3 д£, dt2 д£, dt2

dQ3 ~ д 2u3 дL "д^

= p

дt2

+ Q =i ^ дс, дt2

(13)

дА = i д2^

а^ а'2

Здесь (13)1 — уравнение продольного движения; (13)2 — уравнения движения изгибного типа в плоскости (13)3 — уравнения движения изгибного типа в плоскости (13)4 — уравнение движения крутильного типа вокруг оси .

Уравнения движения (13) также можно получить предельным переходом из уравнений движения дискретной модели (1) (предварительно обе части этих уравнений разделив на а). Кроме того из уравнений закона упругости (4) дискретной модели предельным переходом можно получить соотношения упругости для континуальной модели:

Я = , & = ^Л, & = С2 У^,

Ь = - Ь = - Ь = - (14)

Ь3 = С3Х^Л, Ь2 = С3Х^2, Ь1 = С4,

где

ди ди2

Ijr, "Ф3, Ъ

= дф3

д^ , ^z

дф2 д^

=

ди3 д^

дФ1

д^

"Ф^

(15)

Последние геометрические соотношения получаются предельным переходом из уравнений (5). Отметим, что произведения = с,а (, = 1, 2, 3, 4) при предельном переходе остаются постоянными. Объяснение этому можно найти в работе [18], где показано, что предельное значение произведения ка при а ^ 0, где к — жесткость межатомной связи цепочки, при растяжении-сжатии соответствует модулю Юнга (вернее, Е* = 2ЕН, где 2Н — толщина стержня) непрерывного стержня по классической теории Бернулли-Эйлера при растяжении и сжатии.

В данном случае, аналогично, необходимо иметь в виду модель непрерывного микрополярного упругого стержня (например, [20], где Е* = 2ЕН, ц* = 2цЛ, а* = 2ак и т.д.).

Система уравнений движения (13), соотношения упругости (14) и геометрические соотношения (15) представляют собой основные уравнения стержневой моментной (континуальной) модели линейной цепочки атомов при общем случае ее деформирования. Все функции в этих уравнениях являются функциями двух переменных ( 2, ').

К указанной системе уравнений следует присоединить начальные и краевые условия. При начальных условиях задаются значения и1, 5и,/, ф,, 5фг/(, = 1, 2, 3) при '=0.

Граничные условия вытекают из принципа Гамильтона: если край стержневой моментной модели защемлен, тогда будут иметь место следующие граничные условия:

и, = 0,

(16)

ф, = 0(, = 1,2,3), если край свободен, тогда граничные условия имеют вид

N = 0, & = 0 (, = 2,3), Ь = 0(,- = 1, 2, 3). Граничные условия могут быть смешанного типа.

Построенная упругая стержневая моментная модель (в общем случае деформирования) представляет собой одномерную модель моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений, подчиняющейся основной деформационной концепции: «сдвиг плюс поворот».

Таким образом, построена стержневая моментная модель (13)-(17), которую можно использовать для построения стержневой модели, заменяющей атомную модель двумерного наномате-риала. Применение этого подхода покажем на примере графена.

(17)

4. Построение модели стержневой системы, заменяющей атомную, и построение континуально-моментной модели графена как двумерного кристаллического наноматериала для общего случая его деформирования

Рассмотрим двумерный материал графен [21— 23]. Будем считать, что каждый атом взаимодействует лишь с ближайшими соседними атомами (рис. 1).

В разделе 2 данной работы построена механическая модель упругой связи между атомами графена, которая является моделью упругого стержня, работающего на сжатие-растяжение, сдвиг и изгиб в двух перпендикулярных плоскостях и кручение (уравнения (11)—(15)).

Потенциальная энергия деформации и кинетическая энергия движения указанной модели упругого стержня имеют вид

1 а

и = 2 I(С1еЕ2Е+ С2У2к+ С2у^

2 п

+ С3ХЕк+ С3ХЕг + С4 ^ )СЕ

(18)

а

к=1I

2

+IГ^ф3 V дг

ди

+IГ^ф2

I дг

ди2 ~г

( ди3 + р| —3

I дг

+'&)

аЕ, (19)

где е££, у^, %£п, Т££ выражаются формулами (11). Отметим, что ось £ — ось стержня, вдоль которой имеем растяжение-сжатие, в плоскостях £п и £г происходят сдвиговые и изгибные деформации, а вокруг оси £ происходит кручение. Если в формуле (11) величины С1 ( = 1, 2, 3, 4) были свободными параметрами (они выражают общие упругие параметры любого стержня), то в формуле (18) они представляют собой упругие параметры именно графена на атомном уровне.

Для дальнейшего изучения общей деформации графена можно развивать два подхода.

1. Дискретно-континуальный подход. В этом случае в ячейке периодичности (рис. 1) из рассматриваемой точки к ближайшим атомам выходят три стержня, каждый из которых обладает потенциальной энергией деформации вида (18) и кинетической энергией движения вида (19). Рассматриваемая область графена покрыта такой стержневой системой, которая является дискретно-континуальной моделью графена. Для изучения деформации графена разрабатывается соответствующий подход с использованием метода

Рис. 1. Ячейка периодичности графена

конечных элементов для одного стержня, затем для ячейки периодичности и далее для рассматриваемой области графена в целом с учетом соответствующих граничных условий.

2. Континуальный подход. В этом случае для ячейки периодичности предельным переходом строится континуальная модель деформации гра-фена и далее для графена изучаются конкретные деформационные задачи на основе решения соответствующих граничных задач этой континуальной модели.

Основной целью данной работы является построение континуальной модели для изучения общих задач деформации графена, сравнение построенной континуальной модели деформации графена с прикладной моделью тонких пластин моментной теории упругости и определение всех упругих постоянных моментной теории упругости.

Потенциальная энергия деформации и кинетическая энергия движения для ячейки периодичности (рис. 1) выражаются формулами

и =X ик, к = ]Т Кк, (20)

к=1 к=1

где ик и Кк — потенциальная и кинетическая энергии к-го стержня (к = 1, 2, 3), которые определяются формулами (18), (19):

1 а

ик = т 1(С1е;

Ек Е к

+ С2 У1+ С2 У1

~ 2 ~ 2 + С3ХЕк кк + С3ХЕ к

+ С4^Ек)СЕк,

(21)

Кг

=11

2

2 0

р ( ди1 ^2 р ( ди2

рГдГ ) к+ч1Г

+р

ди3

дг

I дг Л V дг

+1 Г-дф! ]2

к V дг ) к

аЕк. (22)

Здесь направления 1, 2, 3 — направления 2к, Пк, гк и система координат (2к, пк), связанная с к-м стержнем (к = 1, 2, 3), расположена в плоскости графена (х,у) (рис. 1).

Предельный переход к континуальной модели деформирования графена осуществляется следующим образом.

Сначала определим приближенные выражения для общей потенциальной и кинетической энергии ячейки периодичности суммированием по индексу к средних значений интегралов (21), (22). Приближенное значение поверхностной интенсивности каждой из указанных энергий получим делением среднего значения соответствующей суммарной энергии на площадь ячейки периодичности 5 (5 = 3у[Ъа 72 [9]). После предельного перехода (а ^ 0) для континуальной теории будем иметь выражения поверхностных интенсивностей потенциальной и кинетической энергий в данной точке плоскости графена М(х, у).

Поступая указанным выше образом, для среднего значения поверхностной интенсивности потенциальной энергии деформаций и0 и среднего значения поверхностной интенсивности кинетической энергии движения К0, получим -

2

и0 _-—z о*?2

9 k_i

-сэХ| % + C3X|Z-

K0 _-

"c2 YÍ Лк

С Y i

-Сл X

4 ^^k _5* * '

( x_xk, J=y*)

ídhu Y

(23)

(24)

5k _5*k* ** (x_x¡', y=yD

Здесь *(5к,0) (или (х*, у**)), а также (5^,0) (или (хк , у* )) (к = 1, 2, 3) — это те точки на оси к-го стержня ячейки периодичности, которые определяются (фиксируются) после применения теоремы о среднем значении определенных интегралов (21) и (22).

Понятно, что при а ^ 0 (х^, у^), а также (х**, ук*) (к = 1, 2, 3) стремятся к (х,у), где (х,у) —

координаты рассматриваемой точки M в системе координат (x, y) (рис. 1).

В выражениях (23) и (24) после предельного

перехода величины е%к, ^, ^z, , X5kz,

х^ 5k выражаются через величины exx, e^, yxy, yyx,

Yxz, Yyz, Xxz, Xyz, Xxx, Xyy, Xyx, Xy в координатной системе (x, y):

e?k5k = exx cos2 ф+e sin2 Ф+(yxV + Yyx)sin 9C0S Ф,

Y5kЛк = (_exx + eyy )sin фc0s ф - Yyx sin2 Ф+ Yxy c0s2 Ф,

Y5kz = Y xzcos Ф+Y yzsin Ф, X5k Лк _Xzx cos Ф + Xzy sin Ф, %5kz _ (-Xxx + Xyy )sin Фc0s Ф -Xyx sin2 Ф + Xxy c0s2 ф,

(25)

xy

где

X5k 5k _Xxx cos2 Ф + Xyy sin2 Ф

+ (Xxy + Xyx )sin Фcos Ф,

exx _ ~ , eyy _ ~ , Y xy _ ~ Ф z

ex oy dx

dux

дФ z

дФ z

Y yx ~ + фz, X xz ~ , X yz ~ ,

dy dx ey

duz

duz

Y xz dx у , Y yz Oy Ф x, X xx '

dx

(26)

y „ = d^ „

lyy ду'lyx dy 'lxy dx '

при этом

u^ = ux cos Ф+uy sin ф, ыц = -ux sin Ф + uy cos Ф,

Uz = Uz, Ф^=Фх c0s Ф+Фу sin Ф, (27)

ФЛ =-Фх sin Ф + Фу c0s Ф, Фz =Фz • В результате указанных преобразований для поверхностных плотностей потенциальной энергии деформации и кинематической энергии движения континуальной модели графена (при общем случае его деформирования) получим:

тт 12^3 ((9 3 > 2 (9 3 > 2

U0 = IT Ц 8 С1 + 8 С2 J ^ +[ 8 <1 + 8 <2 J ^

3, (3 9 > 2

+ 4(с1 - C2)exxeyy +1 8 С1 + 8 С2 jYxy

(3 9 > 2 3 , + i 8 С1 + 8 С2 J Y yx + 4 (с1 - C2)Y xy Y yx

+ |(c3X2z + c3%2yz + C2 Y L + C2 Y 5z )

о С3 + 0 С4 IXxx

- С3 + о С4 |Xyy

3, ч (9 3 Л 2

+ 4("С3 + С4)ХxxXyy +1 8С3 + 8С4 |XХУ

(9 3 Л 3 )

+ ( 8 С3 + 8 С4 )X2yx + 4( "С3 + С4)Х xyX yx ^ (28)

K0 =

Р0

^ФX dt

+10

■P0

^Ф y dt

dUy, dt

+10

P0

dФ z dt

dt

(29)

где р0 — поверхностная плотность массы; 10 — поверхностная плотность осевого момента инерции графена. Все функции в выражениях (28) и (29) являются функциями от (х,у, г).

Таким образом, выражения (28) и (29) представляют собой поверхностные плотности потенциальной энергии деформации и кинетической энергии движения графена (в общем случае его деформирования) в рамках континуальной модели. Вариационное уравнение Гамильтона для гра-фена в рамках континуальной модели можно представить следующим образом:

5JJJ (K0 - U0)dxdydt = 0,

(30)

t\ ( s )

где (5) — занятая графеном область.

Из вариационного уравнения Гамильтона (30) следуют уравнения движения и граничные условия двух моделей.

Отметим, что выражение для потенциальной энергии деформации в случае плоского напряженного состояния можно получить из общей формулы (28), оставляя в нем слагаемые с членами ехх, еуу, Уху, Тух, Ххг, Хуг и опуская все остальные слагаемые (т.е. члены, содержащие у*г, Ууг, х**, Хуу, Хух, Хху), а выражение для потенциальной энергии деформации в случае поперечного изгиба, наоборот.

Аналогично, выражение для кинетической энергии движения в случае плоского напряженного состояния можно получить из общей формулы (29), оставляя в нем слагаемые с членами Р0(ди*/дг)2, р0(диу/дг)2, 1,(дф2/дг)2 и опуская все остальные (т.е. члены, содержащие р0 х (ди2/дг)2, 10(дфх/дг)2, 10(дфу! дг)2), а выражение кинетической энергии движения в случае поперечного изгиба, наоборот.

5. Модель тонких оболочек в моментной теории упругости с деформационной концепцией «сдвиг плюс поворот» (моментно-мембранная теория упругих тонких оболочек)

Исходя из трехмерных уравнений моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений, на основе разработанных гипотез (которые сформулированы на основе характерных особенностей асимптотического решения граничной задачи для тонкой оболочки или пластинки в моментной теории упругости [24, 25]), в работе [26] построена прикладная модель упругих тонких оболочек с деформационной концепцией «сдвиг плюс поворот» (моментно-мемб-ранная теория упругих тонких оболочек).

Основные уравнения, соотношения и граничные условия модели имеют вид [26]: уравнения равновесия (движения)

1 д(А-Т,) + д(А,5-) + АА- да, А,Ау да- А,Ау да- -1 дА N,3 „ , д2и , , +

----Т,, +— = 2рН—2- _ (р+ _ р_ ),

АА да, - Я, р дг2 ' '

?ц + Т22__1_ д(А2N13)__1_ д(AlN2з)

Я1 Я2 А1А2 да, А1А2 да 2

. . д2^ . + = _2рЛ—- + (Р3 _pз),

дг

1 д(А/,.,.) + д(А1Ь-1) + дА, Л А,-А ■ да, А,Ау да - А^ да - -

1 dA, L3 ,

+ L3 + (-1) JN,. 3

A,A; da, ]] R

= 2 Jh ^ - (m+- ),

dt2

in + L22__^ d( A2 ^3)__d( AL23)

R1 R2 A1A2 da, AA da2

-(S12 - S21) = 2 Jh ^ + («3+ - m-), , * j = 1, 2; dt2

соотношения упругости

T, = 2Eh/ (1 -v 2)(Г,, +уГ,), Sj = 2h[(^ + a)r,, +(ц-а)Г,,. ],

(31)

N,3 = 2GhT, 3,

L,, = 2h-

2y

P + 2y

[2(P + y )£,,+p£j ],

L j = 2h[(^ + a)r ,, + (ц-а)Г,, ],

1

t

L3 = 2Bhkt3, i ф j = 1, 2; геометрические соотношения

Г.. = — ^Ul + 1

Ai да .

дAl w

---и. +—,

АА да у j R

i j

j

_ 1 дw и. j

Г. 3 = A д— R+(-1) j ¥ j, А да. R

Г г =——

j А даi

k 3 =

___дА

Mj да j 1 д¥ 3 ¥ ,

U + (-1У ¥ 3,

А да; R

(33)

, = ± +. 1

дА,

, 1 д¥ % = —

j А, да

А даi АА да 1 дА.

L ¥ j

R,.

j

АА да j

1 J J

¥,, i ф j = 1,2;

граничные условия

T11 = T11, S12 = S12, N13 = N13,

L11 = LL11, L12 = Х*2, L13 = Х*3 при а1 = const,

или (34)

u1 = u*, u2 = u**, w = w*,

¥1 = ¥*, ¥2 = ¥2, ¥3 = ¥3 при а1 = const. Поверхностная плотность потенциальной энергии деформации имеет вид

"~~г(Гп +Г 2, + 2уГмГ 22)

V = 1

0 2 _

+ 2к(ц + а)(Г22 + Г21) + 4к(ц - а)Г12Г21

+ 2Ск(Г?3 + Г 23) + 2 к 4 у(р + у} (к2 + к222) р + 2 у

+ 2к 4у^ к11к22 + 2к(у + в)(к122 + к221) р + 2 у

+ 4к (у-8) к12 к21 + 2Як (к2 + к223) ]. (35)

Здесь и,(х, у, '), ^(х, у, '), ук(х, у, ') (, = 1, 2, к = 1, 2, 3) представляют перемещения и повороты точек срединной поверхности оболочки и, одновременно, на основе принятой основной кинематической гипотезы работы [26], представляют перемещения и повороты по всему объему оболочки; Ти, N,3 — усилия от напряжений о,-,-, оу, о,3; Ьи, Ьу, Ь,3 — моменты от моментных напряжений ц,,, ц,у, Ц,3 ( Ф ] = 1, 2), при этом указанные напряжения и моментные напряжения распределены по толщине оболочки равномерным образом: к к

Т,, = | dz = 2°,Л ^ = | ° у^ = ^г^

N, 3 = К- 3^ = зh,

- h

h

L,i = i Цц ^ = 2ЦЛ Lj = i Ц j ^ = 2Ц ih

h

i

- h

- h

Li3 = i Ц13dz = 2Цiзh,

-h

E, v, а, в, у, 8 — упругие постоянные в моментной теории упругости:

ц E G 4ца B 4 Y£ Ц = ~-т, G =-, B = ■

2(1 + V) ц + а у+ в

6. Моментно-мембранная теория плоского напряженного состояния и изгибной деформации упругих тонких пластин

Из уравнений и граничных условий (31)-(34), при переходе к пластинке, указанная модель расщепляется на две отдельные системы уравнений и граничных условий: 1) систему уравнений и граничных условий плоского напряженного состояния моментно-мембранной теории упругих тонких пластин; 2) систему уравнений и граничных условий изгибной деформации моментно-мембранной теории упругих тонких пластин.

Ниже приведем обе системы уравнений и граничные условия в декартовой системе координат х, у.

1) Основные уравнения и граничные условия моментно-мембранной теории плоского напряженного состояния упругих тонких пластин (рис. 2): уравнения равновесия (движения)

атп.= 2рк ^ - (й+- А ),

дх ду

д£12 дТ2

+ -

22

дх дУ

2ph

дг

д и2

( р2-p-), (36)

дХ2- + + (S12 - ЗД = 2 Jh^ - (m3 - m-);

дх ду дг

- h

- h

Рис. 2. Плоское напряженное состояние тонкой пластинки

соотношения упругости

2Eh 2Eh

711 = :-2 (Г11 +vr22 ), 722 =:-2 (Г22 +vГ1l),

1 -v2

1 - v

S12 = (| + a) • 2h(Гl2 + ЦГ21),

S21 = (l + a) * 2h(Г21 + ЛГ12Х

4 ys

L13 = 2Bhk13, L23 = 2Bhk23, B = —-—, ц =

y + s

(37)

|-a ; | + a'

геометрические соотношения

Г = dul Г =du2 Г =du2-ш Ml" ~ , 22 _ ~ , M2_ ~ Y3,

dx dy dx

Г = -Ul + у k = -Vi k .

dy dx dy

(38)

граничные условия

T11 = 71*1, S12 = S*2, L13 = L13 при x = const,

или (39)

u1 = U*, u2 = u2, У3 = у3 при x = const.

Плотность потенциальной энергии деформации имеет вид 1

W =

——2(Гп +Г 22 + 2vГllГ 22) _1 -v2

+ 2h(| + a )(Г?2 +Г 21)

+ 4h(| - a)Г12Г21 + 2Bh(k2 + 4)

(40)

При плоском напряженном состоянии для мо-ментно-мембранной модели пластин упругие постоянные представляют Е, V, а, В.

2) Основные уравнения и граничные условия изгибной деформации моментно-мембранной теории упругих тонких пластин (рис. 3): уравнения равновесия (движения)

dN13 dN dx

+

23

d 2 w

d = 2Ph^T - (P3 - P3-), dy dt2

^ + -l1 + n23 = 2Jh^- (m+ - mf), (41)

dx dy 23 1 1

dL12 dL22

+

dx dy соотношения упругости

dt2

d 2

- N13 = 2 Jh - (m+ - m2);

dt2

N13 = 2G*hn3, N23 = 2G*hГ23, G* =

4|a

| + a

L11 = 2h (y + s) L22 = 2 h( y + s)

k11 + 2 v m (2k11 + k22)

k22 + 2 vm (2k22 + k11)

(42)

Рис. 3. Поперечный изгиб тонкой пластинки

¿12 = 2h(y + s) | k12 + - vmk21 |,

L21 = 2h(y + s) | k21 + 2vmk12 |,

v m = 2

y-s

y + s

геометрические соотношения

_ dw dw

Г13 = ^ + V2, Г23 = ^--V^

dx dy

k =-^L k = -У2 k = -У2 k =d^1.

dx dy dx dy

(43)

граничные условия

N13 = N*3, L11 = Ll1, L12 = 4 при x = const,

или (44)

w = w*, = у*, у2 = у2 при x = const. Плотность потенциальной энергии деформации выражается следующим образом:

1

+ 2h

W0 = 2 [ 2 ah^ +Г 23)

(Л2 + ф + 2h p+y kllk22

4 y (P + y )

+ 2Л(у + е)(+ к21) + 4Л(у _ в)к12 к21 ]. (45) При поперечном изгибе для моментно-мемб-ранной модели тонких пластин упругие постоянные представляют О*, у, с, р.

7. Сравнение континуальных моделей плоского напряженного состояния и поперечного изгиба для графена с соответствующими моделями моментно-мембранной теории упругих тонких пластин. Определение упругих жесткостей графена в моментной теории упругости

Сравним формулы для поверхностных плотностей потенциальных энергий деформаций в случае плоского напряженного состояния (28) и

плоского напряженного состояния моментно-мемб-ранной теории упругих тонких пластин (40): 2%/3 (9 3 1 = 2Ек 9 18 + 8 -2 Г 1 ^

2л-[3 3 ( ) 2Ev

---(с, - с2) =-2 -2к,

9 4 1 1 -V2

2^3(3 +9 1 + ) —с1 + —с2 1 = 2к(ц + а),

9

2^3 3

(46)

(с1 - с2) = 2(ц-а) • 2к,

9 4

2^ 3 2

---с3 = 2 Вк.

9 2 3

Систему уравнений (46) разрешим относительно 2Ек, V, 2цк, 2ак и 2Вк:

с1(с1 + с2)

Е* = 2 Ек =-

3 3с1 + с2

-Тэ

Ц* = 2цк = —(с + с2),

а* = 2ак =

(47)

с1 с2 3с1 + с2

В* = 2Вк =с3, ц* =—Е—, 3 3 2(1 + V)

Е*, ц*, а* и В* представляют собой упругие модули графена как двумерного материала, [Е*] = Н/м, [ц*] = Н/м, [а*] = Н/м, [В*] = Н • нм/рад2.

Для микрожесткостей углерода имеем [11, 14]

с1 = 6.52•Ю-7 Н/нм,

с3 = 8.76 •10"1° Н • нм/рад

(48)

с4 = 2.78•Ю-10 Н• нм/рад

радиус атома углерода Я = 0.077 нм, следовательно, с2 = с3/Я2 = 1.48•Ю-7 Н/нм. Последнее выражение получено с учетом того, что второе слагаемое в формуле (2) соответствует деформации сдвига, а сдвиг — это изменение угла. Это слагаемое выражается не с помощью углового перемещения, а с помощью соответствующего линейного перемещения й2= ЯЛ( к), где Я — радиус атома; Д(к) — изменение угла, т.е. сдвиг. Тогда имеем с2( ^21 ^)2 = с2 Я2( Л))2. Третье слагаемое в формуле (2) соответствует именно угловому перемещению. Отсюда с2Я2 = с3. Тогда для макрожесткости графена и коэффициента Пуассона получим

Е* = 287 Н/м, ц* = 116 Н/м, а* = 42 Н/м,

V = 0.24,В* =5.05•Ю-10 Н•нм/рад2.

Континуальную модель плоского напряженного состояния графена в перемещениях и1, и2 и повороте будет представлять следующая система уравнений:

5 ( ди1 ди2

(Я* + 2ц*)—I —1 + —2 1 + (ц* + а*)

дх ^ дх ду

( 5 2и1

а 2и2 1

5у2 дхду

"2а*^ = - Ръ ду

(Я* + 2ц*)—[ ди1 + ди2 1 + (ц* + а*)

ду V дх ду

(50)

2

д и2

д 2и1 1

дх2 дхду

- 2а* = - р2,

В*Лу3 - 4а*у3 + 2а*

дх ди2 ди

дх ду

= -т

3

где

Л(-) =

д2 (•) , д2 (•)

ду2

дх2

, Я* =

Е^

Г7

Р1 = Р1 - Рl, Р2 = Р2 - Р2, т3 = т3 - т3.

К системе уравнений (50) следует присоединить граничные условия (39).

Полученные упругие постоянные (49) для графена не могут быть сопоставлены с аналогичными данными, полученными в других работах. В литературе нет работ, где теоретически или экспериментально определены все упругие постоянные (в рамках моментной теории упругости) для графена или углеродной нанотрубки. Поэтому приведем значения упругих постоянных Е* и V для графена, которые получены в известных работах [8, 9] с использованием различных потенциалов межатомного взаимодействия: Е* = 346.5 Н/м, V = 0.171; Е* = 338 Н/м, V = 0.21.

Сравним формулы поверхностных плотностей потенциальных энергий в случае поперечного изгиба графена (28) и поперечного изгиба в момент-но-мембранной теории (44), получим

13 с3 + 9 с41 = • 2к,

Р + 2 у

—с2 = 20*к, 3 2

2л/3 3( + ) 4уР

---(-с3 + с4) = —— • 2к,

9 4 3 4 р + 2 у

2^3 (9 3 1

гс3 + -с4 1 = (у + в)^2к,

2

2

2\/3 3

-9- • 4(_С3 + С4) = 2(у _в) • 2к

Для жесткостных характеристик континуальной модели поперечного изгиба графена имеем

у* = 2ук = 13(с3 + С4), в* = 2вк = ^63С3,

(52)

12

P* = 2ph =

Тэ С42 - С32 6 3с3 + С4

л/3

, D* = 2G*h = — c2.

3 2

Отметим, что между Р*, у* и s* получена связь:

P* =

y* s*

• 2y*.

(53)

(54)

у* + в*

Используя данные (48), для указанных величин получим

Б* = 86 Н/м, Б" = 2к(у+ в) = у* + в* = 4.15 •10_10 Н • нм, Б" = 2к(у _в) = у* _ в* = _0.91 • 10_10 Н • нм, Ут = 2 Б"/ Б' = _0.41. Континуальная модель поперечного изгиба графена будет выражаться следующей системой

уравнений относительно w, й1,

) = __р1

^ йх оу ) Б*'

ЛУ1 + У|Я+ ^] + ^_У1 V 0, (55)

1 т дхГ дх ду ) )

Aw -

ЛУ 2 +v m^T

d ( dy 2

D*(dw , 1 п

- D Ы+y 2| =0.

ду уд* ду Здесь р3 = р+ _ р_ — поверхностная интенсивность распределенных внешних нормальных сил на срединную плоскость пластинки. К системе уравнений следует присоединить граничные условия (43).

Для модели поперечного изгиба листа графена необходимы некоторые физические объяснения. Представим до деформации графена плоскость, на которой расположены центры тяжести его атомов. Координатные оси х и у расположены в этой плоскости. Если эту плоскость подвергать растяжению или сжатию по оси х (или по оси у), тогда по оси г (перпендикулярной к указанной плоскости) не происходит деформации сжатия или растяжения, поскольку по оси г графен состоит из одного атомного слоя, а согласно предположению, каждый атом не подвергается деформации и представляет собой абсолютно твердое тело (тело-точка). Это говорит о том, что при поперечном изгибе листа графена коэффициент Пуассона V равен нулю. При поперечном изгибе листа графе-

на происходит деформация сдвига (модуль сдвига О*, жесткостная характеристика Б*) и изменение кривизны и кручения указанной выше плоскости (плоскости ху) за счет свободных поворотов тел-точек материала графена (коэффициенты упругости у и е, жесткостная характеристика Б').

8. Пример расчета поперечного изгиба графена

Рассмотрим пример поперечного изгиба листа графена, когда лист занимает область прямоугольника: 0 < х < а1, 0 < у < а2. Будем считать, что контур графена является шарнирно-опертым:

х = 0, а1: w = 0,1Л2 = 0,01 = 0,

у = 0, а2: w = 0, Ь21 = 0,О2 = 0. Рассмотрим нагружение графена в виде

(56)

. nx . ny p3(x, y) = P0 sin— sin—.

a a2

(57)

Решение системы уравнений (54) зададим в виде

. nx . ny w( x, y) = w0 sin— sin—,

al a2

. nx ny = Q10sin—cos—, (58)

al a2

^ nx . ny

"2 = "20 cos— sin — .

al a2

Будем считать, что удовлетворяются поставленные граничные условия (56). Для определения w0, Q10 и Q20 следует (58) подставить в систему уравнений (55), в результате приходим к решению алгебраической линейной неоднородной системы. Если p0 = 106 Н/м2, a1 = a2 = 20 нм, тогда для максимального прогиба графена получим:

w0 (1 + D>L 1.17 нм,

0 2n2D'^ D*|

где D' = 2n2 D'l a}.

9. Заключение

В работе на основе изучения дискретной модели линейной цепочки атомов, когда между ее атомами силовое взаимодействие нецентральное и, одновременно, имеется независимое от силового моментное взаимодействие, предельным переходом построена континуальная стержневая мо-ментная модель, в которой деформация происходит по схеме «сдвиг плюс поворот». Построенная модель используется для построения стержневой модели двумерных наноматериалов. На примере графена, заменяя в его атомной решетке взаимодействия между атомами стержневой системой,

предельным переходом построены две континуальные модели деформации графена для плоского напряженного состояния и поперечной изгибной деформации. Построена прикладная модель тонкой пластинки (моментно-мембранная теория упругих тонких пластин) на основе моментной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений, плоское напряженное состояние которой идентично аналогичной деформационной модели графена, а модель поперечного изгиба пластинки — модели поперечного изгиба листа графена. С помощью сравнения для каждой из этих пар моделей через физические параметры атомной модели графена определяются упругие постоянные моментной теории упругости. Таким образом, две моментно-мембранные модели упругой тонкой пластинки с вычисленными упругими постоянными трактуются как соответствующие континуальные модели для деформаций листа графена. На основе этих континуальных моделей возможна постановка и решение различных конкретных задач для деформаций листа графена. Рассмотрена задача о деформации поперечного изгиба листа графена.

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное моделирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995.

2. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 1. - C. 5-22.

3. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е. Основы физической мезомеханики структурно-неоднородных сред // Изв. РАН. МТТ. - 2010. - № 4. - С. 8-29.

4. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Шилько Е.В., Чертов М.А., Евтушенко Е.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - C. 11-21.

5. Макаров П.В., Бакеев Р.А., Смолин И.Ю. Моделирование локализованной неупругой деформации на мезо-уровне с учетом локальной кривизны кристаллической решетки в рамках несимметричной теории Коссера // Физ. мезомех. - 2019. - Т. 22. - № 4. - С. 29-38. - https:// doi.org/10.24411/1683-805X-2019-14003

6. ИвановаЕ.А., КривцовА.М., МорозовН.Ф., Фирсова А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Докл. РАН. - 2003. - Т. 391. -№ 6. - С. 764-768.

7. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток с учетом моментных взаимодействий на микроуровне // ПММ. - 2007. - Т. 71. -№ 4. - С. 595-615.

8. Кузькин В.А., Кривцов А.М. Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы // Докл. РАН. - 2011. -Т. 440. - № 4. - С. 476-479.

9. Современные проблемы механики. Механические свойства ковалентных кристаллов / Под ред. А.М. Кривцова, О.С. Лободы. - СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2014.

10. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-Continuum Modeling of Nano-structured Materials // NASA Langley Research Center: Technical Memorandum NASA / TM-2001-210863-2001.

11. Li С.А., Chou T.W. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes // Int. J. Solids Struct. -2003. - V. 40. - P. 2487-2499.

12. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. -С. 57-74.

13. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Моделирование процесса движения краевых дислокаций методом конечных элементов // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 5. - C. 27-33.

14. Wan H., Delale F. A structural mechanics approach for predicting the mechanical properties of carbon nanotubes // Meccanica. - 2010. - V. 45. - P. 43-51.

15. Беринский И.Е., Кривцов А.М., Кударова А.М. Определение изгибной жесткости графенового листа // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. - № 1. - С. 57-65. - https://doi.org/ 10.24411/1683-805X-2014-00050

16. Саркисян С.О. Дискретно-континуальная и континуаль-но-моментная модели графена для деформаций в своей плоскости // Физ. мезомех. - 2019. - Т. 22. - № 5. - С. 2833. - https://doi.org/10.24411/1683-805X-2019-15004

17. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. - СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003.

18. Голдстейн Г. Классическая механика. - М.: Наука, 1975.

19. Борн М., Кунь Х. Теория кристаллических решеток. -М.: ИЛ, 1959.

20. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости // Физ. мезо-мех. - 2008. - Т. 11. - № 5. - C. 41-54.

21. Geim А.К., Novoselov K.S. The rise of graphene // Nature Materials. - 2007. - V. 6. - P. 183-191.

22. Androulidakis C., Koukaras N.E., Frank O., Tsoukleri G., Sfyris D., Parthenios J., Pugno N., Papagelis K., Novoselov S., Galiotis C. Failure processes in embedded monolayer graphene under axial compression // Sci. Rep. - 2014. -V. 4. - P. 527. - https://doi.org/10.1038/srep05271

23. Баимова Ю.А., Мулюков Р.Р. Графен, нанотрубки и другие углеродные наноструктуры. - М.: РАН, 2018.

24. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // ПММ. - 2008. - Т. 72. -№ 1. - С. 129-147.

25. Саркисян С.О. Теория микрополярных упругих тонких оболочек // ПММ. - 2012. - Т. 76. - № 2. - С. 325-343.

26. Саркисян С.О. Модель тонких оболочек в моментной теории упругости с деформационной концепцией «сдвиг плюс поворот» // Физ. мезомех. - 2020. - Т. 23. - № 4. -С. 13-19. - https://doi.org/10.24411/1683-805X-2020-14002

Поступила в редакцию 21.10.2021 г., после доработки 15.12.2021 г., принята к публикации 30.12.2021 г.

Сведения об авторе

Саркисян Самвел Оганесович, д.ф.-м.н., чл.-корр. НАН Армении, проф. Ширакского гос. ун-та, Армения, s_sargsyan@yahoo.com