Микрополярная стержневая модель для нанокристаллического материала, состоящего из линейных цепочек атомов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Микрополярная стержневая модель для нанокристаллического материала, состоящего из линейных цепочек атомов

С.О. Саркисян

Гюмрийский государственный педагогический институт им. М. Налбандяна, Гюмри, 3126, Армения В работе построена дискретная модель линейной атомной цепочки с учетом нецентрального и вращательного (моментного) взаимодействия между атомами. Осуществлен предельный переход от дискретной к континуальной (непрерывной) модели. Показано, что полученная континуальная модель атомной цепочки совпадает с моделью прикладной теории микрополярной балки. Построены лагранжианы для дискретной и континуальной моделей линейных цепочек атомов.

Ключевые слова: цепочка атомов, нецентральные взаимодействия, моментные взаимодействия, дискретная модель, континуальная модель, микрополярный стержень

Micropolar beam model for nanocrystalline material consisting

of linear chains of atoms

S.H. Sargsyan

Gyumri State Pedagogical Institute after M. Nalbandyan, Gyumri, 3126, Armenia

A discrete model of a linear chain of atoms has been developed with regard to the noncentral and spin-moment interactions between atoms. The transition from a discrete to continuous model is performed. It is shown that the obtained continuous model of a chain of atoms coincides with the model of the applied micropolar beam theory. Lagrangians for the discrete and continuous models of linear chains of atoms are constructed.

Keywords: chain of atoms, noncentral interactions, moment interactions, discrete model, continuous model, micropolar beam

1. Введение

В настоящее время особую актуальность приобретает разработка аналитических моделей, позволяющих описывать при различных видах нагружения деформации углеродных наноструктур, таких как наностержни, нанопластины, углеродные однослойные и многослойные нанотрубки, фуллерены, графен и др. [1, 2]. При изучении различных задач для наноструктур, таких как определение собственных частот и форм колебаний, критических сжимающих нагрузок для графеновых листов [3], или при моделировании квазистатических процессов в кристаллах [4] применяется метод молекулярной динамики с использованием соответствующих потенциалов межатомного взаимодействия.

При изучении задач наномеханики получили широкое распространение также методы механики деформируемого твердого тела [5-8]. Большинство суще© Саркисян С.О., 2016

ствующих континуальных моделей наносистем основано на уравнениях теории упругости или классической теории оболочек [9, 10], в которых либо не учитывается конкретный характер атомной структуры нанообъекта, либо используются значения классических упругих модулей, полученных из макроскопических экспериментов (когда известно [11, 12], что имеет место явное несоответствие между значениями модулей упругости, полученных из микро- и макроэкспериментов. Последнее означает, что при использовании понятий механики сплошной среды к нанообъектам необходимо учитывать масштабные эффекты. Упругие модули также определяют с использованием дискретных (атомных) моделей теории молекулярной механики, в которых учитывается только силовое центральное взаимодействие между формирующими наноструктуру атомами (используя соответствующие потенциалы межатомных взаимодей-

ствий). Однако, как отмечается в работах [13, 14], существование однослойных нанотрубок свидетельствует о необходимости учета моментного взаимодействия между атомами. В работах [13-16] разработана методика определения изгибной жесткости и рассчитаны упругие модули наноразмерных структур с учетом моментного (вращательного) взаимодействия на атомарном уровне.

Теоретические модели, объединяющие дискретные и континуальные подходы и учитывающие микроструктуру и макроструктуру, микропараметры (параметры кристаллических решеток и межатомных связей) и макропараметры (упругие модули), в литературе называются структурными, стержневыми или дискретно-континуальными [17-21].

Отметим, что в работах [17-21] при построении дискретно-континуальных моделей наносистем не учитывается вращательное (моментное) взаимодействие между атомами систем. Такого рода взаимодействия учитываются в работах [22-31].

В данной работе построена дискретная модель линейной цепочки атомов с учетом вращательного (моментного) взаимодействия между атомами и осуществлен предельный переход с применением прикладной теории микрополярных упругих тонких стержней [32] как континуальной модели рассматриваемого нано-объекта.

2. Дискретная модель линейных наносистем с учетом нецентрального и вращательного (моментного) взаимодействия между частицами (атомами)

Предположим, что силы или моменты, действующие на атомы цепочки и обусловленные влиянием других атомов, являются упругими, т.е. пропорциональными линейным или угловым отклонениям взаимодействующих атомов от равновесных (рис. 1, а). Для простоты будем рассматривать взаимодействия только между ближайшими соседями. Для определенности будем рассматривать случай цепочки атомов, при котором имеет место плотная упаковка частиц (т.е. а = 2г, где г — радиус атома) (рис. 1, б). Силовое и моментное взаимодействие для атома п показано на рис.1, в.

К поперечным колебаниям цепочки относятся усилия Ы^ и Ы^+1, которые представляют собой проекции сил нецентрального взаимодействия на ось у соответственно между частицами (п - 1), п и п, (п + 1); Ьп и Ь+1 — моментные взаимодействия (связанные только собственными поворотами) между указанными частицами. К продольным колебаниям цепочки относятся усилия ^ и Ы1^*1, которые представляют собой проекции сил нецентрального взаимодействия на ось х соответственно между частицами (п - 1), п и п, (п + 1); 1/2 qn ,1/2 qn — внешние усилия, приложенные к верх-

Рис. 1. Дискретная модель линейных наносистем

ней и нижней точкам атома п; сп — внешний момент, приложенный к атому п; рП — внешнее центральное усилие, приложенное в центре тяжести атома п.

Запишем уравнения движения для атома п (т.к. изучаются малые колебания, эти уравнения составляются относительно начальной геометрии цепочки): для поперечных (антисимметричных, вращательных) колебаний:

л гП+1 лтП . п

Ыу - Ыу + ду = т

Э2 п W

д2 Оп

для продольных (симметричных) колебаний:

N1+1г + Ыпг + Ьп+1 - Ьп - д"п 2г + сп = J

К* - N1 + рП

Э2 п

и

: т-

1

(1)

(2)

Здесь ип и wn — продольное и поперечное перемещения атома п; Оп — собственный независимый от перемещений поворот атома п.

К уравнениям движения добавим геометрические соотношения (формулы для продольных и поперечных деформаций, углов сдвига, интенсивности углов поворота вдоль цепочки) и физические законы между силовыми, моментными и деформационными характеристиками. На рис. 2 показаны положения атомов (п - 1), п и (п + 1) в фиксированный момент времени движения (точками отмечены центры тяжести атомов).

Вертикальные перемещения точек приложения сил Щ и Щ+1 соответственно записываются в виде: (wn - wn-1) - г(Оп+Оп-1),

(wn+1 - wn) - г(Оп+1 +Оп), где Оп — свободный поворот частицы п.

(3)

п п-1 л

м -м -!(йп+оп+1),

гп =

^ 2г

Xп

оп -о."-1

' 2г

для продольных колебаний

^ = к4(ип -ип-1), либо

К = к42 Г Г XX'

где

п п-1

и - и

2г

(12)

(13)

(14)

Рис. 2. Положение атомов (п - 1), п и (п + 1) в фиксированный момент времени

Относительные свободные угловые повороты вдоль цепочки и относительные горизонтальные перемещения имеют соответственно вид:

Оп -Оп-1, Оп+1 -Оп и (4)

п п-1 п+1 п /г\

и - и , и - и . (5)

Физические законы при поперечных колебаниях определяются следующими соотношениями:

(мп - мп-1) - г (Оп + Оп-1) = 1/ к1 Щ -1/к2 дпх,

(мп+1 - мп ) - г (Оп+1 +О п ) = 1/ к1 N1+1 - 1/ к2 дпх+1, (6)

Оп -Оп-1 = 1/к3 Ьп, Оп+1 -Оп = 1/к3 Ьп+1, или в обратной форме

Щ = к1 [(мп - мп-1) - г(Оп + Оп-1) + 1/к2 дпх ],

Мп+1 = к, [(мп+1 - мп ) - г (О п+1 + О п ) + У к2 дТ ], (7)

Ьп = к3 (Оп - Оп-1), Ьп+1 = к3 (ОГ+1 -Оп). Физические законы при продольных колебаниях имеют следующий вид:

и - и

п-1

= 1/ к4 Мпх

п+1

- ип = 1/ к4 N

п+1

(8)

В формулах (6)-(8) коэффициенты к1, к2, к3, к4 — физические постоянные упругости соответствующих «пружин».

К уравнениям дискретной модели цепочки атомов при поперечных ((1), (7)) или продольных колебаниях ((2), (8)) следует присоединить соответствующие начальные условия: для поперечных колебаний

Ып.

п п-1

м - м

Ьп = к32г

~(Оп+Оп-1) 2

+Г £ [ • (9)

либо

2г

м; = к2гТ"ху + к1 дХ, Ьп = кз2гхп, к2

(10)

3. Континуальная модель цепочки атомов при поперечных и продольных колебаниях

В классическом случае (когда пренебрегают нецентральным и вращательным (моментным) типом взаимодействия) в длинноволновом приближении закон дисперсии колебаний решетки совпадает с законом дисперсии звуковых колебаний [33-35]. В итоге реализуется предельный переход от уравнений механики кристаллической решетки к уравнениям сплошного упругого твердого тела. Осуществим аналогичный предельный переход в случае длинноволновых колебаний от дискретной модели атомной цепочки в п. 2 к континуальной (непрерывной) модели стержня.

В случае длинноволновых возмущений, когда X» а = 2г (где X — длина волны), от дискретной переменной п можно перейти к непрерывной пространственной переменной х. При этом функции, заданные в дискретных точках, интерполируются непрерывными функциями и их частными производными. Таким образам возможны следующие замены:

/п ^) ^ /(X, t),

Л+1^) ^ /{(х + а), t} =

= /(х, t) +

Э/(х, 0 , 1 Э 7(х, t) 2

дх

-а + — 2

Эх2

2

а +...,

(15)

/п) ^ /{(х - а), ^ =

= / (х, Г)-Л** а + 2 а 2 +...,

Эх 2 Эх где а = 2г = Ах ^ 0.

Рассмотрим сначала отношения ш/а и J|a. При а ^ 0 получим

Ншш = р, lim J = J,

а^0 а а^о а

(16)

где р и J — линейная плотность массы и линейная плотность момента инерции стержня единичной длины. Аналогичным образом получим выражения

где

д п

Нш-^ = ду (х, t), ^ = дх (х, t),

а^о а а^о а

сп _ рп -

lim— = с(х, t), Нш—^К— = Рх(х, t),

а^о а а^о а

(17)

которые представляют интенсивность распределенных по длине стержня внешних усилий и моментов.

На основе формул (15), осуществляя предельный переход в дискретной модели с учетом формул (16) и (17), для поперечных (врашательных сдвиговых) колебаний непрерывного стержня получим: уравнения движения

дЫу (х, 1)

дх дЬ(х, 1) дх

+ qy (л 0 = Р

_д2w(x, 1)

д12

+ Ыу (х, 1) - дх(х, 1)2г +

(18)

(19)

(20) (21У

. -д 2О( х, 1) + с (х, 1) = J—

д12

геометрические соотношения

1 ху ~

дх дх

физические соотношения упругости

Г ху = 1/ ¿1 Ыу -1/ %2 дх 2г, х = 1 Ь кх = 2кхг, к2 = 2к2г, к3 = 2к3г.

Здесь Г — сдвиговая деформация; х — интенсивность изменения углов вращения вдоль оси стержня. Отметим, что при осуществлении предельного перехода были сохранены значения моментов от силовых взаимодействий.

Приведем также систему уравнений микрополярного стержня как континуума, полученную в работах [32, 36]:

уравнения движения дЫ12 „ , д2

—12 = 2ph дх дг

w

— - ду ,

дь

д 2О

—3 + N12 - дх 2h = 2Ш-—2-, дх1 дГ

физико-геометрические соотношения

дw ^

N12 = 2h

4ца

Ь13 = 2кБ

ц+ а дО

дх1

— О

ц-а

+-— дх

ц+а

(22)

(23)

дх!'

где 2h — толщина балки; ц, а, В — упругие константы микрополярного материала; I — мера инерции при вращении.

При сравнении континуальной модели (18)-(20) и модели микрополярного стержня (22), (23) получим связь между упругими постоянными микрополярного стержня ц, а, В и физическими постоянными атомной цепочки кх, к2, к3.

Определение параметров атомной модели цепочки к, к%2, к3 является предметом дальнеших исследований, при этом будет использоваться потенциал межатомных

взаимодейстий. Будет показано, что микрополярный упругий стержень является континуальной моделью цепочки с учетом вращательного (моментного) взаимодействия между частицами.

Для продольных колебаний непрерывного стержня уравнения движения имеют вид

дNx (х, 1) _ _д2и( х, 1) - + Рх = Р-

дх

д12

геометрические соотношения ди( х, 1)

Г =-

дх

физические соотношения упругости

Г хх = 1 к%4 Nx,

к4 = 2к4 г.

(24)

(25)

(26) (27)

Система уравнений (24)-(26) представляет собой систему уравнений продольных колебаний упругого стержня в классической постановке.

Для определения дисперсионного закона для поперечных (вращательно-сдвиговых) гармонических колебаний дискретной цепочки атомов с учетом нецентрального и моментного взаимодействий между атомами, решение систем уравнений (1), (7) (при д^ = 0, д^ = 0, сп = 0) следует искать в виде бегущей гармонической волны:

wn = Лв1(кпа-ю'), юп = Бв1(кпа-ю'), (28)

где А и В — значения амплитуды; ю — круговая частота волны; к = 2п/Х — волновое число; X — длина волны.

Полученный дисперсионный закон необходимо анализировать в зависимости от значений физических параметров кх, к2, к3. Отметим, что волновая задача для соответствующей континуальной теории (22), (23) (либо в более общей постановке) изучена в работах [36-38].

Продольные колебания цепочки атомов (уравнения (2), (8)) хорошо изучены (см., например, [35]).

4. Вариационные принципы типа Гамильтона для дискретной и континуальной моделей линейной атомной цепочки при нецентральном и вращательном взаимодействиях между атомами

Вариационный принцип Гамильтона для общих механических систем дискретных частиц можно записать в общем виде:

8| (Т - и)& = 0,

(29)

где Т — кинетическая энергия системы; и — полная потенциальная энергия системы; Л = Т - и — лагранжиан данной системы; 10 и ^ — начало и конец движения. Сначала рассмотрим антисимметричный случай, т.е. вращательно-сдвиговые колебания атомной цепочки.

Кинетическая энергия рассматриваемой системы частиц имеет вид

т=^ Е

2 п

( См" V

dt

+ J

( СОп А

dt

(30)

полная потенциальная энергия системы выражается следующим образом:

-=т 1?к'

/ п п—1 \

(м - м ) -

1

-г (Оп + Оп-1) + —дп к2

+ Ек3(Оп-Оп-1)2 1-

V* / п п , ПглП п о

-Е (д,м + с О - дх 2г° ).

(31)

Лагранжиан Л этой механической системы имеет вид:

Л = Т - - =1Е 2

ш

( См" V

dt

+ J

( СОп ^

dt

- ^ Е к

2 п

( п п-К (с\п I г-\п-1\ I 1 п

(м - "м ) - г (О + О ) + — дх

-1Е кз(Оп-Оп-1)2 + 2 п

+Е(д>п + спОп -д"п2гОп).

(32)

Вариационное уравнение Гамильтона (29) для данной механической системы на основе (32) примет следующий вид:

81

1

( А. ..п V (

ш

d м dt

+ J

dt

V

- 2 Е кг

2 п

(мп - мп-х) - г(Оп + Оп-1) + — д"п

- 2 Е кз(Оп-О"-1)2 + 2

+Е (д>п + спОп - дпх 2гОп) [dt = о.

(33)

Выполняя варьирование по всем функциональным аргументам, из (33) получим систему уравнения движения частицы п атомной цепочки (1).

Для получения вариационного уравнения Гамильтона для континуальной модели атомной цепочки лагранжиан Л (32) перепишем следующим образом:

Л = Е2г( \

ш

Тг

( Эмп ^

Эt

V у

2г

( ЭОп ^

Эt

V у

-к12г

п п—1 1

---(Оп + Оп 1) +

2г 2

+± дк

к2 2г

1+

2г

ду

2г

¿^мТ + —Оп- д'х- 2гОп 2г

с

~2г

• = Е 2гЬ;

(34)

где

Ьп =

1 I ш

2 I Тг

( См" ^

dt

___

2г

( аО^

dt

га га-

-1

-к12г

+ 1 п

+~т дп

- ^'ЧО'1-1) + 2г 2

- 1+ 3 2г I

га . 1 га га/-.«

м + — О - дх О 2г 2г

(35)

Специальная форма, в которой записано выражение (34), выбрана для удобства предельного перехода к случаю непрерывного стержня (к континуальной модели), т.е. когда 2г ^ 0.

Что касается множителя 2г, который стоит под знаком суммы перед большими скобками в формуле (34), то его следует заменить на Ах = дх, а суммирование по п заменить интегралом по х, тогда с учетом выражений (16) и (17) лагранжиан (34) примет вид

л=1(

1 I (Эм

2 |р1 "Э7

+_

ЭО Эt

-к

Эм 1 —--О+ — дх 2г

Эх к2

+ (дум + с О-дх 2гО) )с1х.

(36)

Выражение (36) представляет собой лагранжиан континуальной (стержневой) модели линейной атомной цепочки, при которой учитываются нецентральное и моментное взаимодействие между атомами цепочки.

В формуле (36)

Т = 11 2

ЭмА2 —( ЭО Р1 — I + _

Сх

(37)

Эг I I Э(

представляет собой кинетическую энергию стержневой модели,

(

Эм

А2

--О + — дх 2г

Эх к2

+ к3

ЭО

Эх

-дум - с О + дх 2г}ах (38)

есть полная потенциальная энергия деформации этой модели.

Если подставить (37) и (38) в (29), получим вариационный принцип Гамильтона стержневой модели линейной атомной цепочки:

(2 к! II -

+Тq%2r -k3' ^

+ (qyw + c Q - qx 2rQ) )dxdt = 0.

(39)

Выполняя варьирование по всем функциональным аргументам, из (39) получим уравнения движения (18) стержневой континуальной модели. Далее, если полученный стержень считать конечным, то получим естественные граничные условия этой модели, а если стержень бесконечный, то получим условия затухания, когда х ^ -те и х ^

Теперь перейдем к симметричному случаю, т.е. рассмотрим продольные колебания атомной цепочки. В этом случае для кинетической и полной потенциальной энергии атомной цепочки имеем

T = 2 Е m

2 n

( dun f

dt

(40)

тт V* i i n n-K2 n n

U = -Еk4(u -u ) -^Px" .

2n

Лагранжиан Л для этого случая будет

Л = T - U = - Е m

2 n

( dun f

dt

Ei г n n-1 \2 ■ n n k4(u -" ) + Pxu .

2n

(41)

Вариационное уравнение Гамильтона (29) для рассматриваемой механической системы при продольных колебаниях примет вид:

SJ

- Е m 2

' dun V

dt

- - Е k4(un - un 1)2 + 2

+ ру ] & = 0. (42)

Выполняя варьирование, получим уравнение (2) продольных колебаний атомной цепочки.

Для перехода к стежневой континуальной модели лагранжан Л (41) представим следующим образом:

( 1 п 2 п п—1 Л2

т ш % и - и

— - - к4 -

2г 2г

Л = Е 2r

+^u" 2r

= Е 2rLn

(43)

Ln =-

m

Yr

dun

dt

V У

-k4

u - u

27"

-i Y

+ P^un 2r

(44)

Переходя к пределу 2г ^ 0, получим лагранжиан продольных колебаний стержневой модели атомной цепочки для продольных колебаний:

Л = J|-

+ Ii л

+ Pxu \dx'

(45)

где кинематическая энергия и полная потенциальная энергия деформации имеют вид

T=2 J# I *

U=J

1

-Pxu

dx.

(46)

(47)

Вариационное уравнение Гамильтона для стержневой модели атомной цепочки при продольных колебаниях принимает вид

SJJ

1

- k4

+ pxu dxdt = 0. (48)

где

Выполняя варьирование в (48), получим уравнение (24) продольных колебаний стержневой модели, а также граничные условия, если стержень конечный, или условия затухания на бесконечности в случае бесконечного стержня.

5. Заключение

Построены дискретная и континуальная модели линейной атомной цепочки, на основе которых можно изучать свободные колебания атомной цепочки, когда имеют место нецентральный и вращательный типы взаимодействий между атомами, и установить специфические особенности колебаний.

Исследование выполнено при финансовой поддержке ГКН МОН РА и РФФИ (РФ) в рамках совместных научных программ №№ 15RS-063 и 15-53-05093 соответственно.

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1.- 298 с. - Т. 2.- 320 с.

2. Елисеев A.A., Лукашин A.B. Функциональные наноматериалы / Под

ред. Ю.Д. Третьякова. - М.: Физматлит, 2010. - 456 с.

3. Алехин B.B., Аннин Б.Д., Бабичев A.B., Коробейников С.Н. Собственные колебания и выпучивание графеновых листов // Изв. РАН. МТТ. - 2013. - № 5. - С. 34-38.

4. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин B.M. Моделирование квази-

статических процессов в кристаллах методом молекулярной динамики // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - С. 5-10.

5. Ибрагимов И.М., Ковшов А.Н., Назаров Ю.Ф. Основы компьютерного моделирования наносистем. - СПб.: Лань, 2010. - 384 с.

6. Кормилицын О.П., Шукейло Ю.А. Механика материалов и структур

нано- и микромеханики. - М.: Академия, 2008. - 224 с.

7. Введение в микро-и наномеханику. Математические модели и методы / Под ред. А.И. Потапова. - Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2010. - 303 с.

8. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 327 с.

9. Yakobson B.I., Brabeck C.J., Bernholc J. Nanomechanics of carbon tubes: Instabilities beyond linear response // Phys. Rev. Lett. - 1995. -V. 76. - P. 2511-2514.

10. Ru C.Q. Effective bending stiffness of carbon tubes // Phys. Rev. B. -2000. - V. 62. - No. 15. - P. 9973-9976.

11. Быков Д.Л., КоноваловД.Н. Особенности сопротивления вязкоуп-ругих материалов при потере устойчивости тонкостенных конструкций // Труды XXXVI Межд. семинара «Актуальные проблемы прочности». - Витебск, 2000. - С. 428-433.

12. Байдаровцов Ю.П., Савеннов Г.Н., Тарасенко В.А. Метод определения прочностных характеристик ультратонких слоев // Высокомолекулярные соединения. А. - 1999. - Т. 41. - № 8. - С. 13021307.

13. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий // Изв. РАН. МТТ. - 2003. - № 4. - С. 110-127.

14. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сплошных кристаллических решеток при учете моментных взаимодействий на микроуровне // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71. - № 4. -С. 595-615.

15. Кривцов А.М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. - М.: Физматлит, 2007. - 304 с.

16. Беринский И.Е., Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита // Изв. РАН. МТТ. - 2007. - № 5. - С. 6-16.

17. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-continuum modeling of nano-structured materials // Compos. Sci. Tech-nol. - 2002. - V. 62. - P. 1869-1880.

18. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-continuum modeling with application to carbon nanotubes // NASA Langley Research Center. Technical Memorandum NASA/TM-2002-211454.

19. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. - С. 57-74.

20. Гольдштейн Р.В., Ченцов А.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки в изучении свойств нанокомпозитов // Космический вызов XXI века. Перспективные материалы и технологии. Т. 2. Нанокомпозиты / Под ред. А.А. Берлина, И.Г. Ассовсного. - М.: Торус пресс, 2005. - С. 239-250.

21. Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Макаров П.В., Шиль-ко Е.В., Чертов М.А., Евтушенко Е.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - С. 11-21.

22. Pavlov I.S., Potapov A.I., Maugin G.A. A 2D granular medium with rotating particles // Int. J. Solids Struct. - 2006. - V. 43. - No. 20. -P. 6194-6207.

23. Павлов И.С. Упругие волны в двумерной зернистой среде // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2005. -Вып. 67. - С. 119-131.

24. Gendelman O.V., Manevitch L.I. The descriptson of polyethylene crystal as a continuum with internal degress of freedom // Int. J. Solids Struct. - 1996. - V. 33. - P. 1781-1798.

25. Gendelman O.V, Manevitch L.I. Linear and nonlinear excitations in a polyethylene crystal. 1. Vibrational modes and linear equations // Macromol. Theor. Simul. - 1998. - V. 7. - P. 579-589.

26. Gendelman O.V, Manevitch L.I. Linear and nonlinear excitations in a polyethylene crystal. II. Nonhomogeneous states and nonlinear excitations // Macromol. Theor. Simul. - 1998. - V. 7. - P. 591-598.

27. Mechanics of Micropolar Media / Ed. by O. Brulin, R.K.T. Hsieh. -Singapore: World Scientific, 1982. - 478 p.

28. Товстик П.Е., Товстик Т.П. Статический и динамический анализ двумерных решеток графита // Изв. РАН. МТТ. - 2012. - № 5. -С. 35-43.

29. Бызов А.П., Иванова Е.А. Математическое моделирование моментных взаимодействий частиц с вращательными степенями свободы // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2007. -№ 2. - С. 260-268.

30. Бровко Г.Л., Иванова О.А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной структуры типа Коссера // Изв. РАН. МТТ. - 2008. - №1.- С. 22-36.

31. Беринский И.Е. Стержневая модель кристаллической решетки графена // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2010. -№ 104. - С. 13-20.

32. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости // Физ. мезомех. - 2008. -Т. 11.- № 5. - С. 41-54.

33. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки. - М.: Наука, 1972. - 280 с.

34. Голдстейн Г. Классическая механика. - М.: Наука, 1975. - 416 с.

35. Гуревич А.Г. Физика твердого тела. - СПб.: Невский диалект, 2004. - 320 с.

36. Саркисян С.О., Саркисян А.А. Динамические задачи для тонких стержней и пластин по несимметричной теории упругости // Меж-вуз. сб. научн. трудов, посв. 80-летию С.Н. Мергеляна. - Ванадзор, Армения, 2008. - С. 4-17.

37. Sargsyan S.H. Effective manifestations of characteristics of strength and rigidity of micropolar elastic thin bars // J. Mater. Sci. Eng. -2012. - V. 2. - No. 1. - P. 98-108.

38. СаркисянА.А., Саркисян С.О. Математическая модель динамики микрополярных упругих тонких балок. Свободные и вынужденные колебания // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - № 3. - С. 25-31.

Поступила в редакцию 15.12.2015 г.

Сведения об авторе

Саркисян Самвел Оганесович, д.ф.-м.н., чл.-корр. НАН РА, проф., зав. каф. ГГПИ, s sargsyan@yahoo.com