Построение основных соотношений микрополярной теории упругих стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

Спектральная линия нулевого порядка позволяет однозначно решить вопрос совмещения точки О в воздухе и в исследуемой среде. Вертикальная линия предварительно отмечается на съемном листе бумаги.

Получены следующие результаты: скорость света в стекле - 1,97 •lO8 м/с, скорость света в воде - 2,29 108 м/с, при этом отрезки ОА составили для стекла и воды 52 мм и 61мм соответственно; ОБ - 80 мм. Для пластинки из органического стекла толщиной в 30 мм отрезок ОА оказался длинной 18 мм, а ОВ - 28 мм (фото 1 и фото 2), что определило скорость равную 1,93-108 м/с. Различия в скорости света для выбранных объектов исследования позволяют заключить о возможности использования предложенного метода в школьном физическом практикуме. Преимущество предложенного метода определения скорости света в прозрачных средах состоит в том, что он отличается простотой исполнения эксперимента, а его демонстрационный вариант используется учителем физики муниципальной школы № 6 г. Таганрога О.В Непомнящей. и в учебном процессе ГОУВПО «ТГПИ».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Академия, 2008.

2. Ландсберг Г.С. Оптика. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2006.

3. Майер В.В. Методика применения голографической дифракционной решетки в школе. Глазов, 1991.

4. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика: учебник для 11 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просве-

щение, 2004.

5. Физика: учебник для 11 кл. шк. и кл. с углубл. изучением физики / Глазунов А.Т. и др. /

под ред. А.А Пинского. М.: Просвещение, 2001.

А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко

ПОСТРОЕНИЕ ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ

Развитие механики сплошной среды тесно связаны с появлением обобщенных математических моделей, рассматривающих частицу материала не как материальную точку, а как более сложный объект, наделенный дополнительными свойствами, описывающими микроструктуру материала. Классическая теория упругости описывает свойства тел, у которых между частицами действуют центральные силы. Эта теория не всеобъемлюща: она, в частности, не в состоянии корректно описать закономерности распространения коротких акустических волн, в особенности в жидких кристаллах и (в некоторых случаях) законы пьезоэлектрических явлений, а также аномалии динамической упругости пластиков и тонких тел [1, 2]. В связи с этим в работах [1 - 5] была развита теория упругости сплошных сред, учитывающая моментное (вращательное) взаимодействие частиц - моментная теория упругости. В значительной степени выдающимся этапом в развитии механики сплошной среды в данном направлении явилась работа братьев Коссера [10], в которой описана модель, впоследствии получившая названия континуума Коссера или микрополярной среды. В рамках этой модели каждая «микрочастица», образующая тело, представляет собой абсолютно твердое тело. Другими словами, учитывается не только изменение центров тяжести «микрочастиц», но и их ориентации. Поскольку частицы вещества представляют собой не точки, а пространственные образования, расположенные на расстояниях, сравнимых с их размерами, действие одной частицы на другую определяется целой системой сил и моментов. Известно, что даже система одних сил в общем случае не может быть сведена к одной лишь равнодействующей, -необходимо введение ещё и результирующего момента [1]. Тогда взаимодействие любых двух частиц, например А и В (рис. 1).

Рис. 1

необходимо воспроизводить с помощью двух нецентральных сил и F¡ (можно считать, что они приложены к центрам инерции частиц) и двух моментов и , для которых выпол-

няются соотношения:

Ff + Ff

О

Мл+мв +rMFÄe.

1 1 т п тт

= 0

- вектор, соединяющий центры инерции частиц,

etmn - компоненты тензора Леви-

где rm

Чивита.

Таким образом, в рамках континуума Коссера учитывается вращательное взаимодействие частиц. Наряду с обычным полем напряжений в микрополярной среде присутствуют также и мо-ментные напряжения.

Начиная с работы Э. и Ф. Коссера [10], опубликованной в 1909 г., механика микрополярной среды (континуума Коссера) получила значительное развитие в основополагающих работах Э.Л. Аэро и соавторов [1, 2], В.А. Пальмова [8], В.Т. Койтера [14], В. Новацкого [7, 15].

Более общие модели сред, содержащие большее число степеней свободы (микроморфные среды или среды с микродеформацией), изучались В.Т. Койтером [14], Р.А. Тупиным [16], К. Эрингеном [12, 13] и др.

Модель микрополярной среды (континуума Коссера) нашла значительные приложения в механике твердого тела и жидкости. Отметим здесь только некоторые приложения к моделированию гранулированных и сыпучих сред, поликристаллических тел, композитов, геоматериалов, а в последнее время также и в наномеханике [9].

В продолжение сказанного отметим, что экспериментальные исследования структуры и свойств органических молекул и кристаллов, а также практика химического синтеза свидетельствует о том, что модель органической молекулы в виде системы частиц (атомов или групп атомов) с нецентральным взаимодействием является хорошим приближением к действительности [9, 12]. В частности, в случае молекул ДНК в качестве таких составных частиц рассматривают четыре типа нуклеотидов, образующих двойную спираль.

Учитывая сказанное, участок молекулы в виде системы взаимосвязанных частиц можно представить следующим образом (Рис. 2):

Рис. 2

Углы ф \\ 0 . обозначенные на рисунке, характеризуют поворот частиц как вокруг своей оси, так и относительно водородных связей, соединяющих компоненты двойной спирали.

Построение одномерной механической модели, учитывающей моментные взаимодействия частиц среды, важно с точки зрения самой теории стержней поскольку появляется возможность анализа поведения известных общих и частных решений системы уравнений Кирхгофа и получения новых с учётом изменения взаимосвязей между силовыми и геометрическими характеристиками поведения стержня.

Данная работа посвящена построению микрополярной стержневой модели посредством редукции от трёхмерной моментной теории упругости к одномерной (теории стержней). При этом возникает задача обоснования осуществимости такой редукции и замкнутости основной системы уравнений полученной теории.

1. Исходные соотношения. В дальнейшем предполагается, что латинские индексы принимают значения от 1 до 3, греческие от 2 до 3, по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирования от 1 до 3, а по греческим от 2 до 3.

Оператор Гамильтона в главных осях изгиба и кручения имеет следующее представление

- 1 ~

а) + ЭаЧ а, (1)

ГД6 ^ &' Уа дха

Предполагаем, что тело деформировано распределенной торцевой нагрузкой. С учетом представления (1) для оператора Гамильтона, уравнения равновесия тела при отсутствии массовых сил имеют вид:

У^сг,, +0)1(еы<т,1 +е]„„<7ы)) + У «а^ =0-

1

(viMij - + + eJsmfilm)) + V A + e]nm(Jnm = 0, (2)

л/i

где f-ijj, o~f/ - компоненты несимметричных тензоров моментных и силовых напряжении, е^ -

компоненты тензора Леви-Чивита в рассматриваемом базисе. Граничные условия на боковой поверхности тела представимы в виде [3]:

~Га\jco\e\af5naxp + паасд = 0, ~Т= Mlj(°\e\apnaxp + naMqj = 0 (3)

V& Jg

Тензоры деформации и кривизны в главных осях в диадном представлении имеют вид

у = ®3i{V1ui+eisp0Jsup -elapco1xaVpui) + 3a ® Э,Увы, + е^вД ®Эт

У18

к = ^=Э,®Эг {V^ + eispo)sep - eXafPhxaЧД ) + Эа® Э/Vавг, (4)

где в, - компоненты вектора поворота.

Условия Сандру [7], накладываемые на компоненты тензоров деформаций и кривизн, могут быть записаны как

^-(V./r + а> (к е +к е )) = 0-

VI 11 s V pi isp ip isp у у >

Q ~

+ 0)s{у е + Г^е )) - к + 8 ки = 0. (5)

VS

где S,j - символ Кронекера.

Относительно свойств материала предполагаем, что тело является однородным, криволинейно--изотропным и связь между силовыми и геометрическими компонентами представима в виде [5]:

' * J , °ij - М(Гу- + У ji) + а(Уу - У ji), Mij = ß(Kij + Kji) + <Kij - Kji),

i = j, = 2Wij + ¿Ykk , Mij = 2ßKij + ™kk, (6)

где константы ß, Л, //. тг, г определяют физические свойства материала.

2. Построение асимптотической модели. Пусть h - характерный размер поперечного сечения стержня, а l - длина кривой L или ее минимальный радиус кривизны. Введем параметр е = hll (если минимальный радиус кривизны ЛП1Ш кривой L значительно меньше его длины, то = h I Rmm ). который для рассматриваемого тела будем считать достаточно малым. Введем безразмерные величины следующим образом s — ls , ха = hxa , мг- = кщ , о), = 1щ . Ку = Кц / h .

В уравнениях (2) - (6) перейдем к безразмерным переменным (штрихи в дальнейшем опускаем для сокращения записи).

В [3] показано, что решение уравнений теории упругости может быть построено в виде асимптотических рядов по введенному малому параметру, а также определены порядки разложений для компонентов тензоров деформаций, напряжений, и вектора перемещений. Выбирая в качестве основных переменных задачи компоненты тензоров силовых и моментных напряжений, в случае преимущественно изгибного характера деформаций получим следующие разложения

Ы-2 к=-2

Yju?+")sk3lJ= ¿6f+/V3,. (7)

и =

к=-4 к=-4

3. Анализ соотношений нулевого приближения. В случае нулевого приближения для коэффициентов разложения основных переменных задачи имеем следующую систему уравнений и граничных условий

г(°) - П V „(°) ^ .., -

^7= 0, (8) «а/4°)=0 ,на50 (9)

ета/Уа40) = 0 > етшУаУ\Р ~ + = 0. (10)

^ и 40)=^ - г<$ъ, /40)=М0)+4°)+- ■Ф' ' 2<) + , = 2/*<°> + **<»>. (11) В работе [3] показано, что решение системы уравнений нулевого приближения должны удовлетворять дополнительным соотношениям, вытекающим из интегральных условий разрешимости задачи первого приближения. Используя уравнения и граничные условия для определения коэффициентов разложения тензоров моментных и силовых напряжений

= -^К^ " Чар^а^р^ + (е1«40) + >

+ = " еЪаР<°\хаР + + } , (12)

получим следующие дополнительные соотношения (Л0' = О^р = 0 , где

еГ = К>*>.

(13)

Анализ выражений для компонентов тензоров деформаций и кривизн показал, что коэффициенты ч\{)> -- . '' имеет следующее представление [3]:

„(0)=~(0) мо)=0

(14)

в котором величины со знаком тильды зависят только от дуговой координаты 5. С учетом соотно-

шений (13) для коэффициентов 4°' И К'У,'' получим где введены следующие обозначения:

,(0)

А2 = № - ^ - , АУ = х?++Ф, к™=к?\ (15)

Л г ~ ¿$и I +е1]кт]ик •

(16)

Подставляя выражения (15) в (8) - (11), получим систему шести дифференциальных уравнений (// + а)Аи {2) + 2а(У2вР - = 0 ,

(Л + 2^ 2У2и{2]1 + {¡и + а)У3У3и{2]1 + (Л + // - а)У 2У 3и{3]1 + 2аУ Зв{2) = Лк{3], (Л + 2/и)У3У3и{3] +(р + а)У2У2и{3] +(! + //- а)У2У3и{22) - 2аУ 2в{2) = -Лк{2],

(/? + v)Д£1u; - \ав\1) + 2а(У2и\1) - У Зи?>) = 0, (17)

(п + 2/?)У2У Д(2) + (р + 1/)У3У3#2(2) + (л- + р - к)У2УД(2) - 4с$2(2) + 2аУ3м{2) = 2а(/3(1) + хЛ(1))

(л- + 2/?)У3У3£3(2) + (/? + у)У2У203(2) + (ж + р - у)У2УД(2) - 4а£3(2) - 2оУ2и,(2) = -2«(/® - хЛ(1))

и граничных условий

и

О + «)т-"1(2) + 1аеХарпа6Ур> = -(/у - + к\1)е1архапр}

?(2) _

(1) д.

дп

,(2)

и2{(/1 + 2/и)У 2и(2' + ЛУ3щ>} + п3{(р, + а)У3и + (р- а)У2и? + 2ав[2)} = -Лп2 + е^Ч )

п3{{Л + 2]и)У3и^)+ЛУ2и\г)} + п2{{]и + а)У2и{3)+{ц-а)У3и\г)-2ав^)} =

(Р + у)^в[2) =-(/3-у)па4\ (18)

дп

п

{(Л- + 2/?)У 2^2) + яУ 36>3(2)} + п3{{Р + + (/? - у)У 2£3(2) } = -т2к[

(1)

п3{(л + 2/3)У36>32} + лУ2^2)} + и2{(>? + к)У2^з(2) + (/? - м)У3^2)} = -л^/^

для определения шести неизвестных функций и

(2)^(2)

. Полученная система допускает представление решения в виде

xi2 — //2

а)

2(1 + /л)

-0)

|(2)

^з

р + у Л + 2 /л

х22 +

(5-у

х2) +

р-

2

и

(2) _„~(2)

Щ -

Лй

а)

2(Л + /л)

ЗС-^ Н- 0-у

к

(1)

■с

лр

Р-у

Р + у Л + 2 ¡л

А)-

р + у

Р + у

(19)

7ГЛГ,

(1)

ЯК

(1)

2(;г + /?)

В соотношениях (19) функции являются функциями только точек поперечного се-

чения. Для нахождения этих функций допустим определённый произвол в силу неединственности решения задачи Сен-Венана. Уравнения для нахождения функций можно получить сле-

дующим образом: запишем шесть дифференциальных уравнений равновесия для функций у(у) 0(у) используя соотношения (19). В полученных соотношениях приравняем к нулю коэффициенты при величинах к\'', в результате получим уравнения для нахождения девяти неизвестных функций

+ С + 2//372|/З<^+ ^ + —-+ Ъ + аУ2ъУ^- Ц + ¡и-а^-—- +

Р + у

Р + у

р + у

+ с + ¡л - аУ2Ч3У*-- 2а ^^- + 2 оЯ3®р- Л = 0,

С + ф + С + //-аУ2У3У?-+ 2аУ3®^= О,

ф + а 1 v1<:+ 2а Vз©1c:^= О,

+ Ц + 2^У23Ур- ф + аГ^-—— + + Щ. + ц-а^—^-- +

Р + у

р + у

р + у

+ с + // - а Уз,/2С:+ 2« ^^ - 2аУ202с+ /1 = 0,

ф + 2« У3 ур- 2©Я> 0,

+ 2а 2&РУ 0,

Ъ + 2рУ22в?:+ ф + уУ23®?:+ 4г + Р -уУ2у3®*:+

(20)

2а-

-1

х2 -40©*-+ 2«У3у11-= О,

2сг-

-1

х3 - 4«©^- 2аУ2У^= 0.

2

X

3

2

Граничные условия для функций ур^Ор-* имеют вид:

Лп2У2-+ АП3У2^= 0, и2У2©«3У3©Я= О, «2У2©3^+ «3У303^= О,

п2^ + 2ру2®^+п3ф + уу3®^=0, ф ф + у}}3®*-=0 , (21)

п2ф-уУ2®^+п3тгУ3®^=0,

Девять уравнений (20) являются независимыми, что указывает на расщепление трехмерной задачи на систему двумерных уравнений для нахождения функций точек поперечного сечения

У(у) @(у) и одномерных уравнений для нахождения функций дуговой координаты.

Полученные соотношения (11) и (19) позволяют определить силы и моменты, действующие в поперечном сечении стержня, которые задаются следующими соотношениями

'■] = , Мг = ^{егака1к +//,,! б/О.

(22)

п

Используя формулы (22), получим следующие выражения для компонент М\ вектора-момента:

- И]<г>, + А1со1,М2 = В22со2 + В23со3 + А2со3, М3 - В31а>2 + В33со3 + А3со2, (23)

где

Я = [¡1 /а'2У:у,<'+ /ж\ —С(Л—х1 + 2ах2®^+ах2 -ах2V,у* /а;,V2к* о\ л + Р

ап

А1 = Ц^©^

■х1 + 2 т", 0,* '+ ах.У-у* '+ ах:

с/П,

В22 = || + А3:2 + ¿^Ч2 +

2А2/?

^з + Лх3У3У2

А2 = \\Ф-уУ2®*Ш,

Р г^2х3 Х^—— х?х3 + XV

2 3 ' "'З'З

¿О ,

Ж , (24)

ВЭ1 = ||л-2 ^У2у2€:+ХУ3У2€:^

п

Взз = Ц^ + Ог +

4 = +

2 1 1-х2 +Лх2У3у*:

1Х2Р

ф + у~У1 + 2М

¿О,

Коэффициенты Д. в соотношениях (24) характеризуют вклад моментных напряжений, возникающих между частицами в процессе деформации, в величину компонент вектора-момента.

Анализ выражения для коэффициента В23 показывает, что следующие интегралы обращаются в нуль как интегралы в главных осях инерции поперечного сечения

+ = 0, |

2 Яр

= 0.

ДЛ 1- х2х3 = 0. Таким образом, выражение для коэффициента В23 принимает вид:

В2Ъ = ||С*,V2Vе лх3V,у* :бЮ.

Применим к последнему интегралу формулу Грина: В2Ъ = ||Сг, V,IАх, V, I;бЮ =

В последнем соотношении интеграл в правой части обращается в нуль в силу граничных условий (21). Таким образом показано, что имеет место равенство:

Л23= 0.

Аналогично, анализируя соотношение для коэффициента В31, с учётом граничных условий (21) получим:

ВЭ1 = 0.

Таким образом, показано, что величины В23 и В31 в соотношениях (23) обращаются в нуль

без каких-либо дополнительных ограничений на характер деформаций или свойства деформируемого объекта. Последнее означает, что учет моментных напряжений не приводит к изменению структуры замыкающих соотношений системы уравнений Кирхгофа посредством появления величин, зависящих от силовых напряжений. Таким образом, при отсутствии моментных напряжений

(А1 — 0) замыкающие соотношения (23) переходят в соотношения, соответствующие классической теории Кирхгофа.

Проанализируем величины А. Коэффициент Ах является величиной неотрицательной.

Таким образом, учёт моментных напряжений приводит к увеличению сопротивления материала стержня деформации растяжения (увеличению суммарной жёсткости) и, как следствие, к увеличе-

нию растягивающего момента

М,.

Рассмотрим выражения для коэффициентов А2 и А3:

А2 = ||<?-Г/372©3€^Ю, А3 = Ц^ + ^з©«^,

вычтем из

величину

, получим:

А2-А3 = 11$-УУ2®Р-Ф + УУ3®Р#1.

В последнем равенстве воспользуемся формулой Грина:

А2-А3 = +

(25)

где Г - контур поперечного сечения. В силу граничных условий (21) подынтегральное выражение в (25) обращается в нуль, откуда следует, что

А2=А3. (26)

Соотношение (26) носит общий характер, поскольку получено без каких-либо дополнительных ограничений на систему уравнений (17) трёхмерной задачи.

Компоненты Мг вектора-момента, найденные по формулам (23), представляют собой замыкающие соотношения для системы уравнений Кирхгофа.

2

Соотношения (26) совместно с системой уравнений Кирхгофа представляют собой замкнутую систему, описывающую деформации стержня под действием концевых нагрузок с учётом мо-ментных напряжений, возникающих в процессе деформации между частицами, из которых состоит материал стержня.

4. Исследование общих соотношений одномерной теории. Система уравнений Кирхгофа сохраняет свой вид:

йМ 2

- + со2Мъ - соъМ2 = О,

йМ 3

+ соъМх - сохМъ + Руз = О, + сохМ2 - со2Мх - Ру2 = О

¿Ух

Л72

+ у3со2 -у2соъ =0, + у1со3 - у3со1 = 0, + 7 2ю 1 =°

(27)

а замыкающие соотношения, с учётом проделанного анализа принимают вид:

Мх=Вхюх, М2 = В2со2 + Асоъ, Мъ = В3о)3+АО)2, (28)

где Вх = Вх + Ах.

Система (27) без дополнительных ограничений на коэффициенты соотношений (28) допускает следующие три интеграла:

9 9 9

П +Г2+Гз=1, (29)

Мхух +М2у2 +Мъуъ = К . (30)

Как видно, структура геометрического интеграла и интеграла площадей сохранилась, в то

же время, интеграл энергии имеет вид:

ВХю1 + В2а>1 + Въ(02ъ + 2Асо2сог - 2Рух = 2Я .

(31)

При дополнительном условии В2 — В3 система (27) допускает четвёртый интеграл, кото-

рый следует из первых уравнений каждой тройки системы

А

Вхсо1 + 1Аю2соъ + 2 — Ру, = С .

В,

(32)

Преобразовав интегралы (30) и (31) с помощью кинематических уравнений Эйлера, получим следующее уравнение для нахождения величины уг :

сЬ

п

yds у

где введены обозначения:

(33)

л[в^2Р=п, Ся-С^1Р = к, а = — , а2 =—, кЦгРВ2 =р,ух — сое$ = V. (34)

А

Так как левая часть уравнения (33) неотрицательна, то как и в предыдущих случаях возникает необходимость определить те значения V, при которых выполнено условие / С 0. В силу свойств системы дифференциальных уравнений (27) её решение определено при любых начальных значениях _ = 3() (при этом необходимо иметь в виду соответствующие начальным значениям переменных значения безразмерных параметров). Поэтому можно считать выполненным неравенство / Соэ 9{] > 0. |у0|<1. Заметим далее, что / Кг 00 > 0 .

/ ^ 0 . Отсюда следует, что уравнение / 0 имеет три действительных корня. Один корень принадлежит полуоси V < — 1, а два других находятся в интервале С" У • При этом некоторые

корни могут совпадать. Обозначим эти корни V , V 2, У3 в соответствии с их расположением на

числовой оси: У, < — 1 < У2 < \'3 < 1. Функция / 4 будет принимать следующие значения:

0 для У< У1 < -1, / 0 для У1 < V < у2,

/0 для у2 < V < у3, /0 для V > у3.

Учитывая, что V = СОЭ & не превосходит по абсолютной величине единицы, областью определения правой части дифференциального уравнения (33) следует читать отрезок

У2<У<У3. (35)

Перепишем уравнение (33), воспользовавшись разложением полинома / С : dv

п2

ds

= (36)

у

С целью определения зависимости V = V ^ ^ выполним ряд последовательных преобразова-

С > 2

3 — \'2 у уравнение (36) примет вид:

1 /- . о V, - V.

TTVV3-V2 . к

ЧмЛ2

is ,

3 ~ "2

— = т2 Л * '-2-2 V ds ,

= т" , (37)

где ТП = —Jv3 — V2 , к =-, причём интервал изменения переменной W фиксирован:

2 Ъ v3-Vj

О < W2 < 1 . (38)

2

Обе величины в скобках в уравнении (3,37) положительны, когда w изменяется в интервале (38), так как к2 < 1.

Полагая w — sin X, решение уравнения (37) представим в нормальной форме Лежандра:

dx

о л/l-к2 sin2 x

. -> г dx mis, =]-=—=, (39)

или, в обозначениях Лежандра, m4i — S1 F С помощью функций Якоби равенство (39)

представим в виде W — sn т^ — Sx . Окончательно получаем

v - v3 - - v2 ~2?г2т

Оставшиеся неизвестные величины системы (27) находятся при помощи кинематических уравнений Эйлера в виде квадратур от эллиптических функций. Таким образом, получено точное решение системы уравнений Кирхгофа в микрополярной теории тонкого стержня.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аэро Э.Л., Кувшинский. Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. , 1960. Т. 2. № 7. С. 1399-1409.

2. Аэро Э.Л.,Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости // ФТТ. 1969. Т. 5. №. 9. С. 2591-2598.

3. Илюхин А.А., Щепин Н.Н. К моментной теории упругих стержней // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2001. Спецвыпуск. С. 92 - 94.

4. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука. 2008. 280 с.

5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Физматгиз, 1980. 512 с.

6. Китайгородский А.И. Невалентные взаимодействия атомов в органических кристаллах и молекулах // УФН. 1979. 127. Вып. 3. С. 391- 419.

7. Новацкий В. Теория упругости М.: Мир, 1975. 872 с.

8. Пальмов, В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 401-408.

9. Иванова Е.А.и др. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Доклады РАН. 2003. Т. 391. № 6. С. 764-768.

10. Cosserat, E. et F. Théorie des corps deformables / E. Cosserat et F. Cosserat. Paris, 1909. 226 pp. (Appen-

dix, pp. 953-1173 of Chwolson's Traite de Physicue. 2nd ed., Paris).

11. Eringen A. C. Nonlocal polar field theories / A.C. Eringen // In. A.C. Eringen (ed.), Continuum Physics,

Vol. 4. Academic Press: New York, 1976. P. 205-268.

12. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. I. Foundations and Solids / A.C. Eringen. - Berlin, Heidel-

berg, New-York et al: Springer-Verlag. 1999. 325 pp.

13. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. II. Fluent Media / A.C. Eringen. Berlin, Heidelberg, New-

York et al: Springer-Verlag. 2001. - 342 pp.

14. Koiter W.T. Couple-stresses in the theory of elasticity. Pt I—II / W.T. Koiter // Proc. Koninkl. Neterland.

Akad. Wetensh. 1964. Vol. B67. № 1. P. 17-44.

15. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity / Oxford, New-York, Toronto et al: Pergamon-Press, 1986.

383 pp.

16. Toupin, R.A. Theories of elasticity with couple-stress // Arch. Ration. Mech. Anal. 1964.Vol. 17. № 2.

P. 85-112.

Л.В. Литюк, В.И. Литюк, С.А. Бейко

СЛЕЖЕНИЕ ЗА ЧАСТОТОЙ В СИСТЕМЕ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ СО СЛОЖНЫМИ СИГНАЛАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Для повышения энергетического потенциала системы передачи информации используется подход, основанный на частичном или полном подавлении несущего колебания с одновременным подавлением одной боковой полосы амплитудно-модулированного колебания (ОБП-АМ). Для экономии полосы при сохранении энергетического потенциала такой информационной системы применяют передачу в двух боковых полосах различной информации при использовании одной и той же частично или полностью подавленной несущей [1].

Прием и демодуляция таких сигналов при не полностью подавленной несущей / осуществляется с использованием управления частотой в управляемом гетеродине (УГ). В случае полностью подавленной несущей, используется априорная информация о том, что сигнал в виде суммы двух ОБП-АМ, должен обладать высокой «симметрией» спектров относительно точки на частотной оси, где находится подавленная несущая частота / [1].

Как показано в работах [2-4], применение сложных сигналов второго порядка (ССВП), которые представляют собой фазоманипулированные (ФМн) сигналы, повышает эффективность информационных систем за счет того, что ансамбли таких сигналов обладают следующими свойствами:

- суммарная автокорреляционная функция (АКФ) каждого сигнала ансамбля имеет вид « 8 -функции»;

- суммарные взаимокорреляционные функции (ВКФ) сигналов ансамбля «ортогональны в точке и на временном интервале при произвольном сдвиге».

Полагается, что в этом случае оба парциальных сигнала, составляющих ССВП, имеют одинаковые начальные фазы, одинаковые коэффициенты передачи по каждому используемому каналу передачи информации и расположены симметрично относительно несущей (средней) частоты.

Поскольку формирование каждого из сигналов ССВП в своей полосе частот происходит при использовании соответствующего формирующего фильтра (ФФ), обладающего требуемой амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), то и получаемые в каждый момент времени на приемной стороне реализации будут иметь «несимметричные» амплитудно-частотные спектры, т.е. не будет выполняться условие «симметрии» спектров. Это приведет к тому, что точность формирования частоты может оказаться недостаточной для получения парциальных сигналов ССВП с характеристиками, при которых обеспечиваются их особые свойства.

Целью данной работы является рассмотрение формирования симметрии спектров сообщений на приемной стороне за счет применения свойств ансамблей ССВП.