МОДУЛЯЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

В. И. Ерофеев, д. ф.-м. н., профессор. В. В. Кажаев, к. ф.-м. н., доцент. Н. П. Семерикова, к. ф.-м. н., доцент, Нф ИМАШ РАН. 603024, Нижний Новгород, ул. Белинского, 85.

МОДУЛЯЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ

В работе проанализированы условия возникновения модуляционной неустойчивости квазигармонических изгибных волн, распространяющихся в нелинеино-упругих стержнях моделей Бернулли-Эйлера и Тимошенко.

В [1] получена система уравнений, описывающая изгибные колебания стержня с учетом геометрической и физической нелинейностей:

д21Г

а2

-ксг2

д21У д<р дх2 дх

-Н»

Ро ос

д2<р Г2 д2<р КС2 с /У 1

д(2 0 ' 2 дх Гу ч- \ дх , Ро 1&1

:(2М3)

(о

Здесь №(х,() - вертикальное перемещение срединной линии стержня, <р(х^) -угол поворота сечения относительно вертикальной оси (Ог), О, СТ =<¡1*1 Д

- скорости продольной и сдвиговой волн, Е - модуль Юнга, М - константа Ламэ, Р 0 -плотность материала, К - коэффициент Тимошенко, учитывающий дополнительные

сдвиговые деформации, вызывающие искривления поперечных сечений, гу

осевой радиус инерции, 1у = _ осевой момент инерции, Р-площадь поперечно-

г

го сечения. В линейном приближении эта система совпадает с хорошо известной моделью балки Тимошенко[2-4]. Геометрическая и физическая нелинейности стержня учитываются слагаемыми, стоящими в правых частях уравнений (1):

(1) = 2«:

V дх

А (дер

3У ч3с

'V2

дх

+ Аа-

дер

1

( дУУ дх

\3

„ 2

дх л

дер !к

+Ъаь(р

К дх

+ аьср

<Р2 +

дх

„ д<рд}У дх дх

(3) = 2аг(р

(д£ дх

г у V дх

+2 -£<р3+а5 гу

2 дг

дх + г2 [дх)

1 п .Л ""

~аГ

Вестник ВГАВТ

де /, = - геометрический момент инерции четвертого порядка, а коэффици-

еяты нелинейности а, (< = 1,б) выражаются через адиабатические константы упругости Ламэ второго (А,/Х ), третьего (^1,2,3 ) и четвертого (^1,2,3,4) порядков:

X ц 1 3 а, = —+ £- + —ух + -У2 + 2и3 + ух + у2 + уъ +

Я ^ 3 5 3

Д и 1 1 1

а, = — + —+ — V, + —V, + — у4;

3 8 4 4 2 2 3 4 4 Я 1 3

«5 = -2^2 + - г2 - - 2/4; 1

«6

дУУ

В линейной модели Тимошенко (р =--, где через /) обозначен угол

ах

Ш

сдвига, а - угол поворота касательной к оси стержня. Заметим, что в техниче-дх

ской теории Бернулли-Эйлера углом сдвига при изгибе пренебрегается (3=0) и

д^

<Р = — (2)

дх

Сведем (1) к одному уравнению. Для этого из первого уравнения системы выразим —^ ^--!—^ ^ +-?--Ё.М и подставим во второе уравнение, прсдва-

дх дх2 КС,2 Ы2 р0КС? дхх

рительно продифференцировав его по переменной х. Кроме того, будем предполагать, что углы сдвига поперечных сечений р{х,() малы. Поскольку нелинейные эффекты являются величинами более высокого порядка малости, чем линейные, это позволяет учитывать сдвиги только в линейной части уравнений, а в нелинейных слагаемых считать, что приближенно выполняется соотношение (2). Переходя к новым

х С / IV

безразмерным переменным: х' =-, = ——, IV' = —-,

Агу Агу 1г0

Ь = Лг.. . .

где - максимальная амплитуда изгибной волны, - длина волны, Л > 1 -

безразмерная длина волны, получаем уравнение относительно поперечного перемещения в виде:

д2Ж

д(2

+Б

4

1+

Со

.2 А 34,

а*2&2 кс? а"

+-

54Ж д

а4 Её дх

л3

(3)

Здесь и в дальнейшем для удобства штрихи над безразмерными переменными опущены.

Оценка нелинейных слагаемых показала, что доминирующими являются члены,

д(д!УV

содержащие нелинейность

дх\ дх ) 1

. Поэтому в уравнении (3) сохранены слагае-

мые, входящие с коэффициентом ——, а остальными (с коэффициентами, пропорцио-

11 2 2 нальными —,-у) - пренебрегли. Здесь /) = г,/£ - параметр дисперсии, а - ко-Л Л

эффициент, определяющий геометрическую и физическую нелинейности:

~ < „ д 7.37 1

от = 6а3 + 4ог4 + 8а6 = - Л + - ц--у2 - - - уА

(4)

Ранее в [1] система уравнений (1) сводилась к уравнению, подобному (3), в предположении малых углов поворота поперечного сечения (<р), т. е. в предположении

больших углов сдвига | Это приводило к тому, что приходилось неявно пре-

небрегать геометрической нелинейностью, сохранив нелинейность физическую. Однако, для тонкостенных элементов конструкций, совершающих изгибные колебания конечной амплитуды, доминирующей является именно геометрическая нелинейность.

Рассмотрим далее влияние геометрической нелинейности на процесс самомодуляции квазигармонической изгибной волны. Физической нелинейностью на первом этапе пренебрегаем, т.е. в (4) считаем у2 з = У4 ~ 0 ■

В линейном приближении (ОС = 0) решение уравнения (3) представляется в виде

набора гармоник ^ , частоты {СО) и волновые числа (к) которых связаны

дисперсионным соотношением:

1 +

2 ^

КС

к2со2 +

г1

с° -<у4 = О

Г У

КС

(5)

На плоскости (¿у,А:) имеется Две дисперсионные ветви. Первая ветвь исходит

из нуля, а вторая - из точки к = 0, а = ,

имеет точку перегиба, координаты которой соотношения (5) и следующего уравнения:

£ СТ

с 0

1,* *

[к ,<У

. Нижняя дисперсионная ветвь

находятся из дисперсионного

1 + Х>

г2

КС

хсЗ

К/г+4£>

НС2)

0)кУг,-ЬОк2 + й

С2

. «с?)

со2=0

Вестник ВГАВТ

Здесь У&г - групповая скорость линейных волн, выражение для которой имеет вид

V

sr dk

D 2к2 - ( С2 } 1 + С% KC2J со2к

(О + D ( С2 1 1+ С°2 KC2J сvk2 2 D К С?

(6)

Сильная в низкочастотной области дисперсия изгибных волн при наличии слабой кубической нелинейности приводит к тому, что решение уравнения (3) при а ¥-0 будет близко к решению соответствующего линейного уравнения. Фазовая скорость третьей гармоники (Збу), согласно (5), будет существенно отличаться от фазовой

скорости волны основной частоты (о.)). Это позволяет отыскивать решения уравнения (3) в виде одной квазигармоники

№(х,0 = А{ех,£1)е1{т~кх) +к.с. (7)

где А(л:,/) - комплексная амплитуда, со и к удовлетворяют дисперсионным соотношениям и условию малости амплитудно-частотной модуляции

д2А

дА дА .

— /кА--/ (оА ~ £■ « 1, —-

дх dt дх

/кА

д2А dt2

/соА

Предполагаем также, что нелинейное слагаемое, стоящее в правой части уравнения (3) имеет порядок малости е2, т. е. отношение амплитуды изгибной волны к ее длине

является малой величиной | — ~ £ \. Используя метод усреднения по «быстрым» переменным [5], перейдем от исходного уравнения к укороченному уравнению. В системе координат, движущейся с групповой скоростью T—St, оно является

нелинейным уравнением Шредингера относительно комплексной амплитуды:

. дА _ д2Л I .2 . Л I---а\А\ А = О

где

ß =

дт ' д£2 1 dVgr _ 1 d2co

(8)

2 dk 2 dk2 метр, который

- дисперсионный параметр, ОС - нелинейный пара-

выражением

а=±

3 акл

2 Есо

1+ D

Г2 NC2

\ Л

-1

определяется

у2

л

+ 4Dk , где знак «плюс» соответствует

нижней дисперсионной ветви, а «минус» - верхней. Для сравнения, для стержня модели Бернулли Эйлера (в это случае в уравнении (3) второе и третье слагаемые в квад-

ратных скобках отсутствуют) а =

3 ак4 2 Е

Уравнение Шредингера является фундаментальным уравнением нелинейной физики. Оно используется для описания слабонелинейных диспергирующих волн различной физической природы [5-7], и позволяет, в частности, исследовать устойчивость квазигармонической волны (7) по отношению к малым начальным возмущениям.

Согласно критерию Лайтхилла [7], если нелинейный и дисперсионный параметры

я ¿2<у

уравнения Шредингера имеют противоположные знаки, т. е. ар--— • а < и, то в

<1к

системе будет наблюдаться самомодуляция (модуляционная неустойчивость), трансформирующая квазигармоническую волну (7) в набор волновых пакетов. Для модели

- (¡2со

Бернулли-Эйлера критерий Лайтхилла не выполняется, так как а > 0 и > 0 .

Модель Тимошенко дает иной результат: квазигармонические изгибные волны могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми в зависимости от частоты и принадлежности к той или иной дисперсионной ветви. Волны, описываемые верхней дисперсионной ветвью, всегда будут неустойчивыми. Для нижней ветви знак параметра дисперсии уравнения Шредингера может изменяться, что связано с наличием у нее точки перегиба. Поэтому в интервале 0 < к < к', где к* - точка перегиба дисперсионной кривой, волны устойчивы к самомодуляции (именно здесь модели Бернулли-Эйлера и Тимошенко совпадают по своим дисперсионным свойствам), и неустойчивы в интервале к > к'.

На рис. 1 изображена диаграмма, показывающая при каких частотах со и волновых числах к возможна модуляционная неустойчивость изгибных волн в стержне. Область устойчивости отмечена квадратами, область неустойчивости - крестами. Расчеты производились при коэффициенте Тимошенко К = 0.98, коэффициенте Пуассона V = 0.3 и £> = 0.04.

■

Рис. 1. Диаграмма модуляционной неустойчивости изгибных волн

Величина области модуляционной неустойчивости изгибных волн зависит и от упругих свойств материала стержня. С увеличением коэффициента Пуассона область устойчивости уменьшается, как это показано на рис.2 при О = 1. При различных длинах волн области устойчивости полностью подобны, а коэффициент подобия за-

Вестник В ГА ВТ

висит только от £) , так при = 0,01; 0,04; 0,1 коэффициенты подобия имеют соответственно значения 10; 5 и 3,7.

При учете физической нелинейности в уравнении (3) коэффициент нелинейности

(4) будет зависеть от модулей упругости Ламе второго (Д, /и}, третьего (v2 > ^з)и

■

7 3 7

четвертого (/4) порядков: а = — Я + —ц —v2 -v3-y4. В этом случае для металли-

4 2 6

ческих стержней параметр нелинейности а становится отрицательным, что приводит к выполнению критерия Лайтхилла для стержня модели Бернулли-Эйлера. Таким образом, квазигармонические изгибные волны и в технической теории стержней будут неустойчивы к самомодуляции. В стержне модели Тимошенко области устойчивости и неустойчивости меняются местами, а именно: волны, описываемые верхней дисперсионной ветвью, всегда устойчивы; волны, описываемые нижней дисперсионной ветвью, неустойчивы при 0 < k <к и устойчивы к > к* ■

Если предположить существование композитного материала с а > 0 , то области модуляционной устойчивости и неустойчивости в физически нелинейных стержнях из композитов будут такими же, что и в металлических стержнях при учете только геометрической нелинейности.

Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант № 08-08-97057-р_поволжье_а).

Список литературы

[1] Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. - М.: Наука, Физматлит, 2002. - 208 с.

[2] Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории стержней, пластин и оболочек. - М.: ВИНИТИ, 1973.-272 с.

[3] Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. - М.: Наука, 1979. - 296 с.

[4] Вибрации в технике: Справочник в 6-ти томах. / Ред. совет: Фролов К.В. (пред.). - М.: Машиностроение. - Т. 1: Колебания линейных систем. 2-е изд., испр. и доп. / Под ред. Болотина В.В. 1999.-504 с.

[5] Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

[6] Кадомцев В.В. Коллективные явления в плазме. - М.: Наука, 1988. - 304 с.

[7] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 622 с.

MODULATION INSTABILITY OF FLEXURAL WAVES IN RODS

V. I. Erofeev, V. V. Kazhaev, N. P. Semerikova

The conditions of the appearance of modulation instability of quasi-harmonic flexural waves spreaded in nonlinear-elastic rods of models Bernulli-Ejlera and Timoshenko are analysed in the article.

УДК 539.3

В. И. Ерофеев, д. ф.-м. н„ профессор. Е. А. Никитина, к. т. н.. Нф ИМАШ РАН. 603024, Нижний Новгород, ул. Белинского, 85.

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКОГО МЕТОДА ПРИ ОЦЕНКЕ ПРОЧНОСТИ И ДОЛГОВЕЧНОСТИ МАГИСТРАЛЬНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ

Проведён анализ применения неразрушающих методов контроля для оценки выработанного ресурса стареющего машиностроительного оборудования. Отмечено, что задача мониторинга технического состояния магистральных трубопроводов может успешно решаться с применением акустических методов. Для уточнения акустических данных разработана расчётная методика, учитывающая деградацию начальных прочностных свойств механических характеристик конструкционных материапов.

Проблема оценки остаточного ресурса стареющего машиностроительного оборудования решается в настоящее время с помощью широкого внедрения неразрушающих методов контроля. При этом акустический метод отмечается как наиболее перспективный. Задача мониторинга технического состояния магистральных трубопроводов существенно усложняется вследствие многочисленных повреждающих факторов, основными из которых являются широкий диапазон природно-климатических условий, конструктивных особенностей и режимов нагружения при длительном времени эксплуатации конструкций.

Традиционно неразрушающее диагностическое обследование трубопроводов сводится к выявлению потенциально опасных зон концентрации напряжений, в которых возникают и развиваются соответствующие дефекты стенки трубы. Затем на основании инспекционных данных по специально разработанным методикам проводят ранжирование обнаруженных дефектов по степени опасности и разрабатывается программа технического обслуживания и ремонта трубопроводов [1]. При практическом применении акустических методов и соответствующей их интерпретации для определения фактического напряженно-деформированного состояния стенки трубы возникают научно-технические проблемы, к которым следует отнести:

- существенный разброс полученных данных;

- низкая эффективность существующих методик поверочного расчета на прочность из-за отсутствия фактических структурно-механических свойств материала;