Дисперсия и самомодуляция волн, распространяющихся в твердом теле с дислокациями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.222

Дисперсия и самомодуляция воли, распространяющихся в твердом теле с дислокациями

В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов

Институт проблем машиностроения РАН, Нижний Новгород, 603024, Россия

В работе получены основные уравнения, описывающие распространение ультразвуковой волны в среде с дислокациями. Приведены дисперсионные зависимости в предположении, что колебания дислокаций происходят без затухания, т.е. дислокационная составляющая общей системы является консервативной. Показано, что распространение ультразвуковых волн характеризуется двумя дисперсионными ветвями («акустической» и «оптической»). С ростом волнового числа фазовая скорость волны, принадлежащей «акустической» ветви, с конечного значения асимптотически убывает до нуля, в то время как скорость волны, принадлежащей «оптической» ветви, с бесконечности асимптотически убывает до конечного значения, соответствующего скорости распространения продольной волны. С помощью критерия Лайтхилла исследована модуляционная неустойчивость. Определен вид волновых пакетов, на которые разбивается квазигармоническая волна в результате модуляционной неустойчивости. Показано, что могут существовать как периодические стационарные волны огибающих, так и уединенная стационарная волна огибающей. Определены зависимости высоты и ширины волнового пакета, сформировавшегося в результате самомодуляции квазигармонической волны, с основными характеристиками дислокационной структуры.

Ключевые слова: дисперсия, дислокации, модуляционная неустойчивость, фазовый портрет

Dispersion and self-modulation of waves propagating in a solid with dislocations

V.I. Erofeev and A.O. Malkhanov

Mechanical Engineering Research Institute of RAS, Nizhny Novgorod, 603024, Russia

In the paper, the basic equations describing ultrasonic wave propagation in a medium with dislocations are derived. Dispersion relations are given under the assumption that dislocations oscillate without damping, i.e., the dislocation component of the general system is conservative. It is shown that ultrasonic wave propagation is characterized by two dispersion branches ("acoustic" and "optical"). As the wave number increases, the phase velocity of the wave belonging to the "acoustic" branch decreases asymptotically from a finite value to zero, while the velocity of the wave belonging to the "optical" branch decreases asymptotically from infinity to a finite value corresponding to the longitudinal wave velocity. The Lighthill criterion is applied to study modulation instability. The form of the wave packets into which a quasi-harmonic wave is divided due to modulation instability is determined. There can be both periodic stationary waves of envelopes, and a solitary stationary wave of the envelope. It is found how the height and width of the wave packet formed due to self-modulation of a quasi-harmonic wave correlate with the basic characteristics of the dislocation structure.

Keywords: dispersion, dislocations, modulation instability, phase portrait

1. Введение

Накопленный на сегодняшний день объем экспериментальных данных позволяет утверждать, что дислокации оказывают существенное влияние на закономерности распространения акустических волн в твердом теле. Особенно существенна роль дислокаций при распространении волн в деформируемом или циклически нагружаемом теле [1-6]. Теоретическое описание распространения акустической волны в твердом теле с изменяющейся плотностью дислокаций позволило бы приблизиться к проблеме оценки реального состояния материала и прогнозирования его остаточного ресурса. Эта задача тем более важна, что широко применяемая для описания таких экспериментов теоретическая мо-

дель Гранато-Люкке [7, 8] имеет ограничения, которые делают ее применение для описания экспериментов, в ходе которых плотность дислокаций существенно увеличивается, не вполне корректным.

В публикуемой работе в рамках самосогласованной нелинейной математической модели динамики твердой среды с дислокациями рассматривается распространение ультразвуковых квазигармонических волн. Показано, что наличие дислокаций приводит к модуляционной неустойчивости квазигармоник и формированию стационарных волн огибающих (волновых пакетов), при этом их амплитуда и ширина определяются эффективной массой дислокаций и коэффициентом акустодисло-кационного взаимодействия.

© Ерофеев В.И., Мальханов А.О., 2017

2. Основные уравнения и дисперсионные зависимости

Следуя [9, 10], уравнения для ультразвуковой волны и дислокационного смещения Ъ можно записать в следующем виде:

= (1)

д 2 ,Э 2Ъ

Эхк

э?2 + в1? = *'

(2)

где р — плотность кристалла, а тензор напряжений и сила действующая на дислокацию, определяется соотношениями

ЭF , ЭF

Эе-к

ЭЪ-

(3)

Здесь F — свободная энергия единицы объема кристалла; Ък — тензор деформаций, который может быть линейно связан с компонентами вектора перемещений и (тензор малых деформаций):

= 1 ел = ^

щ +эи±

Эхк Эх-

\

(4)

и иметь с ним нелинейную связь (тензор конечных деформаций):

ед = -

1

М +ЭЦ, + Щ Эхк Эх-

Л

(5)

Эх- Эхк

Соотношение (5) указывает на учет геометрической нелинейности в уравнении (2); А и В — постоянные коэффициенты, характеризующие массу и затухание дислокации.

Свободную энергию F можно представить в виде разложения в ряд по степеням еЛ и Ъ:

Р = 2 Сук1 еу ек1 + 2+ 2 Р»И + Ъ1Ъ )ек1 +

+ 31 Qiklmpq е -к е -те 1

рд + "3! У -к1 ЪЪк Ъ +

(6)

+(Ъ& ]+Ъ Ъ Ш Ъ+Ъ11к) ^,

где с-к1т, Qkdmpq — тензоры линейной и нелинейной упругости; — компоненты вектора Бюргерса; $ук1, Чумрч — тензоры линейного и нелинейного акустодис-локационного взаимодействия; и у ¿у — тензоры линейной и нелинейной «жесткости» дислокаций.

Используя соотношения (3) и (6), из (1) и (2) получаются следующие уравнения:

э 2и э2 и э 2иг

' = (с13 + с44) 3

Э?2

э 2и

-+ с.

Эх1,2Эх3 44 Эх22

(7)

Г

= (с13 + с44)

Эх3

Э^+ЭЦ2

Эх1 Эх2

Л

+ с44Д1и3 + с33

э2и3

Эх2

+ (3С33 + Qззз) х

э2и3 эи3 , 4^2е ЭЪ

Эх2

э +- + рь

Эх3 3 Эх

_эь

Эх3

а^+^ = ЯЪ+ър-Эи

, э2ъ

э?2

,ЭЪ. э?

= 1 ЪР[ Эи3

Эх3

Эх3

1 й2 4 ,2еЭи--

2 3 Эх3

(9)

Поскольку колебание дислокаций происходит в одной плоскости, уравнение (9) записано в одномерном приближении, при этом другие компоненты имеют более высокий порядок малости. В уравнении (8) первое слагаемое обусловлено геометрической и физической не-линейностями, а в уравнении (9) первое нелинейное слагаемое обусловлено геометрической нелинейностью, а последнее — акустодислокационным взаимодействием.

Будем рассматривать далее распространение плоской продольной волны. Учтем нелинейность только дислокационной подсистемы, тогда система (7)-(9) преобразуется к виду

э 2и Э 2и . „, ЭЪ

Э?2

• = с

33

Эх'

2 +вЪ '

. Э2Ъ „ЭЪ Л е о, Эи 1 к2 Э?2 Э? Эх 2

(10) (11)

где и(х,?) = и3, х = х3.

В работе [9] показано, что дислокационную нелинейность твердых тел можно ввести как зависимость характеристик дислокации от амплитуды ее смещения и, следовательно, от амплитуды взаимодействующей с ней акустической волны. В рамках такого подхода сами параметры дислокации (ее эффективная масса и «жесткость») становятся функциями амплитуды колебаний.

Будем рассматривать массу и «жесткость» дислокаций как сумму постоянной и пульсационной составляющих. При этом пульсационные составляющие будем считать пропорциональными квадрату дислокационного смещения Ъ [9]:

А = Ао(1 + 4Ъ2), (12)

х = х„(1+ХЪ2). (13)

В выражениях (12) и (13) безразмерные коэффициенты А1 и X характеризуют главным образом знак нелинейности.

Два уравнения второго порядка (10), (11) можно свести к одному уравнению четвертого порядка относительно дислокационного перемещения Ъ

Если дислокационную подсистему считать консервативной, т.е. коэффициент затухания колебаний дислокаций равен нулю (В = 0), то это уравнение запишется в виде

X

э 2ъ э?2"

с33*-|УЪг П + А <П.

р Эх2 Э?4

Ас33 Э Ъ р Эх 2Э?2

_у<

+ *Ч 2

Д_£з! ГЭП2 + £Э2£

' дt2 р ^ Эх ] дх2

С учетом (12), (13) уравнение (14) примет вид

\2и2 ->2;

у*;

(14)

Сзз^0 -Р2Ь2 П + П. Эг2 X0р Эх2 X0 Эt4

А Сзз д 4 £ Х0р Эх2дг2 Х0

2

кд 2 £ + £—2--Эг2

сзз р

/^ч 2 чэхУ

Эх 2

+

л сзз й2 д2£ й2 Э4£

1 ~ Эх2 Х0 1Ъ Эг4

А) Ас:

ЭЭ р2

Э 4£

■л ^ 2 ^ (15)

Х0р Эх2Эг

Исследуем дисперсию волны, распространяющейся в материале с дислокациями. Такой анализ проведем в линеаризованной системе. Для этого положим в (15) у = 0, Х1 = А1 = 0 и это уравнение запишется в виде

сззХ о-в2 ь2 э22+Ао Эг2 X0р Эх2 X0 дг4

_АоСзз э4£ _ 0.

X0р дх2дг2

Решение уравнения (16) будем искать в виде бегущей гармонической волны:

(16)

£ = £о е1

(сог-кх)

+ К.С.,

(17)

где £0 — комплексная амплитуда волны; с — круговая частота; к = 2п/Л — волновое число, где Л — длина волны; к.с. — комплексно-сопряженная величина.

Подставляя это решение в уравнение (17), приведем к дисперсионному уравнению, связывающему с и к:

л2 + ^0 _Р2Ь2 к2 _ ч ^ А)р

Уравнение (18) позволяет определить закон дисперсии для продольной акустической волны, распространяющейся в материале с дислокациями (рис. 1):

С Г Л \

ю4 -

X

А р

о + сзз к 2

" ■-к2 _ 0. (18)

42

\л

^ + ^ к 2

А0

0

А

+ ^ к 2 А 0 р

1/2

откуда

ю _

А,

+ !зз. к 2

^ - М к2

+ ^ к2 А 0 р

(X 0/ А/2

(Х0/Л)1/2( 1-х2)1/2

, _р)^2(1 -%¥2к / /Г —

Рис. 1. Зависимость частоты от волнового числа

ю2 _

^ + к2 А р

При к = 0 ю1 _ 0, ю2 _^JX0 / А0. При к ^ ~ ю1 имеет следующую наклонную асимптоту:

ю,

(20)

1 ^к

где %2 _ р2Ь2 /(X0сзз), и нужно, чтобы %2 < 1, а это возможно, если X0сзз > р2Ь2.

Наклонная асимптота для ю2 (при к ^ следующая:

(21)

ю =,1^ к.

Соотношение (19) позволяет вычислить фазовую скорость волны (рис. 2):

- ^+£зэ к2 ± к 12к2 1 А> р

Vph _ю =

X0 - сзз к2

А

Шк 2

ар

1/2

При к = 0

>

%2, ^

при к ^

>

р •

(22)

(23)

(24)

1 \

(19) ------(сзз/Р)^2

------(сз^Р)12(1 -хУ2

\

Рис. 2. Зависимость фазовой скорости от волнового числа

3. Модуляционная неустойчивость

При наличии слабой нелинейности решение уравнения (15) близко к решению линейной задачи (16) и его можно представить в виде набора квазигармоник. Кроме того, для диспергирующих систем с кубической нелинейностью эффект самовоздействия обычно преобладает над эффектом генерации высших гармоник и последним можно пренебречь [11, 12]. Это позволяет отыскивать решение уравнения (15) в виде одной гармоники с медленно меняющимися в пространстве и времени амплитудой и фазой:

£( x, t) = U0(ex, £t) el

( шt -kx )

+ K.c.,

(25)

где U0 (x, t) — комплексная амплитуда; ш и k удовлетворяют соотношению (19);

A. dUo

kU0 dx

1 U

ши0 dt

£<<1.

(26)

Используя метод усреднения по «быстрым» переменным [12], от (15) перейдем к укороченному уравнению огибающей квазигармонической волны. В системе координат, движущейся с групповой скоростью У^ = = dю/ dk, п = х - V ?, т = еt, эволюция огибающей будет описываться нелинейным уравнением Шредингера

;dUo 1 dV Э2Uo =а ю

Эт ^ - 2 IU

01 U0,

(27)

2 dk Эп2

часто встречающимся при изучении волновых процессов в оптике, физике плазмы, акустике, электродинамике. Здесь

а = ±3р2Ъ2 к 2 х

-1

2 4)рю

c33 р

+k2 Лр

(28)

dk

= V

1 - 6Л ш2 + Асж k2 X0 X 0 р

в 2b 2

+ 4А0£31 mkV -

40 c

33

X 0р

2 4 ш3 -X 0 X 0 р

X 0р

rnk -ш

X 0р

ш2 ^х

-1

(29)

Знак «—» в (29) соответствует дисперсионной ветви ш1, знак «+» — дисперсионной ветви ю2.

При выводе уравнения (26) считали, что Х1 ~ ~ А1 ~ е . Известно, что при определенных условиях квазигармоническая волна оказывается неустойчивой по отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты (модуляционная неустойчивость).

Наличие в системе такой неустойчивости определяется по критерию Лайтхилла [11, 12]: ¿К

а—^ < 0. (30)

¿к

Применение критерия Лайтхилла к исследуемой системе показывает, что устойчивость волн к модуляции существенно зависит от знаков А1 и Х1. При Х1 > 0, А1 > 0 волны устойчивы, при Х1 < 0, А1 < 0 — неустойчивы (рис. 3, а). Если Х1 < 0, А1 > 0, то волны, частоты и волновые числа которых лежат на нижней дисперсионной ветви ш1, будут неустойчивыми, а волны, частоты и волновые числа которых лежат на верхней дисперсионной ветви ю2, будут устойчивыми (рис. 3, б). Если Х1 > 0, А1 < 0, то, наоборот, устойчивы волны, соответствующие нижней дисперсионной ветви Ю1, и неустойчивы волны, соответствующие верхней дисперсионной ветви ю2.

Если вместо комплексной амплитуды и0 ввести действительную амплитуду а и фазу 0: и0 = ае-0, то уравнение (27) запишется в виде системы

_Э_ Эт

2

a 2

v у

1

2 Эп

Э0 1 dVg д2a

dVg Э0 2

a2

dk Эп 1 dVg

= 0,

Э0 Эп

+ aa3 = 0.

(31)

(32)

Эт 2 dk Эп2 2 dk

Определим, как будут выглядеть волновые пакеты, на которые разбивается квазигармоническая волна в результате модуляционной неустойчивости. Для этого достаточно проанализировать стационарные волны огибающих.

Будем искать решение системы (31), (32), зависящее от одной бегущей переменной z = п - Vt, где V = const — скорость стационарной волны: a = a(z), 0 = 0(z). В этом случае фаза волны 0 выражается через ее амплитуду a:

ш0

со0

Рис. 3. Модуляционная неустойчивость квазигармонической волны (а) и эволюция спектра (б)

— = -2

dz

dk

N-1

А V

V«2+2/

(33)

где ^ — константа интегрирования, а изменение амплитуды описывается уравнением ангармонического осциллятора, содержащим нелинейность в отрицательной степени:

d2a з -з .

—- + m1a + m2 а + m3 а = 0, dz

(34)

где m1 = V (dV^jdk)-2, m2 = 2a(dVg /dk)-1, m3 = -4А2 x x(dVjdk)-2.

Заметим, что в уравнении (34) коэффициент перед a всегда положителен (m1 > 0), перед а-3 всегда отрицателен (m3 < 0). Знак коэффициента перед а3 может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от свойств материала и принадлежности волны к той или иной дисперсионной ветви. Изучаемой области модуляционной неустойчивости будет соответствовать отрицательное значение этого коэффициента (m2 < 0).

Для анализа уравнения (34) удобно перейти к новым переменным:

У = Vm1Tz, U = л/1m-jmi|a, позволяющим переписать его в виде

= 0,

(35)

d2U

dy2

+ U - U3 + DU-3

(36)

'd U л2

dy

+ n(U) = E,

(37)

где D _-Ш2а2/V6 /Лк <0.

Это уравнение имеет первый интеграл: 1 2

V ' )

где функция П(и) _ 1/2и2 + 1/4и4 - ^2 и"2 имеет смысл потенциальной энергии; Е—константа интегрирования, имеющая смысл начальной энергии системы.

Будем считать, что - 4/27 < D < 0. Потенциальная функция достигает своего минимального ЕтЬ _ _П(±итНп) и максимального Етах _П(±итах) значе-

min

ния в точках

a) при - 2/27 < D < 0 1

-2cos

'я — N —+ —

3 3

3 3 У

2cos — +1.

Umin л/3

U =± max л/3 где — = arccos (2/27 D + 1); б) при - 4/27 < D <- 2/27

1 1

+1,

2cos

U

Umin '2cos

V '

+1,

J

П — +

3 3

V '

+1,

J

где ф_arccos (-27/2 D + 1).

График потенциальной функции приведен на рис. 4, а, фазовый портрет уравнения (37) — на рис. 4, б.

На фазовой плоскости (и, Ли/ёу) точки (±ит1п,0) являются устойчивыми положениями равновесия типа «центр», точки (±итах,0) — «седловыми» точками.

В рассматриваемой среде могут существовать как периодические стационарные волны огибающих (им соответствуют движения по фазовым траекториям вокруг положения равновесия), так и уединенная стационарная волна огибающей (движение по сепаратрисе, идущей из «седла» в «седло»).

Периодическое решение уравнения (37) описывается эллиптическим синусом:

U(у) =±3 -2a0~SF~+2а0sn (кУ's)'

Здесь

U2 -U3 s2 = U2 -K:

U - U3

2 U1 - U3 V 2 s

Величины U12 3 определяются соотношениями 2

(38)

. (39)

U1 = 3

U2 = 2 23

u3=2

где — = arccos

2>/1 - 3E cos 2VI - 3E cos

-2a/1 - 3E cos 27

3 3

+1

n — —+ —

3 3

3 3 У

+1

(40)

3 .

V J

+ 1

4 (1 - 3E ) 1 - 3 E

'D -2ЕЛ v 2 27 3

Выражение для модуля эллиптической функции s2

принимает вид:

/ /

V3cos V3cos

3

v

-sin

3

у у

3 ,

/

+ sin

3

-1

(41)

Рис. 4. График потенциальной функции (а), фазовый портрет системы на плоскости (и,&и/ёу) (б)

Рис. 5. Качественный вид периодических движений, описываемых выражением (43), где и23 определяются из соотношений (40)

Анализируя (41), получаем, что в положении равновесия при Е ^ Ет1п s2 ^ 0, а при Е ^ Етах s2 ^ 1. Таким образом, модуль эллиптической функции изменяется в пределах 0 < £ < 1.

При £2 ^ 0 sny ^ siny и решение (39) описывает квазигармонические колебания малой амплитуды вблизи положения равновесия.

Решения на сепаратрисах (£ = 1) описываются гиперболическим косинусом

и (7) = ±

2(1 + л/1 - 2Етах) . 2а0

(42)

3 сь^^/а^)

В исходных физических переменных периодическая модулированная волна описывается выражением (рис. 5)

V

«)=±^2

¿V.

а-

¿к

"1/2

— 2а, 3

1 + 52

+ 2а05п

КУ (х - Vg ? - Vеt, 5) х

¿к ¿к

- (ю? - кх+0)

(43)

V (х -Vg ?) + 2а|

+ К.С.,

4 (х - Vg ?)

Волна, промодулированная по солитонному закону (42), изображена на рис. 6. Если ограничиться рассмотрением волн, у которых имеется амплитудная модуляция, но отсутствует модуляция фазовая, то V = 0, а изменение амплитуды будет описываться уравнением Дуффинга [13]

¿2 а

—- + тАа + т2а = 0, дг 2

(44)

где т1 = V2(dVg/dk)"2, т2 = 2а(¿^/¿к)-1.

Коэффициент при линейном слагаемом всегда положителен (т1 > 0), а коэффициент при нелинейном слагаемом отрицателен в области модуляционной неустойчивости (т2 < 0).

Уравнение (44) имеет первый интеграл:

1 / .л \2

¿а

= Е

т

1 .2

т

4

(45)

Функция потенциальной энергии / (а) = 1/2 + 1/4

т2 а

4-1

т1а +

Г 2

имеет локальный максимум /тах = -т1 х х(4т2)-1 в точках а = т1 /т2 и локальный минимум /тп = 0 при а = 0 (рис. 7, а). Поэтому на фазовой плоскости (а, ¿а/^) точка (0, 0) является устойчивым положением равновесия типа «центр», а точки

(±/

- т1 /т2, 0) — неустойчивым положением равновесия типа «седло».

Фазовый портрет уравнения (44) приведен на рис. 7, б. Он показывает, что в среде могут существовать как периодические стационарные волны огибающих (им соответствуют движения по фазовым траекториям вокруг положения равновесия), так и уединенная стационарная волна огибающей.

Периодическая волна описывается эллиптическим синусом, форма которого близка к меандру (рис. 8):

Рис. 6. Качественный вид сепаратрисного движения, где и2,3 определяются из соотношений (40) при ф = 0

Рис. 7. Функция потенциальной энергии (а) и фазовый портрет уравнения (44) на фазовой плоскости (а, ¿а/&) (б)

Рис. 8. Форма колебаний периодической волны при s, близких к единице

а _ а0sn(Кг, s), (46)

где а0 — амплитуда волны огибающей; К _ (1/2 х

2 1/2 2 2 х(2т1 + т2а0))1 — волновое число; 5 _-т2а0 х

2 -1

х(2т1 + т2а0) — модуль эллиптической функции, изменяющейся в интервале 0 < 52 < 1.

Через параметры исходной задачи амплитуда а0 и волновое число К выражаются соотношениями

а_

К _

-V252 Г ЛО

-1

а(1 + 52)

V

йк

ч / -1

1

+ 5

V йк

(47)

(48)

Уединенная стационарная волна имеет форму перепада (кинка) (рис. 9) и описывается гиперболическим тангенсом

а _ а0Л(z/Д), (49)

где амплитуда волны

а0 _ .¡-У^^гай^^йк)-^, (50)

ширина волны 42 йУ

Д_---(51)

V йк К }

Соотношение (49) получается из (46) при 52 _ 1.

Определим, как связаны высота к и ширина Д волнового пакета, сформировавшегося в результате самомодуляции квазигармонической волны, с основными характеристиками дислокационной структуры — эффективной массой дислокации А0, ее характерной жесткостью X0 и коэффициентом акустодислокационного взаимодействия. Для оценок воспользуемся формулами (47), (48), (50), (51), отождествляя высоту волнового пакета с удвоенной амплитудой.

а j

а0-

/ г/А

------

Заметим, что параметры дислокационной структуры будут по-разному проявляться в длинноволновом (К ^ 0) и коротковолновом (К ^ диапазонах квазигармонической волны.

В длинноволновом диапазоне

А- 2 VрX 0

X 0

(52)

(53)

л/Э в2Ь2К у А» р '

д-У2р2ь2Л/А0

V Р^л/^

Высота волнового пакета, увеличивающаяся с ростом жесткости дислокаций X)'/2), уменьшается пропорционально А-1/2 и пропорционально в-2.

Ширина волнового пакета уменьшается пропорцио-

нально

X-з/2 и

увеличивается пропорционально

и пропорционально р2.

В коротковолновом диапазоне

(54)

4, (55)

VK \ р 4 ^

Высота волнового пакета увеличивается с ростом средней массы дислокации ~ А^4 и уменьшается ~1Д/р. Ширина волнового пакета в этом диапазоне от параметров дислокационной структуры не зависит и определяется отношением скорости распространения линейных возмущений к скорости нелинейной стационарной волны с 33|(рV).

Рис. 9. Форма колебаний уединенной стационарной волны, определяемой выражением (49)

Рис. 10. Экспериментальные осциллограммы акустического поля в алюминии при разной глубине модуляции

4. Сравнение с экспериментом

Самомодуляция акустических волн наблюдалась экспериментально в работе [14]. На рис. 10 приведены осциллограммы акустического поля при различной глубине модуляции.

Данная экспериментальная работа выполнялась авторами на кольцевом алюминиевом резонаторе, в котором нелинейные процессы носят накапливающийся характер. В зазор свернутого в кольцо стержня были вклеены пьезокерамические излучатели ультразвука. Приемником служили миниатюрные пьезоэлементы, наклеенные на боковую поверхность резонатора.

На излучатель подавалось гармоническое напряжение с частотой /п, близкой к одной из собственной частот резонатора, на продольных волнах с частотой в диапазоне 50-200 кГц. При превышении накачкой некоторого порогового значения в резонаторе возбуждалось модулированное акустическое поле.

Весьма затруднительно дать теоретическое объяснение самомодуляции, пользуясь уравнениями акустики твердого тела, учитывающей квадратичную нелинейность продольной волны деформации и пренебрегающей (в силу малости) ее кубической нелинейностью [15].

Авторы работы [14] предполагают, что самомодуляция акустической волны, возбуждаемой на частоте ю0, возникает в результате двухступенчатого процесса. Сначала, считают они, идет параметрическая генерация на двух низких частотах ю1 и ю2 (где ю1 <<ю2), так что ю1 + ю2 = ю0, и тем самым модулированная волна со спектральными компонентами ю2, ю0, ю3 и низкочастотный сигнал с частотой ю1.

Выше было показано, что учет кубической дислокационной нелинейности позволяет говорить о самомодуляции акустической волны, происходящей по «классическому» сценарию.

Необходимо еще отметить, что если задача является неконсервативной, т.е. В Ф 0, то, очевидно, параметры волнового пакета Н(В) и Д(В) будут эволюционировать во времени.

Работа выполнялась при поддержке РФФИ (проекты MM 15-08-018Зб, 1б-08-0077б, 1б-08-00971).

Литература

1. Kpuшmaл M.A., Hurnmm K.E. Экспериментальное исследование дислокационного ангармонизма пластически деформированных металлов с помощью волн Рэлея // ФMM. - 1980. - T. 49. - M 1. -С. 181-189.

2. Eiras J.A. Influence of plastic deformation on the velocity and ultrasonic attenuation of copper single crystals // J. Alloy Compounds. -2000. - V. 310. - P. б8-71.

3. Hirao M., Ogi H., Suzuki N., Ohtani T. Ultrasonic attenuation peak during fatigue of polycrystalline copper // Acta Mater. - 2000. -V. 48. - P. 517-524.

4. 3yee Л.Б., Ceмyxuн Б.C., Бyшмeлeвa KM. Изменение скорости ультразвука при пластической деформации Al // ЖTФ. - 2000. -T. 70. - M 1. - С. 52-5б.

5. Epoфeeв B.И., Poмaшoв B.n. Влияние циклического нагружения и деформации материала на характеристики распространения в нем продольной акустической волны // Дефектоскопия. - 2004. -M 1. - С. 59-б4.

6. XлыбoвA.A., ymoeAM. Экспериментальное исследование законо-

мерностей накопления усталостных повреждений в стали 0SX1SН10T при малоцикловом блочном нагружении с использованием акустического метода // Физ. мезомех. - 2015. - T. 18. -M б. - С. 111-115.

7. Tpyэлл P., Эльбayм Ч., 4uk Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. - M.: Mир, 1972. - 307 с.

8. Гpaнamo A., ЛюкKe K. Струнная модель дислокации и дислокационное поглощение // Физическая акустика. - M.: Mир, 19б9. -T. 4. - Ч. А. - С. 2б1-З21.

9. Бypлaк Г.Н., OcmpoecKuü И..B. Гистерезисные акустические явления, связанные с дислокационной нелинейностью в кристаллах // Письма в ЖTФ. - 1997. - T. 23. - M 18. - С. б9-74.

10. EpoфeeвB.И., PoмaшoвB.n. Влияние дислокаций на дисперсию и затухание ультразвука в твердом теле // Письма в ЖTФ. - 2002. -T. 28. - M б. - С. б-11.

11. Уuзeм Дж. Линейные и нелинейные волны. - M.: Mир, 1977. -б22 с.

12. Pa6moem M.И., Tpyбeцкoв Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - M.: Наука, 1984. - 432 с.

13. nopy6oe A.B. Локализация нелинейных волн деформации. - M.: Физматлит, 2009. - 208 с.

14. Coycmoea ИЛ., Cymm A.M. Автомодуляция акустических волн в нелинейном резонаторе // Акуст. журнал. - 1975. - M 5. - С. 953954.

15. 3apeмбo Л..K., Kpacuльнuкoв B.A. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // УФН. - 1970. -T. 102. - M 4. - С. 549-58б.

Поступила в редакцию 19.10.201б г., после переработки 02.02.2017 г.

Сведения об авторах

Ерофеев Владимир Иванович, д.ф.-м.н., проф., дир. ИПМ РАН, erof.vi@yandex.ru Мальханов Алексей Олегович, к.ф.-м.н., снс ИПМ РАН, alexey.malkhanov@gmail.com