Квазигармонические упругие волны в структурированных и поврежденных материалах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

В.И. Ерофеев

Нижегородский филиал института машиноведения РАН

КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СТРУКТУРИРОВАННЫХ И ПОВРЕЖДЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ

Abstract

Based on several nonlinear mathematical models of mediums with microstructure (two-component shear mixture; porous materials and other), a research of effect of phase-group synchronism (long-short-wave resonance) during longitudinal elastic wave propagation was conducted.

It was shown that as a result of interaction of low-frequency wave (vibration field) with high-frequency wave (ultrasound) an ultrasonic wave of summarized frequency is being generated. This wave may be in a phase-group synchronism with the vibration field.

A connection between parameter that characterizes defectiveness of the material and a value of plastic deformation was defined both experimentally and theoretically.

A new method was proposed that allows describing the patterns of acoustical wave propagation in solid bodies with changing dislocation arrangement and increasing density of dislocations.

It was shown that under the influence of dislocation field modulation instability of ultrasound is possible.

1. Взаимодействие упругих волн

в условиях фазово-группового синхронизма

В случае квадратичной нелинейности возможен эффективный обмен энергией между тройками волн. При этом одна волна может распасться на две или две волны -слиться в одну. Частоты и волновые числа этих волн связаны условиями фазового синхронизма и удовлетворяют дисперсионным уравнениям.

В данном параграфе изучаются взаимодействия волн, частоты которых существенно отличаются друг от друга, но фазовые скорости низкочастотных волн при этом равняются групповым скоростям высокочастотных волн.

Такая картина наблюдается в различных физических задачах [1-8]. При этом высокочастотная волна будет генерировать низкочастотную.

В сейсмике экспериментально наблюдалась другая ситуация. Она описана в [9]. Низкочастотное вибрационное воздействие на земные породы порождает ультразвук. При этом генерация ультразвука была наиболее эффективной, если выполнялось условие фазово-группового синхронизма.

В качестве базовых моделей для описания этого эффекта и изучения волновых взаимодействий выбираются: математическая модель двухкомпонентной твердой сдвиговой смеси [10], математическая модель твердого пористого материала [11] и математическая модель среды Био с полостями [12].

Двухкомпонентная твердая сдвиговая смесь представляет собой два взаимопроникающих континуума. Каждая точка области, заполненной смесью, одновременно занята обеими компонентами, между которыми происходит силовое взаимодействие. Деформированное состояние каждого континуума будем определять парциальным тензором конечных деформаций:

где иI (XI, ?) - компоненты вектора перемещений. Здесь и далее греческие индексы

принимают значения 1,2, латинские - 1, 2, 3, а+5=3, по повторяющимся индексам проводится суммирование.

(11)

Силу взаимодействия между компонентами смеси считаем пропорциональной относительному перемещению:

= и!1)- и{к] о.2)

Внутреннюю энергию смеси и зададим потенциалом Мурнагана:

и / М Ч )= Ц а4“’ + Ц з (/^“)/<В))''2 + 2 ^а(1,<“1)2 +

+ ' ')+ ' Да/<“>+ + 1 Са (/I“1)3 + (1.3)

2 1 / 3 а 3 а 1 2 3 а’

+ р/к)2 + 3 Р'(ук)3 •

Здесь приняты следующие обозначения: /'а) = в( а ^5 гк = в ( а ( а ) ,

13а) = в(а^^в( а) - инварианты тензоров деформаций; цк, Xк, Аа, Ва, Ср, в, Р' - модули упругости.

Кинетическая энергия единицы объема запишется в виде

г = 1

Т 2 Р аа

(1.4)

Здесь плотность Раа, как характеристика а -й компоненты смеси, не является плотностью а -й компоненты. Она равна произведению плотности а -й компоненты р0а) на объемную концентрацию gа этой компоненты в смеси, то есть

= (а)

Раа рО gа.

Зная потенциал (1.3) и плотность кинетической энергии (1.4), можно составить лагранжиан Ь=Т-и и воспользоваться процедурой вариационного вывода уравнений динамики смеси.

Трехмерные уравнения динамики нелинейно-упругой смеси содержатся в книге [13].

Плоская продольная волна и (а -

будет описываться уравнениями

( и (аП

V0 У

, распространяющаяся вдоль оси X} = х,

д2и(1) с2 д2и(1) в и(1) с2 д2и(2) + в и(2) = № д и(1) д2и(1)

о *•) 'и* ^31 _ \ 'и* _ ,

д ^ д х р1 д х р1 р1 д х д х

д ги,г 1 - С 2 - А и (2)-ди!+± и о = П5)

С2 п 2 и С32 - 2 и П п 2 ’ (15)

д ^ д х р 2 д х р 2 р 2 д х д х

где = 3Х1 + 8ц1 + 2 А1+4В1+2С1 - коэффициент нелинейности,

С = V/ + ) ’ с3г = >/(3 + 2^3 ) .

В линейном приближении = О. Дисперсионные свойства продольной волны описываются уравнением

о4 -|

(cj2 + С-2)ш2&2 + в(р1 +Р2) о2 +(cj2c2 - с32с322)к4

р1 р2

-в

С с2 с2>

Vp2 р1 J

(1.6)

к2 = 0,

2п

где ш - круговая частота, к = —— волновое число, Л - длина волны.

Анализ (1.6) показывает, что продольная волна, распространяющаяся в смеси, обладает дисперсией, т.е. ее фазовая скорость Уф = ш ^ const, и что распространение волны характеризуется двумя дисперсионными ветвями.

При ^ 0 исследовать распространение и взаимодействие волн конечной амплитуды в смесях достаточно сложно, даже если речь идет об одномерных процессах (1.5). Значительно проще иметь дело с эволюционными уравнениями, которые, являясь приближенными, сохраняют в себе основные факторы, влияющие на волновые процессы. Существует достаточно много физически и математически корректных методов перехода от исходных уравнений к эволюционным уравнениям [14]. Воспользуемся методом связанных нормальных волн и придем к следующим эволюционным уравнениям:

д W д2W д2 / 49

rdWL + dW - a2Wj = -* ^ ( + W2 + W3 + W4)

д t д x д x

w2 = w;,

д W3

3,4

д t

± c.

д W3

3,4

д 3W

a

2 д ± S-rf4 = +*2 T- ( + W, + W + Wj

д x д x д x

2

где W - величина, комплексно сопряженная с W,

C12 I PlP2 a =- /-в(Рі +P2)

2V -Р(Рі +P2 У 2 І PlP2

р1р 2

С C2pi + (ci + 4C2 )pip 2 + 4C2 P

2K1_______

v pj

2p 2 Л

2 УН1Н2 1 ~r^2K2 p2 + 5pip 2 +4p 2

j

(1.7)

" p1p2

(C12 - C22 ) 4

+ C31C32

^2VH1 1 V2> 2P(P1 +p2 )C2

Связь новых переменных с исходными определяется выражениями

и (1) = К ( + W2 + W3 + W4 ),

u^2) =

в

v V P1P2 J

+ 2с2К2

( - с )2 +—

К

С в Л

—- C31K2

V^1

(W1 + W2)-

1J

К

с в л

— - C321K2

J

vM

J

a1

1

Из (1.7) следует, что одна из дисперсионных ветвей для продольных волн (кривая 1 на рис. 1) описывается уравнением Кортевега - де Вриза, а другая (кривая 2)- уравнением Шредингера.

Рис.1. Зависимость частоты распространения упругой волны

от волнового числа

Сами же дисперсионные соотношения имеют следующий вид:

ЮВ,Е а1^В,Х а2

(1.8)

для высокочастотных волн и

Юн = с2 кн - ёК

(1.9)

для низкочастотных волн.

Частоты и волновые числа волн, составляющих резонансную тройку, должны отвечать условиям синхронизма:

ЮЕ = &н + юв, = кн + к в.

(1.10)

Будем считать, что выполняются условия длинно-коротковолнового резонанса:

Vф = V

Фн гр I

(1.11)

Таким образом, выражение для фазово-группового синхронизма, получаемого из (1.7), выглядит следующим образом: С2 = — 2а-к ^.

Из (1.10), (1.11) получаем

ю Н =

2 2 с1 с2

1-Р(рі + Р2 )

Н (

(с12 - с22 )2 4

22 + с31с32

р1р2

(112)

1 + с2

2

2с

!-Р(рі +р2)

1 У

р1р2

Введем обозначения С =

С1

V С2 )

ш с с

О = ^^, у = 4 31432 , и из (1.12) получим выраже-

Ш С2

ние для определения величины отношения скоростей распространения упругих волн в

~ С1

каждой компоненте смеси — :

С2

С3-(3 + 8О)С2 + уС + 0,5у = 0 (1.13)

Уравнение (1.13) имеет три действительных (два положительных, один отрицательный) корня в случае у < 1. При разнице между частотами, равной О = = 102,

с

получаем отношения — , равные порядку 10 , либо 10- для каждого из положитель-

С2

ных корней (1.13) соответственно.

Твердый пористый материал. При построении модели были сделаны следующие предположения. Рассматривается изотропная, вязкая среда с периодически расположенными полостями. Распространяется волна конечной амплитуды, т. е. нелинейная волна при учете геометрической, физической и полостной нелинейностей. Основная среда считается однородной. Предполагается также, что расстояние между полостями Ь намного больше радиуса полостей Д0 (Ь >> д) и гораздо меньше, чем длина волны

Л (Ь << Л).

Считаем, что в среде распространяется квазипродольная волна, т.е. можно утверждать, что давление на полость обусловлено продольным напряжением

д и

а33 = ( + 2д)—3 - ( + 2ц), где 2 = ^, N - количество полостей в единице объема,

д х3

V - объем полости (V = v0 + V), v0 - начальный объем полости, а V - объем полости,

возмущенный волной.

Распространение продольной волны в пористом материале может быть описано следующей системой двух нелинейных уравнений:

д 2и 2 д 2и 2лт д V Р д Гд и4 2

-с2^+с N

д і2 1 д х2 1 д х 2р0 д х Vд х)’ (114)

д V і 2 л 2 ^ л 2 д и

+ (ш2 + 4пп0с2 N )v - 4пп0с2 —и = Gv2.

і д х

В 2 4|Д

В уравнениях р0 - начальная плотность материала, ш0 =-------------квадрат резонанс-

РоХо

ной частоты колебаний объема поры, с2 = (^ + 2^) - квадрат скорости продольной вол-

Р0

11ш 2

ны, G =-----, Р = (4ц + 3Х + 2А + 6В + 2С) - коэффициент, обусловленный геометри-

16x^0

ческой и физической нелинейностями, А,В,С - константы Ландау третьего порядка.

Первое уравнение описывает распространение плоской продольной волны в материале с порами при учете особенностей, вызванных изменением объемов пор. Второе

уравнение описывает процесс осцилляторного изменения объема пузырьков под влиянием деформации основной матрицы.

Дисперсионные зависимости для (1.14) качественно совпадают с изображенными на рис.1.

Эволюционные уравнения распространения упругих волн в пористых материалах совпадают с системой (1.7) при следующих значениях коэффициентов:

а1 = ^ш0 + 4лл0е, N , а2 = 2-

е, пЯ00N^ ш0 + 4лл0е, N (и2 + 4ппое,2 N )2

е, Ш0 ш2 + 4тстс0е2 N

£ =

8 ш^ш° + 4 лад2N

р

2р^ ш0 + 4пПоС, N

К =

Р л/ш0 + 4пп0е, N

2ро е, ш0

Ро^

1 -

1+-

ш0

ш0 + 4пп0е, N у 4пп0 PN2

и связи новых переменных с исходными переменными:

1+■

ш0

V =

шп + 4пп0е, N

N

(»1+ »2 )-

шп + 4пп0е, N

е,2К2 N

Пористая среда обладает квадратичной нелинейностью, следовательно, в ней, как и смесях твердых тел, тоже возможен процесс трехчастотного резонансного взаимодействия продольных волн.

По аналогии с тем, как поступали при рассмотрении фазово-группового синхронизма в смесях твердых тел, для пористого материала так же определены величины волновых чисел и частот, при которых возможны трехчастотные резонансные взаимодействия продольных волн. Значения для частот выглядят следующим образом:

шн = 16

с1 Nш о

(1.15)

ш— = л/Шо + 4пп0N»0 «1 +

ш0

8пп0 Д0 N)

тт ШЕ

Из анализа величины отношения —— определены параметры модели твердого порис-

Шн

того материала, при которых возможен процесс фазово-группового синхронизма. Так, при

Ш— ~102 получаем количество полостей в единице объема N~105 с радиусами Д0~10-2 м.

ш,,

3

1

е

С2

3

Среда Био с полостями. Распространение плоской продольной волны в среде Био может быть описано следующей нелинейной системой трех уравнений:

Р„ % + Р.0 %-( + 0ц))% - О ^ + N ( + 0ц)^ = 0,

11 д г2 д г2 д х2 д х2 у 'д х

д 2v3 д 2и3 д 2и3 д 2v2

Р22 -rf + Р12 -r-f - Q -Z-T+R -Z-T = 0. (1-16)

д Т д Т д x д x

д V 2 /-г 2 л -1

т-2 + ®,v-^v -4^Ро д Т

( + 2ц/—1 - Nv! + —(Qv3 + ^из)

I д x Уд x

= 0,

где v3 и и3 - перемещения жидкой и твердой фазы соответственно, v - объем полости возмущенной волной, р0 - плотность твердой фазы, р11, р12, р22, Q и R - коэффициенты, характеризующие жидконасыщенную среду, N - количество полостей в единице объема, r2 - радиус полостей, ш^ = (2р0) (3ур0 + 4ц), Ро - начальное давление в жидкости внутри полости, у - показатель адиабаты жидкости.

В среде Био, как и в рассматриваемых выше средах, также возможно трехчастотное взаимодействие и фазово-групповой синхронизм между длинными и короткими волнами.

2. Генерация второй гармоники сдвиговой волны

в «разномодульном» материале

Экспериментальные исследования упругих свойств различных материалов указывают на отличие в их поведении от линейного закона Гука [15]. Материалы, не имея предпочтительных геометрических направлений, проявляют различные механические свойства в зависимости от знаков напряжений. Модули упругости при этом зависят от вида напряженного состояния и изменяются при переходе от растяжения к сжатию. Например, для конструкционных графитов ВПП и АРВ модуль упругости при сжатии больше модуля упругости при растяжении соответственно на 10 и 20%, а для графита ПРОГ - примерно в 2 раза. С другой стороны, для графита ATJ-S модуль упругости при растяжении на 20% больше модуля упругости при сжатии.

Теория, позволяющая описывать подобное поведение материалов, называется разномодульной теорией упругости. В разномодульной теории упругости предполагается, что рассматриваемое тело является твердым, деформируемым и сплошным. Считается, что оно является однородным и изотропным. Однако однородность и изотропность для рассматриваемого разномодульного материала проявляются особым образом, а именно: упругие свойства его одинаковы во всех направлениях, в то же время он может проявлять различные упругие свойства в различных направлениях в зависимости от знаков главных напряжений.

При чистом (одноосном) растяжении в любом направлении рассматриваемый материал имеет модуль упругости E +, а при чистом (одноосном) сжатии в любом направлении - модуль E . Коэффициентами Пуассона являются: v + - характеризующий

поперечное сужение при растяжении, V - характеризующий поперечное расширение при сжатии. Предполагается, что рассматриваемый материал при любом напряженном состоянии претерпевает лишь малые упругие деформации и подчиняется общим закономерностям сплошной упругой среды.

Существуют различные модели, позволяющие учитывать разномодульность.

В модели, предложенной С.А.Амбарцумяном и А.А.Хачатряном [16], принято, что каждая из податливостей (отношение коэффициента Пуассона к модулю Юнга) в законе связи деформаций с напряжениями скачком меняет свое значение при изменении знака напряжения, при котором стоит множителем данная податливость. Это приводит к тому, что значение податливости определяется знаком только одного напряжения, поэтому для выполнения условия симметрии матрицы податливостей необходимо требовать равенство податливостей со смешанными индексами для растягивающих и сжимающих напряжений, т. е. v+ /Е+ = v~/Е~. В модели Е.В.Ломакина и Ю.Н.Работнова [17] для описания явления разномодульности вводится потенциал, зависящий от первого и второго инвариантов тензора напряжений и включающий в себя как частный случай потенциал для классического упругого тела. В качестве параметра, характеризующего вид напряженного состояния, использовано отношение среднего напряжения к интенсивности напряжения. Обнаружено хорошее соответствие между теоретическими зависимостями и экспериментальными данными.

В.А.Ляховским и В.П.Мясниковым [18] рассматривается задача о построении функционала, описывающего поведение упругой среды с микронарушениями. Вводится параметр ( у ), отвечающий за наличие в материале трещин и пор (одна из причин явления разномодульности). Параметр входит в выражение для внутренней энергии тела. Это приводит к зависимости модулей среды от вида напряженного состояния, что согласуется с моделью Ломакина - Работнова [17].

Следуя модели Ляховского-Мясникова, определим зависимость внутренней энергии среды и от инвариантов тензора деформации е{}. и коэффициентов X, ц, у, в следующем виде:

теристик от вида напряженного состояния и скачкообразное изменение модулей упругости при переходе от растяжения к сжатию:

где у - параметр разномодульности, характеризующий степень разрушения материала.

Уравнение, описывающее распространение плоской сдвиговой волны в разномодульном материале (0.1), будет иметь вид

Из уравнения (2.2) видно, что поврежденность привносит качественно новый эффект, заключающийся в том, что у сдвиговых колебаний появляется квадратичная нелинейность.

(2.1)

В потенциале (0.1) кроме обычных для упругой среды квадратичных слагаемых /12,

12 включено слагаемое у/1ЛУ72, которое позволяет учесть зависимость упругих харак-

(2.2)

Как известно, в среде, обладающей квадратичной нелинейностью, возможен процесс генерации второй гармоники. Будем считать, что другими нелинейными эффектами (са-мовоздействием, генерацией высших гармоник, детектированием и т.д.) можно пренебречь. Тогда в среде распространяются только две волны: на основной ш1 = ш и удвоенной ш2 = 2ш частотах. Следовательно, решение уравнения (2.2) будем искать в виде

\(х,г) = А1(вх)е‘(а(-кх ] + А2(в х)е2^-кх ] + к.с,

(2.3)

где в - малый параметр.

Если считать, что на границе поврежденного материала х = 0 была возбуждена лишь волна частоты ш , а волна удвоенной частоты на границе отсутствовала, то

А/0) = Ао; А2(0) = 0.

Были рассмотрены 2 случая:

а) амплитуда второй гармоники мала по сравнению с амплитудой основной волны,

А2 << А1 .

В этом случае обратным влиянием второй гармоники на основную волну можно пренебречь. Зависимость действительной амплитуды второй гармоники от параметра поврежденности имеет следующий вид:

I 3к2 а!х у*

к =--------------—, (2.4)

2 4л/2 ц 4 '

* / о.

где у = у/в , в - малый параметр.

Формула (2.4) справедлива до длины х << х*, где х* = ^ * 2

4У2ц

3у*к 2а0

На длине х следует ожидать значительную перекачку энергии основной волны в энергию второй гармоники.

б) амплитуда второй гармоники сравнима с амплитудой основной волны.

Для этого случая были получены следующие зависимости амплитуд основной и второй гармоник от параметра поврежденности:

а = —^, (2.5)

еИ^

ц х' у

а2 = а01к-----------------------------------------, (2.6)

ц

** 3к апх где х = —---------некоторая константа.

Соотношения (2.5), (2.6) показывают, что, зная амплитуду второй гармоники и характерное расстояние, на котором она возбуждается (например х = х *), можно оценить параметр поврежденности материала у/ц.

Для экспериментального исследования генерации второй гармоники сдвиговой волны был подготовлен образец гантельного типа из стали 09Г2С (рис.2). Образец был про-деформирован при одноосном растяжении на 40%. Затем образец был отфрезерован и отполирован с целью получения плоскопаралельности поверхностей и хорошего качест-

ва акустического контакта. Поверхность образца была разбита на зоны. Установка для исследования второй гармоники сигнала, прошедшего через материал образца, состояла из генератора гармонических колебаний 1, пьезокерамических широкополосных излучающего и приемного преобразователей 2,4, высокочастотного усилителя 5 и селективного вольтметра 6. Измерения амплитуды первой и второй гармоники сигнала, прошедшего через исследуемый материал, проводили последовательно от зоны 1 до пі зоны.

Рис. 2. Блок-схема измерительной установки и образец, разбитый на зоны

В результате, были получены отношения амплитуд первой и второй гармоник в исследуемых зонах, а также распределение пластической деформации в этих зонах (рис. 3,4):

о

-0,1

Ш -0,2

-0,3

-0,4

0 \ > 1 7 " ! 0 %

¿2

І 1

N zone

Рис. 3. Соотношения амплитуд второй и первой гармоники в исследуемых зонах

Рис.4. Распределение пластической деформации в исследуемых зонах

Корреляционная связь между соотношением амплитуд А2/ А1 и пластической деформацией Ер1 имеет существенное значение (« 0,9).

По результатам эксперимента находится зависимость параметра поврежденности от пластической деформации:

- = аЕр1 + Ь, (2.7)

|Д

где а = 0,44; Ь= 0,0006.

Известно, что в механике поврежденных сред зависимость параметра поврежденности от уровня пластической деформации, как правило, нелинейна [19]. Полученная в данной работе линейная связь модуля поврежденности с величиной пластической деформации объясняется тем, что эксперимент был проведен в достаточно узком диапазоне разброса пластических деформаций.

3. Влияние дислокаций на распространение

продольной акустической волны

В последнее время проводится достаточно большое количество экспериментальных работ по изучению закономерностей распространения акустических волн в материалах, подвергаемых деформации или циклическому нагружению [20]. Такого рода работы имеют большое практическое значение для диагностики и неразрушающего контроля материалов.

Традиционное теоретическое описание закономерностей распространения акустической волны в твердом теле с дислокациями использует струнную модель Гранато -Люке [21], которая описывает поглощение энергии упругих колебаний волн за счет колебаний дислокационной линии в поле упругих напряжений внутри кристалла. Данная модель дает следующие выражения для зависимости затухания и скорости от частоты и параметров дислокационной структуры:

2

16GБЬ 4 2 для затухания а = —2—т~ }

п С

и для скорости

У-У0

С 40Ь2 ^

п4С

М2 , (3.1)

где О - модуль сдвига, Ь - вектор Бюргерса, Л - общая длина подвижных дислокационных линий, Ь - длина «эффективной» дислокации, С - эффективное натяжение дислокационной линии, В - сила трения на единицу длины дислокации, /- частота упругой волны.

Струнная модель дает результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными, при условии варьирования в процессе эксперимента только частоты внешней акустической волны. Это связано с тем, что данная модель пренебрегает взаимодействием дислокации с решеткой (сила Пайерлса мала), а также взаимодействием дислокаций между собой. В случае экспериментов с деформируемыми или циклически нагружаемыми образцами, когда плотность дислокаций в процессе эксперимента возрастает на два порядка, пренебрегать взаимодействием дислокаций между собой не вполне допустимо.

Для описания распространения ультразвука в твердом теле, с учетом наличия в нем дислокаций, в [29] предложена следующая система уравнений:

д2 д д2 д

Рд24 =д-Рк , АЬ + ВдЬ = /,. (3.2)

д^ дхк дt дt

Здесь и - акустическое смещение, Ь - дислокационное смещение, А - масса дислокации, В - сила трения на единицу длины дислокации, Р,ы - тензор напряжений, р - плотность материала, / - сила, действующая на дислокацию. Записывая свободную энергию кристалла Г в виде функции переменных деформаций и^ и дислокационного смещения Ь в виде

¥ = 2 чии* + 2 сЛЛ* + 2 К»(Ь,Ь, + Ь£,)ии (3.3)

(где Хцы - модули упругости, - модули «жесткости» дислокации, в ’уы - тензор аку-

стодислокационного взаимодействия, Ь - вектор Бюргерса) и используя равенства

дд Р =иГ , / = - — ¥ , (3.4)

ди,к дЬ

можно, с учетом выражения для свободной энергии кристалла ¥, вычислить правые части в уравнениях (3.2).

Рассматривая далее плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х в кубическом кристалле, однородном вдоль осей у и г, получим следующие уравнения движения

(Ь=Ь, и=и, а=1):

д 2 д в д д д д —г и - с1—- и = -—ь ; А—Г ь+В—ь = -в—1

дt дх р дх дt дt дх

где с - скорость продольной волны в материале, а Р=Р ’ уы Ь - коэффициент акустодис-локационного взаимодействия.

Дисперсия и затухание. В рамках линейных уравнений (3.5) в [22, 30, 31] проанализировано влияние плотности дислокаций на дисперсию фазовой скорости волны, величину и характер затухания. Произведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными по изучению характеристик распространения упругих волн в образцах с изменяющейся плотностью дислокаций (деформируемых и циклически нагружаемых образцах).

Получены следующие выражения для затухания и дисперсии:

а = — 2

2 X + 2(Х2 + У2)2

V = -л-------------------------------, (3.6)

1 2 2 V 1

2 ( - 2X + 2(Х2 + У2 /2 /2

где

[Вю2рс2А - В(Аю2рс2 + в2)] [В 2ю2р2с4 + (Аю2рс2 + в2 )2]

У = Зр ^ тр ^ (3 7)

/ — Шрг 2 2 2 4 . / л 2 2 . п 2 \2 т , (37)

в^^ ^[В?2 р с2 а4 в(а?2 рс2+?? - а^р

[В 2ю2р2с4 + (Аю2рс2 + в2 )2]

(Ат2рс2 + в2)

X =---------------^ "Л 2 2 -----------, (3 8)

р - плотность материала, с - скорость продольной волны в материале, в - коэффициент акустодислокационного взаимодействия, А - эффективная масса единицы длины дислокации.

Оценка величин А и В для меди была произведена в работе [21] и составляет А=рй2/п^10"16 кг/м и В^10"13 Пас. Коэффициент акустодислокационного взаимодействия в представляет собой величину, прямо пропорциональную плотности дислокаций в материале, и характеризует интенсивность взаимодействия акустической волны с дислокацией, имеющей эффективную массу А, и с действующей на единицу длины силой трения В. Таким образом, изменяя в, мы можем моделировать эксперименты с изменяющейся плотностью дислокаций.

В работе [23] проводилось изучение влияния пластической деформации на скорость распространения и затухание ультразвука в меди. Получены следующие результаты (рис.5).

1 -10 Ю

1 -10

2000

а

б

Рис. 5. Зависимости затухания ультразвука от частоты при разных величинах деформации для меди: а - экспериментальные данные (графики с открытыми точками), б - данные, полученные при помощи

моделирования (ш-10~3)

В работах [24,25] проводились циклические испытания образцов из алюминия и меди и одновременно замерялись скорость и затухание ультразвука. Были получены сходные результаты, которые схематично проиллюстрированы на рис.6.

0,1

ч

0.08

СА

У. 0 06

0 04

а

0.02

0

1 . 1 " 1 ■ П ^ ' т Ш 1 і 1 IV Дм — н

1 / 1 а

" // ,——■г'Т і ! ■ і , і , N \ 1

0.2

0.4

0.6

0.8

10

8

6

4

2

0

№РГг

Рис. 6. Схематичное изображение зависимости затухания от числа циклов нагружения [24]: N/=722000 (количество нагружений до разрушения образца)

На рисунке видно, что зависимость затухания от числа циклов имеет экстремальный характер, с пиком в районе 20% времени жизни образца. Авторами было произведено микроструктурное исследование образцов при помощи электронного микроскопа и установлено, что дислокационная структура в ходе многоциклового нагружения претерпевает сложную эволюцию (образование дислокационных стенок, дислокационной

сетки), но при этом плотность дислокаций неуклонно растет. Для теоретического описания полученного результата авторами использовалась струнная модель Гранато-Люке. Пик в зависимости затухания объяснен авторами результатом непрерывного уменьшения средней длины дислокационной линии Ь с ростом числа циклов и, как следствие, уменьшением вклада в затухание (3.1). Согласно струнной модели при одинаковых средних длинах дислокаций и одинаковой плотности дислокаций затухание пропорционально частоте ультразвука, однако полученные авторами [24] данные для трех разных частот существенно отличаются от такой зависимости. Моделирование данного эксперимента дает следующий результат (рис.7)

а

б

Рис. 7. Экспериментальная (а) и смоделированная (б) зависимость затухания от числа циклов нагружения при трех разных частотах

Долгое время считалось, что с увеличением деформации скорость распространения акустической волны в материале снижается [26]. В последнее время появились экспериментальные работы [27, 28], свидетельствующие о том, что на ранних стадиях деформации (до 10-20%) у разных материалов наблюдается заметное увеличение скорости распространения ультразвука. Для зависимости скорости распространения акустической волны от деформации модель дает следующий результат (рис. 8).

а

б

Рис.8. Экспериментальная [27] (а) и смоделированная (б) зависимости скорости ультразвука от деформации

Таким образом, математическая модель дает результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными по изучению характеристик распространения акустических волн в материалах с изменяющейся плотностью дислокаций. Для более точного анализа экспериментальных данных необходимо дальнейшее развитие модели - уточнить зависимость «струнных» характеристик дислокации (эффективной массы и силы

трения) от плотности дислокаций и более точно определить зависимость коэффициента акустодислокационного взаимодействия в от степени деформации и количества циклов нагружения.

Модуляционная неустойчивость. Начиная с некоторого порогового значения амплитуды ультразвука и плотности дислокаций в материале, амплитуда колебаний дислокации достигает величины, соизмеримой с расстоянием между дислокационными линиями. При этом будет происходить активное взаимодействие дислокаций, которое приводит к необходимости учета нелинейности дислокационной подсистемы, т. е. массу дислокации следует рассматривать как сумму постоянной и пульсационной составляющих. При этом пульсационную составляющую будем считать пропорциональной квадрату дислокационного смещения £,

A = А/1 + ¿А2). (3.9)

Считая дислокационную подсистему консервативной, с учетом выражения (3.9), распространение вдоль оси х плоской волны продольной деформации U(x,t) в материале, обладающем дислокационной нелинейностью, будет описываться следующим уравнением:

I4 ^2 л д4 в д2 л л С д2 д2 ЛС д2 Л

А0 д4 с2 А0 р д \ A0 A

удґ2 дх2 j

д2

ді

в дТ в дх2дг2 р дх2 в

Решение уравнения (3.10) отыскивается в виде одной гармоники с медленно меняющейся в пространстве и времени комплексной амплитудой ^0 :

^(х,г) = ^0(в х,гг)в1 {а1-кх) + ко. (3.11)

Используя метод усреднения по «быстрым» переменным, от (3.10) перейдем к укороченному уравнению огибающих квазигармонической волны. В системе координат,

движущейся с групповой скоростью | и = — |: п = х - и(Л, т = е1 , эволюция огибаю-

\ дк)

щей будет описываться нелинейным уравнением Шредингера

'дт- + дд^%-а|5„|! = 0, (3.12)

дт дк дп

3 А1&(& - с к )

где а = 2 2 2

2(2ш2 - с2к2)

С помощью критерия Лайтхилла —у- а < 0 определяется условие наличия модуляци-

д 2ю 1к2

онной неустойчивости, что в рамках рассматриваемой задачи эквивалентно следующему

в2 2 2

неравенству ----< с ю для систем с положительной нелинейностью (Лі>0). Для систем с

рА

отрицательной нелинейностью (А1<0) модуляционная неустойчивость отсутствует.

Далее в работе определяется, как связаны высота (И) и ширина (А) волнового пакета, сформировавшегося в результате самомодуляции квазигармонической волны, с основными характеристиками дислокационной структуры - эффективной массой дислокации (А0) и коэффициентом акустодислокационного взаимодействия р. Отождествляя

Квазигармонические упругие волны в структурированных и поврежденных материалах высоту волнового пакета с удвоенной амплитудой И = 2ао, а его ширину с половиной длины волны огибающей А = Л, получим следующие соотношения:

И

2У ( - 3 в2 12лп3ш3рА0

Шд/3 А1о

ч 4 рА^2ш2 / Ув

А* "Г (3.13)

Таким образом, ширина волнового пакета А, увеличивающаяся пропорционально

в2

средней массе дислокации, уменьшается пропорционально -у. Высота волнового па-

( А ( 1 1

кета И пропорциональна {1 -в ), а также 1----.

I А)

Рассмотрим предельные значения коэффициента акустодислокационного взаимодействия в. Если взаимодействие между дислокационным и акустическим полями слабо, т.е. в^0, то А^-<х, а И^соиб^ т.е. волновой пакет превращается в квазигармониче-скую волну. К аналогичному результату приводит и устремление к бесконечности эффективной массы дислокации (А0^0).

Самомодуляция акустических волн наблюдалась экспериментально в работе [32].

Данная экспериментальная работа выполнялась авторами на кольцевом алюминиевом резонаторе, в котором нелинейные процессы носят накапливающийся характер. В зазор свернутого в кольцо стержня были вклеены пьезокерамические излучатели ультразвука. Приемником служили миниатюрные пьезоэлементы, наклеенные на боковую поверхность резонатора. На излучатель подавалось гармоническое напряжение с частотой /н, близкой к одной из собственной частот резонатора, на продольных волнах с частотой в диапазоне 50-200 кГц. При превышении накачкой некоторого порогового значения в резонаторе возбуждалось модулированное акустическое поле.

Весьма затруднительно дать теоретическое объяснение самомодуляции, пользуясь уравнениями акустики твердого тела, учитывающей квадратичную нелинейность продольной волны деформации и пренебрегающей (в силу малости) её кубической нелинейностью [33].

Авторы работы [32] предполагают, что самомодуляция акустической волны, возбуждаемой на частоте ш0, возникает в результате двухступенчатого процесса. Сначала, считают они, идет параметрическая генерация на двух низких частотах ш1 и ш2 (где ш1 <<ш2), так что ш 1 + ш2 = ш0, а затем модулированная волна со спектральными компонентами ш2, ш0, ш3 и низкочастотный сигнал с частотой ш1.

Заметим, что вопросы влияния дислокаций на устойчивость и фокусировку пучков нелинейных ультразвуковых волн изучались ранее в [34] с помощью струнной модели Гранато - Люке.

Выше было показано, что учет кубической дислокационной нелинейности позволяет говорить о самомодуляции акустической волны, происходящей по «классическому» сценарию.

Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 06-02-17158, № 05-01-00406, № 06-08-00520, № 0608-81001-Бел.) и Фонда содействия отечественной науке (доктора наук РАН).

Библиографический список

1. Захаров, В.Е. Коллапс ленгмюровских волн / В.Е. Захаров // ЖЭТФ. - 1972. - Т.62. - № 5. -

C. 1745-1759.

2. Benney, D.J. Significant Interactions Between Small and Large Scale Surface Waves /

D.J. Benney // Stud. Appl. Math. - 1976. - Vol. 55. - № 2. - P. 93-106.

3. Benney, D.J. A General Theory for Interactions Between Short and Long Waves / D.J. Benney // Stud. Appl. Math. - 1977. - Vol. 56. - № 1. - P. 81-94.

4. Басович, А.Я. Адиабатическое взаимодействие волн / А.Я. Басович, В.И. Таланов // Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие. - М.: Наука, 1981. - С. 147-166.

5. Гумеров, Н.А. О квазимонохроматических слабонелинейных волнах в пузырьковой среде с малой диссипацией / Н.А. Гумеров // ПММ. - 1992. - Т.56. - № 1. - С. 58-67.

6. Зозуля, О.М. Одномерная модуляционная неустойчивость волновых пакетов в средах с резонансной дисперсией / О.М. Зозуля, С.А. Рыбак // Акуст.журнал. - 1998. - Т.44. - № 2. -С. 278-280.

7. Ахатов, И.Ш., Длинно-коротковолновое взаимодействие в пузырьковых жидкостях / И.Ш. Ахатов, Д.Б. Хисматуллин // ПММ. - 1999. - Т.63. - № 6. - С. 980-990.

8. Ахатов, И.Ш. Влияние диссипации на взаимодействие длинных и коротких волн в пузырьковых жидкостях / И.Ш. Ахатов, Д.Б. Хисматуллин // Изв. РАН. МЖГ. - 2000. - № 4. -

С. 126-138.

9. Николаевский, В.Н. Нелинейная сейсмика и акустическое воздействие на нефтеотдачу пласта / В.Н. Николаевский, Г.С. Степанова // Акуст.журнал. - 2005. - Т.51. Приложение: выпуск «Геоакустика». - С. 150-159.

10. Rushchitsky, J. J. Interaction of waves in solid mixtures / J.J. Rushchitsky // Appl. Mech. Reviews. - 1999. - Vol. 52. - P. 35-74.

11. Багдоев, А.Г. Нелинейные волны в твердой вязкой среде с полостями / А.Г. Багдоев,

А.В. Шекоян // Акуст. журнал. - 1999. - Т.45. - С. 149-156.

12. Багдоев, А. Г. Нелинейные волны в двухкомпонентной твердой вязкой среде с полостями /

А.Г. Багдоев, А.В. Шекоян // Изв. РАН. МТТ. - 2004. - № 3. - С. 91-100.

13. Erofeyev, V.I. Wave Processes in Solids with Microstructure/ V.I. Erofeyev. - New Jersey, London, Singapore, Hong Kong, Bangalore, Taipei: World Scientific, 2003.

14. Engelbrecht, J.K. Nonlinear Evolution Equation/ J.K. Engelbrecht, V.E. Fridman,

E.N. Pelinovsky. - London: Pitman, 1988.

15. Амбарцумян, С.А. Разномодульная теория упругости / С.А. Амбарцумян. - М.: Наука, 1982. - 317 с.

16. Амбарцумян, С.А. К разномодульной теории упругости / С.А. Амбарцумян,

A.А. Хачатрян.// Инж.журнал МТТ. - 1966. - № 6.

17. Ломакин, Е.В. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела / Е.В. Ломакин, Ю.Н. Работнов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1978. - № 6. - С. 29-34.

18. Ляховский, В.А. О поведении упругой среды с микронарушениями / В.А.Ляховский,

B.П. Мясников // Физика земли. - 1984. - № 10. - С. 71-75.

19. Коллинз, Дж. Повреждение материалов в конструкциях/ Дж. Коллинз. - М.: Мир, 1984. -624 с.

20. Ромашов, В.П. Современные представления о влиянии дислокаций на характеристики распространения упругих волн в твердом теле (обзор) / В.П. Ромашов // Испытания материалов и конструкций: сборник научных трудов. - Н.Новгород, 2002. - C. 28-41.

21. Granato, A.V. Theory of Mechanical Damping due to Dislocations / A.V. Granato, K. Lucke //

J.Appl.Phys. - 1956. - Vol. 27. - № 6. - P. 583-593.

22. Ерофеев, В.И. Влияние дислокаций на дисперсию и затухание ультразвука в твердом теле /

В.И. Ерофеев, В.П. Ромашов // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т.28. - № 6. - С. 6-11.

23. Eiras, J.A. Influence of plastic deformation on the velocity and ultrasonic attenuation of copper single crystals / J.A. Eiras // Journal of Alloys and Compounds. - 2000. - Vol. 310. - P.68-71.

24. Hirao, M. Ultrasonic attenuation peak during fatigue of polycrystalline copper / M. Hirao [et al.]// Acta Mater. - 2000. - Vol. 48. - P. 517-524.

25. Wang, J. Sensitivity of Ultrasonic Attenuation and Velocity Change to Cyclic Deformation in Pure Aluminum / J. Wang, Q.F. Fang and Z.G. Zhu // Phys. Stat. Sol. (a). - 1998. - Vol. 169. -P.43.

26. Труэлл, Р. Ультразвуковые методы в физике твердого тела/ Р. Труэлл, Ч. Эльбаум, Б. Чик. -М.:Мир, 1972. - 307 с.

27. Зуев, Л.Б. Изменение скорости ультразвука при пластической деформации Al / Л.Б. Зуев, Б.С. Семухин, К.И. Бушмелева // ЖТФ - 2000. - Т. 70. - В.1. - С. 52-56.

28. Зуев, Л.Б, Акустические свойства металлов и сплавов при деформации / Л.Б. Зуев, Б.С. Се-

мухин // Физика и химия обработки материалов. - 2002. - №5. С. 62-68.

29. Бурлак, Г.Н. Гистерезисные акустические явления, связанные с дислокационной нелинейностью в кристаллах / Г.Н. Бурлак, И.В. Островский // Письма в ЖТФ. - 1997. - Т.23. -

В.18. - С. 69-74.

30. Ерофеев, В.И. Влияние циклического нагружения и деформации материала на характеристики распространения в нем продольной акустической волны / В.И. Ерофеев,

B.П. Ромашов // Дефектоскопия. - 2004. - № 1. - С. 59-64.

31. Ерофеев, В.И. Распространение продольной акустической волны в твердом теле с дислокациями. Теория и эксперимент / В.И. Ерофеев, В.П. Ромашов // Физическая акустика. Распространение и дифракция волн. Сборник трудов XIII сессии РАО. - Т.1. М.: ГЕОС, 2003. -

C.242-245.

32. Соустова, И.А. Автомодуляция акустических волн в нелинейном резонаторе / И.А. Соусто-ва, А.М. Сутин // Акуст. журнал. - 1975. - Т.21. - №5. - С. 953-954.

33. Зарембо, Л.К. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах / Л.К. Зарембо, В .А. Красильников // УФН. - 1970. - Т. 102. - №4. - С.549-586.

34. Шекоян, А.В. Влияние дислокаций на устойчивость и фокусирование пучков нелинейных ультразвуковых волн / А.В. Шекоян // Изв. АН Арм.ССР. - 1988. - Т.23. - № 5. - С. 283-288.

Получено 10.07.2006.